Trabalho 3 - Cálculo I - Análise de Polinômios e Método de Newton-Raphson

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO I prof dr HENRIQUE FURIA SILVA TRABALHO 3 12112022 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 APRESENTE TODOS OS RESULTADOS NOS VALORES EXATOS SEM QUAISQUER APROXIMAÇÕES TODAS AS RESPOSTAS PRECISAM SER DETALHADAMENTE JUSTIFICADAS 1 Análise de polinômio de 4 grau Para a função dada por 𝑥 ℝ 𝑦 𝑓𝑥 1 72 3 𝑥4 8 𝑥3 30 𝑥2 72 𝑥 8 a Utilizar o algoritmo de pesquisa de raízes racionais para encontrar uma das raízes da função 𝑓 b Determinar as coordenadas exatas do ponto 𝐶 c Obter a função derivada 𝑑𝑓 𝑑𝑥 d Determinar todas as raízes da função 𝑑𝑓 𝑑𝑥 e Determinar as coordenadas exatas dos pontos 𝐸 𝐹 𝐺 f Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento da função 𝑓 g Determinar o conjunto imagem h Obter a função derivada de segunda ordem 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 i Determinar todas as raízes da função 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 j Determinar as coordenadas exatas do ponto 𝐼 x ℝ y fx 1723x4 8x3 30x2 72x 8 a Vamos utilizar o método Newton Raphson que é dado pela seguinte sequência recursiva xn1 xn fxnfxn n ℕ onde fx dfxdx Calculando fx fx 17243x3 38x2 230x 172 fx 17212x3 24x2 60x 72 Do gráfico podemos observar que a raiz do porto B está bem próxima a zero então x0 0 é uma boa aproximação Assim com n0 x01 x0 fx0fx0 x0 0 fx0 f0 17230 82 300 720 8 872 011111 fx0 f0 172120 240 600 72 7272 1 Temos então que x1 0 0111111 011111 com n1 x11 x1 fx1fx1 fx1 f011111 17230111114 80111113 300111112 72011111 8 f011111 000529 fx1 f011111 172120111113 240111112 60011111 72 f011111 090352 Então x2 011111 000529090352 011697 com n 2 x21 x2 fx2 fx2 fx2 f011697 172 30116974 80116973 300116972 72011697 8 f011697 00000119568 fx2 f011697 172 120116973 240116972 60011697 72 f011697 0898231 Então x3 011697 f011697 f011697 011698 Seja fx3 f011698 00 Podemos concluir então que a raiz de 8 é dada por 011698 b Temos que 172 3x4 8x3 30x2 72x 8 0 multiplicando por 72 3x4 8x3 30x2 72x 8 0 I Dividindo I por x 2 3x4 8x3 30x2 72x 8 x 2 II Divisão 3x3 2x2 34x 4 x 2 3x4 8x3 30x2 72x 8 3x4 23x3 0 2x3 30x2 72x 8 x 2 2x3 2x3 4x2 0 34x2 72x 8 x 2 34x2 34x2 68x 0 4x 8 x 2 4 4x 8 0 Temos então que II 3x4 2x3 34x 4 e o polinômio de 4º grau dado um I pode ser reescrito como 3x4 8x3 30x2 72x 8 x 2 3x3 2x2 34x 4 Para x 2 temos uma das raízes desse polinômio 2 23x3 2x2 34x 4 0 Em x 2 temos para fx f2 324 823 3022 722 8 0 Podemos então concluir que o ponto C se encontra em 2 0 c dfdx 172 43x3 38x2 230x 172 dfdx 172 12x3 24x2 60x 72 d Raízes de dfdx Temos que dfdx 172 12x3 24x2 60x 72 0 172 12x3 24x2 60x 72 16 2x3 2x2 5x 6 0 Então x3 2x2 5x 6 0 Podemos reescrever essa igualdade como x 3x 1x 2 0 Assim para que a igualdade seja satisfeita temos que x 3 0 x1 3 x 1 0 x2 1 x 2 0 x3 2 Onde x1 x2 e x3 são as raízes c No ítem acima encontramos que x1 3 x2 1 x3 2 Então fx1 f3 048611 fx2 f1 040278 fx3 f2 222222 Temos então os pontos 3 048611 1 040278 2 222222 onde o primeiro é o ponto G o segundo é o ponto F e o terceiro é o ponto E Basta substituir x1 x2 e x3 em y fx f Crescimento dfdx 0 0 Decrescimento dfdx 0 0 Temos que dfdx 17212x3 24x2 60x 72 0 onde essa igualdade é satisfeita para x1 3 x2 1 e x3 2 g O conjunto imagem é dado a partir do ponto do ponto E que é o ponto de mínimo global e vai até o infinito Assim Imfx y R 222222 y h d²fdx ddx dfdx ddx 172 12x³ 24x² 60x 72 d²fdx 172 36x² 48x 60 i Determinando os raízes de d²fdx² 172 36x² 48x 60 0 Multiplicando por 72 36x² 48x 60 0 Dividindo por 12 3x² 4x 5 0 Resolviendo por Bhaskara 36x² 48x 60 0 Dividindo por 12 3x² 4x 5 0 Desolvendo por Bhaskara x₁₂ b b² 4ac 2a temos que a 3 b 4 e c 5 x₁₂ 4 4² 4 3 5 2 3 4 16 60 6 x₁ 4 76 6 x₁ 211963 x₂ 4 76 6 x₂ 078629 são as raízes j Verificando se x₂ é ponto de inflexão f05 d²fdx² 05 0375 0 f1 d²fdx² 1 0333 0 Como existe uma mudança no sinal da derivada segunda então o ponto I é um ponto de inflexão e pode ser determinado por I x₂ fx₂ a fx₂ f078629 108507 Podemos concluir então que o ponto I será dado por 078629 108507