Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo para Engenharia - Limites e Derivadas

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 Disciplina CÁLCULO PARA ENGENHARIA Professora CLAUDIA JULIATO ARAUJO Graduandoa Curso ORIENTAÇÃO IMPRIMA O TRABALHO DEIXANDO ESPAÇO ENTRE UMA QUESTÃO E OUTRA RESOLVA E ENTREGUE NO DIA DA PROVA Calcule os seguintes limites 1 2 3 4 5 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 6 7 8 9 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 10 11 lim x 0 x 2sen x x 12 lim x2 x 44 x1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 13 lim x 0 tg4 x x 14 lim x 2 x ³8 x2 15 lim x 100 x 25 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 16 lim x 2 x 2x2 2 x 2x6 17 lim x2 x 44 x1 18 lim x x 5x 41 2x 5x1 19 lim x 3x 15 20 lim x 0 x42 2 x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 21 lim x 3 x 327 x3 22 lim x10 x10 x 2100 23 lim x1 x24 x3 x31 24 lim x 1 x33 x26 x4 x34 x28 x5 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 25 lim x 2 x42x35 x212 x4 2 x47 x32 x212 x8 26 lim x3x 45 x28 27 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 Calcular a derivada primeira das seguintes funções 28 Y 5x² 3x 7 29 Fx 53x³ 72x² 8x 3 30 Y m 31 Y 3x 15 32 Y 4x³3 x 2e CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 33 Y 3z² 1z 34 y x1 x1 35 y3 z 2e 2 z 36 y 1 z 14 π z CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 37 y 3x 962e 13 38 y1x4 x x 39 y1t 1t ² 1 40 k x 1 x 4x 21 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 41 Y 2XX³ 42 g t 6t5 43 h t 1 6t 5 44 f z 37 z 24 z3 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 45 f w 53w 2 46 g x 6 3 x 21 4 47 h x 3 x 21 4 6 48 y x² 8 x1 x 4 49 f r CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 h z z 2151 5 50 g x 53 x2 4 51 P x xx 1 2 52 r s 8s 24 19 3 4 53 g w w1w3 w1w3 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 54 F x x 61 53 x2 3 55 k z z 2z 29 1 2 1 2 56 k s2s 23s19 s1 4 57 p x 2x 43 x 21 x 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 58 f x 6x 25 x 2 3 x 2 59 f t 5t 27 t 22 60 f w 2w5 7w9 61 s t t 2t1 34t9 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 62 g r 1cos 2r 63 f x x 2cotg2 x 64 h x secxtgx 5 65 g t 3t 2 3t5 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 66 f x x 2 x 24 x8 67 p x 1 1 x 1 x 2 1 x 3 68 k s3s 4 69 h x 5 x4 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 70 s x 3 x1 2 71 k x senx 22 72 Ftcos43t 73 h x cos 53 x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 74 g x sen 4 x 3 75 f x1 2 sen x23 x 76 y 1 2 ln 2 x 77 ye t 2t 25t CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 78 ylog3 s1 79 f x5 x263 x13 80 g z cotgz 32 z 81 y 5 3 ln x 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 82 ft 3t4 6t7 3 83 y e x 2 x 34 x 84 fx 2x 3x1 3 85 fx 2 3 cosx 34 x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 2 3 cosx 34 x 86 fz ln z1 e z 87 y log 2 33 x2 88 y 1 x 2 1 x 1 3 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 89 ye x1 x1 90 y e xe x e xe x 91 y lnx e x 92 Y 3 x8 5x 3 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 93 f x cos x sen x 94 f t t 28 t2 Determine os pontos de mínimo e máximo das funções 95 fx 3x²12x5 03 96 fx x³3x1 03 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 97 fx 2x³3x²4 21 98fx 9x² 12 Aplicando a regra de LHopital encontre os seguintes limites 99 lim x 1 lnx x1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 100 lim x e x x 2 101 lim x 0 tgxx x 3 102 lim x 0 1cos x xx ² 103 lim x 0 x ln