Lista Matemática

Exercıcio 11 y 5 3x4 8 y 0 3 8 4x3 y 12 8 x3 3 2x3 Exercıcio 12 y 40 8x5 10 x3 6 40 4x5 5 x3 6 y 0 4 5 5x4 1 6 3x2 y 4x4 3 6x2 4x4 1 2x2 Exercıcio 13 y x ex Regra do Produto y 1 ex x ex y ex1 x Exercıcio 14 y t2 t 1 Regra do Quociente y 2tt 1 t21 t 12 y 2t2 2t t2 t 12 t2 2t t 12 1 Exercício 15 y3x24x33x24x312 y6x4x3123x2124x3123x2 y6x4x39x4 24x3 y 12x4x39x4 24x3 48x21x4 24x3 Exercício 16 y 2t3 4t41 2t3 t4114 y 6t2t4114 2t6t4134 t4112 y t4134 6t2t41 2t6 t4112 4t6 6t2 t4154 Exercício 17 y sin34x sin4x3 y 3sin4x2 cos4x 4 12sin24xcos4x Exercício 18 y tan2x sec2x 1 Identidade Trigonométrica y 0 Exercıcio 3 fx 3x4 6x2 1 no intervalo 2 2 Pontos crıticos no intervalo f x 12x3 12x 12xx2 1 f x 0 x 0 x 1 x 1 todos em 2 2 Avaliando a funcao nos pontos crıticos e nas extremidades do intervalo f2 316 64 1 25 f1 31 61 1 2 f0 1 f1 3 6 1 2 f2 316 64 1 25 Comparando os valores Maior valor absoluto maximo absoluto 2 ocorre em x 1 e x 1 Menor valor absoluto mınimo absoluto 25 ocorre em x 2 e x 2 Exercıcio 4 fx 2x3 3x2 12x 1 no intervalo 2 3 Pontos crıticos no intervalo f x 6x2 6x 12 6x 2x 1 f x 0 x 2 x 1 ambos em 2 3 Avaliando a funcao nos pontos crıticos e nas extremidades do intervalo f2 28 34 122 1 3 f1 21 31 121 1 8 f2 28 34 122 1 19 f3 227 39 123 1 8 Comparando os valores Valor maximo global 8 ocorre em x 1 Valor mınimo global 19 ocorre em x 2 5 Exercıcio 5 fx x2ex no intervalo fechado 1 5 Pontos crıticos no intervalo f x 2xex x2ex xex2 x f x 0 x 0 x 2 ambos em 1 5 Avaliando a funcao nos pontos crıticos e nas extremidades f1 12e1 e 2718 f0 02e0 0 f2 22e2 4e2 0541 f5 52e5 25e5 0168 Comparando os valores Valor maximo global e ocorre em x 1 Valor mınimo global 0 ocorre em x 0 Exercıcio 61 fx x3 3x2 f x 3x2 6x f x 6x 6 f x 0 6x 6 0 x 1 Ponto de inflexao 1 f1 1 2 Exercıcio 62 fx ln1 x2 f x 2x 1 x2 f x 2 2x2 1 x22 f x 0 2 2x2 0 x 1 Pontos de inflexao 1 ln 2 e 1 ln 2 6 Exercıcio 63 fx 1 x21 f x 2xx2 12 f x 6x2 2 x2 13 f x 0 6x2 2 0 x 1 3 Pontos de inflexao 1 3 3 4 e 1 3 3 4 Exercıcio 64 fx lnx x2 1 f x x2 112 f x x x2 132 f x 0 x 0 Ponto de inflexao 0 f0 0 0 Exercıcio 71 y x21 1x Assıntota Vertical Procuramos onde o denominador e zero 1 x 0 x 1 Calculamos o limite para confirmar lim x1 x2 1 1 x 12 1 0 2 0 Como o limite tende ao infinito ha uma assıntota vertical em x 1 Assıntota HorizontalOblıqua Comparamos os graus dos polinˆomios O grau do nu merador 2 e uma unidade maior que o grau do denominador 1 Isso indica a existˆencia 7 de uma assíntota oblíqua da forma y mx b mlim x fxx lim x x² 1x1 x lim x x² 1x² x 1 b lim x fx mx lim x x² 11 x 1 x lim x x² 1 x1 x1 x lim x x² 1 x x²1 x lim x 1 x1 x 1 A assíntota oblíqua é y x 1 Exercício 72 y 1x2³ Assíntota Vertical O denominador é zero quando x 2³ 0 x 2 O limite confirma lim x2 