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LISTA 1 MATEMÁTICA 3 ÁLGEBRA LINEAR II Exercício 1 Todo termo deve ser de grau 1 nas variáveis Não podem existir produtos entre variáveis potências diferentes de 1 ou funções não lineares como raízes exponenciais etc a x₁ 5x₂ 2 x₃ 1 Linear Todos os termos são lineares b x₁ 3x₂ x₁x₃ 2 Não linear Termo x₁x₃ é de grau 2 c x₁ 7x₂ 3x₃ Linear x₁ 7x₂ 3x₃ 0 Todos os termos são constantes x variável e o constante no lado direito é zero Não há produtos nem potências d x₁² x₂ 8x₃ 5 Não linear Termo x₁² tem expoente 2 e x₁³⁵ 2x₂ x₃ 4 Não linear termo x₁³⁵ tem expoente fracionário f n x₁ 2 x₂ 13 x₃ 7¹³ Linear Todos os termos são lineares coeficientes constantes Lineares a c f Não lineares b d e Exercício 2 Matrizes Aumentadas a Sistema 3x₁ 2x₂ 1 4x₁ 5x₂ 3 7x₁ 3x₂ 2 Matriz aumentada 3 2 1 4 5 3 7 3 2 b Sistema 2x₁ 2x₃ 1 3x₁ x₂ 14x₃ 7 6x₁ x₂ x₃ 0 Matriz aumentada 2 0 2 1 3 1 4 7 6 1 1 0 c Sistema x₁ 2x₂ x₄ x₅ 1 3x₂ x₃ x₅ 2 x₃ 7x₄ 1 Matriz aumentada 1 2 0 1 1 1 0 3 1 0 1 2 0 0 1 7 0 1 d Sistema x₁ 1 x₂ 2 x₃ 3 Matriz aumentada 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 Exercício 3 Sistemas lineares a partir de Matriz Aumentados a Matriz 2 0 0 3 4 0 0 1 1 Sistema 2x₁ 0 3x₁ 4x₂ 0 x₂ x₃ 0 b Matriz 3 0 2 5 7 1 4 3 0 2 1 7 Sistema 3x₁ 2x₃ 5 7x₁ x₂ 4x₃ 3 2x₂ x₃ 7 c Matriz 7 2 1 3 5 1 2 4 0 1 Sistema 7x₁ 2x₂ x₃ 3x₄ 5 x₁ 2x₂ 4x₃ 1 d Matriz 1 0 0 0 7 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 Sistema x₁ 7 x₂ 2 x₃ 3 x₄ 4 Exercicio 4 Resolução por Eliminação Gaussiana Sistema x y 2z 9 2x 4y 3z 1 3x 6y 5z 0 Matriz Aumentada 1 1 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 L2 L2 2L1 0 2 7 17 L3 L3 3L1 0 3 11 27 Matriz atual 1 1 2 9 0 2 7 17 0 3 11 27 Eliminar y da terceira linha L3 L3 32 L2 0 0 12 32 Matriz atual 1 1 2 9 0 2 7 17 0 0 12 32 3ª linha 12 z 32 z 3 2ª linha 2y 73 17 2y 4 y 2 1ª linha x 2 23 9 x 1 Solução x 1 y 2 z 3 Exercicio 5 Resolução por Eliminação de Gauss Jordan a Sistema x1 x2 2x3 8 x1 2x2 3x3 1 3x1 7x2 4x3 10 Matriz Aumentada 1 1 2 8 1 2 3 1 3 7 4 10 1 L2 L2 L1 L3 L3 3L1 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 2 L3 L3 10 L2 1 1 2 6 0 1 5 9 0 0 52 104 3 Normalizar L3 L3 152 L3 x3 2 4 Substituir regressivamente x2 1 x1 3 Solução x1 3 x2 1 x3 2 b Sistema 2x1 2x2 2x3 0 2x1 5x2 2x3 1 8x1 x2 4x3 1 Matriz aumentada 2 2 2 0 2 5 2 1 8 1 4 1 1 L2 L2 L1 L3 L3 4L1 2 2 2 0 0 7 4 1 0 7 4 1 2 L3 L3 L2 2 2 2 0 0 7 4 1 0 0 0 0 3 Sistema possível e indeterminado Solução em função de x3 X1 17 x2 17 47 x3 Solução x1 17 x2 1 4x37 x3 livre c Sistema x y 2z w 1 L1 2x y 2z 2w 2 L2 x 2y 4z w 1 L3 3x 3w 3 L4 Matriz aumentada 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 1 1 3 0 0 3 3 1 Zerar x em L2 L3 e L4 L2 L2 2L1 0 3 6 0 0 L3 L3 L1 0 1 2 0 0 L4 L4 3L1 0 3 6 0 0 Matriz atual 