x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 104 lim x 8 x 264 x8 105 A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento sft 11t onde t é medido em segundos e s em metros Encontre a velocidade após 2 segundos 106 Uma caixa sem tampa será construída recortandose pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho que mede 12 X 12 cm e dobrandse os lados para cima Que tamanhos os quadrados das bordas devem ter para que a caixa tenha capacidade máxima 107 O custo da produção de x onças 1 libra 12 onças de ouro provenientes de uma nova mina é Cfx dólares CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 a Qual o significado da derivada fx quais são suas unidades b O que significa f80017 c Você acha que os valores de fx irão crescer ou decrescer a curto prazo E a longo prazo 108 Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto Ele não precisa de cerca ao longo do rio Quais são as dimensões do campo que tem maior área 109 Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata 110 Certo corpo movimentase segundo a função horária xt 2t3 4t2 5 sendo x dimensionado em metros e t em segundos Com base nessa informação determine a velocidade instantánea CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 111 Encontre os máximos e mínimos relativos da função fx x3 3x2 24x 32 112 Não existe nada que prove ao se tomar sucessivamente derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias que as funções derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio Conforme a afirmativa determine as derivadas de todas as ordem da função polinomial fx3x5 2 x4 5x² 2x 8 113 Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um naviotanque se espalhe em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 péss Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 50 pés 114 Um Engenheiro está projetando uma lata de refrigerante com a forma de um cilindro circular reto Esse recipiente deve conter 330 ml Determine as dimensões para as quais a quantidade de material usada seja a menor possível CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 115 Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 mseg A pedra atinge uma altura de st 160t 16t2 após t segundos e S trajetória em metros Encontre para qualquer instante t a velocidade da pedra e a altura máxima atingida pela pedra 116 Podemos aplicar o desenvolvimento de técnicas com o uso de derivadas sucessivas fazendo uma interpretação da segunda derivada mostrando aplicações na Física e Economia por exemploSeja s 2t 3t² para t 0 a equação do movimento de uma partícula P com s em metros e t em segundos Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando t 5 segundos 117 Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical Se a base da escada desliza afastandose da parede a uma taxa de 1ms quão rápido o topo da escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 118 Uma partícula se desloca para cima e para a direita ao longo de uma curva ylnx Sua abcissa aumenta as uma taxa de dxdtx ms A que taxa a ordenada varia no ponto e²3 119 O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3s Quão rápido o raio do balão esta crescendo quando o diâmetro for 50 cm 120 Despejase areia sobre o chão fazendo um monte que tem a cada instante a forma de um cone com diâmetro de base igual à altura Quando a altura do monte é de 3 m a taxa de variação com que a areia é despejada é de 001 m³ min Qual a taxa de variação da altura do monte quando esta for de 3 m 121 Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado Determinar a A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 25 para 3 m b A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m 122 Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l 2 t² onde a variável t representa o tempo Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 123 Acumulase areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3h a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m 124 Uma lâmpada é colocada em um poste que está a 5m de altura Se um homem de 2m de altura caminha afastandose do poste à razão de 5ms a com que velocidade se alonga a sombra b a que razão se move a extremidade do homem 125 Dada a equação y 3 x 5 e dydt 1 calcule dxdt quando x 0 126 A derivada da função y ln x³x em relação a variavel x no ponto x 1 è CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 127 Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade de 40ms num local em que g10ms² tem posição s em função do tempo t dada pela função horaria st 40t 5t² com t pertencente ao intervalo de 08 Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima do solo 128 Um tanque com tampa em formato de cilindro tem um volume de 250 m³ Se o raio da base do cilindro é r perguntase qual é a altura h desse tanque para que seja mínima sua área total 129 Em certo planeta o espaço percorrido por qualquer objeto pode ser descrito pela função horária xt 20 5t² 2t sendo o espaço em metros e o tempo em segundos Determine a função horária que descreve a velocidade para este tipo de função 130 Dentre todos os retângulos de perímetro 32 cm determine as dimensões que tem área máxima CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 131 Em uma partida de futebol um jogador fez um lançamento e a bola descreveu uma parábola dada por y 6x 4x² Qual foi a altura máxima em metros que a bola atingiu 132 Uma torneira lança água em um tanque O volume V litros de água no tanque no instante t minutos é dado por Vt 3t² 20t Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante 10 min 133 Sabese que o lucro L de uma empresa é uma função da quantidade q de bens vendidos de acordo com a expressão Lq 100q 2q² Dado que a quantidade de bens vendidos é uma função do tempo t calcule a variação do lucro em relação ao tempo para q 20 peças dado que a variação da quantidade em relação em tempo é igual a 20 peçasmês para q 20 peças 134 Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por st t³ 6t² 9t 5 Em quais instantes o corpo estará estacionário CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 135 Após várias experiências em laboratório observouse que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função y 12x 2x² em que x é o tempo decorrido em horas após a ingestão do antibiótico Nessas condições determine o tempo necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de concentração no sangue dessas cobaias 136 Uma torneira lança água em um tanque O volume V litros de água no tanque no instante t minutos é dado por Vt 3t² 20t Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante 10 min 137 Uma indústria de calçados fabrica um certo tipo de sandálias de c ouro Após observação porparte do departamento de vendas conclui se que o lucro de produção de x unidades deste produto é descrito pela função fx 6x 3x 67 Para que a fábrica obtenha lucro máximo nas vendas das sandálias qual deve ser o total unidades a ser vendido CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 138 Certo corpo desenvolve movimentase segundo a função