Series de Taylor e Maclaurin - Guia Completo com Exemplos e Aplicações

Séries Séries de Taylor e de MacLaurin Série de Taylor Substituindo essa fórmula para cₙ de volta na série então teremos a chamada série de Taylor da função f em a ou em torno de a ou centrada em a fx fⁿa n x aⁿ fa fa 1 x a fa 2 x a² fa 3 x a³ Série de MacLaurin Para o caso especial a 0 a série de Taylor tornase fx fⁿ0 n xⁿ f0 f0 1 x f0 2 x² e recebe o nome especial de série de Maclaurin Exemplo 1 Encontre a série de Maclaurin da função fx ex e seu raio de convergência Solução Se fx ex então fnx ex Assim fn0 e0 1 para todo n Logo a série de Maclaurin é n0 fn0n xn n0 xn n 1 x1 x2 2 x3 3 Exemplo 2 Encontre a série de Maclaurin para sen x Solução fx sin x f0 0 fx cos x f0 1 fx sin x f0 0 fx cos x f0 1 f4x sin x f40 0 x x3 3 x5 5 x7 7 n0 1n x2n1 2n 1 Exemplo 3 Encontre a série de Maclaurin para cos x Solução cos x ddx sin x ddx x x3 3 x5 5 x7 7 1 3x2 3 5x4 5 7x6 7 1 x2 2 x4 4 x6 6 n0 1n x2n 2n 1 x 1 4 3 2 1 1 ln 4 3 2 1 1 x x x x k x x k k k Principais Séries de MacLaurin SÉRIES DE FOURIER Introdução Séries Trigonométricas Uma série de senos e cossenos do tipo a02 Σ an cos nx bn sen nx onde an e bn são coeficientes é chamada série trigonométrica Análise de Fourier No início do século XIX o matemático francês JeanBaptiste Fourier provou que qualquer função periódica razoavelmente estável gt com o período T pode ser construída como a soma de um número possivelmente infinito de senos e cosenos gt ½ c aₙ sen2Πnft bₙ cos2Πnft Onde f1T é a frequência fundamental aₙ e bₙ são as amplitudes do seno e do coseno dos nésimos harmônicos termos e c é uma constante Essa decomposição é chamada de série de Fourier A partir da série de Fourier a função pode ser reconstruída ou seja se o período T for conhecido e as amplitudes forem dadas a função original do tempo poderá ser encontrada efetuandose as somas da equação acima Análise de Fourier Qualquer forma de onda pode ser construída a partir da superposição de ondas senoiais Exemplo dentedeserra Joseph Fourier 17681830 Podese mostrar que série de Fourier Série de Fourier As séries trigonométricas infinitas formadas por seno eou coseno são chamadas séries de Fourier Seja a série na forma No conjunto de pontos onde ela converge ela define uma função f cujos valores em cada ponto x é a soma da série para aquele valor de x Dizemos então que esta série é a série de Fourier de f fx L2 3L2 2L x Séries de Fourier Se a série trigonométrica representa uma função g no intervalo π x π ou seja ela converge para esse intervalo então ela convergirá para todo os valores de x gx a02 an cosnx bn sennx Séries de Fourier Multiplicando a série trigonométrica por cosmx onde m é um número inteiro obtemos gx cosmx a02 cosmx an cosnx cosmx bn sennx cosmx A série por ser convergente pode ser integrada termo a termo assim gx cosmx dx a02 cosmx dx an cosnx cosmx dx bn sennx cosmx dx Pelas propriedades de ortogonalidade dos senos e cossenos i ππ sennx cosmx dx 0 nm 0 ii ππ cosnx cosmx dx 0 se n m π se n m iii ππ sennxsenmx dx 0 se n m π se n m Através dessas propriedades é possível determinar an e bn a0 1π ππ gx dx an 1π ππ gx cosnx dx bn 1π ππ gx sennx dx A série trigonométrica construída a partir desses coeficientes é conhecida como a série de Fourier Para o caso mais geral onde o período é menor do que T temos gx a02 n1 an cos2πnT x bn sen2πnT x a0 2T T2T2 gx dx an 2T T2T2 gx cos2πnT x dx bn 2T T2T2 gx sen2πnT x dx EXEMPLO A série de Fourier para fx 1 x 0 1 x 0 com aᵢ 0 aₙ 0 bₙ 4 nπ n ímpar será gx 4π nímpar 1n sennx Gráfico de gx Propriedade de Paridade i Se gx for uma função par todos os coeficientes bₙ devem anularse E os coeficientes aₙ são obtidos simplesmente pela integração de 0 a T2 ii Se gx for uma função ímpar todos os coeficientes aₙ devem anularse E os coeficientes bₙ são obtidos pela integração de 0 a T2 Forma complexa das Séries de Fourier A série de Fourier gx a02 n1 to an cosπnL x bn senπnL x pode ser escrita sob forma complexa fazendo as seguintes substituições cosnπL x 12 einπxL einπxL sennπL x 12i einπxL einπxL EXEMPLO A série de Fourier na forma complexa para fx 1 x 0 1 x 0 c0 12π 0π dx 12 cn 12π 0π einx dx 1 einπ 2πni 0 n par 1πni n ímpar Portanto gx 12 1πi n to 1n einx n ímpar 1 Utilizando as Séries de MacLaurin calcule a e2 b e05 Exercícios 2 Utilizando as Séries de MacLaurin calcule a LN15 b LN12 Exercícios 4 3 2 1 1 ln 4 3 2 1 1 x x x x k x x k k k 3 Utilizando as Séries de MacLaurin calcule asen30 sen 6 rad bsen120 sen 23 rad Exercícios 4 Utilizando as Séries de MacLaurin calcule acos60 sen 3 rad bcos150 cos 56 rad Exercícios 5 Por meio da série de MacLaurin calcule a34 b83 c26 d45 Exercícios 4 3 2 1 1 4 3 2 0 k x k x k x kx n x k x n n k n k n k n k 1 a 739 b 165 2 a 041 b 018 3 a 05 b 087 4 a 05 b 087 5 a 81 b 512 c 64 d 1024 Respostas