Trabalho Matematica

Lista 3 Matemática 2 Professor Mateus Figueira Exercício 1 Substituição simples em integrais definidas Calcule as seguintes integrais definidas 1 ₀² x1² 5 dx 2 ₁² e1xx² dx 3 ₀π3 senxcos²x dx Exercício 2 integrais de funções trigonométricas com expoente pares e impares Resolva as seguintes integrais indefinidas 1 tan³x dx 2 sen³x2cosx dx 3 sen²x cos²x dx 4 sen²xcos⁶x dx 5 sec⁶x dx Exercício 3 Substituições trigonométricas Calcule as seguintes integrais 1 2323 dxx⁵ 9x² 1 2 ₀06 x²925x² dx 3 dxx² a² onde a ℝ 0 Exercício 4 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y cos x e y senx no intervalo 0 x π4 em torno do eixo y 1 Exercício 5 Esboce e calcule a área limitada pelas seguintes curvas 1 y 2 y cosx 1 x 0 e x π 2 y x² e y x 3 y 1x y 1x² e x 2 Exercício 6 Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por y x² o eixo x e as retas x 0 e x 1 girado ao redor do eixo y Exercício 7 Encontre o comprimento de arco da parábola y x² de x 0 até x 1 Depois encontre a área externa da superfície de revolução determinada por essa mesma parábola ao redor do eixo x entre x 0 e x 1 Exercício 8 Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região y x e y x² Exercício 9 integrais por partes Calcule a integral 1 x² e4x dx 2 r² r 1 er dr 3 x² sen 2x dx 4 x lnx dx 5 ex senx dx Exercício 10 Integral imprópria A trombeta do anjo Gabriel ou ainda trombeta de Torricelli é uma superfície de revolução que se obtém girando ao redor do eixo x a curva y x1 com x 1 Mostre que tal superfície tem área externa infinita e volume finito Dica definimos por integral imprópria quando um dos limites da integral é infinito a fx dx lim b ab fx dx Exercício 11 Fração parciais Calcule as seguintes integrais 1 11x² dx 2 x4x² 5x 6 dx 3 1x² 2x dx 4 x32x³ 8x dx Exercício 12 O custo unitário Cx para produzir um certo artigo num período de 10 anos é dado por Cx 25 02x 05x² 0003x³ onde x é o tempo em meses Determine o custo unitário médio durante o período Exercício 13 Uma distribuidora estoca 24000 caixas de seu principal produto para as vendas de natal Em geral as vendas são baixas no início do mês de dezembro e à medida que se aproxima o dia 24 as vendas aumentam de tal modo que após x dias desde primeiro de dezembro o estoque é dado por ex 24000 3x³ 1 x 20 Determine o número médio de caixas disponíveis no período de 20 dias 1 1 ₀² x1² 5 dx faça u x1 du du e se x0 u 1 e se x2 u 1 logo ₁¹ 5u³ du 53 u³ ₁¹ 531³ 1³ 53 2 103 1 2 ₁² e1xx² dx faça u 1x du 1x² dx se x1 u 1 se x2 u 12 logo 112 eu du 121 eu du eu 121 e e12 1 3 ₀π3 senxcos²x dx faça u cos x du sen x dx se x0 u cos0 1 se x π3 u cosπ3 12 logo ₁12 1u² du 121 1u² du 1u 121 1 2 1 2 1 tan³ x dx tan x sec² x 1 dx tan x sec² x dx tan x dx faça