horária xt 2 t³ 4t² 5 sendo x dimensionado em metros e t em segundos Com base nessa informação determine a velocidade instantânea sabendo se que vt dxdt 139 O custo diário de uma indústria de aparelhos celulares é dado pela funçã o Cx 4x²32x9500 onde Cx é o custo em reais e x é o numero de unidades fabricadas Quantos aparelhos celulares devem ser fabricados diariamente a fim de que o custo seja mínimo 140 Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peixe s em cativeiro de base retangular que está na margem de um rio reto com 100m de largura A margem será um dos lados do criadouro não sendo necessário colocar rede ao longo desta margem e pretendese que o criadouro tenha a maior área possível Quais devem ser as dimensões 141 Se daqui a 𝑡 anos o número 𝑁 de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por 𝑁𝑡 10𝑡² 30𝑡 15000 determine A o número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade B a taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 142 Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete seu raio decresce a uma taxa constante A bola começa a derreter quando t 0 horas e leva 12 horas para desaparecer A taxa de variação do volume da bola quando t 6 horas é dada por 143 Pretendese estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio 3000m rio abaixo O custo para estender um cabo pelo rio é de R 500 o metro enquanto que para estendêlo por terra custa R 400 o metro Qual é o custo mínimo para essa operação Questões 40 até 97 Derivada 1ª 40 kx 1x4 x2 1 x4 x2 11 μ x4 x2 1 dkdx dduu1 dudx 1u2 ddx x4 x2 1 4x3 2x 0 1u2 dkdx 4x3 2xx4 x2 12 41 yx 2xx3 2x2 2x2 dydx 2 ddx x2 22x3 4x3 42 gt 6t5 6t512 u12 μ 6t 5 dgdt ddt u12 ddt 6t5 12 6t512 6 36t 512 12 u12 61 0 dgdt 36t5 43 ht 16t5 6t512 μ 6t 5 dhdt ddu μ12 ddt 6t5 126t532 6 12 μ32 61 0 dhdt 36t532 44 fz 7z2 4z 3 7z2 4z 313 μ 7z2 4z 3 dfdz dduu13 ddz 7z2 4z 3 13 7z2 4z 323 x 13 u23 7 2z 41 0 dfdz 14z 4 37z2 4z 323 45 fw 53w2 3w215 315 w215 315 w25 dfdw 315 ddw w25 315 25 w35 25 315 w35 dfdw 2315 5 w35 25 3 w3 15 46 gx 63x214 63x214 μ 3x21 dgdx 6 dμ4du d3x21dx 4μ5 32x 0 6x dgdx 6 4 3x21 5 6x 6 4 6 144 dgdx 144x3x215 47 hx 3x2146 μ 3x21 dhdx 16 dμ4du d3x21dx 16 43x213 6x 4μ3 6x 0 dhdx 4x 3x213 48 y x28 x 1x4 μ x28 x 1x x28 x x1 dydx ddμ μ4 ddx x28 x x1 4μ3 2x8 1 1 x2 dydx 4 x28 x 1x3 x4 1 1x2 49 fr r2 r22 mu r2 r2 dfdr ddu mu2 ddr r2 r2 2 mu3 2r 2 r3 dfdr 2r2 r23 2r 2r3 dfdr 22r 2r3 r2 r23 4r 4r3 r2 r23 50 gx 5th root3x 24 3x 245 M 3x 2 dgdx ddu mu45 ddx 3x 2 45 3 3x 215 45 mu15 3u 0 3 dgdx 12 5 3x 215 12 5 5th root3x 2 Ema função estava perdida entre 49 e 50 Vou resolver aqui hz z2 15 15 mu z2 15 1 v z2 1 mu v5 1 dhdz ddu mu5 ddv v5 1 ddz z2 1 dhdz 5z2 15 14 5z2 14 2z 50z2 15 14 z2 14 z 51 Px x x12 mu x x1 dPdx ddu mu2 ddx x x1 2 x x1 1 x2 2u 1 1 x2 52 rs 8s2 4 1 g34 1 1 g34 8s2 44 mu 8s2 4 drds ddu mu4 dds 8s2 4 1 1 g34 4 mu3 82s 0 drds 1 1 g34 4 8s2 4 16s 64s 8s2 4 1 g34 53 gw w 1w 3 w 1w 3 fw hw dgdw dtdw h f dhdw h2 dtdw ddw w 1 w 3 w 1 ddw w 3 1w 3 w 11 2w 4 dhdw ddw w 1 w 3 w 1 ddw w 3 1w 3 w 11 2w 4 dgdw 2w 4 w 1w 3 w 1w 32w 4 w 1w 32 2w 4w2 4w 3 2w 4w2 4w 3 w 1w 32 2w3 8w2 6w 4w2 16w 12 2w3 8w2 6w 16w 12 w 12 w 32 dgdw 8w2 24 w 12 w 32 Fx x6 15 3x 23 gx hx dFdx dgdx h g dhdx dgdx ddu u5 ddx x6 1 5u4 6x5 5 x6 14 6x5 30 x6 14 x5 dhdx ddu u3 ddx 3x 2 3u2 3 3 3x 22 3 9 3x 22 dFdx 30 x6 14 x5 3x 23 x6 15 9 3x 22 x6 14 3x 22 30x5 3x 2 9x6 1 x6 14 3x 22 99x6 60x5 9 kz z2 z2 91212 u z2 z2 912 dkdz ddu u12 ddz z2 z2 912 12 u12 2z 12 u12 2z dkdz 12 z2 z2 91212 2z z2 912 2z dkdz 