Lista Matemática

Lista 1 Professor Mateus Figueira Exercício 1 Calcule a derivada das seguintes funções 1 y 5 3x⁴8 2 y 40 8x⁵10 x³6 3 y x eˣ 4 y t²t 1 5 y 3x²4 x³ 6 y 2t³⁴t⁴ 1 7 y sen³4x 8 y tan²x sec²x 9 y arctan3x 10 y lnx⁴ 5x 11 y ln1x³ 1x² 12 y eˣ⁶³ˣ² Exercício 2 Encontre os pontos de máximos e mínimos locais das seguintes funções utilizando o teste da derivada primeira e o teste da derivada segunda 1 fx x⁴ 2x² 2 fx 2 ³x 1² 3 fx xlnx Exercício 3 Qual é o maior e o menor valor absoluto da função fx 3x⁴ 6x² 1 no intervalo fechado 2 2 Exercício 4 Encontre os valores máximo e mínimo globais de fx 2x³ 3x² 12 1 no intervalo fechado 2 3 Exercício 5 Considerando a função x²ex definida no intervalo fechado 1 5 encontre caso exista os seus valores máximo e mínimo globais Exercício 6 Determine os pontos de inflexão das curvas dadas pelas funções 1 fx x³ 3x² 9 9 2 fx ln1 x² 3 fx 1x² 1 4 fx lnx x2 1 Exercıcio 7 Determine as assıntotas de cada uma das curvas abaixo caso existam 1 y x2 1 1 x 2 y 1 x 23 3 y e 1 x 1 4 y x e 1 x2 Exercıcio 8 Estude o comportamento e faca um esboco do grafico das seguintes funcoes 1 y x4 2x 10 2 y 6x 1 x2 3 y e 1 x Exercıcio 9 A funcao custo anual de uma empresa e Cx 40x 10x2 x3 1 Ache a funcao custo medio 2 Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento do custo medio indicando os eventuais pontos de maximos e mınimos Exercıcio 10 Use o Teorema do Valor Medio para mostrar que a equacao x3 15x c tem no maximo uma raiz no intervalo 2 2 Exercıcio 11 Use o Teorema do valor medio para mostrar que se f x gx para todo x em um intervalo a b entao f g e constante em a b isto e fx gx d em que d e uma constante 2 Exercıcio 11 y 5 3x4 8 y 0 3 8 4x3 y 12 8 x3 3 2x3 Exercıcio 12 y 40 8x5 10 x3 6 40 4x5 5 x3 6 y 0 4 5 5x4 1 6 3x2 y 4x4 3 6x2 4x4 1 2x2 Exercıcio 13 y x ex Regra do Produto y 1 ex x ex y ex1 x Exercıcio 14 y t2 t 1 Regra do Quociente y 2tt 1 t21 t 12 y 2t2 2t t2 t 12 t2 2t t 12 1 Exercício 19 y arctan3x y 11 3x² 3 31 9x² Exercício 110 y lnx⁴ 5x y 1x⁴ 5x 4x³ 5 4x³ 5x⁴ 5x Exercício 111 y ln1x³ 1x² ln1 x 3 lnx y 11 x 3x 2x 3xx 1 Exercício 112 y eˣ⁶³ˣ² y eˣ⁶³ˣ² 6x⁵ 6x 6x⁵ 6xeˣ⁶³ˣ² Exercício 21 fx x⁴ 2x² Pontos críticos fx 0 fx 4x³ 4x 4xx² 1 4xx 1x 1 fx 0 x 0 x 1 x 1 Exercício 15 y 3x²4 x³ 3x²4 x³12 y 6x4 x³12 3x²124 x³12 3x² y 6x4 x³ 9x⁴24 x³ y 12x4 x³ 9x⁴24 x³ 48x 21x⁴24 x³ Exercício 16 y 2t³t⁴ 1 2t³t⁴ 114 y 6t²t⁴ 114 2t⁶t⁴ 134t⁴ 112 y t⁴ 1346t²t⁴ 1 2t⁶t⁴ 112 4t⁶ 6t²t⁴ 154 Exercício 17 y sin³4x sin4x³ y 3sin4x² cos4x 4 12 sin²4x cos4x Exercício 18 y tan²x sec²x 1 Identidade Trigonométrica y 0 Teste da segunda derivada fx 12x2 4 f0 4 0 Mínimo local