Aula 3: Combinação Linear e Subespaço Gerado em Álgebra Linear

Álgebra Linear Aula 3 Combinação Linear e subespaço gerado Combinação linear Exemplo 1 O elemento v 43 R² é combinação linear dos elementos v₁ 10 e v₂ 01 Exemplo 2 Considere o mesmo vetor v 43 R² do exemplo anterior ele também pode ser escrito como combinação linear dos vetores v₁ 11 e v₂ 01 da forma Exemplo 4 O elemento px 6x² 11x 6 P²R pode ser escrito como combinação linear dos polinômios p1x 4x² x 2 p2x 3x² x 1 e p3x 5x² 2x 3 Vamos encontrar escalares α1 α2 α3 de modo que px α1p1x α2p2x α3p3x 6x² 11x 6 α14x² x 2 α23x² x 1 α35x² 2x 3 Para que os polinômios sejam iguais basta que cada coeficiente de cada termo do polinômio seja igual Obtemos então o seguinte sistema linear 4α1 3α2 5α3 6 α1 α2 2α3 11 2α1 α2 3α3 6 Resolvendo o sistema obtemos α1 4 α2 5 e α3 1 Assim px 4p1x 5p2x p3x Exemplo 5 A matriz A 6 8 1 8 pode ser escrita como combinação linear das matrizes A1 4 0 2 2 A2 1 1 2 3 A3 0 2 1 4 Temos que encontrar escalares α1 α2 α3 R tais que 6 8 1 8 α14 0 2 2 α21 1 2 3 α30 2 1 4 4α1 α2 0 6 0 α2 2α3 8 2α1 2α2 α3 1 2α1 3α2 4α3 8 Resolvendo o sistema obtemos α1 1 α2 2 α3 3 Assim A A1 24A2 3A3 Subespaço Gerado Seja V um espaço vetorial Consideremos um subconjunto A v1 v2 vn V A O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V Simbolicamente podemos escrever S v V v a1v1 a2v2 anvn JUSTIFICATIVA de que S é subespaço de V Sejam u e v vetores de S Então podemos escrever v a1v1 a2v2 anvn u b1v1 b2v2 bnvn Assim i u v a1b1v1 a2b2v2 anbnvn é um vetor de S ii kv ka1v1 ka2v2 kanvn é um vetor de S Tendo em vista que u v S e que kv S por serem combinações lineares de v1 v2 vn concluise que S é um subespaço vetorial de V Subespaço Gerado httpswwwyoutubecomwatchvnRJViGVC6iUt43s httpswwwyoutubecomwatchvlqfAoCG1CMY httpswwwyoutubecomwatchvzE9g8XT2oMg Sugestões de vídeos para assistir Exemplos Mostre que o R² é gerado pelos vetores do conjunto A v₁ 12 v₂ 35 Observação Nos exemplos 1 e 3 mostramos que o ℝ² pode ser gerado por conjuntos formados por dois vetores Já no exemplo 4 mostramos que o ℝ² pode ser gerado por três vetores De modo análogo podese mostrar que o ℝ³ pode ser gerado por três quatro ou mais vetores Tal fato sugere que um espaço vetorial dado pode ser gerado por um número variável de vetores No entanto existe um número mínimo de vetores que gera um espaço vetorial como nos sugerem os próximos dois exemplos 6 O vetor v₁12 gera o ℝ² Para que o vetor v₁ gere o ℝ² é necessário que qualquer vetor v xy ℝ² seja combinação linear de v₁ xy α12 x α e y 2α y 2x Isso significa que não é todo vetor xy que é gerado por 12 É necessário que y 2x Ou seja somente vetores da forma x2x são gerados por 12 Note que o subespaço gerado pelo vetor 12 é S xy ℝ² y 2x Concluímos então que para gerar o ℝ² são necessários no mínimo dois vetores Entretanto estes dois vetores devem ser nãocolineares como nos exemplos 1 e 3 Pois se forem colineares estarão numa mesma reta e portanto vão gerar esta reta 7 Encontre o subespaço gerado pelos vetores e 4 Verifique se os vetores u 10 v 01 e w 74 geram o ℝ² Para que os vetores gerem o ℝ² é necessário que qualquer vetor r xy ℝ² seja combinação linear de u v e w isto é devem existir números reais a₁ a₂ e a₃ tais que r xy a₁u a₂v a₃w xy a₁10 a₂01 a₃74 xy a₁ 7a₃ a₂ 4a₃ Dessa igualdade resulta o sistema a₁ 7a₃ x a₂ 4a₃ y ou a₁ x 7a₃ a₂ y 4a₃ O sistema tem infinitas soluções pois a₃ é uma variável livre Por exemplo se xy310 temos a₁3 7a₃ e a₂ 10 4a₃ Para cada valor de a₃ o sistema terá uma solução diferente Portanto há infinitas formas de obter um vetor xy como combinação linear de u v e w Assim ℝ² geru v w Observações 1 vetor do ℝ³ gera uma reta no ℝ³ 2 vetores não colineares no ℝ³ geram um plano Para gerar todo o ℝ³ são necessários no mínimo 3 vetores nãocolineares 8 P₂ ger𝑥²𝑥1 pois qualquer polinômio 𝑝𝑥 P₂ é ele próprio uma combinação linear de 𝑥²𝑥1 𝑝𝑥 𝑎𝑥² 𝑏𝑥 𝑐𝑎𝑥² 𝑏𝑥 𝑐1 onde 𝑎𝑏 e 𝑐 são escalares 9 M22 ger1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 pois qualquer matriz a b M22 pode ser c d escrita da forma a b 𝑎1 0 𝑏0 1 𝑐0 0 𝑑0 0 onde 𝑎𝑏𝑐𝑑 são escalares Exercícios propostos 1 dd 2 3 Enconstre o subespaço U gerado pelas matrizes do conjunto 4 Para cada subespaço vetorial abaixo encontre o conjunto de geradores S a b d a b M d c b a W 2 22 1