Inversa de uma Matriz: Definição e Exemplos

Álgebra Linear A inversa de uma matriz Graciela Moro Inversa de uma matriz Definição Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 𝑛 é invertível ou nãosingular quando existir uma matriz 𝐵 de ordem 𝑛 𝑛 tal que 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐼𝑛 onde 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem 𝑛 𝑛 A matriz 𝐵 é dita a inversa de 𝐴 e é denotada por 𝐵 𝐴1 Se 𝐴 não tem inversa dizemos que 𝐴 é não invertível ou singular Observação Somente matrizes quadradas ordem 𝑛 𝑛 têm chances de ser inversível Exemplo Sejam 𝐴 1 2 1 1 e 𝐵 1 2 1 1 Verifique se B é a inversa de A Solução Vamos verificar se a definição é satisfeita ou não Como 𝐴𝐵 1 2 1 1 1 2 1 1 11 21 1 2 2 1 1 1 11 1 2 1 1 1 0 0 1 𝐼 e 𝐵𝐴 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 12 2 1 1 1 1 1 12 1 1 1 0 0 1 𝐼 Definição Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 𝑛 é invertível ou nãosingular quando existir uma matriz 𝐵 de ordem 𝑛 𝑛 tal que 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐼𝑛 onde 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem 𝑛 𝑛 Unicidade da matriz inversa Como verificamos que 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐼 a definição está satisfeita e 𝐵 𝐴1 é a inversa de 𝐴 Teorema Se 𝐴𝑛𝑛 admite inversa então sua inversa é única Justificativa Suponhamos que 𝐴 admita inversa denotada por 𝐴1 Logo 𝐴 𝐴1 𝐴1 𝐴 𝐼 Suponhamos por absurdo que 𝐴 admita outra inversa digamos 𝐶 com 𝐶 𝐴1 e 𝐴 𝐶 𝐶 𝐴 𝐼 Assim temos que 𝐶 𝐶 𝐼 𝐶 𝐴 𝐴1 𝐶 𝐴 𝐴1 𝐼 𝐴1 𝐴1 E portanto 𝐶 𝐴1 o que é uma contradição pois por hipótese 𝐶 𝐴1 Portanto 𝐴 admite uma única inversa Determinação da inversa Exemplo Encontre a inversa da matriz 𝐴 2 1 5 3 Solução Para encontrar a inversa de A basta resolver a equação ABI para determinar 𝐵 𝐴1 2 1 5 3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 0 0 1 2𝑎 𝑐 2𝑏 𝑑 5𝑎 3𝑐 5𝑏 3𝑑 1 0 0 1 Da igualdade matricial obtemos os sistemas ቊ 2𝑎 𝑐 1 5𝑎 3𝑐 0 e ቊ 2𝑏 𝑑 0 5𝑏 3𝑑 0 Resolvendo os sistemas obtemos a3 b1 c5 e d2 ou seja 𝐴1 3 1 5 2 2 1 5 3 1 0 0 1 𝑳𝟏 𝟏 𝟐 𝑳𝟏 1 12 0 1 12 0 5 𝟐 𝑳𝟏 𝑳𝟏 𝟏 𝟐 𝑳𝟐 1 12 5 3 12 0 0 1 𝑳𝟐 𝑳𝟐5𝑳𝟏 1 0 0 1 3 1 5 𝟐 1 12 0 12 12 0 52 1 𝑳𝟐 2𝑳𝟐 I 𝑨𝟏 Agora observe a forma matricial dos dois sistemas ቊ 2𝑎 𝑐 1 5𝑎 3𝑐 0 e ቊ 2𝑏 𝑑 0 5𝑏 3𝑑 0 2 1 5 3 𝑎 𝑐 1 0 e 2 1 5 3 𝑏 𝑑 0 1 Veja que as matrizes dos coeficientes são as mesmas então em vez de resolver dois sistemas separadamente 2 1 5 3 1 0 e 2 1 5 3 0 1 podemos resolvêlos simultaneamente em um único processo de escalonamento 𝑨 I Encontrando a inversa utilizando o escalonamento 𝐴 𝐼 𝐼 𝐴1 escalonamento Exemplo Encontre a inversa da matriz 𝐴 1 1 0 1 0 1 6 2 3 Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quadradas de ordem 𝑛 i 𝐴 é inversível se det𝐴 0 𝐴 é nãoinvertível se det 𝐴 0 ii Se 𝐴 é inversível sua inversa 𝐴1 também é inversível e a inversa de 𝐴1 é 𝐴 ou seja 𝐴1 1 𝐴 iii Se a matriz A é invertível sua transposta 𝐴𝑇 também é inversível A matriz inversa de 𝐴𝑇é 𝐴𝑇 1 ou seja 𝐴𝑇 1 𝐴1 𝑇 iv Se as matrizes 𝐴 e 𝐵 são invertíveis e de mesma ordem o produto 𝐴𝐵 é uma matriz invertível e a inversa de 𝐴𝐵 é o produto 𝐵1𝐴1 ou seja 𝐴𝐵 1 𝐵1𝐴1 v Se 𝐴 é invertível então 𝑘𝐴 𝑘 ℝ também é invertível e a inversa de 𝑘𝐴 é 1 𝑘 𝐴1 ou seja 𝑘𝐴 1 1 𝑘 𝐴1 vi Se 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 tal que det𝐴 0 então 𝐴1 1 det𝐴 𝑑 𝑏 𝑐 𝑎 vii Se Se 𝐴 é inversível então 𝐴𝑘 1 𝐴1𝐴1 𝐴1 𝐴1 𝑘 Propriedades da inversa de uma matriz 1 Sabendo que 𝐴 2 5 1 3 obtenha a 2𝐴𝑇 1b 𝐼 3𝐴𝑇 1 2 Sabendo que 2𝐼 3𝐴𝑇1 3 1 5 4 encontre a matriz 𝐴 3 Simplifique 𝐴𝐵 1 𝐴𝐶1 𝐷1𝐶1 1𝐷1 4 Supondo que todas as matrizes sejam 𝑛 𝑛 e inversíveis resolva para 𝐷 a equação matricial 𝐶𝑇𝐵1𝐴2𝐵𝐴𝐶1𝐷𝐴2𝐵𝑇𝐶2 𝐶𝑇 5 Resolva a seguinte equação matricial em X 6 Quais são as matrizes 𝑄 de ordem 22 que satisfazem a equação 𝑄 3𝑄𝑇1 1 4 𝑄1 Descreva esse conjunto de matrizes explicitamente e justifique sua resposta Exercícios propostos Método da inversa para resolver sistemas lineares Teorema Se 𝐴 é inversível então o sistema de 𝑛 equações e 𝑛 variáveis 𝐴𝑋 𝐵 é sempre possível e determinado SPD e sua única solução é dada por 𝑋 𝐴1𝐵 Justificativa Exemplo Resolva os sistemas abaixo a ቐ 2𝑥 3𝑦 𝑧 1 3𝑥 3𝑦 𝑧 1 2𝑥 4𝑦 𝑧 2 b ቐ 2𝑥 3𝑦 𝑧 4 3𝑥 3𝑦 𝑧 8 2𝑥 4𝑦 𝑧 5 c ቐ 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 3𝑥 3𝑦 𝑧 0 2𝑥 4𝑦 𝑧 0