em x 0 f0 0 f1 12 4 8 0 Máximo local em x 1 f1 1 f1 12 4 8 0 Máximo local em x 1 f1 1 Exercício 22 fx 2 3x 12 2 x 123 Pontos críticos fx 0 ou não existe fx 23 x 113 2 3x 1 fx nunca é zero fx não existe em x 1 Portanto x 1 é um ponto crítico Teste da primeira derivada Se x 1 x 1 0 3x 1 0 fx 0 função crescente Se x 1 x 1 0 3x 1 0 fx 0 função decrescente Como a derivada muda de positiva para negativa em x 1 temos um máximo local em x 1 f1 2 Exercício 23 fx x lnx domínio x 0 x 1 Pontos críticos fx 0 fx 1lnx x1x lnx2 lnx 1 lnx2 fx 0 lnx 1 0 lnx 1 x e Teste da segunda derivada fx 1xlnx2 lnx 12 lnx 1x lnx4 fx 2 lnx x lnx3 fe 2 lne e lne3 1 e 0 Como fe 0 temos um mínimo local em x e fe e Exercıcio 3 fx 3x4 6x2 1 no intervalo 2 2 Pontos crıticos no intervalo f x 12x3 12x 12xx2 1 f x 0 x 0 x 1 x 1 todos em 2 2 Avaliando a funcao nos pontos crıticos e nas extremidades do intervalo f2 316 64 1 25 f1 31 61 1 2 f0 1 f1 3 6 1 2 f2 316 64 1 25 Comparando os valores Maior valor absoluto maximo absoluto 2 ocorre em x 1 e x 1 Menor valor absoluto mınimo absoluto 25 ocorre em x 2 e x 2 Exercıcio 4 fx 2x3 3x2 12x 1 no intervalo 2 3 Pontos crıticos no intervalo f x 6x2 6x 12 6x 2x 1 f x 0 x 2 x 1 ambos em 2 3 Avaliando a funcao nos pontos crıticos e nas extremidades do intervalo f2 28 34 122 1 3 f1 21 31 121 1 8 f2 28 34 122 1 19 f3 227 39 123 1 8 Comparando os valores Valor maximo global 8 ocorre em x 1 Valor mınimo global 19 ocorre em x 2 5 Exercıcio 5 fx x2ex no intervalo fechado 1 5 Pontos crıticos no intervalo f x 2xex x2ex xex2 x f x 0 x 0 x 2 ambos em 1 5 Avaliando a funcao nos pontos crıticos e nas extremidades f1 12e1 e 2718 f0 02e0 0 f2 22e2 4e2 0541 f5 52e5 25e5 0168 Comparando os valores Valor maximo global e ocorre em x 1 Valor mınimo global 0 ocorre em x 0 Exercıcio 61 fx x3 3x2 f x 3x2 6x f x 6x 6 f x 0 6x 6 0 x 1 Ponto de inflexao 1 f1 1 2 Exercıcio 62 fx ln1 x2 f x 2x 1 x2 f x 2 2x2 1 x22 f x 0 2 2x2 0 x 1 Pontos de inflexao 1 ln 2 e 1 ln 2 6 Exercıcio 63 fx 1 x21 f x 2xx2 12 f x 6x2 2 x2 13 f x 0 6x2 2 0 x 1 3 Pontos de inflexao 1 3 3 4 e 1 3 3 4 Exercıcio 64 fx lnx x2 1 f x x2 112 f x x x2 132 f x 0 x 0 Ponto de inflexao 0 f0 0 0 Exercıcio 71 y x21 1x Assıntota Vertical Procuramos onde o denominador e zero 1 x 0 x 1 Calculamos o limite para confirmar lim x1 x2 1 1 x 12 1 0 2 0 Como o limite tende ao infinito ha uma assıntota vertical em x 1 Assıntota HorizontalOblıqua Comparamos os graus dos polinˆomios O grau do nu merador 2 e uma unidade maior que o grau do denominador 1 Isso indica a existˆencia 7 de uma assíntota oblíqua da forma y mx b m lim x fxx lim x x2 1 x 1 x lim x x2 