Lista de Matemática

LISTA 2 MATEMÁTICA 2 Guilherme Kodenk K dxu ex x dx cos² x dx Exercício 1 A x y 900 P 2x 2y Px 2x 2900x 2x 1800x Px 2 1800x2 Px 0 2 1800x2 0 1800x2 2 x2 900 x 30 y 90030 30 As dimensões da piscina devem ser 30m x 30m É um quadrado que é um retângulo com menor perímetro para uma área fix Exercicio 2 Produto dos dois Px x 100x 100x x2 Px 100 2x Ponto crítico Px 0 100 2x 0 x 50 100 x 50 Os dois números devem ser 50 e 50 ou seja iguais O produto máximo ocorre quando os dois números são iguais Exercício 3 Perímetro fixo P 2x 2y 100 x y 50 y 50 x Área Ax x y x 50x 50x x2 Ax 50 2x y 50 25 25 Ax 0 50 2x 0 x 25 O retângulo de maior área com perímetro 100m é um quadrado de 25m x 25m Exercício 4 fx x 1x com x0 fx 1 1x2 Ponto crítico fx 0 1 1x2 0 1x2 1 x2 1 x 1 senx dx Verificar se é mínimo fx 2x3 Para x 0 temos fx 0 então x 1 é um mínimo global O número real positivo que minimiza x 1x e o valor mínimo da soma é 1 11 2 Exercício 5 Rx 30x x2 Cx 20 4x 1 Lucro Lx Rx Cx 30x x2 20 4x Lx 30x x2 20 4x x2 26x 20 Lx 2x 26 Lx 0 2x 26 0 x 13 A quantidade que maximiza o lucro é x 13 2 Custo marginal receita marginal Cx 20 4x Cx 4 Rx 30x x2 Rx 30 2x Verificar para x 13 R13 30 2 13 4 e C13 4 Sim no ponto que maximiza o lucro x 13 a receita marginal é igual ao custo marginal ambos são iguais a 4 Exercício 6 Cx 100 3x p 24 x3 Maximizar lucro Lx Rx Cx Receita total Rx p x 24 x3 24x x23 Obter lucro Lx Rx Cx 24x x23 100x 3x Lx 24x x23 100x 3x 21x x23 100 Lx 21 2x3 Ponto ho EXRrüio Cone H2 R 5 Pere mexi mi 2r o lucro aPnp rua dve produnr apnoimade meute 315 unida leo por ms lomoumdoues não ostumam er wtumam er racinudan dapndindo do wmtexto po de podutr 31 ou 32 unidadl wii ar luro xao emada uma neunâno h 2 Marinigar a altro do ndno Va arh Rolocionan reh unamlo nmelhemeo ole trilngulo vh 2Su 444 r 526 3 Vznha s4h a254he a 25h 42 r54 2 3 2 rorcio bae do dindho h aaure olo ilimdro víh n 25l24 3 Na vedede a alture do cone ecisma do ihindho i l2h e o taiônsg ulo Menor tom baw r o wmejor tom bae 5 ln tae u 42h vsh 42 Derivada para morini tr r 542h h 25u u2hh 144 12 Vlh 25n 1244 444 Vh 25D T202hbt 42h VW 252l12h h h2h 2 444 v4 257 u2h2h 424 25a 12h 42 34 senx dx 424423h0 hz12 u h4 ha 2 volume do olindns sie 2ero Eutao o pon r S12 S 40 10 em l2 Altura 4cn As diwmewões do uimdho de maior volume que pocu nr iono one bao Raio da bex 0 Cm h 2000 manmo e 3 Sejo h aaltwe ola tixa om cu Voume iko V xh 2000 Bae e tampe 2 area gadrada 3 Änea folal 2x con usko de 130o cm Custo32 6 Lados 4 lados retanaulares Pomto ho atevel 4xh comm custo de 150cutCusho 154xh 6xh 400 h 20002 CCx 6x6xlooo 6x 2000 Lado hane 40 cm ADtura 20 Cn As dinmenoeo da aiko de mgmor oto sa sec x dx 2 ln sec x tan x C Exorciuo 4 O lago ABIstöo 6 eAM rulo de pitnet 4 Kanralo 05 u O ihomean norte du A umo ai o nub DMe horda e dopois camiule ela atio