Lista de Matemática

Lista 1 Matemática 4 Professor Mateus Figueira Exercício 1 Descreva o domínio das seguintes funções a z x y 4 b z y 1 x² c z 5 lnx y 4x x² y² Exercício 2 Considere a superfície S que é a união de S₁ e S₂ onde S₁ tem equação x² y² 4 com 0 z 2 e S₂ é o gráfico da função z x² y² definida no conjunto D onde D x y ℝ² 4 x² y² 25 1 Esboce a superfície S₁ 2 Esboce a superfície S₂ 3 Esboce a superfície S Exercício 3 Dada a função fx y 1 x² y² encontre i As equações das curvas de nível de z 14 e z 9 ii A equação e o esboço da curva de nível que passa pelo ponto 02 iii Um esboço do gráfico da função Exercício 4 Diga se os limites existem justificando Faça o teste pelos caminhos x 0 y 0 y x y x² quando necessário 1 lim xy00 ex ey cosx seny 2 lim xyz010 y³ xz² x² y² z² 3 lim xy00 x² y x² y² 4 lim xyz000 x² y² 2z² x² y² 2z² 5 lim xyz000 x² y² z² x⁶ y⁶ z⁶ 6 lim xy00 x² y² x² y² 7 lim xy00 xy x² y² 8 lim xy00 2x² y 3x² 3y² 9 lim xy00 x³ x² y² Exercício 5 Calcule os limites 1 lim xy00 x ex x ey 2 lim xy00 2x 5 xy 4 3 lim xy00 x² y² x² y² 4 lim xy00 xy² x³ x³ yx² 5 lim xy00 5x76 y⁸ x⁶⁵ Exercício 6 Diga se as seguintes funções são contínuas na origem 1 fx y z x² y² z² x² y² z² se x y z 0 0 0 0 se x y z 0 0 0 2 fx y z x² y² z² x² y² z² se x y z 0 0 0 0 se x y z 0 0 0 3 fx y z ex ey cosx seny 4 fx y z xyz x³ y³ z³ se x y z 0 0 0 3 se x y z 0 0 0 5 fx y x³ x² y² se x y 0 0 1 se x y 0 0 6 fx y 7x⁴ y 3x⁴ 3y⁴ se x y 0 0 0 se x y 0 0 Exercício 7 Encontre as derivadas parciais 1 fx y senx 3y² 2 fx y ex 9y⁸ 3 fx y lnxy x² 4 fx y e2xy senx² y x³ y³ 5 fx y x y y² x² 6 fx y sencossenx³ y⁵ 7 fx y xex x y Exercício 8 Encontre as derivadas de ordem 2 das funções do itens 1 2 e 7 da questão anterior Exercício 9 Verifique que as seguintes funções são diferenciáveis na origem 1 fx y xy 2 fx y x³ 4y² 3 fx y xy cosx y 4 fx y x13 cosy 5 fx y xy x² y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 6 fx y x³ x² y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 Exercício 10 Se u ea₁ x₁ a₂ x₂ aₙ xₙ onde a₁² a₂² aₙ² 1 mostre que ²ux₁² ²ux₂² ²uxₙ² u Exercício 11 Verifique que a função z lnex ey é uma solução das equações diferenciais zx zy 1 e ²zx² ²zy² ²zxy² 0 1 a z x y 4 Identificar a condição para a existência da raiz quadrada x y 4 0 Reescrever a desigualdade para expressar o domínio x y 4 y x 4 O domínio é o conjunto de todos os pontos xy y x 4 b z y 1 x² Identificar a condição para a existência da raiz quadrada y 1 x² 0 Reescrever a desigualdade para expressar o domínio y x² 1 o domínio é o conjunto de todos os pontos xy y x² 1 c z 5lnx y 4x x² y² condição para o logaritmo x y 0 y x condição para a raiz quadrada no denominador 4x x² y² 0 x² 4x y² 0 completar o quadrado para a expressão em x x² 4x 4 y² 4 x 2² y² 4 O domínio é o conjunto de todos os pontos xy y x e x 2² y² 4 2 3 i Para z 14 1 x² y² 14 x² y² 4 Equação de um círculo com