Funcoes de Varias Variaveis e Derivadas Parciais - Guia Completo

Funções de várias variáveis e Derivadas parciais Funções de várias variáveis Funções de duas variáveis Definição Uma função f de duas variáveis é uma lei regra correspondência que associa a cada par ordenado de números reais xy de um domínio D um único valor real denotado por z fxy Definição 2 O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície constituída por todos os pontos xyz do espaço tal que z fxy ver figura seguinte S xyfxy fxy xy0 D 0 Exemplos 1 Gráfico da função fxy 6 3x 2y 2 Gráfico da função 2 2 y x 9 g x y 3 Gráfico da função 2 2 y 4x h x y 4 Gráfico da função x2 y2 e 3y x z 2 2 Funções de três ou mais variáveis Uma função f de três variáveis é uma lei regra correspondência que associa a cada trio ordenado xyz de números reais de um domínio D um único número real denotado por fxyz Também escrevemos w fxyz Exemplos 1 fxyz x y 3z 2 gxyz xyz 3 hxyz x y2 z3 4 w senxy z O gráfico de uma função de três variáveis está em um espaço de quatro dimensões e não podemos desenhálo Não estudaremos funções de quatro ou mais variáveis Derivadas parciais i Para funções de duas variáveis Seja z fxy uma função de duas variáveis Definição a A derivada parcial fx da função em relação à variável x é a função obtida derivando fxy em relação à variável x considerando y como constante Se ab representa um par ordenado fixo dado então fxab significa a derivada da função em relação a x calculada em x a mantendo y constantemente igual a b y b Ela mede a taxa de variação da fxy em relação à variação de x se fazemos y b constante b A derivada parcial fy da função em relação à variável y é a função obtida derivando fxy em relação à variável y considerando x como constante Se ab representa um par ordenado fixo dado então fyab significa a derivada da função em relação a y calculada em y b mantendo x constantemente igual a a x a Ela mede a taxa de variação da fxy em relação à variação de y se fazemos x a constante Então para determinar as funções derivadas parciais de z fxy procedemos da seguinte maneira a Para achar fx xy derivamos fxy usando as regras já conhecidas de derivação considerando y como constante b Para achar fy xy derivamos fxy usando as regras já conhecidas de derivação considerando x como constante Notação para as Derivadas Parciais Sendo z fxy D f D f f y z y f x y y f f x y f D f D f f x z x f x y x f f x y f y 2 2 y y x 1 1 x x Interpretação geométrica das derivadas parciais As derivadas parciais de f em ab são as inclinações das retas tangentes C1 e C2 Exemplo Se fxy 4 x2 2y2 e A11 vem i fxxy 2x fx11 2 ii fyxy 4y fy11 4 As figuras seguintes ilustram os casos i e ii respectivamente z 4 x2 2y2 C1 y 1 111 11 z 4 x2 2y2 C2 x 1 111 11 I Derivadas parciais funções de duas variáveis Exemplo 12 12 2y x y 2 3 2 y x 3 e f calcule f x Se fxy 8 12 4y 3x y x y 16 12 2xy 3x x y 12 12 2y y x 2 2 3 2 2 3 2 y y x x y x 3 f f f f Solução e f calcule f x Se fxy II Derivadas parciais funções de três variáveis Se w fxyz uma função de três variáveis é simples estender as definições anteriores relativas às derivadas parciais Para determinar uma derivada parcial em relação a uma variável consideramos as outras duas como constantes e usamos as regras já estudadas para derivaçãomantendo a mesma notação Exemplo z y x xy 3 4 f f f e y z fxy z