2z z2 912 z 2z2 z2 91212 Multiplica em cima e embaixo por z2 912 dkdz 2z z2 912 z 2 z2 912 z2 z2 91212 ks 2s2 3s 19s 14 dkds dds 2s2 3s 19s 14 dds 2s2 3s 1 9s 14 2s2 3s 1 dds 9s 14 4s 3 9s 14 2s2 3s 1 36 9s 13 9s 13 4s 39s 1 36 2s2 3s 1 9s 13 108s2 139s 39 px 2x4 3x2 1 x2 2x2 3 1x2 2x2 3 x2 dpdx 2 ddx x2 3 ddx 1 ddx x2 2 2x 0 2 x3 4x 2 x3 4x 2x3 58 6x2 5x 2cuberootx2 fx 6x2 5x1 2x23 dfdx 6 ddxx2 5 ddxx1 2 ddxx23 2x x2 23 x53 dfdx 12x 5x2 43 x53 dfdx 12x 5x2 43 cuberootx5 59 ft 5t2 7 t2 2 gt ht dgdt g dhdt h dfdt g h g h h2 g ddt 5t2 7 5 2t 0 10t h ddt t2 2 2t 0 2t dfdt 10t t2 2 5t2 72t t2 22 dfdt 10t3 20t 10t3 14t t2 22 34t t2 22 60 fw sqrt2w57w9 2w57w912 u 2w57w9 dfdw ddu u12 ddw 2w57w9 12 u12 ddw 2w57w9 2w5 ddw 7w9 7w92 27w9 2w57 7w92 14w 18 14w 35 7w92 53 7w92 dfdw 12 2w57w912 537w92 532 2w512 7w9212 532 2w512 7w932 53 2 sqrt7w93 2w5 61 st sqrtt2 t 1 cuberoot4t9 t2 t 112 4t913 gt ht dsdt dgdt h g dhdt dgdt ddu u12 ddt t2 t 1 12 u122t 1 2t1 2 t2 t 112 dhdt ddv v13 ddt 4t9 13 v234 43 14t923 dsdt 2t12 t2 t 112 4t913 t2 t 112 4314t923 2t1 34t9 2 sqrtt2 t 1 43 sqrtt2 t 1 cuberoot4t92 62 gr sqrt1 cos2r 1 cos2r12 u 1 cos2r dgdr ddu u12 ddr 1 cos2r 12 1 cos2r12 2 sin2r 12 u12 0 sin2r ddr 2r 2 dgdr sin2r 1 cos2r12 63 fx x2 cotg2x x2 cos2xsin2x hx gx dfdx dhdx g h dgdx 2x cotg 2x x2 ddx cos2xsin2x ddx cos2xsin2x ddx cos2x sin2x cos2x ddx sin2xsin22x 2 sin2x sin2x cos2x 2 cos2xsin22x 2 sin22x cos22xsin22x 21sin22x 2sin22x dfdx 2x cos2xsin2x 2x2 1sin22x 2xsin2x cos2x xsin2x 64 hx secx tgx5 sec 1cosx tgx sinxcosx dhdx dduu5 ddxsecx tgx u secx tgx 5u4 ddx1cosx ddxsinxcosx ddx cosx1 1cosx2 ddx cosx 1cosx2 sinx sinxcosx cosx secx tgx ddx sinxcosx ddx gxfx g f g ff2 cosx cosx sinx sinxcos2x 1cos2x sec2x g cosx f sinx dhdx 5 secx tgx4 secx tgx sec2x 5 secx secx tgx4 tgx secx secx tgx5 5 secx secx tgx5 65 gt 3t23 3t5 t233t5 dgdt ddt t23 3t5 t23 ddt 3t5 3t52 23 t13 3t5 t23 3 3t52 Multiplicamos em cima e embaixo por 3t13 dgdt 2 3t5 9 t2313 3 t13 3t52 2 3t5 9 3 t13 3t52 6t 10 9 3 t13 3t52 dgdt 6t 19 3 t13 3t52 66 fx sqrtx 2x2 4x 8 x12 2x2 4x 8 dfdx ddxx12 2x2 4x 8 x12 ddx2x2 4x 8 2x2 4x 82 12 x12 2x2 4x 8 x12 4x 4 2x2 4x 82 x12 22 x2 42 x 82 x12 4 x 1 2 x2 2x 42 x12 x2 2x 4 4 x 1 x12 4 x2 2x 42 Multiplica em cima e embaixo por x12 dfdx x2 2x 4 4 x 1 x 4 x12 x2 2x 42 x2 2x 4 4 x2 4 4x 4 sqrtx x2 2x 42 3x2 2x 8 4 sqrtx x2 2x 42 67 px 1 1x 1x2 1x3 1 x1 x2 x3 dpdx ddx1 ddxx1 ddxx2 ddxx3 0 x2 2x3 3x4 dpdx 1x2 2x3 3x4 68 ks 3s4 34 s4 dkds 34 dds s4 134 4 s5 dkds 434 1s5 481 s5 69 hx 5x 42 u 5x 4 dhdx dduu2 ddx5x 4 2u 5 10 5x 4 2u s dhdx 50x 40 70 Sx 3x 12 u 3x 1 dSdx dduu2 ddx3x 1 2u3 3 6 3x 13 6 3x 13 71 kx sinx2 2 u x2 2 dkdx ddusinu ddxx2 2 cosx2 2 2x cosu 2x dkdx 2x cosx2 2 72 Ft cos4 3t u 4 3t dFdt dducosu ddt4 3t 3sin4 3t sinu 3 dFdt 3 sin4 3t 73 hx cos53x u cos3x dhdx dduu5 ddxcos3x 5 cos43x sin3x 3 5u4 sin3x 3 dhdx 5 cos43x 3 sin3x 15 cos43x sin3x 74 gx sin4x3 u sinx3 dgdx ddu u4 ddx sinx3 4u3 cosx3 ddx x3 3x2 cosx3 dgdx 4 sin3x3 cos x3 3x2 dgdx 12 x2 sin3x3 cosx3 75 fx 12 sin x2 3x u x2 3x dfdx 12 ddu sinu ddx x2 3x 12 cos x2 3x 2x 3 dfdx 12 2x 3 cosx2 3x 76 y 12ln2x Propriedade dos exponentes ab eblna a 12 y eln2xln12 u ln2x ln12 dydx ddu eu ddx ln2x ln12 eu ln12 ddx ln2x ln12 12x ddx 2x dydx eln2x ln12 ln2x 12lnx ln2x ln12 ln1 ln2 0 77 y e12 t2 5t dydt e12 ddt t2 5 ddt t e12 2t 5 78 y log3 sqrt5t 1 log3 5t 112 logab lnblna y ln 5t 112 ln3 u 5t112 dyds 1ln3 ddu lnu dds 5t 112 1u 12 5t 112 dds s 1 dyds 1ln3 15t 112 12 5t 112 12 ln3 5t 112 5t 112 12 ln35t 1 dyds 12 ln35t 