Lista Matemática

Lista 2 Matemática 3 Professor Mateus Figueira Exercicio 1 Mostre que se T R2 R2 é uma transformação linear qualquer e Tk R2 R2 é uma dilatação ou contração então T o Tk Tk o T Exercicio 2 Sejam T𝜃1 R2 R2 e T𝜃2 R2 R2 duas rotações de ângulos respectivamente 𝜃1 e 𝜃2 Mostre que T𝜃1 o T𝜃2 T𝜃1𝜃2 Exercicio 3 Mostre que uma rotação em R2 é injetiva e encontre a inversa Exercicio 4 Sejam u4123 v0382 e w3122 Calcule cada expressão abaixo a u v b u v c 2u 2u d 3u 5v w e 1w w f 1w w Exercicio 5 Determine se os vetores abaixo são ortogonais ou não a u132 v421 b u222 v111 c uu1u2u3 v000 d u46101 v2129 e u0321 v5210 f uab vba Exercicio 6 Em cada parte é dada a matriz canônica T de uma transformação linear T Use a matriz para obter Tx T 1234 x32 T 120315 x113 T 214357601 xx1x2x3 T 112478 xx1x2 Exercicio 7 Pode ser provado que se A é uma matriz 2x2 com detA1 e tal que os vetorescoluna de A são ortogonais e tem comprimento 1 então a multiplicação por A é a rotação por algum ângulo 𝜃 Verifique que A 12 1212 12 satisfaz as condições enunciadas e encontre o ângulo de rotação Exercicio 8 Encontre uv a u23 v57 b u62 v40 c u154 v333 d u223 v174 Exercicio 9 Para cada item do exercício anterior encontre o cosseno do ângulo 𝜃 entre u e v Como T é linear existe uma matriz A tal que Aa b c d Txy axby cxdy A transformação Tk é dada por Tkxy kx ky pois é uma contração ou dilatação Assim temos T o Tk TTkxy Tkx ky a kx b ky c kx d ky kax by cx dy k Txy Por outro lado Tk o T TkTxy Tkax by cx dy kax by kcx dy k Txy Portanto T o Tk Tk o T Sabemos que uma rotação em R2 por um ângulo 𝜃 é uma transformação linear dada pela matriz R𝜃 cos𝜃 sen𝜃sen𝜃 cos𝜃 Exercicio 10 Mostre que se v é perpendicular a ambos w1 e w2 então v é ortogonal a k1 w1 k2 w2 para quaisquer escalares k1 e k2 Exercicio 11 Quais dos seguintes conjuntos de vetores é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R2 a 01 20 b 12 12 12 12 c 12 12 12 12 d 00 01 Exercicio 12 Considere as bases B u1u2 e B v1v2 de R2 onde u1 10 u2 01 v1 21 e v2 34 a Encontre a matriz de transição de B para B b Encontre a matriz de transição de B para B c Calcule a matriz coordenadas wB onde w 35 e calcule wB Exercicio 13 Considere as bases B u1 u2 u3 e B v1 v2 v3 de R3 onde u1 303 u2 321 u3 161 v1 660 v2 264 v3 237 a Encontre a matriz de transição de B para B b Calcule a matriz coordenadas wB onde w 585 e calcule wB Então Toxy xcosθ ysenθ xsenθ ycosθ Assim a composição entre duas rotações vai ser Rθ1 Rθ2 cosθ1 senθ1 senθ1 cosθ1 cosθ2 senθ2 senθ2 cosθ2 cosθ1cosθ2 senθ1senθ2 cosθ1 senθ2 senθ1 cosθ2 senθ1cosθ2 cosθ1senθ2 senθ1senθ2 cosθ1cosθ2 cosθ1 θ2 senθ1 θ2 senθ1 θ2 cosθ1 θ2 Rθ1 θ2 Portanto Tθ1 o Tθ2 Tθ1 θ2 Exercício 3 Mostre que uma rotação em R² é injetiva e encontre a inversa Sabemos que uma transformação linear é injetiva se e somente se seu núcleo for trivial Ou seja se Toxy 00 implica xy 00 Assim suponha que Toxy 00 então xcosθ ysenθ 0 e xsenθ ycosθ 0 Como detcosθ senθ senθ cosθ cos²θ sen²θ 1 0 Então a matriz é inversível e o sistema tem apenas a solução trivial xy 00 logo To é trivial Além disso a inversa de uma rotação por θ é uma rotação por