out borole ati B Coutro oo A 050 Remade AP d too Caminhede ao ro5 No25y2a r465 o25x Tampo d canahoda r 050 Angulo emtre os pomtos PeB E pwporwomot ao arco Sejo o angalo sute os pomtos Co 0 x05 2x 0 areco 2 loogo de borda avco irunerîmia 5Teampo distinoafvelodole Txx t05 B05o drimo trO25 025 x A gori cpo ue Ma SRemando a 2Kmlh co Muinhando a kum h Melhor e tatzgia aguilibor répida Ocore x022 052 honan ou x05 mas leuto com ainheda mais 342 miute 1tan x dx Exereruo w A oslera tem roaio wto u diânmeto 2r OGindho erts inwto destho da fes ha altura do amd a o rodo do hat oooidno Lelaias ahir 0 0 tonto do esfkna età vo melo da altura do endo cateko hipotrnuna vtha 2 Volumy do ohmo Va aah 2 AHure Roao ho v0 r 3L 2 3 4 2 3 3 cotan x dx ln sin x C A J2x dx 2 ar tsJx r5C lc ndo a cotente de imtepvaco 3 j3x dx 3 x M 2 3jxdx 3 5 feam lxJx 2 65 Xdx 5xVs 4 2 2xC 3 Mtlz b J 5 X C 32 Col t C cotan x dx lnsen x C SdrSx 1 foaa3de M 3 2 2 Pare qulauer ai xdr x Sdr 2 52 2x 2 4 2 2 c X3x C Yaua m 2 4 xdx X 4 2 cotan x dx lncotan C ur lulrlC 12 RuCal cenlalk 13de I4 3 3 du du xdx A derivade de mlr olx A deicda de utx 2ulrcolx No mueNaon femmos n 2x e sec x dx ln sec x tan x C isd J 16 4 du uJuul c x luly 4 e16 dx u du u due 2uc e dee 4 c lul dx lu lulxl tc dxe du du Ju du ulul c e16 uze du ed ex x dx x ex dx ex ex dx ex ex C du 12 lnx 5x3 2x2 5 dx 5x3dx 2x2dx 5 dx 5x44 2x33 5x C 5x dx 12 dx 5x22 12 x2 5x dx 14 x2 3x C 3x 3x7 dx 5x3 dx 12 x2 3x C como qualquer mr11 5x3 dx 3x23 C vx3 dx 3x3 C 9 x2 dx 2 x1 x2 dx 32 x32 C Como n2 n1 5x2 dx 32 x32 C 10 1 cosx dx 51x dx cosx dx 5dx cosx dx cosx dx senx cosx dx 11 5x dx 5 1x dx in 1x C x dx 415dx 4 ln xl C 5x dx 7 ln xl C sec x dx ln sec x tan x C Exercício 11 1 int 5x5 dx int 2x dx int 5 dx int 5 dx 5x int 5x 5 dx x2 5x c L sendo a constante de integração 2 int 8x 5 dx x2 5x c int 3x2 dx 32 x3 c int x2 dx 13 x3 c 3 int sqrtx sqrtx dx int x32 13 x32 C 4 int x5 6x dx int x7 7 6x2 5 C n o g Rightarrow n1 7 cdot 1 frac15 c 5x 65x 15x c 5 int sen x dx cons x c 6 int 5 5x 5 dx int 5 dx 5xfrac12 C xx dx u du u²2 C Exercício 10 A pessoa tem que estar entre o diâmetro e a circunferência O triângulo estará montado dentro do semi A altura do cilindro A base da base do cilindro Relação a x b y O centro de massa actio no meio do eixo da altura do cilindro O raio do círculo é a hipotenusa de um triángulo retangulo com a e b ou seja a2 b22 r2 Rightarrow r2 a2 b2 4 Volume do cilindro V pi r2 h pi a h V h pi r2 b2 4 pi h r h b 2 Para achar volume V h 0 Rightarrow r2 b2 4 0 Rightarrow r2 b2 4 r2 b2 4 Rightarrow r b 2 Altura fracb sqrt32 Raio da base r cdot sqrt3 Exercício 9 O lago é um círculo de diâmetro 1km ou 20 5 km A pessoa com visão de um observador na margem do lago pode ver a oração e o barco do outro lado desde que o barco não esteja abaixo da superfície da água Centro 050 Raio