1 x2 x 1 b lim x fx mx lim x x2 11 x 1 x lim x x2 1 x1 x 1 x lim x x2 1 x x2 1 x lim x 1 x 1 x 1 A assíntota oblíqua é y x 1 Exercício 72 y 1x23 Assíntota Vertical O denominador é zero quando x 23 0 x 2 O limite confirma lim x2 1x 23 Portanto a assíntota vertical é x 2 Assíntota Horizontal O grau do numerador 0 é menor que o grau do denominador 3 Isso indica uma assíntota horizontal em y 0 Confirmamos com o limite lim x 1x 23 0 A assíntota horizontal é y 0 A assíntota horizontal é y 0 Exercício 74 y x e1x Assíntota Vertical O ponto de indefinição está em x 0 Verificamos o limite lim x0 x e1x forma 0 Reescrevemos como lim x0 e1x 1x Usando LHôpital ou a substituição u 1x o limite é Portanto a assíntota vertical é x 0 Assíntota HorizontalOblíqua Primeiro checamos o limite no infinito lim x x e1x e0 Como o limite é infinito não há assíntota horizontal Procuramos uma oblíqua y mx b m lim x fxx lim x x e1xx lim x e1x e0 1 b lim x fx mx lim x x e1x x lim x x e1x 1 forma 0 Para resolver este limite usamos a substituição u 1x Quando x u 0 b lim u0 1u eu 1 lim u0 eu 1 u Este é um limite fundamental conhecido ou pode ser resolvido por LHôpital cujo valor é 1 A assíntota oblíqua é y x 1 Exercício 81 y fx x4 2x 10 Domínio R Derivadas fx 4x3 2 fx 12x2 Pontos Críticos fx 0 x 12 CrescimentoDecrescimento Decrescente em 12 crescente em 12 Mínimo local em x 12 Concavidade fx 0 sempre côncava para cima Exercıcio 82 y fx 6x 1x2 Domınio R Simetria Impar Assıntota Horizontal y 0 Derivadas f x 61x2 1x22 f x 12xx23 1x23 Pontos Crıticos x 1 Maximo em x 1 mınimo em x 1 Inflexao x 0 x 3 Exercıcio 83 y fx e1x2 10 Domínio ℝ 0 Simetria Par Assíntota Horizontal y 1 Comportamento perto de 0 limx0 fx 0 Derivadas fx 2x3 e1x2 fx 46x2x6 e1x2 Pontos Críticos Nenhum Inflexão x 23 Exercício 9 Cx 40x 10x2 x3 1 Função Custo Médio Cmx Cxx 40 10x x2 2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento Cmx 10 2x 0 x 5 Intervalo de decrescimento 0 5 Intervalo de crescimento 5 Ponto de mínimo em x 5 Exercıcio 10 Seja fx x3 15x c Suponha que fx tenha duas raızes a b 2 2 Pelo Teorema de Rolle existiria um k a b tal que f k 0 A derivada e f x 3x2 15 Igualando a zero temos x2 5 ou seja x 5 Nenhum desses valores pertence ao intervalo 2 2 Isso e uma contradicao Logo a funcao nao pode ter duas raızes em 2 2 e portanto tem no maximo uma Exercıcio 11 Seja hx fx gx Como f x gx a derivada de hx e hx f x gx 0 para todo x a b Pelo Corolario do Teorema do Valor Medio se a derivada de uma funcao e zero em um intervalo a funcao e constante nesse intervalo Portanto hx d para alguma constante d Isso implica fx gx d ou seja fx gx d 12