1 79 fx 5x 26 3x 13 h g dfdx h g h g 30 5x 25 3x 13 5x 26 g 3x 12 h 6 5x 25 5 30 5x 25 g 33x 12 3 93x 12 dfdx 5x 25 3x 12 303x 1 95x 2 135x 48 dfdx 5x 25 3x 12 135x 48 80 gz cotg z3 2z ja calculamos é igual a dgdz ddu cotgu ddz z3 2z u z3 2z 1 sin2u 1 sin2u 3z2 2 1sinx cossecx cossec2 z3 2z 3z2 2 81 y 53lnx2 53lnx2 elnx2 ln53 u lnx2 ln53 dydx ddu eu ddx lnx2 ln53 eu ln53 ddx lnx2 elnx2 ln53 2x 1x2 ddx 1x2 2x 2x dydx ln53 2x elnx2 ln53 dydx 2x ln53 53lnx2 82 ft 3t46t73 u 3t46t7 dfdt ddu u3 ddt 3t46t7 3 ddt 3t4 6t7 3t4 ddt 6t7 6t72 dfdt 3 3t46t72 456t72 dfdt 135 3t42 6t74 36t7 3t4 6 6t72 18t 21 18t 24 6t72 456t72 83 y ex2 x3 4x dydx ddx ex2 x3 4x ex2 ddx x3 4x u x2 ddu eu ddx x2 ex2 12 dydx 12 ex2 x3 4x ex2 3x2 4 ex2 12 x3 4x 3x2 4 84 fx 2x 3x 13 2x12 3x 13 212 x12 3x 13 dfdx 212 ddx x12 3x 13 x12 ddx 3x 13 212 12 x12 3x 13 9x12 3x 12 3 3x 12 ddx 3x 1 3 3x 12 3 2122 1212 12 dfdx 3x 13 2x 92x 3x 12 85 fx 23 cosx3 4x u x3 4x dfdx 23 dcosudu dx3 4xdx 23 sinu 3x2 4 23 sinx3 4x 3x2 4 23 3x2 4 sinx3 4x 86 fz lnz1ez u z1ez dfdz ddu lnu ddz z1ez 1u z1ez zez zz1 ddz z1 ez z1 ddz ez ez2 1ez z1 ez ez2 ez 1 z 1 ez ez 87 y log2 33x 2 log2 3x 213 ln 3x 213 ln 2 loga b ln b ln a dydx 1 ln 2 ddu ln μ ddx 3x 213 μ 3x 213 1μ 13 3x 223 ddx 3x 2 13x 223 dydx 1 ln 2 33x 2 3x 223 3x 213 3x 223 3x 21 dydx 1 ln 2 3x 2 88 y x2 x1 13 μ x2 x1 1 dydx ddu μ3 ddx x2 x1 1 3u2 2x3 x2 0 dydx 3 1x2 1x 12 2x3 1x2 6x3 3x2 1x2 1x 12 89 y ex1x1 μ x1x1 dydx ddu eμ ddx x1x1 eμ 2x12 2ex1x1x12 ddx x1 x1 ddx x1 x1 x12 1x1 1x1 x12 2x12 90 y ex ex ex ex dydx ddx ex ex ex ex ex ex ddx ex ex ex ex2 ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex2 ex e1 e0 e2x ex e0 e0 e2x ex ex2 dydx 4 ex ex2 91 y lnx ex12 μ lnx ex dydx ddu μ12 ddx lnx ex 12 μ12 ddx lnx ex lnx ddx ex ex2 1x ex lnx ex ex2 1x lnx ex dydx 12 lnx ex12 1x lnx ex multiplicamos em cima e embaixo por x dydx 12 lnx12 ex12 1 x lnx x ex ex2 x ex2 12 lnx12 1 x lnx x ex2 1 x lnx 2 ex2 x lnx12 92 y 3x 8 5 x3 μ 3x 8 5 x dy dx d du μ3 d dx 3x 8 5 x 3μ4 d dx 3x 85 x 3x 8 d dx 5 x 5 x2 35 x 3x 81 5 x2 dy dx 3 3x 8 5 x4 23 5 x2 15 3x 3x 8 5 x2 dy dx 69 x 52 3x 84 93 fx cosx sinx df dx d dx cosx sinx cosx d dx sinx sin2x sinx sinx cosx cosx sin2x cos2x sin2x sin2x 1 sin2x cosec2x 94 ft t2 8 t 2 t2 8 t 212 μ t2 8 t 2 df dt d du μ12 d dt t2 8 t 2 12 μ12 d dt t2 8 t 2 t2 8 d dt t 2 t 22 2t t 2 t2 8 1 t 22 2t2 4t t2 8 t 22 df dt 12 t2 8 t 212 t2 4t 8 t 22 t2 4t 8 2 t2 812 t 232 Maximos e minimos 95 fx 3x2 12x 5 0 3 df dx d dx 3x2 12x 5 6x 12 0 6x 12 x 12 6 2 Ponto critico x 2 Fronteira x 0 x 3 f2 3 22 12 2 5 12 24 5 7 f0 302 120 5 5 f3 332 123 5 27 36 5 4 d2f dx2 d dx 6x 12 6 0 d2f dx2 2 6 0 e um minimo minimo Absoluto maximo absoluto fx x3 3x 1 03 dfdx 3x2 3 0 3x2 3 x2 33 1 x 1 x 1 esta fora do intervalo Analisaremos x 1 0 3 f1 1 3 1 1 minimo absoluto f0 0 0 1 1 f3 33 33 1 27 9 1 19 maximo absoluto d2fdx2 ddx 3x2 3 6x em x 2 d2fdx2 x2 12 0 x 2 é um mínimo fx 2x3 3x2 4 21 dfdx 6x2 6x 0 0 6x2 6x 0 x 1 Analisaremos x 2 1 1 f2 223 322 4 16 12 4 0 minimo absoluto f1 213 31 4 2 3 4 5 maximo local f1 213 312 4 2 3 4 9 maximo absoluto d2fdx2 x1 12x 6x1 12 6 6 0 é um máximo Questões 40 ate 97 Derivada 1ª 40 kx 1x4 x2 1 x4 x2 11 u x4 x2 1 dkdx dduu1 dudx 1u2 ddxx4 x2 1 1u2 4x3 2x dkdx 4x3 2x x4 x2 12 41 yx 2xx3 2x2 2x2 dydx 2 ddxx2 22x3 4x3 42 gt sqrt6t 5 6t 512 u12 u 6t 5 dgdt ddtu12 126t 512 6 36t 512 3 sqrt6t 5 43 ht 16t5 6t512 μ 6t5 dhdt ddu μ12 ddt 6t5 12 6t532 6 12 μ32 dhdt 36t532 44 fz ³7z² 4z 3 7z² 4z 313 μ 7z² 4z 3 dfdz ddu μ13 ddz 7z² 4z 3 13 7z² 4z 