1 1 2 1 1 0 3 6 0 0 0 1 2 0 0 0 3 6 0 0 2 Simplificar L2 e L3 L2 13 L2 0 1 2 0 0 L3 já está simplificado L4 L4 3L2 0 0 0 0 0 Matriz escalonada 1 1 2 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Solução Variáveis livres z e w L3 e L4 nulas 1 y 2z 0 y 2z 2 x y 2z w 1 x y 2z w 1 w 1 d sistema 2b 3c 1 3a 6b 3c 2 6a 6b 3c 5 1 Matriz aumentada 0 2 3 1 3 6 3 2 6 6 3 5 2 Trocar L1 e L2 para ter a como pivô 3 6 3 2 0 2 3 1 6 6 3 5 3 zerar a em L3 L3 L3 2L1 0 6 09 Matriz atual 3 6 3 2 0 2 3 1 0 6 9 9 zerar b em L3 L3 L3 3L2 0006 Matriz escalonada 3 6 3 2 0 2 3 1 0 0 0 6 Linha 3 0 6 Sistema sem solução Exercício 6 1 Provar que AB é invertível e AB1 B1 A1 Se A e B são invertíveis então existem A1 e B1 AB B1 A1 AB B1 A1 A I A1 A A1 I Lp AB1 B1 A1 2 Provar que A11 A Por definção A1 A I e A A1 I Logo A é a inversa de A1 ou seja A11 A 3 Provar que K A1 1K A1 para K 0 K A 1K A1 K 1K AA1 1 I I Lp K A1 1K A1 7 Exercício 7 Provar ABT BT AT Seja A de tamanho m x n e B de tamanho n x p O elemento ij de AB é nk1 qik bkj O elemento wi de ABT é nk1 aik bkj O elemento ji de BT AT é nk1 bkj aik que é igual aos outros ABT BT AT Exercício 8 Provar que A T1 A1T Sabemos que AA1 I Tomando a transposta A1T I T I Lp Portanto A T1 é o inversa de A T ou seja A T1 A1T 8 Exercício 9 A 3 0 1 2 1 1 B 4 1 0 2 C 1 4 2 3 1 5 D 1 5 2 1 0 1 3 2 4 t 6 1 3 1 1 2 4 1 3 a AB 12 3 4 5 4 1 b BA Não é possível pois B é 2x2 e A é 3x2 c 3E D 18 3 9 3 3 6 12 3 9 3E D 13 15 18 90 0 18 30 3 36 3 0 6 15 0 6 6 0 12 12 15 36 60 0 36 24 3 36 51 408 75 3 9 6 63 96 63 e ABC BC 4 15 3 6 2 10 ABC 12 45 9 412 154 320 46 152 310 12 45 9 16 11 23 10 13 13 f CC T CT 1 3 2 CT 7164 3410 3410 9125 21 17 17 35 g DAT DA 30 010 04 30 06 02 00 04 04 3 10 4 3 0 2 3 4 4 DAT 3 3 9 10 4 1 4 2 4 i tr DD T D T 1 1 5 5 0 2 2 1 4 DD T 1 25 4 1 0 2 3 10 8 1 0 2 1 0 1 3 0 4 3 10 8 3 0 4 9 4 16 30 1 21 1 2 1 21 1 29 tr DD T 30 2 29 61 b tr 4ET D ET 6 1 4 1 1 1 3 2 3 4ET 24 4 16 4 4 4 12 8 12 4ET D 23 9 14 3 4 3 9 6 8 tr 4ET D 23 4 8 35 k tr CT AT 2ET CT AT ACT AC 3 12 6 76 42 2 10 1 3 4 1 2 5 3 12 6 5 2 8 4 5 7 CT AT 3 5 4 12 2 5 6 8 7 CT AT 2ET 15 3 12 14 0 7 12 10 13 tr 15 0 13 28 Exercício 10 A1 1 detA Sabemos que detAB detA detB Para A invertível A A1 I Logo detA detA1 detI 1 Portanto detA1 1 detA Exercício 11 A 2 1 0 3 4 0 0 0 2 B 1 1 3 7 1 2 5 0 1 detA 2 4 2 16 detB 5 151 det7 1 1 3 1 133 det1 1 7 1 5 73 11 11 7 25 8 17 detAB detA detB 16 17 272 detA 16 detB 17 detAB 272 Exercício 12 1 Conjunto x y z com x y z x y z x x y y z z e Kx y z Kx y z Falso A multiplicação por escalar não é distributiva em relação à adição de vetores Por exemplo Kx y z x y z Kx x y y z z Kx y z Kx y z Kx Kx y y z z Não é espaço vetorial 2 Conjunto x y z com x y z x y z x x y y z z e Kx y z 0 0 0 Falso A multiplicação por escalar não satisfaz 