Analise-de-Funcao-Exponencial-Calculo-de-Derivadas-e-Pontos-Criticos

Descrever detalhadamente conforme a solicitação do roteiro divididos por letras Função exponencial Uma função foi especificada para o desenho do contorno de um sacarolhas estilizado mathbbR i x mapsto hxfrac120 cdot x24 cdot x 1 cdot ex Em um desenho fora de escala a função é representada em linha cheia na cor azul Em linha fraca é representado o espelhamento do gráfico para se obter uma ideia do objeto Com relação à função h preciso avaliar as taxas de crescimento e decrescimento da função a Obter a derivada da função h e as suas raízes b Identificar na figura os pontos críticos e determinar as suas coordenadas exatas c Apresentar o conjunto imagem da função h d Desenhar a reta tangente ao gráfico da função h no ponto E e escrever sua equação e Determinar as coordenadas exatas do ponto B 3 a hx frac180 cdot 2x3 9x2 24x 99 Rightarrow fracdhdx fracddx leftfrac180 2x3 9x2 24x 99right fracdhdx frac180 cdot 2 cdot 3 x2 9 cdot 2 x 24 cdot 1 0 boxedfracdhdx frac180 6x2 18x 24 b fracdhdx Rightarrow 6x2 18x 24 Rightarrow div 6 Rightarrow x2 3x 4 0 x 4x 1 Rightarrow x 4 0 quad ou quad x 1 0 boxedx 4 quad boxedx 1 Ainda h4 frac180 cdot 2 cdot 43 9 cdot 42 24 cdot 4 99 h4 frac180 cdot 2 cdot 64 9 cdot 16 96 99 h4 frac180 128 144 3 boxedh4 frac1380 h1 frac180 cdot 2 cdot 13 9 cdot 12 24 cdot 1 99 h1 frac180 cdot 2 9 24 99 h1 frac11280 Rightarrow frac112 div 1680 div 16 boxedh1 frac75 c Temos d2hdx2 180 6 2x 18 1 0 d2hdx2 180 12x 18 Assim d2hdx2 4 180 12 4 18 180 48 18 d2hdx2 4 3080 38 e d2hdx2 1 180 12 1 18 180 30 d2hdx2 1 38 Como d2hdx2 4 0 x 4 é ponto de mínimo local e sendo d2hdx2 1 0 x 1 é ponto de máximo local d h0 180 2 03 9 02 24 0 99 9980 logo h intercepta o eixo y em 0 9980 e Raízes hx 0 2x3 9x2 24x 99 0 As possíveis raízes racionais de h são da forma mn onde m são os divisores de 99 e n de 2 D99 1 3 9 11 33 99 D2 1 2 mn 1 12 3 32 9 92 11 112 33 332 99 992 Para x 3 temos 2 33 9 32 24 3 99 2 27 9 9 72 99 54 81 72 99 27 27 0 logo x 3 é raiz de h Por Briot Ruffini 2 9 24 99 3 2 3 33 0 as outras raízes de h são solução da equação 2x2 3x 33 0 x 3 32 4 2 33 2 2 3 9 264 4 x 3 293 4 Neste modo h intercepta o eixo x em 30 3 2734 0 3 2734 0 f O sinal de h é de x 1 a 4 logo h é crescente em x 1 ou x 4 e h é decrescente para 1 x 4 g Temse lim x hx lim x 180 2x³ 9x² 24x 99 lim x 180 x³ 2 9x 24x² 99x³ lim x 180 2x³ e analogamente lim x hx lim x 180 x³ 2 9x 24x² 99x³ lim x 2x³80 h 4 a Pela regla do produto hx 120 x2 4x 1 ex x2 4x 1ex hx 120 2x 4 ex x2 4x 1 ex hx 120 2x 4 x2 4x 1 ex hx 120 x2 2x 3 ex Como ex 0 x R entao hx 0 se x2 2x 3 0 x 3x 1 0 x 3 0 ou x 1 0 x 3 x 1 b Pela imagem C corresponde ao ponto crítico x 1 enquanto que o ponto D ao x 3 Como h1 120 12 4 1 1 e1 120 1 4 1 e1 h1 120 6 e1 3 e110 C 1 3 e110 e h3 120 32 4 3 1 e3 120 9 12 1 e3 220 e3 h3 e310 D 3 e310 Pelo gráfico D é mínimo global logo Imh e320 No ponto E sua abcissa vale 0 assim h0 120 0² 40 1 e⁰ 120 0 0 1 1 h0 120 Além disso h0 120 60² 20 3 e⁰ 320 Logo a equação da reta tangente a h em E é y 120 320 x 0 y 120 3x20 y 3x20 120 y 3x20 120 e As raízes de h são hx0 x² 4x 1 0 pois ex 0 x ℝ Portanto x 4 4² 4 1 1 2 1 4 16 4 2 x 4 2 2 4 23 2 2 3 Pelo gráfico B 2 3 0