u tan x du sec² x dx u du lncosx u²2 lncos x C tan² x2 lncos x C 2 2 sen³x 2 cos x dx faça u 2 cos x du sen x dx sen x 1 cos² x 2 cos x dx sen x sen x cos² x 2 cos x 1 u 2² u du 1 u² 4u 4 u du 1u u 4 4u du u 3u 4 du u²2 3 ln u 4u C 2 cos x² 2 3 ln 2 cos x 42 cos x C 2 3 sen² x cos² x dx 1 cos4x 8 dx 18 1 cos 4x dx 18 x sen4x 4 C x8 sen4x 32 C 2 4 sen² x cos⁶ x dx sen² x sen² x 1 cos⁴ x dx tan² x sec⁴ x dx tan² x 1 tan² x sec² x dx faça u tan x du sec² x dx u² 1 u² du u² u⁴ du u³ 3 u⁵ 5 C tan³ x 3 tan⁵ x 5 C 2 5 sec⁶ x dx sec² x 1 tan² x² faça u tan x du sec² x dx sec² x 1 2 tan² x tan⁴ x dx 1 2 u² u⁴ du u 23 u³ u⁵ 5 C tan x 23 tan³ x tan⁵ x 5 C 3 1 23 dx x⁵ 9x² 1 faça x sec θ 3 dx sec θ tan θ 3 se x 2 3 sec θ 2 θ π4 se x 23 sec θ 2 θ π3 from π3 to π4 13 sec θ tan θ dθ 13 sec θ5 sec² θ 1 from π3 to π4 8 1 sec θ tan θ dθ sec θ tan θ from π3 to π4 8 cos⁴ θ dθ 81 from π4 to π3 1 cos 2θ 2 ² dθ 814 from π4 to π3 1 2 cos 2θ cos² 2θ dθ 814 θ sen 2θ θ2 sen 4θ 8 from π4 to π3 814 π3 sen 2π3 π6 sen4π38 π4 senπ28 π8 senπ8 814 π3 32 π6 316 π4 18 π8 0 814 π8 7316 1 81 2π 73 16 16 3 2 from 0 to 06 x² 9 25 x² dx from 0 to 06 x² 31 5x3² dx faça 5x3 sen θ x 35 sen θ dx 35 cos θ dθ se x 0 0 sen 0 θ 0 se x 06 06 35 sen θ sen θ 5 06 3 1 θ π2 from 0 to π2 35² sen² θ 35 cos θ dθ 3 cos θ from 0 to π2 9125 sen² θ dθ 9125 0π2 1 cos2θ 2 dθ 9125 θ2 sen2θ 40π2 9125 π4 senπ4 9125 π4 9π500 3 3 dx x² a² and a R a 0 faça x asecθ dx asecθ tantheta dθ x² a² atanθ logo asecθ tantheta dθ atanθ secθ dθ ln secθ tanθ C ln xa x² a² a C 4 Curvas y cos x e y sen x e intervalo 0 π4 Método dos anéis cilíndricos rotacionando em torno de y 1 Raio externo R distância de y 1 até y sen x isto é R 1 sen x Raio interno r distância de y 1 até y cos x isto é r 1 cos x Portanto o volume é calculado por V π 0π4 R² r² dx π 0π4 1 sen x² 1 cos x² dx π 0π4 1 2 sen x sen² x 1 2 cos x cos² x dx π 0π4 2 sen x 2 cos x cos2x dx π 2 cos x 2 sen x sen2x 20π4 π 22 2 22 2 12 21 20 0 π 22 12 2 π 22 52 5 1 Área A 0π 2 cos x 1 dx 0π 1 cos x dx x sen x 0π π sen π π 5 2 Área A 10 x x² dx x² 2 x³ 3 10 12 13 16 O intervalo é tal que x² x xx 1 0 x 0 x 1 5 3 y y1x² y1x Como 1x 1x² x² x xx10 x1 pois x 0 Então a área é calculada por A ₁² 1x 1x² dx lnx 1x₁² ln 2 12 ln 1 1 ln 2 12 6 yx² rotacionado no eixo y e limitado por x0 e x1 e o eixo x Pelo método das cascas cilíndricas temos que o volume é V 2π ₀¹ x y dx 2π ₀¹ x x² dx 2π ₀¹ x³ dx 2π x⁴4₀¹ 2π4 π2 7 O comprimento de yx² de x0 até x1 é dado por L ₀¹ 1y² dx ₀¹ 12x² dx ₀¹ 14x² dx faca 2xtan θ xtan θ2 dxsec² θ2 dθ se x0 θ0 e se x1 θarctan2 ₀arctan2 sec² θ2 1tan² θ dθ 12 ₀arctan2 sec³ θ dθ 12 12 sec θ tan θ 12 lnsec θ tan θ ₀arctan2 como para θarctan2 temos sec θ 1tan² θ 5 tan θ2 e para θ0 temos sec θ1 e tan