Processos Estacionários e Ergódicos: Definições e Propriedades

Processos Estacionários e Ergódigos Processos estacionários Um processo aleatório é dito estacionário se suas propriedades estatísticas valor médio variância etc relacionadas a função distribuição de probabilidade e densidade de probabilidade não mudam com o tempo Quando a caracterização estatística do processo aleatório independe do tempo em que a observação é iniciada Ex se dividirmos o processo em uma serie de intervalos de tempo as varias seções do processo exibirão essencialmente as mesmas propriedades estatísticas Processos Estacionários EX Não necessariamente as mesmas funções amostras Processos Estacionários Quando a caracterização estatística do processo aleatório independe do tempo em que a observação é iniciada A cdf de primeira ordem de um processo aleatório estacionário deve ser independente do tempo Isso implica que a média e a variância de X t são constantes e independentes do tempo Processos Estacionários A cdf de segunda ordem de um processo aleatório estacionário pode depender apenas da diferença de tempo entre as amostras e não no tempo particular das amostras Isso implica que a autocorrelação e a autocovariância de X t podem depender apenas Processos Estacionários Diz se que o processo é estacionário no sentido estrito ou estritamente estacionário se cumprir as seguintes em relação a função distribuição de probabilidade Para k1 Para k2 e tt1 para todo t e t para todo t1 e t2 Processo Aleatório Independente e Identicamente distribuído iid Processos estacionários Estacionário de primeira ordem Estacionário de segunda ordem a b a b Estacionário no sentido estrito Deve satisfazer as seguintes condições ou seja a função densidade de probabilidade de nésima ordem do processo aleatório independe do tempo onde e é o acréscimo de tempo dado A função autocorrelação é obtida observandose os tempos de observação t1 e t2 Para todo t1 e t2 A função densidade de probabilidade conjunta de segunda ordem depende da diferença entre os tempos Estacionariedade no sentido amplo Autocorrelação Correlação 11 Exemplo Mostre que o processo estocástico XtAcoswtq onde q é um VA uniformemente distribuída no intervalo 02 é um processo estacionário no sentido amplo q w w q w w 2 0 2 1 2 1 2 1 2 cos 2 2 cos 1 2 d t t t t A t t RXX q w w q w w 2 0 2 1 2 1 2 1 2 cos 2 2 2 1 2 t t t t sen A t t RXX w w w w w w 2 cos 2 4 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 t t t t sen t t sen A t t RXX 2 cos 2 1 2 2 1 t t A RXX t t w w 2 1 2 2 1 cos 2 t t A t RXX t w q q w q w d t A t A RXX t t 2 1 cos cos 2 0 2 1 1 2 d X t f x t q q w d t ACos x t 2 1 2 0 0 2 2 t sen t A sen x t w w q w 2 0 2 t A sen t x cos 2 cos 2 2 2 2 1 w t t w A A t RXX t dy f y X t X t Rxx t t 2 1 2 1 Processos estacionários Exemplo verifique se o processo aleatório XtAcoswtq é estacionário no sentido amplo onde q é uma variável aleatória uniformemente distribuída entre e enquanto A e w são constantes 0 2 w w t sen t A sen t x 2 1 2 1 2 2 cos t t A RXX t t w 2 cos 2 cos 2 2 1 2 w t t w A A RXX t t O processo é estacionário no sentido amplo Processos estacionários Função auto correlação de processos aleatórios estacionários aA função de autocorrelação é uma função par bO seu máximo valor ocorre em t 0 ou seja cO valor médio quadrático do pa é dado por potência média segundo momento do processo Se o processo varia lentamente as amplitudes em t1 e t1 t devem ser similares Por outro lado se o processo varia rapidamente as amplitudes em t1 e t1 t não terão nenhuma semelhança Autocorrelação Processos estacionários Um processo aleatório de tempo discreto ou de tempo contínuo X t é dito ser ciclo estacionário caso a função de distribuição cumulativa conjunta de qualquer conjunto de amostras for invariante com respeito a deslocamentos da origem