Lista de Exercicios Resolucao de Limites e Derivadas Calculo para Engenharia

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 Disciplina CÁLCULO PARA ENGENHARIA Professora CLAUDIA JULIATO ARAUJO Graduandoa Curso ORIENTAÇÃO IMPRIMA O TRABALHO DEIXANDO ESPAÇO ENTRE UMA QUESTÃO E OUTRA RESOLVA E ENTREGUE NO DIA DA PROVA Calcule os seguintes limites 1 2 3 4 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 5 6 7 8 9 10 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 11 lim x 0 x 2sen x x 12 lim x2 x 44 x1 13 lim x 0 tg4 x x 14 lim x 8 x 264 x8 15 lim x 2 x ³8 x2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 16 lim x 100 x 25 17 lim x 2 x 2x2 2 x 2x6 18 lim x2 x 44 x1 19 lim x x 5x 41 2x 5x1 20 lim x 3x 15 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 21 lim x 0 x42 2 x 22 lim x 3 x 327 x3 23 lim x10 x10 x 2100 24 lim x1 x24 x3 x31 25 lim x 1 x33 x26 x4 x34 x28 x5 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 26 lim x 2 x42x35 x212 x4 2 x47 x32 x212 x8 27 lim x3x 45 x28 28 Calcular a derivada primeira das seguintes funções 29 Y 5x² 3x 7 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 30 Fx 53x³ 72x² 8x 3 31 Y m 32 Y 3x 15 33 Y 4x³3 x 2e 34 Y 3z² 1z CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 35 y x1 x1 36 y3 z 2e 2 z 37 y 1 z 14 π z 38 y 3x 962e 13 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 39 y1x4 x x 40 y1t 1t ² 1 41 k x 1 x 4x 21 42 Y 2XX³ CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 43 g t 6t5 44 h t 1 6t 5 45 f z 37 z 24 z3 46 f w 53w 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 47 g x 6 3 x 21 4 48 h x 3 x 21 4 6 49 y x² 8 x1 x 4 50 f r CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 h z z 2151 5 51 g x 53 x2 4 52 P x xx 1 2 53 r s 8s 24 19 3 4 54 g w w1w3 w1w3 55 F x x 61 53 x2 3 56 k z z 2z 29 1 2 1 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 57 k s2s 23s19 s1 4 58 p x 2x 43 x 21 x 2 59 f x 6x 25 x 2 3 x 2 60 f t 5t 27 t 22 61 f w 2w5 7w9 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 62 s t t 2t1 34t9 63 g r 1cos 2r 64 f x x 2cotg2 x 65 h x secxtgx 5 66 g t 3t 2 3t5 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 67 f x x 2 x 24 x8 68 p x 1 1 x 1 x 2 1 x 3 69 k s3s 4 70 h x 5 x4 2 71 s x 3 x1 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 72 k x senx 22 73 Ftcos43t 74 h x cos 53 x 75 g x sen 4 x 3 76 f x1 2 sen x23 x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 77 y 1 2 ln 2 x 78 ye t 2t 25t 79 ylog3 s1 80 f x5 x263 x13 81 g z cotgz 32 z CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 82 y 5 3 ln x 2 83 ft 3t4 6t7 3 84 y e x 2 x 34 x 85 fx 2x 3x1 3 86 fx 2 3 cosx 34 x 2 3 cosx 34 x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 87 fz ln z1 e z 88 y log 2 33 x2 89 y 1 x 2 1 x 1 3 90 ye x1 x1 91 y e xe x e xe x CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 92 y lnx e x 93 Y 3 x8 5x 3 94 f x cos x sen x 95 f t t 28 t2 Determine os pontos de mínimo e máximo das funções 96 fx 3x²12x5 03 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 97 fx x³3x1 03 98 fx 2x³3x²4 21 99fx 9x² 12 Aplicando a regra de LHopital encontre os seguintes limites 100 lim x 1 lnx x1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 101 lim x e x x 2 102 lim x 0 tgxx x 3 103 lim x 0 1cos x xx ² 104 lim x 0 x ln x 105 lim x 8 x 264 x8 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 106 A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento sft 11t onde t é medido em segundos e s em metros Encontre a velocidade após 2 segundos 107 Uma caixa sem tampa será construída recortandose pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho que mede 12 X 12 cm e dobrandose os lados para cima Que tamanhos os quadrados das bordas devem ter para que a caixa tenha capacidade máxima 108 O custo da produção de x onças 1 libra 12 onças de ouro provenientes de uma nova mina é Cfx dólares a Qual o significado da derivada fx quais são suas unidades b O que significa f80017 c Você acha que os valores de fx irão crescer ou decrescer a curto prazo E a longo prazo 109 Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto Ele não CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 precisa de cerca ao longo do rio Quais são as dimensões do campo que tem maior área 110 Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata 111 Certo corpo movimentase segundo a função horária xt 2t3 4t2 5 sendo x dimensionado em metros e t em segundos Com base nessa informação determine a velocidade instantánea 112 Encontre os máximos e mínimos relativos da função fx x3 3x2 24x 32 113 Não existe nada que prove ao se tomar sucessivamente derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias que as funções derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio Conforme a afirmativa determine as derivadas de todas as ordem