1x 2³ Portanto a assíntota vertical é x 2 Assíntota Horizontal O grau do numerador 0 é menor que o grau do denominador 3 Isso indica uma assíntota horizontal em y 0 Confirmamos com o limite lim x 1x 2³ 0 A assíntota horizontal é y 0 Exercício 73 y e1x 1 Assíntota Vertical O ponto de indefinição está no expoente em x 0 Verificamos o limite lateral lim x0 1x lim x0 e1x 1 Como o limite lateral tende ao infinito há uma assíntota vertical em x 0 Nota o limite para x 0 seria e 1 1 mas basta um dos lados ir para o infinito Assíntota Horizontal Verificamos o limite para x lim x 1x 0 lim x e1x 1 e0 1 1 1 0 A assíntota horizontal é y 0 Exercício 74 y x e1x Assíntota Vertical O ponto de indefinição está em x 0 Verificamos o limite lim x0 x e1x forma 0 Reescrevemos como lim x0 e1x1x Usando LHôpital ou a substituição u 1x o limite é Portanto a assíntota vertical é x 0 Assíntota HorizontalOblíqua Primeiro checamos o limite no infinito lim x x e1x e0 Como o limite é infinito não há assíntota horizontal Procuramos uma oblíqua y mx b m lim x fxx lim x x e1xx lim x e1x e0 1 b lim x fx mx lim x x e1x x lim x xe1x 1 forma 0 Para resolver este limite usamos a substituição u 1x Quando x u 0 b lim u0 1u eu 1 lim u0 eu 1u Este é um limite fundamental conhecido ou pode ser resolvido por LHôpital cujo valor é 1 A assíntota oblíqua é y x 1 Exercício 81 y fx x⁴ 2x 10 Domínio R Derivadas fx 4x³ 2 fx 12x² Pontos Críticos fx 0 x ³12 CrescimentoDecrescimento Decrescente em ³12 crescente em ³12 Mínimo local em x ³12 Concavidade fx 0 sempre côncava para cima Exercıcio 82 y fx 6x 1x2 Domınio R Simetria Impar Assıntota Horizontal y 0 Derivadas f x 61x2 1x22 f x 12xx23 1x23 Pontos Crıticos x 1 Maximo em x 1 mınimo em x 1 Inflexao x 0 x 3 Exercıcio 83 y fx e1x2 10 Domínio R 0 Simetria Par Assíntota Horizontal y 1 Comportamento perto de 0 lim x0 fx 0 Derivadas fx 2x³ e1x² fx 4 6x²x⁶ e1x² Pontos Críticos Nenhum Inflexão x 23 Exercício 9 Cx 40x 10x² x³ 1 Função Custo Médio Cmx Cxx 40 10x x² 2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento Cmx 10 2x 0 x 5 Intervalo de decrescimento 0 5 Intervalo de crescimento 5 Ponto de mínimo em x 5 Exercıcio 10 Seja fx x3 15x c Suponha que fx tenha duas raızes a b 2 2 Pelo Teorema de Rolle existiria um k a b tal que f k 0 A derivada e f x 3x2 15 Igualando a zero temos x2 5 ou seja x 5 Nenhum desses valores pertence ao intervalo 2 2 Isso e uma contradicao Logo a funcao nao pode ter duas raızes em 2 2 e portanto tem no maximo uma Exercıcio 11 Seja hx fx gx Como f x gx a derivada de hx e hx f x gx 0 para todo x a b Pelo Corolario do Teorema do Valor Medio se a derivada de uma funcao e zero em um intervalo a funcao e constante nesse intervalo Portanto hx d para alguma constante d Isso implica fx gx d ou seja fx gx d 12