1 v v 1 x y z 0 0 0 x y z Não é espaço vetorial 3 Conjunto x y com x y x y x x y y e kx y 2kx 2ky Falso A multiplicação por escalar não satisfaz 1 v v 1 x y 2x 2y x y Não é espaço vetorial 4 Conjunto k ℝ com operações usuais É espaço vetorial satisfaz todos os axiomas 5 Conjunto x 0 com operações padrão de ℝ2 É espaço vetorial subespaço de ℝ2 Exercício 13 a Vetores da forma a 0 0 Subespaço fechado sob adição e multiplicação por escalar b Vetores da forma 0 1 1 Não é subespaço o vetor nulo 0 0 0 não pertence ao conjunto c Vetores da forma abc com b a c subespaço fechado sob adição e multiplicação por escalar d Vetores da forma abc com b a c 1 Não é subespaço O vetor nulo não pertence ao conjunto Exercício 14 Independência linear a 1 1 2 1 4 10 2 LI Pois vetores não múltiplos b 3 0 4 5 1 2 1 1 3 LD Determinante da matriz formada é zero c 8 1 3 4 0 1 LI pois vetores não múltiplos d 2 0 1 3 2 5 6 1 1 7 0 2 LD mais vetores que a dimensão do espaço Bases de R² a 2 1 3 0 Dois vetores LI b 4 1 7 8 Dois vetores LI c 0 0 4 3 Não é base vetor nulo incluso d 3 8 4 12 Não é base vetores múltiplos Bases de R³ a 1 0 0 2 2 0 3 3 3 Três vetores LI b 3 1 4 2 5 6 1 4 8 Três vetores LI c 2 3 1 4 1 1 0 7 1 Três vetores LI d 1 6 4 2 4 11 7 2 5 Três vetores LI Exercício 15 Bases R⁴ a Vetores da forma a b c 0 Dimensão 3 variáveis livres a b c b Vetores da forma a b c d com d a b e c a b Dimensão 2 variáveis livres a b c Vetores da forma a b c d com a b e c d Dimensão 1 variável livre a Lista 1 MATEMÁTICA 3 ÁLGEBRA LINEAR II Exercício 1 Cada termo deve ser de grau 1 nas variáveis Não podem existir produtos entre variáveis potências diferentes de 1 ou funções não lineares como raiz exponenciais etc a x₁ 5x₂ 2 x₃ 1 Linear Todos os termos são lineares b x₁ 3x₂ x₁ x₃ 2 não linear Termo x₁ x₃ é de grau 2 c x₁ 7x₂ 3x₃ Linear x₁ 7x₂ 3x₃ 0 Todos os termos são constante x variável e a constante no lado direito é zero não há produtos nem potências d x₁² x₂ 8x₃ 5 não linear Termo x₁² tem expoente 2 e x₁³⁵ 2x₂ x₃ 4 não linear Termo x₁³⁵ tem expoente fracionário f n x₁ 2 x₂ ¹₃ x₃ 7¹₃ Linear Todos os termos são lineares coeficientes constantes LINEARES A C F NÃO LINEARES B D E FORONI Exercício 2 Matrizes Aumentadas a sistema 3x1 2x2 1 4x1 5x2 3 7x1 3x2 2 Matriz aumentada 3 2 1 4 5 3 7 3 2 b sistema 2x1 2x3 1 3x1 x2 4x3 7 6x1 x2 x3 0 Matriz aumentada 2 0 2 1 1 3 1 4 7 6 1 1 0 c sistema x1 2x2 x4 x5 1 3x2 x3 x5 2 x3 7x4 1 Matriz aumentada 1 2 0 1 1 1 0 3 1 0 1 2 0 0 1 7 0 1 d sistema x1 1 x2 2 x3 3 Matriz aumentada 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 FORON Exercício 3 Sistemas lineares a partir de matrizes aumentadas a Matriz 2 0 0 3 4 0 0 1 1 sistema 2x1 0 3x1 4x2 0 x2 x3 0 b Matriz 3 0 2 5 7 1 4 3 0 2 1 7 sistema 3x1 2x3 5 7x1 x2 4x3 3 2x2 x3 7 c Matriz 7 2 1 3 5 1 2 