centro na origem 00 e raio r 4 2 Para z 9 1 x² y² 9 x² y² 1 9 Equação de um círculo com centro na origem 00 e raio r 19 13 ii z F02 1 0² z² 14 x² y² 4 equação de um círculo com centro na origem 00 e raio r 2 iii z y 4º 1 Lim xy 00 ex ey cosx sen y e⁰ e⁰ cos 0 sen 0 1 1 1 0 2 1 2 o limite existe e é 2 2 Lim xyz 010 y³ xz² x² y² z² 1³ 00² 0² 1² 0² 1 0 0 1 0 1 1 1 o limite existe e é 1 3 Lim xy 00 x² y x² y² Lim x 0 x² 0 x² 0² Lim x 0 x² x² 1 Lim y 0 0² y 0² y² Lim y 0 y y² Lim y 0 1 y o limite não existe 4 Lim xyz 000 x² y² 2z² x² y² 2z² Lim z 0 0² 0² 2z² 0² 0² 2z² Lim z 0 2z² 2z² 1 Lim xy 00 x² y² 0 x² y² 0 Lim xy 00 x² y² x² y² 1 o limite não existe 5 Lim xyz 000 x² y² z² x⁶ y⁶ z⁶ Lim t 0 t² t² 0² t⁶ t⁶ t⁶ Lim t 0 t⁶ 3t⁶ 13 Lim t 0 t² t² 0² t⁶ t⁶ 0⁶ Lim t 0 0 2t⁶ 0 o limite não existe 6 Lim xy 00 x² y² x² y² Lim r 0 r cosθ² r senθ² r cosθ² r senθ² Lim r 0 r⁴ cos²θ sen²θ r² cos²θ sen²θ Lim r 0 r⁴ cos²θ sen²θ r² Lim r 0 r² cos²θ sen² θ 0 r² cos²θ sen² θ r² o limite existe e é 0 7 Lim xy 00 xy x² y² Lim r 0 r cosθ r senθ r cosθ² r senθ² Lim r 0 r² cosθ senθ r² cos²θ sen²θ Lim r 0 r² cosθ senθ r Lim r 0 r cos θ sen θ r cos θ senθ r o limite existe e é 0 8 Lim xy 00 2x² y 3x² 3y² Lim r 0 2 r cosθ² r senθ 3r cosθ² 3 r senθ² Lim r 0 2r³ cos²θ senθ 3r² cos²θ sen²θ Lim r 0 2r³ cos²θ senθ 3r² Lim r 0 23 r cos²θ sen θ 23 r cos²θ senθ 23 r o limite existe e é 0 9 Lim xy 00 x³ x² y² Lim r 0 r cosθ³ r cosθ² r senθ² Lim r 0 r³ cos³θ r² cos²θ sen²θ Lim r 0 r³ cos³θ r² Lim r 0 r cos³θ r cos³θ r o limite existe e é 0 5 1 lim xy 00 x ex x ey 0 e0 0 e0 1 1 1 O limite é 1 2 Lim xy 00 2x 5 xy 4 20 5 00 4 5 4 54 O limite é 54 3 Lim xy 00 x2 y2 x2 y2 Se y 0 lim x 0 x2 x2 1 Se x 0 lim y 0 y2 y2 1 O limite não existe 4 Lim xy 00 xy2 x3 x3 yx2 xy2 x3 x3 yx2 xy2 x2 x2 x y y2 x2 xx y Se y 0 lim x 0 x2 x2 1 Se y x lim x 0 x2 x2 xx x lim x 0 2x2 2x2 1 O limite não existe 5 Lim xy 00 5x76 y8 x65 Se y 0 lim x 0 5x76 x65 lim x 0 5x11 0 Se x 0 lim y 0 0 y8 0 Se y xk lim x 0 5x76 x8k x65 lim x 0 5x76 x65 x65 lim x 0 5x11 2 0 6 1 f y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 se xyz 000 0 se xyz 000 Quando se aproxima da origem o valo depende da direção Por exemplo se z 0 o resultado dá 1 se x y 0 dá 1 como depende do caminho o limite não existe Não é contínua na origem 2 F xyz x2 y2 z2 x2 y2 z2 se xyz 000 0 se xyz 000 x p sen φ cos θ y p sen φ sen θ z p cos φ x2 y2 z2 x2 y2 z2 p6 sen4 φ cos2 θ sen2 θ cos2 φ p2 p4 sen4 φ cos2 θ sen2 θ cos2 φ Quando p 0 a expressão tende a 0 O limite existe e é 0 É contínua na origem 3 F x y z ex ey cos x sen y Lim x y z 0 0 0 ex ey cos x sen y e0 e0 cos 0 sen 0 1 1 1 0 2 Todas as funções envolvidas são contínuas e o denominador não zera perto da origem É contínua na origem 4 F x y z xyz x3 y3 z3 se x y z 0 0 0 3 se x y z 000 Se x y z então F x x x x3 3x3 13 Se x y 0 então F 0 0 z 0 z3 0 Como os limites são diferentes