da função polinomial fx3x5 2 x4 5x² 2x 8 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 114 Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um naviotanque se espalhe em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 péss Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 50 pés 115 Um Engenheiro está projetando uma lata de refrigerante com a forma de um cilindro circular reto Esse recipiente deve conter 330 ml Determine as dimensões para as quais a quantidade de material usada seja a menor possível 116 Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 mseg A pedra atinge uma altura de st 160t 16t2 após t segundos e S trajetória em metros Encontre para qualquer instante t a velocidade da pedra e a altura máxima atingida pela pedra 117 Podemos aplicar o desenvolvimento de técnicas com o uso de derivadas sucessivas fazendo uma interpretação da segunda derivada mostrando aplicações na Física e Economia por exemploSeja s 2t 3t² para t 0 a equação do movimento de uma partícula P com s em metros e t em segundos Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando t 5 segundos 118 Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical Se a base da escada desliza afastandose da parede a uma taxa de 1ms quão rápido o topo da escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 119 Uma partícula se desloca para cima e para a direita ao longo de uma curva ylnx Sua abcissa aumenta as uma taxa de dxdtx ms A que taxa a ordenada varia no ponto e²3 120 O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3s Quão rápido o raio do balão esta crescendo quando o diâmetro for 50 cm 121 Despejase areia sobre o chão fazendo um monte que tem a cada instante a forma de um cone com diâmetro de base igual à altura Quando a altura do monte é de 3 m a taxa de variação com que a areia é despejada é de 001 m³ min Qual a taxa de variação da altura do monte quando esta for de 3 m 122 Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado Determinar a A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 25 para 3 m b A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m 123 Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l 2 t² onde a variável t representa o tempo Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t 2 124 Acumulase areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3h a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 125 Uma lâmpada é colocada em um poste que está a 5m de altura Se um homem de 2m de altura caminha afastandose do poste à razão de 5ms a com que velocidade se alonga a sombra b a que razão se move a extremidade do homem 126 Dada a equação y 3 x 5 e dydt 1 calcule dxdt quando x 0 127 A derivada da função y ln x³x em relação a variavel x no ponto x 1 è 128 Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade de 40ms num local em que g10ms² tem posição s em função do tempo t dada pela função horaria st 40t 5t² com t pertencente ao intervalo de 08 Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima do solo 129 Um tanque com tampa em formato de cilindro tem um volume de 250 m³ Se o raio da base do cilindro é r perguntase qual é a altura h desse tanque para que seja mínima sua área total 130 Em certo planeta o espaço percorrido por qualquer objeto pode ser descrito pela função horária xt 20 5t² 2t sendo o espaço em metros e o tempo em segundos Determine a função horária que descreve a velocidade para este tipo de função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 131 Dentre todos os retângulos de perímetro 32 cm determine as dimensões que tem área máxima 132 Em uma partida de futebol um jogador fez um lançamento e a bola descreveu uma parábola dada por y 6x 4x² Qual foi a altura máxima em metros que a bola atingiu 133 Uma torneira lança água em um tanque O volume V litros de água no tanque no instante t minutos é dado por Vt 3t² 20t Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante 10 min 134 Sabese que o lucro L de uma empresa é uma função da quantidade q de bens vendidos de acordo com a expressão Lq 100q 2q² Dado que a quantidade de bens vendidos é uma função do tempo t calcule a variação do lucro em relação ao tempo para q 20 peças dado que a variação da quantidade em relação em tempo é igual a 20 peçasmês para q 20 peças 135 Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por st t³ 6t² 9t 5 Em quais instantes o corpo estará estacionário CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 136 Após várias experiências em laboratório observouse que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função y 12x 2x² em que x é o tempo decorrido em horas após a ingestão do antibiótico Nessas condições determine o tempo necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de concentração no sangue dessas cobaias 137 Uma torneira lança água em um