4 0 1 sistema 7x1 2x2 x3 3x4 5 x1 2x2 4x3 1 d Matriz 1 0 0 0 7 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 sistema x1 7 x2 2 x3 3 x4 4 FORON Exercício 4 Resolução por eliminação Gaussiana sistema x y 2z 9 2x 4y 3z 1 3x 6y 5z 0 Matriz acumulada 1 1 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 L2 L2 2L1 0 2 7 17 L3 L3 3L1 0 3 11 27 Matriz atual 1 1 2 9 0 2 7 17 0 3 11 27 Eliminar y da terceira linha L3 L3 32 L2 0 0 12 32 Matriz atual 1 1 2 9 0 2 7 17 0 0 12 32 3ª linha 12 z 32 z 3 2ª linha 2y 73 17 2y 4 y 2 1ª linha x 2 23 9 x 1 solução x 1 y 2 z 3 FORON Exercício 5 Resolucao por eliminacao de Gauss Jordan a Sistema x1 x2 2x3 8 x1 2x2 3x3 1 3x1 7x2 4x3 10 Matriz Aumentada 1 1 2 8 1 2 3 1 3 7 4 10 1 L2 L2 L1 L3 L3 3L1 1 1 2 8 0 1 5 9 0 10 2 14 2 L3 L3 10L2 1 1 2 8 0 1 5 9 0 0 52 104 3 Normalizar L3 L3 1 52 L3 x3 2 4 Substituir regressivamente x3 2 x1 3 solucao x1 3 x2 1 x3 2 b sistema 2x1 2x2 2x3 0 2x1 5x2 2x3 1 8x1 x2 4x3 1 Matriz aumentada 2 2 2 0 2 5 2 1 8 1 4 1 2 2 2 0 0 7 4 1 0 7 4 1 1 L2 L2 L1 L3 L3 4L1 2 L3 L3 L2 2 2 2 0 0 7 4 1 0 0 0 0 3 sistema possível e indeterminado Solucao em funcao de x3 x1 17 x2 1 4x37 x3 livre c Sistema x y 2z w 1 L1 2x 4y 2z 2w 2 L2 x 2y 4z w 1 L3 3x 3w 3 L4 Matriz aumentada 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 1 1 3 0 0 3 3 1 Zerar x em L2 L3 e L4 L2 L2 2L1 0 3 6 0 0 L3 L3 L1 0 1 2 0 0 L4 L4 3L1 0 3 6 0 0 Matriz atual 1 1 2 1 1 0 3 6 0 0 0 1 2 0 0 0 3 6 0 0 2 Simplificar L2 e L3 L2 1 3 L2 0 1 2 0 0 L3 já está simplificado L4 L4 3L2 0 0 0 0 0 Matriz escalonada 1 1 2 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Solução Variáveis livres z e w L3 e L4 nulos 1 y 2z 0 y 2z 2 x y 2z w 1 x y 2z w 1 w 1 d Sistema 2b 3c 1 3a 6b 3c 2 6a 6b 3c 5 1 Matriz aumentada 0 2 3 1 3 6 3 2 6 6 3 5 2 Trocar L1 e L2 para ter a como pivo 3 6 3 2 0 2 3 1 6 6 3 5 3 Zerar a em L3 L3 L3 2L1 0 6 9 9 matriz atual 3 6 3 2 0 2 3 1 0 6 9 9 Zerar b em L3 L3 L3 3L2 0 0 0 6 Matriz escalonada 3 6 3 2 0 2 3 1 0 0 0 6 linha L3 0 6 sistema sem solução Exercício 6 1 Provar que AB é invertível e AB1 B1 A1 De A B não invertíveis então existem A1 e B1 AB B1 A1 A B B1 A1 A I A1 A A1 T Logo AB1 B1 A1 2 Provar que A11 A Por definição A1 A I e A A1 I Logo A é a inversa de A1 ou seja A11 A 3 Provar que kA1 1k A1 para k 0 kA 1k A1 k 1k A A1 1 I I Logo kA1 1k A1 Exercício 7 Provar ABT BT AT Seja A de tamanho m x n e B de tamanho n x p O elemento ij de AB é Qik bkj O elemento ji de ABT é Qik bkj O elemento ji de BT AT é bkj Qik que é igual ao anterior Logo ABT BT AT Exercício 8 Provar que A1T AT1 Sabemos que AA1 I Tomando a transposta A1T IT I Portanto A1T é a inversa de AT ou seja AT1 A1T FORONI Exercício 9 A 3 0 1 1 2 1 1 1 1 B 4 1 0 2 C 1 4 2 3 1 5 D 1 5 2 1 0 1 3 2 4 E 6 1 3 1 1 2 4 1 3 a AB 12 3 4 5 4 2 b BA Não é