por múltiplos inteiros de algum período T Em outras palavras Processos estacionários tenha a mesma cdf conjunta para todos os k m e todas as opções de tempos de amostragem Dizemos que X t é ciclo estacionário de sentido amplo se as funções de média e autocovariância são invariantes em relação a mudanças na origem do tempo por múltiplos inteiros de T ou seja para cada inteiro m se X t é ciclo estacionário então seguese que X t também é ciclo estacionário de sentido amplo Ciclo estacionário Exemplo Considere uma senoide de amplitude aleatória com período T dado por X t é cicloestacionário cicloestacionário de sentido amplo é um processo aleatório ciclo estacionário e portanto também um processo ciclo estacionário de sentido amplo Processos estacionários Obs Processos estacionários Exemplo Um modem transmite uma sequência de dados binários iid equiprovável da seguinte forma Para transmitir um binário 1 o modem transmite um pulso retangular de duração T segundos e amplitude 1 transmitir um binário 0 ele transmite um pulso retangular de duração T segundos e amplitude 1 Seja X t o processo aleatório resultante X t é ciclo estacionário de sentido amplo Pulso de sinal individual Forma de onda correspondente à sequência de dados 1001 T1 t2 t1 t2 outro caso Processos estacionários Pulso de sinal individual Forma de onda correspondente à sequência de dados 1001 Função de autocovariância de pulso modulado em amplitude processo aleatório Exemplo Um modem transmite uma sequência de dados binários iid equiprovável da seguinte forma Para transmitir um binário 1 o modem transmite um pulso retangular de duração T segundos e amplitude 1 transmitir um binário 0 ele transmite um pulso retangular de duração T segundos e amplitude 1 Seja X t o processo aleatório resultante X t é ciclo estacionário de sentido amplo Processos Aleatório Ergódico Processos ergódicos são aqueles para os quais as médias de conjunto são iguais às médias temporais de qualquer função amostra Então para um processo ergódico Xt Processos Aleatório Ergódico Processos ergódicos são aqueles para os quais as médias de conjunto são iguais às médias temporais de qualquer função amostra Então para um processo ergódico Xt Média temporal Processos Aleatório Ergódico Érgodico é o termo usado para descrever um processo aleatório em que uma única amostra deste processo normalmente propicia informações suficientes para determinarse a estatística referente ao processo aleatório Quando o processo aleatório é ergodico os valores esperados do processo podem ser substituídos pela média no tempo Ergodicidade na média Ergodicidade na autocorrelação Exemplo verifique se o processo aleatório XtAcoswtq é ergódigo na média onde q é uma variável aleatória uniformemente entre e enquanto A e w são constantes Processos Aleatório Ergódico T T T X t dt T T T 2 1 lim dt t A T T T T T T q w cos 2 1 lim 𝜂 𝑇 𝑇 lim𝑇 1 2𝑇 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜃 𝜔 𝑇 𝑇 𝜂 𝑇 𝑇 lim𝑇 1 2𝑇 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑇 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑇 𝜃 𝜔 𝜂 𝑇 𝑇 lim𝑇 1 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑇 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑇 𝜃 𝜔 0 O processo é ergódico na média 0 x t Exemplo verifique se o processo aleatório XtAcoswtq é ergódigo na autocorrelação onde q é uma variável aleatória uniformemente entre e enquanto A e w são constantes Processos Aleatório Ergódico 𝑅𝑇 𝜏 lim𝑇 1 2𝑇 න 𝑇 𝑇 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝜃 𝐴 cos 𝜔 𝑡 𝜏 𝜃 𝑑𝑡 B A B A B A cos 2 cos 1 cos cos 𝑅𝑇 𝜏 lim𝑇 𝐴2 2𝑇 න 𝑇 𝑇 1 2 cos 2𝜔𝑡 𝜔𝜏 2𝜃 cos 𝜔𝜏 𝑑𝑡 dt t t sen T A R T T T T T T wt w q wt w t cos 2 2 2 4 lim 2 𝑅𝑇 𝜏 lim𝑇 𝐴2 8𝑇 𝑠𝑒𝑛 2𝜔𝑇 𝜔𝜏 2𝜃 𝑠𝑒𝑛 2𝜔𝑇 𝜔𝜏 2𝜃 𝜔 𝑇 𝑇 lim𝑇 𝐴2 4𝑇 2𝑇 cos 𝜔𝜏 wt t 2 cos 4 lim 2 T T A R T T O processo é ergódico na autocorrelação