ache x Sendo 2 4x y z f xe 3x y z f te Analogamen ye 2xy z f constantes y e z determinamos f Mantendo Solução f f ache f e x y z fxyz Sendo 3 3 z xy 4 2 2 y xy 4 3 x x z y x xy 4 3 2 2 III Derivadas de ordem superior i Derivadas de 2ª ordem Sendo z fxy podemos derivar a suas derivadas em relação a x e y e temos fxx fxx fyy fyy fxy fxy fyx fyx derivadas mistas Obs Provase que fxy fyx ii Também definimos derivadas de ordem superior a 2 para funções de duas e três variáveis de modo análogo sendo a ordem de derivação dada pela sequência de variáveis no índice da esquerda para a direita Exemplo Determine as derivadas parciais de 2ª ordem da função fx y x4 x3y2 5y3 isto é fxx fyy fxy e fyx Exemplo Solução f conforme a observação f 6x y 15y 2x y f f 6x y 3x y 4x f f 30y 2x 15y 2x y f f 6xy 12x 3x y 4x f f 15y 2x y f 3x y 4x f Vem 5y x y x x y f yx xy 2 x 2 3 y x yx 2 y 2 2 3 x y xy 3 y 2 3 y y yy 2 2 x 2 2 3 x x xx 2 3 y 2 2 3 x 3 3 2 4 Para determinarmos os pontos críticos de uma função f de duas ou mais variáveis devemos resolver o sistema de equações composto pelas derivadas parciais de 1a ordem de f igualadas a zero Para classificarmos os pontos críticos de uma função f de duas ou mais variáveis calculamos o determinante da matriz hessiana composta pelas derivadas parciais de 2a ordem de f PONTOS CRÍTICOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS PONTOS CRÍTICOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A matriz Hxy ²fx² xy ²fyx xy ²fxy xy ²fy² xy aparece em diversas situações num curso de Cálculo e é conhecida como matriz hessiana O seu determinante Hxy é chamado determinante hessiano da função z fxy ou hessiano da função A demonstração desse teorema é bastante complexa A idéia fundamental é usar as derivadas parciais de 2ª ordem da função fxy para determinar o tipo de parabolóide que melhor se aproxima do gráfico da função próximo de um ponto crítico x₀y₀ O parabolóide que melhor se aproxima do gráfico de fxy próximo ao ponto crítico x₀y₀ é o gráfico da função polinomial Pxy 12 Ax² Bxy 12 Cy² Dx Fy G Teorema Seja z fxy função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem são contínuas num conjunto aberto que contém x₀y₀ e suponhamos que x₀y₀ seja um ponto crítico de f Seja Hxy o determinante Hxy ²fx² xy ²fyx xy ²fxy xy ²fy² xy Temos Se Hx₀y₀ 0 e ²fx² x₀y₀ 0 então x₀y₀ é um ponto de mínimo local de f Se Hx₀y₀ 0 e ²fx² x₀y₀ 0 então x₀y₀ é um ponto de máximo local de f Se Hx₀y₀ 0 então x₀y₀ não é extremante local Nesse caso x₀y₀ é um ponto de sela Se Hx₀y₀ 0 nada se pode afirmar pode ser um ponto de máximo mínimo ou sela Pontos Críticos de fxy Critérios a Máximo fₓₓ fᵧᵧ fₓᵧ² 0 e fₓₓ 0 b Mínimo fₓₓ fᵧᵧ fₓᵧ² 0 e fₓₓ 0 c Ponto de sela fₓₓ fᵧᵧ fₓᵧ² 0 d Teste inconclusivo fₓₓ fᵧᵧ fₓᵧ² 0 Dizemos que a função z fxy admite um máximo local no ponto x0y0 se existe um disco aberto R contendo x0y0 tal que fxy fx0y0 para todos os pontos xy em R conforme ilustra a figura a seguir Dizemos que a função z fxy admite um mínimo local no ponto x0y0 se existe um disco aberto R contendo x0y0 tal que fxy fx0y0 para todos os pontos xy em R conforme ilustra a figura a seguir Ponto de máximo Ponto de mínimo Ponto de sela EXEMPLOS Exemplo 1 Determinar as derivadas parciais de 1a ordem da função 2 3 2 3 2y x y fxy x RESOLUÇÃO 1º Vamos derivar em relação à variável x fxy x3 x2 y3 2y2 fxy 