θ pois Rθ1 Rθ cosθ senθ senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ Pois cosθ cosθ e senθ senθ Portanto a inversa de To é Tθ e é dada por Toxy xcosθ ysenθ xsenθ ycosθ Exercício 4 Sejam u 4123 v 0382 e w 3122 Calcule cada expressão abaixo a Como u v 4 0 1 3 2 8 3 2 4 4 10 1 Então u v 4² 4² 10² 1² 16 16 100 1 133 b Como u 4² 1² 2² 3² 16 1 4 9 30 v 0² 3² 8² 2² 0 9 64 4 77 Então u v 30 77 c Como 2u 2 u 230 2u 230 Então 2u 2u 230 230 430 d Como 3u 5v w 12 0 3 3 15 1 6 40 2 9 10 2 15 11 32 21 Então 3u 5v w 15² 11² 32² 21² 225 121 1024 441 1887 e Como w 3² 1² 2² 2² 9 1 4 4 18 32 Então 1w w 132 3 1 2 2 332 132 232 232 12 132 232 232 f Por propriedade de norma 1w w 1w w 1 Exercício 5 Determine se os vetores abaixo são ortogonais ou não a u v 14 32 21 4 6 2 0 Logo u e v são ortogonais b u v 21 21 21 2 2 2 6 0 Logo u e v não são ortogonais c u v u1 0 u2 0 u3 0 0 Logo u e v são ortogonais a uv 4z 61 10z 19 8 6 20 9 27 0 Logo u e v não são ortogonais e uv 05 3z 21 10 0 6 2 0 8 0 Logo u e v não são ortogonais f uv ab ba ab ab 0 Logo u e v são ortogonais Exercício 6 Em cada parte é dada a matriz canônica T de uma transformação linear T Use a matriz para obter Tx a T 1 2 3 4 x 3 2 b T 1 2 0 3 1 5 x 1 1 3 c T 2 1 4 3 5 7 6 0 1 x x1 x2 x3 d T 1 1 2 4 7 8 x x1 x2 a Tx Tx 1 2 3 4 3 2 13 22 33 42 3 4 9 8 1 1 Então Tx 1 1 b Tx Tx 1 2 0 3 1 5 1 1 3 11 21 03 31 11 53 1 2 0 3 1 15 3 13 Então Tx 3 13 c Tx Tx 2 1 4 3 5 7 6 0 1 x1 x2 x3 2x1 1x2 4x3 3x1 5x2 7x3 6x1 0x2 1x3 Então Tx 2x1 x2 4x3 3x1 5x2 7x3 6x1 x3 d Tx Tx 1 1 2 4 7 8 x1 x2 1x1 1x2 2x1 4x2 7x1 8x2 Então Tx x1 x2 2x1 4x2 7x1 8x2 Exercício 7 Pode ser provado que se A é uma matriz 2 x 2 com detA 1 e tal que os vetorescoluna de A são ortogonais e tem comprimento 1 então a multiplicação por A é a rotação por algum ângulo θ Verifique que A 12 12 12 12 satisfaz as condições enunciadas e encontre o ângulo de rotação Verificando que detA 1 det 12 12 12 12 1212 1212 12 12 12 12 22 1 Verificando que os vetores colunas são ortogonais Seja C1 12 12 e C2 12 12 Assim C1C2 1212 1212 12 12 0 Ou seja são ortogonais Verificando que os vetores coluna têm comprimento 1 C1 122 122 12 12 22 1 1 C1 122 122 12 12 22 1 1 Determinando o ângulo de rotação Θ Lembrando que a matriz de rotação é Rθ cosθ senθ senθ cosθ Então se A Rθ cosθ 12 senθ 12 O ângulo que satisfaz essas condições é θ 3π4 Pois cos3π4 12 e sen3π4 12 Exercício 8 Encontre uv a u 23 v 57 b u 62 v 40 c u 154 v 333 d u 223 v 174 a uv 25 37 10 21 11 b uv 64 20 24 0 24 c uv 13 53 43 3 15 12 0 d uv 21 27 34 2 14 12 4 Exercício 9 Para cada item do exercício anterior encontre o cosseno do ângulo θ entre u e v Sabemos que Cosθ uv uv No visible text in the provided part of image 8 a Como uv 11 u 2² 3² 4 9 13 v 5² 7² 25 49 74 Então cosθ 11 13 74 11 962 b Como uv 24 u 6² 2² 36 4 40 2²10 210 v 4² 0² 16 4 Então cosθ 24 210 4 24 810 3 10 c Como uv 0 u 1² 5² 4² 1 25 16 42 v 3² 3² 3² 9 9 9 27 3²3 33 Então cosθ 0 42 33 0 d Como uv 4 u 2² 2² 3² 17 v 1² 7² 4² 1 49 16 66 Então cosθ 4 17 66 4 1122 Exercício 10 Mostre que v é perpendicular a ambos w₁ e w₂ então v é ortogonal a k₁w₁ k₂w₂ para quaisquer escalares k₁ e k₂ Se v w₁ vw₁ 0 v w₂ vw₂ 0 Queremos mostrar que v k₁w₁ k₂w₂ k₁k₂ ℝ Ou seja vk₁w₁ k₂w₂ 0 Assim pela linearidade de produto interno v k₁w₁ k₂w₂ vk₁w₁ vk₂w₂ k₁vw₁ k₂vw₂ Como vw₁ vw₂ 0 então k₁0 k₂0 0 Portanto v k₁w₁ k₂w₂ 0 Exercício 11 Quais dos seguintes conjuntos de vetores é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R² a 0120 02 10 0 Portanto são ortogonais b 1212 1212 12 12 0 Portanto são ortogonais c 1212 1212 12 12 1 0 Portanto não são ortogonais d 0001 00 01 0 Portanto são ortogonais Exercício 12 Considere as bases B u₁ u₂ e B v₁ v₂ de R² onde u₁ 1 0 u₂ 0 1 v₁ 2 1 e v₂ 3 4 a A matriz de transição de B para B é a matriz cuja colunas são os vetores de B escritos na base B Como B é a base canônica as coordenadas de v₁ e v₂ na base canônica são eles próprios Portanto PBB v₁ v₂ 2 3 1 4 b A matriz de transição de B para B é a inversa da matriz de transição de B para B Ou seja PBB PBB1 Assim basta calcular a inversa de PBB Como detPBB 24 31 83 11 Exercício 13 Considere as bases B u1 u2 u3 e B v1 v2 v3 de R3 onde u1 3 0 3 u2 3 2 1 u3 1 6 1 v1 6 6 0 v2 2 6 4 v3 2 3 7 a Encontre a matriz de transição de B para B b Calcule a matriz coordenadas wB onde w 5 8 5 e calcule wB a A matriz de transição PBB é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B em relação à base B Ou seja precisamos resolver uj a1j u1 a2j u2 a3j u3 para j 1 2 3 Isso equivale a resolver os sistemas B ujB vj Onde B é a matriz cujas colunas são u1 u2 e u3 Isto é B u1 u2 u3 3 3 1 0 2 6 3 1 1 A matriz PBB é dada por PBB B1 v1 v2 v3 Determinando B1 3 3 1 1 0 0 0 2 6 0 1 0 3 1 1 0 0 1 L3 L3 L1 3 3 1 1 0 0 0 2 6 0 1 0 0 2 2 1 0 1 L3 L3 L2 3 3 1 1 0 0 0 2 6 0 1 0 0 0 8 1 1 1 L3 L38 3 3 1 1 0 0 0 2 6 0 1 0 0 0 1 18 18 18 L2 L2 6L3 3 3 1 1 0 0 0 2 0 34 14 34 0 0 1 18 18 18 L1 L1 L3 3 3 0 78 18 18 0 2 0 34 14 34 0 0 1 18 18 18 L2 L22 3 3 0 78 18 18 0 1 0 38 18 38 0 0 1 18 18 18 L1 L1 3L2 3 0 0 14 14 54 0 1 0 38 18 38 0 0 1 18 18 18 L1 L13 1 0 0 112 112 512 0 1 0 38 18 38 0 0 1 18 18 18 Portanto B1 112 112 512 38 18 38 18 18 18 Desse modo PBB B1 v1 v2 v3 112 112 512 38 18 38 18 18 18 6 2 2 6 6 3 0 4 7 1126 1126 5120 1122 1126 5124 1122 1123 5127 386 186 380 382 186 384 382 183 387 186 186 180 182 186 184 182 183 187 Então PBB1 111 4 3 1 2 411 311 111 211 c Como B é base canônica as coordenadas de w na base canônica são ele mesmo wB 3 5 Agora para encontrar wB vamos usar a matriz de transição de B para B Dessa forma wB PBB wB 411 311 111 211 3 5 4113 3115 1113 2115 1211 1511 311 1011 311 1311 12 12 16 12 53 16 14 357 94 34 34 34 32 34 38 278 34 34 14 34 12 14 38 78 0 43 176 32 32 3 32 32 32 b i WB w 3 3 1 0 2 6 3 1 1 a b c 5 8 5 3a 3b c 5 1 2b 6c 8 2 3a b c 5 3 Subtraindo 1 de 3 3a 3b c 5 3a b c 5 2b 2c 0 b c De 2 2b 6b 8 8b 8 b 1 c 1 De 1 3a 31 1 5 3a 2 5 3a 3 a 1 Portanto WB 1 1 1 i WB w 6 2 2 6 6 3 0 4 7 x y z 5 8 5 6x 2y 2z 5 1 6x 6y 3z 8 2 4y 7z 5 3 Subtraindo 1 de 2 6x 2y 2z 5 6x 6y 3z 8 4y z 13 z 4y 13 Substituindo em 3 4y 74y 13 5 4y 28y 91 5 24y 86 y 8624 4312 z 44312 13 17212 13 17212 15612 1612 43 De 1 6x 24312 243 5 6x 436 83 5 6x 436 166 5 6x 276 5 6x 306 276 6x 576 6x 192 x 1912 Portanto WB 1912 4312 43