323 x x14z4 dfdz 14z4 37z² 4z 323 45 fω ⁵3ω² 3ω²15 315 ω²15 315 ω25 dfdω 315 ddωω25 315 25 ω35 25 315 ω35 dfdω 2315 5ω35 25 3ω³15 25 ⁵3ω³ 46 gx 63x²14 63x² 14 μ 3x² 1 dgdx 6 dduμ4 ddx3x² 1 4 μ5 3 2x 0 6x dgdx 6 4 3x² 15 6x 6 4 6 144 dgdx 144x 3x² 15 47 hx 3x² 146 μ 3x² 1 dhdx 16 dduμ4 ddx3x² 1 16 43x² 13 6x dhdx 4x 3x² 13 48 γ x²8 x 1x4 μ x²8 x 1x x²8 x x1 dydx dduμ4 ddx x²8 x x1 4μ³ ddxx²8 x x1 2x8 1 1 x2 dydx 4 x²8 x 1x3 x4 1 1x² 49 fr r² r22 μ r² r2 dfdr dduμ2 ddr r² r2 2 μ3 2r 2r3 dfdr 2r² r23 2r 2r3 dfdr 22r 2r3 r² r23 4r 4r3r² r23 50 gx ⁵3x 24 3x 245 μ 3x 2 dgdx dduμ45 ddx 3x 2 45 3 3x 215 45 μ15 3 1 0 3 dgdx 12 53x 215 12 5 ⁵3x 2 Essa função estava perdida entre 49 e 50 Vou resolver aqui hz z² 15 15 μ z² 15 1 v z² 1 dhdz dduμ5 ddvv5 1 ddzz² 1 μ v5 1 dhdz 5v5 14 5 z² 14 2z 50z² 15 14 z² 14 z S1 Px x x12 μ x x1 dPdx ddu μ2 ddx x x1 2 x x1 1 x2 2μ 1 1 x2 S2 rs 8s2 4 1 g34 1 1 g34 8s2 44 μ 8s2 4 drds ddu μ4 dds 8s2 4 1 1 g34 4μ3 8 2s 0 drds 1 1 g34 4 8s2 4 16 s 64 s 8s2 4 1 g34 S3 gw w 1w 3 w 1w 3 fw hw dgdw dtdw h f dhdw h2 dtdw ddw w 1 w 3 w 1 ddw w 3 1 w 3 w 11 2w 4 dhdw ddw w 1 w 3 w 1 ddw w 3 1 w 3 w 1 1 2w 4 dgdw 2w 4 w 1w 3 w 1w 32w 4 w 1w 32 2w 4w2 4w 3 2w 4w2 4w 3 w 1w 32 2w3 8w2 6w 4w2 16w 12 2w3 8w2 6w 4w2 16w 12 w 12 w 32 dgdw 8w2 24 w 12 w 32 S4 Fx x6 15 3x 23 gx hx dFdx dgdx h g dhdx dgdx ddu u5 ddx x6 1 μ x6 1 v 3x 2 5u4 6x5 6x5 0 5 x6 14 6x5 30 x6 14 x5 dhdx ddv v3 ddx 3x 2 3 1 0 3 3v2 3 9 3x 22 dFdx 30 x6 14 x5 3x 23 x6 15 9 3x 22 x6 14 3x 22 30 x5 3x 2 x6 1 9 x6 14 3x 22 30 x5 3x 2 9 x6 1 x6 14 3x 22 99 x6 60 x5 9 kz z2 z2 g1212 mu z2 z2 g12 dkdz ddz mu12 ddz z2 z2 g12 12 mu12 ddz z2 dduu12 ddz z2 g 2z 12 u12 2z dkdz 12 z2 z2 g1212 2z z2 g12 2z dkdz 2z z2 g12 z 2z2 z2 g1212 Multiplica em cima e embaixo por z2 g12 dkdz 2z z2 g12 z 2 z2 g12 z2 z2 g1212 ks 2s2 3s 1 9s 14 dkds dds 2s2 3s 1 9s 14 2s4 3s 1 dds 9s 14 4s 3 49s 13 9 dkds 4s 39s 14 2s2 3s 1 36 9s 13 9s 13 4s 39s 1 36 2s2 3s 1 72s2 108s 36 36s2 4s 27s 3 dkds 9s 13 108 s2 139 s 39 px 2x4 3x2 1 x2 2x2 3 4x2 2x2 3 x2 dpdx 2 ddx x2 3 ddx 1 ddx x2 2 2 x 0 2 x3 dpdx 4x 2 x3 4x 2x3 6 x2 5x 23x2 fx 6x2 5 x1 2 x23 dfdx 6 ddx x2 5 ddx x1 2 ddx x23 2x x2 23 x53 dfdx 12x 5 x2 43 x5 dfdx 12x 5x2 4 3x5 ft 5t2 7 t2 2 gtht dgdt g1 dhdt h1 dfdt g1 h g h1 h2 g1 ddt 5t2 7 5 2 t 10t h1 ddt t2 2 2t 0 2t dfdt 10t t2 2 5t2 72t t2 22 dfdt 10 t3 20 t 10 t3 14 t t2 22 34 t t2 22 fw sqrt2w57w9 2w57w912 u 2w57w9 dfdw ddu u12 ddu 2w57w9 12 u12 2 7 ddw2w57w9 2w5 ddw7w9 7w92 27w9 2w57 7w92 14w18 14w35 7w92 53 7w92 dfdw 12 2w57w912 53 7w92 532 2w512 7w92 12 5322w512 7w932 532 7w932 2w512 53 2 sqrt7w 93 2w 5 st sqrtt2 t 1 4t 913 t2 t 112 4t 913 gt ht dsdt dgdt h g dhdt dgdt ddu u12 ddt t2 t1 u t2 t 1 12 u12 2t 1 2t1 2 t2 t 112 dhdt ddv v13 ddt 4t 9 v 4t 9 13 v23 4 43 1 4t 923 dsdt 2t1 2 t2 t 112 4t 913 t2 t 112 43 1 4t 923 2t1 3sqrt4t 9 2 sqrtt2 t 1 4 sqrtt2 t 1 3 3sqrt4t 92 fx x2 cotg2x x2 cos2x sin2x hx gx dfdx dhdx g h dgdx 2x cotg2x x2 ddx cos2xsin2x ddx cos2xsin2x ddx cos2x sin2x cos2x ddx sin2x sin22x 2 sin2x sin2x cos2x 2 cos2x sin22x 2 sin22x cos22x sin22x 2 sin22x dfdx 2x cos2x sin2x x2 1sin22x 2x sin2x cos2x x sin2x hx secx tgx5 sec 1cosx tgx sinxcosx dhdx ddu u5 ddx secx tgx u secx tgx 5u4 ddx 1cosx ddx sinxcosx dcosx1dx 1cosx2 ddx cosx 1cosx2 Minx 1cosx sinxcosx secx tgx ddx sinxcosx ddx gxfx gf gff2 cosxcosx sinxsinxcos2x 1cos2x sec2x g cosx f sinx dhdx 5 secx tgx4 secx tgx sec2x 5 secx secx tgx4 tgx secx secx tgx5 5 secx secx tgx5 65 gt 3t23t 5 t233t 5 dgdt ddt t233t 5 t23 ddt 3t 53t 52 23 t13 3t 