1 x3 y3 x2 2y2 x0 fx xy 1 3x2 y3 2x 2y2 0 fx xy 3x2 2xy3 DERIVADA PARCIAL DE 1º ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x 2º Vamos derivar a função em relação à variável y fxy x3 x2 y3 2y2 fxy x3 y0 x2 y3 2 y2 fy xy x3 0 x2 3y2 2 2y fy xy 3x2 y2 4y DERIVADA PARCIAL DE 1º ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL y Solução fx xy 3x2 2xy3 fy xy 3x2 y2 4y Exemplo 2 Determine as derivadas parciais de 2ª ordem da função fx y 3x4y 4x3y2 7y3 3x² Resolução 1º Derivamos em relação à variável x fxy 3x4 y 4x3 y2 7y3 x0 3x2 fx xy 12x3 y 12x2 y2 6x DERIVADA PARCIAL DE 1º ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x 2º Derivamos em relação à variável y fxy 3x4 y 4x3 y2 7y3 3x2 y0 fy xy 3x4 8x3 y 21y2 DERIVADA PARCIAL DE 1º ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL y 3º Calculamos as derivadas parciais de 2ª ordem fxx xy 36x2 y 24x y2 6 DERIVADA PARCIAL DE 2ª ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x fxy xy 12x3 24x2 y DERIVADA PARCIAL DE 2ª ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL y fyx xy 12x3 24x2 y DERIVADA PARCIAL DE 2ª ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x fyy xy 8x3 42y DERIVADA PARCIAL DE 2ª ORDEM EM RELAÇÃO À VARIÁVEL y Solução fxx xy 36x2 y 24x y2 6 fxy xy fyx xy 12x3 24x2 y fyy xy 8x3 42y Exemplo 3 Determine as derivadas parciais de 2ª ordem da função fx y z 2x3y2 3xz2 5y3z 2 zy yz zx xz 2 yx xy zz 3 yy 2 xx 15y x y f x y f 6z x y f x y f 12x x y f x y f 6x x y f 30yz x y 4x f 12xy x y f Solução RESOLUÇÃO 1º Calculamos as derivadas parciais de 1º ordem Em relação à variável x fxyz 2x3 y2 3x y2 5y3 x0 fx xyz 6x2 y2 3y2 Em relação à variável y fxyz 2x3 y2 3x y2 5y3 fy xyz 4x3 y 15y2 Em relação à variável z fxyz 2x3 y2 z0 3x2 z 5y3 z1 fz xyz 6xz 5y3 fx 6x2 y2 3y2 fxy 12x y fxz 6 z fy 4x3 y 15 y2 fyx 12x y fyy 4 x3 30 y z fyz 15 y2 fz 6x z1 5 y3 fzx 6x fzy 15 y2 DERIVADAS PARCIAIS DE 1º ORDEM DERIVADAS PARCIAIS DE 2º ORDEM Solução fxx xy 12x y2 fyy xy 4x3 30 y z fzz xy 6x fxy xy fyx xy 12x2 fxz xy fzx xy 6z fyz xy fzy xy 15 y2 Exemplo 4 Uma indústria produz e comercializa dois produtos A e B em quantidades x e y milhares de unidades respectivamente O faturamento mensal dessa indústria é modelado pela função Fxy 2x² y² 32x 20y milhares de reais Calcule o valor do faturamento mensal máximo Resolução 1º Coordenadas do Ponto crítico DERIVADAS PARCIAIS DE 1º ORDEM Derivamos em x Fxy 2x2 x0y2 32x1 20x0 Fxxy 22x1 0x1y2 321x0 200x1 Fxxy 4x 32 Derivamos em y Fxy 2x2 y0 y2 32x y0 20 y1 Fyxy 2x20 y1 2y1 32x0 y1 201 y0 Fyxy 2y 20 Resolvemos o sistema 4x 32 0 4x 32 4x 32 x8 2y 20 0 2y 20 2y 20 y10 Temos Fxy 2x2 y2 32x 20y Assim F810 282 102 328 2010 128 100 256 200 228 z 228 810228 é ponto crítico da função Fxy 2x2 y2 32x 20y 2º Classificação do ponto crítico fxxy 4x 32 fxxxy 4 fxyxy 0 fyxy 2y 20 fyxxy 0 fyyxy 2 H fxx fxy fyx fyy 4 0 0 2 detH 4200 80 8 0 Neste caso observamos fxxxy Temos fxxxy 4 0 Como detH 0 e fxxxy0 então 810228 é ponto de máximo H fxx fxy fyx fyy detH0 Ponto de sela detH0 fxx0 Ponto de Minimo fxx0 Ponto de Máximo detH0 substituímos valores próximos do ponto crítico em fxy Exemplo 5 Determine e classifique os pontos críticos da função 4 12y 6y 18x 8x 3x x y f 2 2 3 4 RESOLUÇÃO 1º Derivamos em x fxxy 12x³ 24x² 36x 12x³ 24x² 36x 0 12 x³ 2x² 3x 0 x x² 2x 3 0 M N 0 M 0 em N 0 x 0 em x² 2x 3 0 a 1 b 