possível pois B é 2x2 e A é 3x2 c 3ED 18 3 9 3 3 6 12 3 9 3ED 181518 90018 36336 306 4506 6012 121536 60036 24336 51 108 75 3 9 6 63 96 63 e ABC BC 4 15 3 6 2 10 ABC 12 45 9 412 154 320 46 152 310 12 45 9 16 11 23 10 13 13 f CCT CT 1 3 4 4 1 1 2 5 CCT 1164 3410 3410 9125 21 17 12 35 g DAT FORONI DA 30 010 04 30 00 02 90 04 04 3 10 4 3 0 2 9 4 4 DAT 3 3 9 10 0 4 4 2 4 i trDDT DT 1 1 3 5 0 2 2 1 4 DDT 1254 102 3108 102 101 304 3108 304 92416 30 12 21 1 2 1 21 1 29 trDDT 30229 61 j tr4ET D ET 6 1 4 1 1 1 3 2 3 4ET 24 4 16 4 4 4 12 8 12 4ET D 23 9 14 5 4 3 9 6 8 tr4ET D 23 4 8 35 k trCT AT 2ET CT AT ACT AC 3 12 6 16 42 210 13 41 25 3 12 6 5 2 8 4 5 7 CT AT 3 5 4 12 2 5 6 8 7 CT AT 2ET 15 3 12 14 0 7 12 12 13 tr 15 0 13 28 Exercício 10 A1 1detA FORONI sabemos que detAB detA detB para A invertível AA1 I logo detA detA1 detI 1 portanto detA1 1det A Exercício 11 A 2 1 0 3 4 0 0 0 2 B 1 1 3 3 1 2 5 0 1 detA 2 4 2 16 detB 5 152 det1 3 1 2 1 133 det1 1 7 1 52 3 11 7 25 8 17 detAB detA detB 16 17 272 detA 16 detB 17 detAB 272 Exercício 12 1 Conjunto xyz com xyz xyz xxyyzz e Kxyz Kx Ky Kz Falha A multiplicação por escalares não é distributiva em relação à adição de vetores Por exemplo Kxyz xyz Kxx yyzz Kx y z Kx yz KxKx yyzz não é espaço vetorial 2 Conjunto xyz com xyz x y z x x y y z z e Kxyz 000 FORONI Falha A multiplicação por escalares não satisfaz 1v v 1xyz 000 xyz não é espaço vetorial 3 Conjunto xy com xy x y xx yy e Kxy 2Kx 2Ky Falha A multiplicação por escalares não satisfaz 1v v 1xy 2x 2y xy não é espaço vetorial 4 Conjunto x R com operação usual É espaço vetorial satisfaz todas as ações 5 Conjunto x0 com operação padrão de R² É espaço vetorial subespaço de R² Exercício 13 a Vetores de forma a00 Subespaço Fechado sob adição e multiplicação por escalares b Vetores de forma a1z não é subespaço o vetor nulo 000 não pertence ao conjunto c Vetores de forma abc com b ac Subespaço Fechado sob adição e multiplicação por escalares d Vetores de forma abc com b ac1 não é subespaço o vetor nulo não pertence ao conjunto FORONI Exercício 14 Independência linear a 412 4102 L1 Dois vetores não múltiplos b 304 532 413 LD Determinante da matriz formada é zero c 813 401 LI Dois vetores não múltiplos d 201 325 612 702 LD Dois vetores que a dimensão do espaço Bases de R² a 21 30 Dois vetores LI b 41 78 Dois vetores LI c 00 13 não é base vetor nulo incluso d 35 412 não é base vetores múltiplos Bases de R³ a 100 220 333 três vetores LI FORONI b 3 1 4 2 5 6 1 4 8 três vetores L c 2 3 1 4 1 1 0 7 1 três vetores L d 1 6 4 2 4 1 1 2 5 três vetores L Exercício 5 Bases de Rv a Vetores de forma a b c 0 Dimensão 3 variáveis livres a b c b Vetores de forma a b c d com d a b e c a b Dimensão 2 variáveis livres a b c Vetores de forma a b c d com a b c d Dimensão 1 variável livre a FORONI