5 t23 33t 52 multiplicamos em cima e embaixo por 3 t13 dgdt 2 3t 5 9 t23 133 t13 3t 52 2 3t 5 93 t13 3t 52 6t 10 93 t13 3t 52 dgdt 6t 193 t13 3t 52 66 fx x2x2 4x 8 x122x2 4x 8 dfdx ddx x12 2x2 4x 8 x12 ddx 2x2 4x 82x2 4x 82 12 x12 2x2 4x 8 x12 4x 42x2 4x 82 x12 22 x2 42 x 82 x12 4 x 12 x2 4x 82 x12 x2 2x 4 4 x 1 x124 x2 2x 42 multiplica em cima e embaixo por x12 dfdx x2 2x 4 4 x 1 x4 x x2 2x 42 3x2 2x 84 x x2 2x 42 67 px 1 1x 1x2 1x3 1 x1 x2 x3 dpdx ddx 1 ddx x1 ddx x2 ddx x3 0 x2 2 x3 3 x4 dpdx 1x2 2x3 3x4 68 ks 3s4 34 s4 dkds 34 dds s4 134 4 s5 dkds 434 1s5 481 s5 69 hx 5x 42 u 5x 4 dhdx ddu u2 ddx 5x 4 2u 5 10 5x 4 2u 5 dhdx 50x 40 70 sx 3x 12 u 3x 1 dsdx ddu u2 ddx 3x 1 2 u3 3 6 3x 13 2 u3 3 6 3x 13 71 kx sinx2 2 u x2 2 dkdx ddu sinu ddx x2 2 cosx2 2 2x cosu 2x dkdx 2x cosx2 2 72 Ft cos4 3t u 4 3t dFdt ddu cosu ddt 4 3t 3 sin4 3t sinu 3 dFdt 3 sin4 3t 73 hx cos53x u cos3x dhdx ddu u5 ddx cos3x 5 cos43x sin3x 3 5 u4 sin3x 3 dhdx 5 cos43x 3 sin3x 15 cos43x sin3x 74 gx sin4x3 u sinx3 dgdx ddu u4 ddx sinx3 4 u3 cosx3 ddx x3 3 x2 cosx3 dgdx 4 sin3x3 cos x3 3 x2 dgdx 12 x2 sin3x3 cosx3 75 fx 12 sinx2 3x u x2 3x dfdx 12 ddu sinu ddx x2 3x 12 cosx2 3x 2x 3 cosu 2x 3 dfdx 12 2x 3 cosx2 3x 76 y 12ln2x Propriedade dos expoentes ab eb lna a 12 y eln2x ln12 μ ln2x ln12 b ln2x dydx ddu eu ddx ln2x ln12 eu ln12 ddx ln2x ln12 1 2x ddx 2x dydx eln2x ln12 x 12 ln2x ln2 x ln12 ln1 ln2 0 77 γ e12 t2 5t dydt e12ddt t2 5 ddt t e122t 5 78 γ log3s1 log3s112 logab lnb lna γ lns112 ln3 μ s112 dyds 1 ln3 ddulnμ ddss112 1μ 12 s112 dsds 1 dyds 1 ln3 1s112 12 s112 1 2 ln3 s112 s112 1 2 ln3s1 dyds 1 2 ln3s1 79 fx 5x26 3x13 hg dfdx hg hg 305x25 3x13 5x26 9 3x12 h 65x25 5 30 5x25 g 33x12 3 93x12 dtdx 5x25 3x12 303x1 95x2 135x 48 dfdx 5x25 3x12 135x 48 80 gz cotgz3 2z dgdz dducotgu ddzz3 2z 1 sin2u 3z2 2 u z3 2z 1sinx cosecx cosec2z3 2z 3z2 2 81 γ 53 lnx2 53 lnx2 elnx2 ln53 μ lnx2 ln53 dydx ddueu ddxlnx2 ln53 eu ln53 ddxlnx2 elnx2 ln53 2x dydx ln53 2x elnx2 ln53 dydx 2x ln53 53 lnx2 82 ft 3t 4 6t 7 3 μ 3t4 6t7 dfdt dduu3 ddt3t4 6t7 3u2 ddt 3t46t7 ddt 3 ddt3t46t7 3t4 ddt6t7 6t72 dfdt 3 3t 42 45 6t 72 135 3t 42 6t 74 36t7 3t46 6t72 18t 21 18t 24 6t 72 45 6t 72 83 y ex2 x3 4x dydx ddx ex2 x3 4x ex2 ddx x3 4x u x2 ddu eu ddx x2 ex2 12 dydx 12 ex2 x3 4x ex2 3x2 4 ex2 12 x3 4x 3x2 4 84 fx 2x 3x13 2x12 3x13 212 x12 3x13 dtdx 212 ddx x12 3x13 x12 ddx 3x13 12 x12 3 3x 12 ddx 33x 12 3 212 12 x12 3x13 9 x12 3x12 2122 1212 12 dtdx 3x132x 92x 3x12 85 fx 23 cosx3 4x u x3 4x dfdx 23 ddu cosu ddx x3 4x 23 sinu 3x2 4 23 sin x3 4x 3x2 4 23 3x2 4 sin x3 4x 86 fz lnz1ez u z1ez dfdz ddu lnu ddz z1ez 1u ddz z1 ez z1 ddz ezez2 1 ez z1 ez ez2 ez 1z1ez ez 87 y log2 33x2 log2 3x213 ln3x213ln2 loga b lnblna dydx 1ln2 ddu lnu ddx 3x213 u 3x213 1u 13 3x223 ddx 3x2 13x223 dydx 1ln2 ³3x2 3x223 3x213 3x2 3x21 dydx 1ln2 3x2 88 y x2 x1 13 u x2 x1 1 dydx ddu u3 ddx x2 x1 1 3u2 2x3 x2 0 dydx 3 1x2 1x 12 2x3 1x2 6x3 3x2 1x2 1x 12 89 γ ex1x1 μ x1x1 dydx ddu eμ ddx x1x1 eμ 2x12 2ex1x1x12 ddx x1x1 ddx x1x1x12 1x1 1x1x12 x1 x1x12 2x12 90 γ ex exex ex dydx ddx ex exex ex ex ex ddx ex exex ex2 ex exex ex ex exex exex ex2 e2x e0 e0 e2x e2x e0 e0 e2xex ex2 4ex ex2 91 γ lnxex12 μ lnxex dydx ddu μ12 ddx lnxex 12 μ12 dlnxdx ex lnx dexdxex2 1x ex lnx ex ex2 1x lnx ex dydx 12 lnxex12 1x lnxex multiplicamos em cima e embaixo por x dydx 12 lnx12ex12 1 x lnxxex 12 lnx12 1 x lnxx ex2 1 x lnx2 ex2 x lnx12 92 γ 3x85x3 μ 3x85x dydx ddu μ3 ddx 3x85x 3 μ4 ddx 3x85x 3x8 ddx 5x5x2 35x 3x815x2 15 3x 3x 85x2 dydx 3 3x84 5x 235x2 dydx 69 x52 3x 84