2 c 3 b² 4ac 2² 4 1 3 4 12 16 x b 2a 2 4 2 x 3 x 1 2º Derivamos em y fxy 3x⁴ 8x³ 18x² 6y² 12y 4 dydy fyxy 12y 12 12y 12 0 12y 12 y 12 12 y 1 Temos os pares ordenados 0 1 3 1 1 1 3º Obtemos o valor de z ternas ordenadas fxy 3x⁴ 8x³ 18x² 6y² 12y 4 0 1 x 0 e y 1 f01 30⁴ 80³ 180² 61² 121 4 f01 10 z 10 0 1 10 Ponto crítico 3 1 x 3 e y 1 f31 33⁴ 83³ 183² 61² 121 4 f31 145 z 145 3 1 145 Ponto crítico 1 1 x 1 e y 1 f11 31⁴ 81³ 181² 61² 121 4 f11 17 z 17 1 1 17 Ponto crítico 4º Classificamos os pontos críticos Derivadas Parciais de 2ª ordem fxy 3x⁴ 8x³ 18x² 6y² 12y 4 fxxxy 36x² 48x 36 fxyxy 0 fyxxy 0 fyyxy 12 Utilizamos a matriz hessiana H fxx fxy fyx fyy detH 0 Teste inconclusivo detH 0 Ponto de Sela detH 0 fxx 0 Ponto de MÍN fxy 0 Ponto de MÁX H 36x2 48x 36 0 0 12 Para 0110 temos H 3602 480 36 0 0 12 36 0 0 12 detH 3612 00 432 0 Portanto o ponto de coordenadas 0110 é PONTO DE SELA detH 0 Ponto de sela Para 31145 temos H 3632 483 36 0 0 12 144 0 0 12 detH 14412 00 1728 0 1728 0 det H 0 ou Ponto de Máx ou Ponto de Mín Nesse caso utilizamos fxx fxx 0 Ponto de Mín fxx 0 Ponto de Máx fxx x1y1 36x2 48x 36 fxx 31 3632 483 36 144 0 Ponto de Mín Portanto o ponto de coordenadas 31145 é PONTO DE MÍNIMO Para 1117 temos H fxx fxy fyx fyy 36x2 48x 36 0 0 12 3612 481 36 0 0 12 48 0 0 12 detH 4812 00 576 0 Nesse caso observamos fxx fxx x1y1 36x2 48x 36 fxx 11 3612 481 36 48 0 Temos detH 0 e fxx x1y1 0 Portanto o ponto de coordenadas 1117 é PONTO DE MÍNIMO Solução P0110 é ponto de sela P31145 é ponto de mínimo P1117 é ponto de mínimo Exemplo 6 Determine e classifique os pontos críticos da função 2 y² 3xy x³ x y f Resolução 1º Derivamos em x fxxy 3x2 3y 3x2 3y 0 2º Derivamos em y fyxy 3x 2y 3x 2y 0 Sistema 3x2 3y 0 3 3x 2y 0 x2 y 0 y x2 Isolamos y 3x 2y 0 Substituimos 3x 2y 0 3x 2x2 0 2x2 3x 0 2x2 3x 0 x2x 3 0 x 0 ou 2x 3 0 2x 3 x 32 Temos x 0 e 3x 2y 0 30 2y 0 2y 0 y 02 y 0 Por ordenado 00 Temos x 32 e 3x 2y 0 332 2y 0 92 2y 0 9 4y2 02 y 94 Por ordenado 32 94 3º Termos ordenados fxy x3 3xy y2 2 f00 03 300 02 2 2 z 2 O ponto crítico é 002 f32 94 323 33294 942 2 278 818 8116 2 548 8116 2 108 81 3216 5916 z 5916 O ponto crítico é 32 94 5916 4º Classificação dos pontos críticos fxx 6x fx 3x2 3y fxy 3 f yx 3 fyy 2 H fxx fxy fyx fyy 6x 3 3 2 002 H 60 3 3 2 0 3 3 2 detH 02 33 9 Temos detH 0 ponto de sela Portanto o ponto 002 é um ponto de sela 32 94 5916 H 6x 3 3 2 632 3 3 2 9 3 3 2 detH 92 33 18 9 9 Temos detH 0 e fxx 9 0 Portanto o ponto 32 94 5916 é um ponto de mínimo Solução P002 é ponto de sela P 3292 5916 é ponto de mínimo Exemplo 7 Preço de custo para construção da estrutura acima prisma retangular Base R 43000 por m² Lateral R 18750 por m² Tampa R 7000 por m² Determinar as medidas x y e z que geram um custo total mínimo sabendo que a estrutura deve ter um volume de 36m³ Resolução Custo 430xy 187502xz 2yz 70xy C 500xy 375xz yz I V xyz 36 z 36xy II Substitui I em II C 500xy 37536xxy 36yxy C 500xy 135001y 1x 1º Passo Cx 500y 135001x² 0 500y 13500x² 0 Cy 500x 135001y² 0 500x 13500y² 0 500x²y 13500 0 500x²y 13500 III 500xy² 13500 0 500xy² 13500 IV Comparando III e IV 500x²y 500xy² x²y xy² 0 xyx y 0 x 0 não interessa y 0 não interessa x y 0 x y Assim substitui em III 500x³ 13500 x³ 27 x y 3m Substitui em II z 3633 4m 2º passo 33 Cxx 27000x³ A Cyy 27000y³ B Cxy 500 C A B C H Conclusão 33 1000 1000 500 750000 Pto