tanque O volume V litros de água no tanque no instante t minutos é dado por Vt 3t² 20t Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante 10 min 138 Uma indústria de calçados fabrica um certo tipo de sandálias de c ouro Após observação porparte do departamento de vendas conclui se que o lucro de produção de x unidades deste produto é descrito pela função fx 6x 3x 67 Para que a fábrica obtenha lucro máximo nas vendas das sandálias qual deve ser o total unidades a ser vendido 139 Certo corpo desenvolve movimenta se segundo a função horária xt 2t³ 4t² 5 sendo x dimensionado e m metros e t em segundos Com base nessa informação determine a velocidade instantânea sabendose que vt dxdt 140 O custo diário de uma indústria de aparelhos celulares é dado pela funçã o Cx 4x²32x9500 onde Cx é o custo em reais e x é o numero de unidades fabricadas Quantos aparelhos celulares devem ser fabricados diariamente a fim de que o custo seja mínimo CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 141 Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peixe s em cativeiro de base retangular que está na margem de um rio reto com 100m de largura A margem será um dos lados do criadouro não sendo necessário colocar rede ao longo desta margem e pretendese que o criadouro tenha a maior área possível Quais devem ser as dimensões 142 Se daqui a 𝑡 anos o número 𝑁 de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por 𝑁𝑡 10𝑡² 30𝑡 15000 determine A o número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade B a taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos 143 Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete seu raio decresce a uma taxa constante A bola começa a derreter quando t 0 horas e leva 12 horas para desaparecer A taxa de variação do volume da bola quando t 6 horas é dada por 144 Pretendese estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio 3000m rio abaixo O custo para estender um cabo pelo rio é de R 500 o metro enquanto que para estendêlo por terra custa R 400 o metro Qual é o custo mínimo para essa operação CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE TECNOLOGIA DE CURITIBA Credenciada pela Portaria do MEC nº 1057 de 27122021 publicada no DOU em 28122021 127 Solução Derivando y lnx3 x y 1x3 x 3x2 1 Para x 1 y1 11 1 3 1 42 2 128 Solução Note que o corpo atinge o solo em t 8 pois s8 408 582 0 Além disso o corpo atinge a altura máxima quando st 0 Como st 40 10t Daí st 0 10t 40 t 4 Logo o tempo gasto é 8 4 4 s 129 Solução O volume do tanque é 250 πr2h donde r sqrt250 πh Daí a área é dada por Ah 2πrh 2πr2 2π sqrt250 πh h 2π 250 πh 2π sqrt250 π sqrth 500 h Ah 2π sqrt250 π 1 2 sqrth 500 h2 e segue que Ah 0 500 h2 π sqrt250 π 1 sqrth 5002 h4 π2 250 π 1 h h3 5002 250π 1000 π h cuberoot1000 π 10 cuberootπ3 Por fim Ah π sqrt250 π 12 h32 1000 h3 A10 cuberootπ3 π sqrt250 π 12 3π 1032 1000 π 1000 π2 sqrt250 π sqrtπ 1010 106 π 106 π π20 sqrt250 10 106 π π20 5 106 π π4 0 Logo h 10 cuberootπ3 é mínimo de A 130 Solução A velocidade vt é dada por vt xt Logo vt xt 10t 2 131 Solução Dado um retângulo de lados x e y tais que 2x 2y 32 segue que y 32 2x 2 16 x A função área é Ax xy x16 x 16x x2 Daí Ax 16 2x donde Ax 0 2x 16 x 8 Além disso Ax 2 donde A8 2 0 Logo se x 8 e y 16 8 8 então a área é máxima 132 Solução Derivando y 6x 4x2 y 6 8x Assim y 0 8x 6 x 68 34 Como y 8 y34 8 0 e segue que x 34 é máximo Logo a altura máxima é y34 634 4342 184 94 94 m 133 solução Derivando Vt 3t2 20t vt 6t 20 Daí v10 610 20 60 20 80 Lmin 134 solução Calculando a derivada de Lq 100q 4q2 em relação a t dLdt 100dqdt 4qdqdt q20 dLdt 10020 42020 2000 1600 3600 135 solução Derivando st t3 6t2 9t 5 temos st 3t2 12t 9 Logo o corpo estará estacionário quando st 0 isto é 3t2 12t 9 0 t2 4t 3 0 t 1 ou t 3 136 solução Derivando y 12x 2x2 y 12 4x Logo y 0 4x 12 x 3 Como y 4 temos y3 4 0 e vem que x 3 é máximo 137 solução Igual a 133 138 solução Derivando fx 6x 3x 67 fx 6 1x 67 x 31 6 x 67 x 3 62x 64 Daí fx 0 2x 64 0 2x 64 x 32 Como fx 12 segue que f32 12 0 e portanto x 32 é máximo 139 solução Note que vt xt 6t2 8t que é a velocidade de instante a instante visto que vt lim h0 xth xth 140 solução Derivando Cx Cx 8x 32 Daí Cx 0 8x 32 x 4 Como Cx 8 temos C4 8 0 onde segue que x 4 é mínimo 141 solução O perímetro é dado por y 2x 120 onde y 120 2x A função área é Ax yx 120 2xx 120x 2x2 Derivando Ax 120 4x Assim Ax 0 4x 120 x 30 Além disso Ax 4 A30 0 x 30 é máximo Logo as dimensões são x 30 e y 120 2x 60 142 solução a Temos que o número de pessoas em t 2 é N2 104 302 15000 15100 b Temos Nt 40t 30 N2 402 30 110 143 Soluçã Como a bola leva 12 horas para derreter a uma taxa constante segue que após 6 horas o volume da bola está pela metade onde o raio passa a ser R 12³2 12³2³ Logo o volume é V 4π3 R³ onde dVdt 4π R² dRdt t6 dVdt 4π 12³2² 2 4π 12² ³2 144 Soluçã