θ0 logo 14 5 2 ln2 5 0 ln 1 254 ln254 52 ln254 Agora a área existente da superfície pela rotação em x é dada por A ₀¹ y 2π 1y² dx 2π ₀¹ x² 14x² dx faca 2x tan θ x tan θ 2 dx sec² θ 2 dθ se x0 θ0 e se x1 θarctan2 logo A 2π ₀arctan2 tan θ 2² sec θ sec² θ 2 dθ π4 ₀arctan2 tan² θ sec³ θ dθ π4 ₀arctan2 sec² θ 1 sec³ θ dθ π4 ₀arctan2 sec⁵ θ dθ π4 ₀arctan2 sec³ θ dθ como sec⁵ θ dθ sec³ θ tan θ 4 34 sec³ θ dθ e sec³ θ dθ já foi calculada anteriormente voltando do θ para x temos π32 14x²32 2x x 14x² 12 ln 2x 14x² ₀¹ π32 532 2 5 12 ln25 π32 105 5 12 ln25 π32 95 12 ln25 8 Região y x e y x² em torno de y x x² xx1 0 x 0 e x 1 Por cascas cilíndricas o volume é V 2π ₀¹ xx x² dx 2π ₀¹ x² x³ dx 2π x³3 x⁴4₀¹ 2π 13 14 2π 112 π6 9 1 x² e⁴ˣ dx faça u x² du 2x dx e dv e⁴ˣ dx v e⁴ˣ4 x² e⁴ˣ4 2x e⁴ˣ4 dx x² e⁴ˣ4 12 x e⁴ˣ dx fazendo u x du dx e dv e⁴ˣ dx v e⁴ˣ4 x² e⁴ˣ4 12 x e⁴ˣ4 e⁴ˣ16 C 9 2 x²2x1 eˣ dx faça u x²1 du 2x 1 dx dv eˣ dx v eˣ eˣ x² 1 eˣ 2x1 dx faça u 2x 1 du 2 dx e dv eˣ dx v eˣ eˣ x² 1 eˣ 2x 1 2 eˣ dx eˣ x² x 2 C 9 3 x² sen2x dx faça u x² du 2x dx e dv sen 2x dx v cos 2x2 logo x² cos 2x2 x cos2x dx faça u x du dx e dv cos 2x dx v sen 2x2 logo x² cos 2x2 x sen 2x2 cos 2x4 C 9 4 x ln x dx faça u ln x du 1x e dv x dx v x²2 logo x² ln x2 x²2 1x dx x² ln x2 x2 dx x² ln x2 x²4 C 9 5 eˣ sen x dx faça u sen x du cos x e dv eˣ dx v eˣ logo eˣ sen x eˣ cos x dx faça u cos x du sen x e dv eˣ dx v eˣ logo eˣ sen x eˣ cos x eˣ sen x dx Portanto eˣ sen x dx eˣ sen x eˣ cos x eˣ sen x dx 2 eˣ sen x dx eˣ sen x cos x eˣ sen x dx eˣ2 sen x cos x C 10 y 1x x 1 rotacionado no eixo x Volume finito V π ₁ 1x² dx π 1x₁ lim x π 1x 1 π Area infinita A 2π ₁ y 1 y² dx 2π ₁ 1x 1 1x²² dx 2π ₁ 1x dx 2π lnx₁ 11 1 11 x² dx 11x² A1x B1x A1x B1x1x² Se x1 2A1 A12 Se x1 2B1 B12 Logo 11x² 12 11x 12 11x Então 11x² dx 12 11x 11x dx 12 ln1x ln1x C 12 ln 1x1x C 11 2 x4x² 5x 6 dx x4 x² 5x 6 x4 x6x1 Ax6 Bx1 Ax1 Bx6x6x1 Se x1 7B14 B 57 Se x6 6 4 2A A 27 Então x4x² 5x 6 dx 27 1x6 57 1x1 dx 27 ln x6 57 lnx1 C 11 3 1x² 2x dx 1xx2 dx 1xx2 Ax Bx2 Ax2 Bxxx2 Se x0 2A 1 A 12 Se x2 2B1 B 12 Então 1x² 2x dx 12 1x 1x2 dx 12 ln x ln x2 C 11 4 x32x³ 8x dx 12 x3 xx2x2 dx x3 xx2x2 Ax Bx2 Cx2 Ax2x2 Bxx2 Cxx2 xx2x2 Se x0 3 4A B 34 Se x2 5 8B B 58 Se x2 1 8B C 18 Então x32x³8x dx 12 34 1x 58 1x2 18 1x2 dx 12 34 lnx 58 lnx2 18 ln x2 C 38 lnx 516 lnx2 116 lnx2 C 12 Cx 25 02x 05 x² 0003 x³ onde 0 x 120 meses 10 anos Então o custo médio é dado por x 1120 0120 Cx dx 1120 0120 25 02x 05 x² 0003 x³ dx 1120 25 x 01 x² 053 x³ 00034 x⁴0120 1120 3000 1440 288000 155520 1120 445080 3709 13 Temas ex 24000 3x³ 1 x 20 então o número médio de caixas é dado por ē 1201 120 ex dx 119 120 24000 3x³ dx 119 24000 x 34 x⁴120 119 480000 120000 24000 34 119 33600075 1768425 caixas