esperamos P x sqrt025x2 Remando de A P Temos sqrtx052025x2 sqrtx2x052025x2 x052025x2 x2x052025x2 sqrt025x2 Forma de foto de boca de uma circunferência Ângulo entre os pontos P e B é aproximadamente do arco P é o ângulo reto se pontos Soamude heta 05 heta cos 10 xal05 0 orao 2x Tempo Tempo distancia velocidade Remando a 2kmh caminhando a 4 kmh T Tmes 4 Melhor estratégia é igual remando lento mais lento com caminhada A posição óptima ocorre x approx 022 O tempo mínimo é 052 horas ou 312 minutos 12123h0 h1206b4 Responda a volume do cilindro maior Info o ponto maxímo de h4 h1 r512h 58 40 10 cm 12 10 3 cm As dimenções do cilindro de maior volume que pode ser inscreve na caixa são altura 4 cm Raio da base 10 cm Exercício 8 Seja x o lado do base em cm Seja h o altura do caixa em cm volume pô x2h 2000 h 2000x2 Base e altura 2 Dados 32x² 6x² Área total 2x² com altura de R3100 em ² Lados 154h 6xh r5 4 lado 11000 Matéria Uctea 154xh 6xh Custo total 14xh Lado de 450 em ² 6xh Custo total em ²x h 20006x 6x 12000 Cx 1x 20006x 6x 12000 Cx 1x 20006x 1x 0 x1x 10003 1000 x 10 x 10 h 2000100 20 x 10 h 20 As dimensões da caixa de menor custo são lado da base 10 cm altura 20 cm 18 Exercício 7 raio maior do base do cilindro h a altura do cilindro Cone H12 r5 determinar o volume do cilindro h maior o volume do cilindro V πr²h Maximizar o volume V πr²h Relação r e h encontrada merlhag de traqeufos l 5 r 5 h 12 25 5 h V πr²h π512h²h 25 144 h³ Vh 25π144 h³ No vértode do altura cone acima do cilindro é 12h e o triângulo merio base e o menor base 5 entre 5 Entre 12 e h r 5 12h12 h E Vh 5πr²h 3 π r 512h12 ² h Vh 25π144 h² 12h² 25π144 12h² h ² Vh 25π144 h² 12h² Derivado de Vh vh 25π144 2h 12h² 2π h 12h h Vh 25π144 2h 12h² 212h h h Derivado de Vh Vh 25π144 2h 12h 12h1 h 12h² Vh 25π144 12h² 2h 12h 19 2 Cube meriginal meria marginal Cx 20 4x 2cixa 4 Rx 30x x² 3x Rx 30 2x verificar para x13 e C13 4 verificar que o valor x12 o custo marginal Exercício 6 Cx 100 3x A 21 3x 3x Maximir lucro Lx Rx Cx Lucro total Rx px 29x3x 29x x²3 Deriva lucro Lx Rx Cx 29xx²3 100x Lx 29x x²3 100 x 28x x²3 100 Pontos critico Lx 21 2x3 0 2x3 x 315 325 Para maximizar o lucro deve produzir aproximadamente 325 unidades Como máximo lucro é R 475 precisadon depositar dados de entrada produzir 31 ou 32 unidades relatifar moeda em cada lato para uma revisão Ponto crítico Δfx0 30 2x 0 x 05 Ψ 50 25 25 A tampa de madeira área um paralelepípedo com perímetro 100cm e um produto de 25cm x 85cm Exercício 1 fx x 7 com x 0 fx 1 7x² Ponto crítico fx 0 1 7x² 0 x² 7 x 1 Varável x se mínimo fx 77 7 2 5 Para x 20 fx 20 temos fx20 05 Como o mínimo fx 1 com mínimo global local O número que maximiza x 7x é o valor máximo de x Exercício 2 Rx 30x x² Cx 30 4x Depois Lk Rx Cx 30x x² 20 4x Lx 30x x² 20 4x x² 26x 20 Lx 2x 26 0 2x 26 0 x 13 Δ A quantidade que maxima o lucro é x 13