Lista de Exercícios Resolvidos Calculo I - Polinômios e Funções Exponenciais

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO I prof dr HENRIQUE FURIA SILVA SEGUNDO BIMESTRE 25102023 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 TODAS AS RESPOSTAS PRECISAM SER DETALHADAMENTE JUSTIFICADAS 3 Polinômio de 3 grau Uma função foi especificada para o desenho de uma curva para impressão em pranchas de surf 𝑥 ℝ 𝑦 ℎ𝑥 1 80 𝑥 3 2 𝑥2 3 𝑥 33 1 80 2 𝑥3 9 𝑥2 24 𝑥 99 Siga o seguinte roteiro para obter o comportamento local e global da função a Determine a função derivada 𝑑ℎ 𝑑𝑥 b Determinar as raízes da derivada e desenhar no gráfico as coordenadas dos pontos críticos c Dizer qual dos pontos críticos do item b é o ponto de mínimo local da função e qual é o ponto de máximo local da função d Determinar ℎ0 e as coordenadas do ponto da função que intercepta o eixo do contradomínio e Determinar as raízes da função e as coordenadas dos pontos que interceptam o eixo do domínio f Determinar os trechos em que a função é decrescente e os trechos em que a função é crescente g Apresentar os limites da função nos extremos do domínio h Efetuar um esboço do gráfico da função contendo todos os elementos acima obtidos FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO I prof dr HENRIQUE FURIA SILVA SEGUNDO BIMESTRE 18112023 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 4 Função exponencial Uma função foi especificada para o desenho do contorno de um sacarolhas estilizado ℝ 𝑥 ℎ𝑥 1 20 𝑥2 4 𝑥 1 𝑒𝑥 Em um desenho fora de escala a função é representada em linha cheia na cor azul Em linha fraca é repre sentado o espelhamento do gráfico para se obter uma ideia do objeto Com relação à função ℎ preciso avaliar as taxas de crescimento e decrescimento da função a Obter a derivada da função ℎ e as suas raízes 08pt b Identificar na figura os pontos críticos e determinar as suas coordenadas exatas c Apresentar o conjunto imagem da função ℎ d Desenhar a reta tangente ao gráfico da função ℎ no ponto 𝐸 e escrever sua equação e Determinar as coordenadas exatas do ponto 𝐵 Polinômio de 3º grau ℎ𝑥 1 80 2𝑥3 9𝑥2 24𝑥 99 a 𝑑h 𝑑𝑥 𝑥 1 80 3 2𝑥2 2 9𝑥 24 3 40 𝑥2 3𝑥 4 b 𝑑h 𝑑𝑥 𝑥 3 40 𝑥2 3𝑥 4 0 Pelo método de somaproduto temos que as raízes são 1 e 4 pois 1 4 3 e 1 x 4 4 h1 11280 14 e h4 1380 01625 Logo os pontos críticos são 1 14 e 4 0165 c 𝑑2ℎ 𝑑𝑥2 𝑥 3 40 2x 3 𝑑2ℎ 𝑑𝑥2 1 18 40 0 𝑑2ℎ 𝑑𝑥2 4 15 40 0 Logo 1 14 é máximo local e 4 0165 é mínimo local d ℎ0 1 80 0 0 0 99 99 80 124 Coordenadas 0 124 e Basta que 2𝑥3 9𝑥2 24𝑥 99 0 Então as raízes são 3 488 e 338 E as coordenadas 3 0 488 0 e 338 0 f Crescente quando a segunda derivada é positiva e decrescente quando é negativa Portanto no intervalo 1 4 a função é crescente e no intervalo 1 4 é decrescente g lim 𝑥 1 80 2𝑥3 9𝑥2 24𝑥 99 1 80 lim 𝑥2𝑥3 9𝑥2 24𝑥 99 1 80 lim 𝑥𝑥3 2 9 x 24 𝑥2 99 𝑥3 lim 𝑥 1 80 2𝑥3 9𝑥2 24𝑥 99 1 80 lim 𝑥2𝑥3 9𝑥2 24𝑥 99 1 80 lim 𝑥𝑥3 2 9 x 24 𝑥2 99 𝑥3 h Observação o grafico esta virado para ficar maior e ser possível visualizar os pontos Função exponencial a Aplicando a regra do produto ℎ𝑥 1 20 𝑥2 4𝑥 1𝑒𝑥 dh dx 𝑥 1 20 2x 4𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥2 4𝑥 1 1 20 𝑒𝑥𝑥2 2𝑥 3 Como 𝑒𝑥 é maior que 0 para todo x temos que Raízes de hx são as raízes de 𝑥2 4𝑥 1 então são 373 ponto B e 027 ponto A Raízes da derivada de hx são as raízes de 𝑥2 2𝑥 3 logo são 1 e 3 b Coordenadas dos pontos críticos D 3 201 e C 1 011 c Temos no ponto D um mínimo global e a função não possui máximo global pois limite quando x tende a infinito é infinito Logo o conjunto imagem é dado por fx y 201 d ℎ0 1 20 0 0 1𝑒0 1 20 Assim E 0 005 dh dx 0 1 20 𝑒00 0 3 015 Então a reta tangente é dada por 𝑦 015𝑥 005 O desenho é a reta verde na figura abaixo e B 2 3 0 373 0