dependendo do caminho o limite não existe Não é contínua na origem 5 F x y x3 x2 y2 se x y 0 0 1 se x y 0 0 x3 x2 y2 r3 cos3 θ r2 r cos3 θ Quando r 0 a expressão tende a 0 O limite existe e é 0 No entanto o valor da função na origem é 1 Como o limite é diferente do valor da função na origem a função não é contínua na origem 6 Fxy 7x4y 3x4 3y4 se xy 00 0 se xy 00 Se y x então Fxx 7x5 3x4 3x4 7x5 6x4 7x 6 Se x0 a expressão tende a 0 Se y0 então Fx0 0 3x4 0 y mx 7x4mx 3x4 3mx4 7mx5 3x4 3m4x4 7mx 3 3m4 Quando x0 a expressão tende a 0 É contínua na origem 7º 1 Fxy senx 3y2 Fx cosx 3y2 Fy cosx 3y2 6y 6y cosx 3y2 2 Fxy ex 9y8 Fx ex Fy 72 y7 3 Fxy lnxy x2 Fx y 2x xy x2 Fy x xy x2 1 y x 4 Fxy e2xy senx2 y x3 y3 Fx 2ye2xy cosx2 y x3 y3 2xx3 y3 x2 y3x2 y3 x3 y32 2ye2xy cosx2 y x3 y3 2x4 y3 3x4 y3 3x2 y4 x6 y6 2ye cosx2 y x3 y3 5 Fxy x y y2 x2 Fy 1y2 x2 x y 2y2 x2 2x y2 x2 y2 x2 y2 xy y2 x232 6 Fxy sencossenx3 y5 Fx cossenx3 y5 sensenx3 y5 cosx3 y5 3x2 Fy coscossenx3 y5 sensenx3 y5 cosx3 y5 5y4 7 Fxy xex x y Fx ex xex 1 Fy 1 8º 1 Fxy senx 3y2 Fx cosx 3y2 Fy 6y cosx 3y2 Fxx x Fx senx 3y2 Fyy y Fy 6 cosx 3y2 36y2 senx 3y2 Fxy y Fx 6y senx 3y2 Fyx x Fy 6y senx 3y2 2 Fxy ex 9y8 Fx ex Fy 72 y7 Fxx x Fx ex 9y8 Fyy y Fy 504 y6 Fxy y Fx 0 Fyx x Fy 0 7 Fxy xex x y Fx ex xex 1 Fy 1 Fxx x Fx ex ex xex 2ex xex Fyy y Fy 0 Fxy y Fx 0 Fyx x Fy 0 9º 1 Fxy xy Fx xy y Fx 00 0 Fy xy x Fy 00 0 L xy F 00 Fx 00 x Fy 00 y 0 0x 0y 0 Lim xy 00 Fxy Lxyx² y² 0 Lim xy 00 xyx² y² x r cos θ y r sen θ Lim r 0 r² cos θ sen θ r Lim r 0 r cos θ sen θ 0 É diferenciável na imagem 2 Fxy x³ 4y² Fx xy 3x² Fx 00 0 Fy xy 8y Fy 00 0 L xy F 00 Fx 00 x Fy 00 y 0 0x 0y 0 Lim xy 00 F xy L xyx² y² 0 Lim xy 00 x³ 4y²x² y² x r cos θ y r sen θ Lim r 0 r³ cos³ θ 4r² sen² θr Lim r 0 r² cos³ θ 4 r sen² θ 0 É diferenciável na origem 3 F xy xy cos x y Fx xy y cos x y xy sen x y Fx 00 0 Fy xy x cos x y xy sen x y Fy 00 0 L xy F 00 Fx 00 x Fy 00 y 0 0x 0y 0 Lim xy 00 F xy L xyx² y² 0 x r cos θ y r sen θ Lim r 0 r² cos θ sen θ cos r cos θ sen θ r Lim r 0 r cos θ sen θ cos É diferenciável na origem 4 F xy x13 cos y Fx xy 13 x23 Fy xy sen y Não é diferenciável na origem 5 F xy xyx² y² se xy 00 0 se xy 00 Fx 00 lim h 0 Fh0 F00 h lim h 0 0 0 h 0 Fy 00 lim k 0 F0k F00 k lim k 0 0 0 k 0 L xy F 00 Fx 00 x Fy 00 y 0 0x 0y 0 Lim xy 00 Fxy Lxyx² y² 0 Não é diferenciável ²ux₁² ²ux₂² ²uxₙ² u uxᵢ xᵢ ea₁x₁ a₂x₂ aₙxₙ aᵢ ea₁x₁ a₂x₂ aₙxₙ aᵢ u ²uxᵢ² xᵢ uxᵢ xᵢ aᵢ u aᵢ uxᵢ aᵢ aᵢ u aᵢ² u ⁿi1 ²uxᵢ² ²ux₁² ²ux₂² ²uxₙ² a₁² u a₂² u aₙ² u a₁² a₂² aₙ² u ⁿi1 ²uxᵢ² 1 u u ²ux₁² ²ux₂² ²uxₙ² u z lneˣ eʸ zx zy 1 ²zx² ²zy² ²zxy² 0 zx eˣeˣ eʸ zy eʸeˣ eʸ zx zy eˣeˣ eʸ eʸeˣ eʸ eˣ eʸeˣ eʸ 1 ²zx² x eˣeˣ eʸ eˣeˣ eʸ eˣ eˣeˣ eʸ² eˣ eʸeˣ eʸ² ²zy² y eʸeˣ eʸ eʸeˣ eʸ eʸ eʸeˣ eʸ² eˣ eʸeˣ eʸ² ²zxy x eʸeˣ eʸ eʸ eˣeˣ eʸ² eˣ eʸeˣ eʸ² ²zx² ²zy² ²zxy² eˣ eʸeˣ eʸ²eˣ eʸeˣ eʸ² eˣ eʸeˣ eʸ²² eˣ eʸ²eˣ eʸ4 eˣ eʸ²eˣ eʸ4 0 z lneˣ eʸ é uma solução para ambas