mínimo m334 EXEMPLO 8 Encontre os valores de máximo e mínimo global da função fxy y2 y4 x2 na região definida por x2 4y2 10 Resolução Cálculo dos pontos críticos de f fx 2x 0 x 0 fy 2y 4y3 2y1 2y2 0 y 0 y 12 Pontos 00 0 12 0 12 Todos eles pertencem à região x2 4y2 10 Assim devemos observar o seguinte teorema Teorema Dada a função f R2 R e x0 y0 um ponto crítico de f Então a Se detH no ponto x0 y0 for menor que zero então x0 y0 é um ponto de sela b Se detH no ponto x0 y0 for maior que zero e também no ponto x0 y0 2 fx2 0 então x0 y0 é um ponto de mínimo local c Se detH no ponto x0 y0 for maior que zero e também no ponto x0 y0 2 fx2 0 então x0 y0 é um ponto de máximo local e d Se detH no ponto x0 y0 for igual a zero então nada podemos afirmar Derivadas parciais de segunda ordem 2 fx2 2 2 fy2 2 12y2 2 fxy 2 fyx 0 Determinante da Matriz Hessiana H 2 0 0 212y2 2 2 12y2 4 24y2 Para o ponto 00 H 4 Ponto de Sela logo não é nem máximo nem mínimo local e portanto também não é global por não ser um ponto da fronteira de x2 4y2 10 Para o ponto 0 12 H 4 242 8 2 fx2 2 0 Ponto de máximo local Calculando f0 12 14 Para o ponto 0 12 H 4 242 8 2 fx2 2 0 Ponto de máximo local Calculando f0 12 14 EXERCÍCIOS Exercícios 1 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de fxy 3x 2y4 Exercícios 2 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de fxy xe3y Exercícios 3 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de y x y x fxy Exercícios 4 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de y2 x2 ln x z Exercícios 5 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de 3yz xy z 2 3 fxy z Exercícios 6 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de 3z 2y ln x w Exercícios 7 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de xetsen u Exercícios 8 Determine a derivada parcial indicada 34 y2 x 2 f x fxy Exercícios 9 Determine a derivada parcial indicada 3 12 z y x zf fxy z Exercícios 10 Determine as derivadas parciais de 2a ordem de 3x2y3 x4 fxy Exercícios 11 Determine as derivadas parciais de 2a ordem de y x x z Exercícios 12 Determine as derivadas parciais de 2a ordem de u essent Exercícios 13 Determine a derivada parcial indicada xxx 2 f x fxy 2x y y 4 3 Exercícios 14 Determine a derivada parcial indicada fxyz fxy z 2 3 4 4 5 yz x y z x Exercícios 15 Determine as derivadas parciais indicadas x y z 2 3 xseny z Exercícios 16 Determine as derivadas parciais indicadas y z x u 3z 3 3 2 2y ln x u Exercícios 17 Determine e classifique os pontos críticos da função 2 y² 3xy x³ x y f Exercícios 18 Determine e classifique os pontos críticos da função 4 12y 6y 18x 8x 3x x y f 2 2 3 4 Respostas xe cos xe sen sen e 3z 2y x 3 3z 2y x 2 3z 2y x 1 6 3y 3xy z 3z 2xyz y z 5 y x x y x y y x 1 4 y x 2x x y y x 2y x y 3 3xe e 2 8y x y 3 x y 1 t t t 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3y y 3 3 u t u x u 7 z w y w x w f f f x z x z f f z z f f z y x y x y x y x 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 xyz xxx s ts st s tt s ss 3 yx xy 3 yy 3 xx 2 yx xy 2 yy 3 2 xx z x 3z 2y x 72yz y z x u 16 seny x y z 15 48x y z f 14 48xy f 13 e cost u e sent u e sent u u 12 y x y x z z y x 2x z y x 2y z 11 18xy f 18x y f 6y f 12x f 10 3 1 f 321 9 5 3 f 34 8 P1117 é ponto de mínimo P31145 é ponto de mínimo 10 é ponto de sela 18P01 P 32925916 é ponto de mínimo 17 P002 é ponto de sela