Series e Equacoes Diferenciais - Guia Completo para Estudantes e Engenheiros

Colecao Licoes de Matematica Licao 04 S E R I E S e E Q U A C O E S D I F E R E N C I A I S Christian Q Pinedo 2023 Tıtulo do original Series e Equacoes Diferenciais ISBN 978 65 00 63720 5 Direitos reservados para lingua portuguesa Fevereiro 2023 Palmas Tocantins Brasil A meus filhos Milagros Andre Nykolas Kevyn e Cecılia pelas eternas licoes de vida i Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Tıtulo do original Series e Equacoes Diferenciais ISBN 978 65 00 63720 5 Primeira edicao Janeiro de 2019 Direitos exclusivos para lıngua portuguesa UFT CAMPUS DE PALMAS Coordenacao de Engenharia Civil 5128 Pinedo Christian Quintana 1954 Series e Equacoes Diferenciais Christian Jose Quintana Pinedo Universidade Federal do Tocantins Campus de Palmas Curso de Enge nharia Civil 2023 498 p il 297mm I Series e Equacoes Diferenciais Christian Q Pinedo II Serie III Tıtulo CDD 5128 ed CDU ISBN 978 65 00 63720 5 ii 18112022 SUMARIO Identidades Diversas x PREFACIO xv 1 Serie de potˆencias 1 11 Series de numeros reais 2 111 Criterios de convergˆencia das series numericas 12 112 Sumario dos Criterios para Series de Numeros 18 12 Series de funcoes 20 121 Raio de convergˆencia 23 Exercıcios 11 33 13 Desenvolvimento em series de potˆencias 37 131 A funcao exponencial 38 14 Operacoes com serie de potˆencias 40 141 A serie binomial 44 15 Serie de Taylor 45 151 Serie de Taylor associada a uma funcao 47 152 Polinˆomio de Taylor 49 153 Convergˆencia da serie de Taylor 51 Exercıcios 12 55 16 Formula de Taylor 59 161 Resto de um Polinˆomio de Taylor 62 162 Combinando Series de Taylor 70 17 Lista de serie de Taylor de funcoes comuns 70 18 Aplicacoes 71 181 Calculo de limites e integrais 72 182 Estudo de Extremos 72 183 Outra definicao para a derivada 75 19 Serie de Taylor em varias variaveis 77 191 Para duas variaveis 77 iii Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exercıcios 13 81 2 Equacoes diferenciais de 1a ordem 85 21 Introducao 86 22 Equacoes diferenciais 86 221 Grau de uma equacao diferencial 88 222 Classificacao das equacoes diferenciais 88 223 Motivacao 92 23 Solucao de uma equacao diferencial 94 231 Campo de direcoes 95 232 Solucao geral Solucao particular 99 233 Solucao singular 101 234 Problemas de valores iniciais 102 Exercıcios 21 107 24 Classificacao das EDOs de primeira ordem 111 241 Forma normal 111 242 Forma diferencial 112 25 Solucao de equacoes da forma normal 113 251 Equacoes lineares 113 26 Solucao de equacoes da forma diferencial 115 261 Equacoes de variaveis separaveis 115 262 Equacoes homogˆeneas 118 263 Equacoes diferenciais exatas 123 Exercıcios 22 127 264 Fator integrante 131 265 Determinacao de um fator integrante 134 266 Metodos de solucao 137 Exercıcios 23 143 27 Equacoes diferenciais especiais de 1a ordem 147 271 Equacoes de Bernoulli 147 272 Equacao de Lagrange 148 273 Equacao de Clairaut 149 274 Diversas mudancas de variavel 150 275 Equacao de primeira ordem de grau n 151 276 Equacoes da forma Fy y 0 e Fx y 0 152 Exercıcios 24 155 iv 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 3 Equacoes diferenciais de ordem n 1 159 31 Teoria preliminar 160 32 Equacoes diferenciais especiais 160 33 Equacoes diferenciais lineares 162 34 Teorema de existˆencia e unicidade 163 341 Problema de valor inicial 163 342 Problema de valor de contorno 164 343 Dependˆencia Linear Independˆencia linear 165 344 O Wronskiano 168 345 Determinante de Gram 170 Exercıcios 31 173 35 Equacoes diferenciais lineares de coeficientes constantes 175 351 Equacao linear homogˆenea de segunda ordem 175 352 Equacao linear homogˆenea de ordem maior que dois 177 36 Equacoes lineares nao homogˆeneas de coeficientes constantes 179 361 Equacao nao homogˆenea de segunda ordem 179 362 Metodo dos coeficientes indeterminados 180 363 O metodo da variacao de parˆametros 183 364 O metodo complexo 185 Exercıcios 32 187 365 Equacao nao homogˆenea de ordem maior que dois 189 366 O metodo dos coeficientes indeterminados 190 367 Metodo da variacao de parˆametros 194 Exercıcios 33 197 37 Equacoes diferenciais lineares de coeficientes variaveis 199 371 Metodo de reducao da ordem 199 38 Equacao de EulerCauchy 203 381 Metodo de EulerCauchy 203 382 Metodo de Frobenius 205 39 Aplicacoes 207 391 Movimento harmˆonico simples 207 392 Circuito LRC em serie 219 Exercıcios 34 221 310 Resolucao de Equacao Diferencial por Serie de Potˆencias 223 3101 Metodo da Serie de Taylor 229 3102 Metodo de Hermite 234 3103 Metodo de Legendre 236 3104 Metodo de Frobenius 238 v 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 3105 Equacao indicial 239 3106 Metodo de Bessel 248 3107 Metodo de Airy 252 Exercıcios 35 255 Miscelˆanea 31 259 4 Transformada de Laplace 263 41 Introducao 264 42 Existˆencia da transformada de Laplace 267 421 Funcao seccionalmente contınua 271 422 Funcao de ordem exponencial 272 43 Propriedades da transformada de Laplace 276 431 Linearidade 277 432 Deslocamento em s 278 433 Derivada da transformada 280 434 Transformada de Laplace de uma funcao periodica 281 Exercıcios 41 283 44 Transformada da derivada 287 45 Transformada da integral de uma funcao 288 46 Transformadas de funcoes elementares 289 461 Funcao gama 289 462 Funcao delta de Dirac 290 47 Transformada inversa de Laplace 292 471 Calculo de transformadas inversas 296 Exercıcios 42 301 48 Resolucao de equacoes diferenciais mediante a transformada de Laplace 305 481 Equacoes com termo nao homogˆeneo descontınuo 309 482 Deslocamento no domınio do tempo t 311 49 Convolucao 314 410 Aplicacoes 319 Exercıcios 43 325 Miscelˆanea 41 329 5 Series de Fourier 331 51 Teoria preliminar das series de fourier 332 511 Motivacao 333 512 Serie trigonometrica 335 513 Funcao Periodica 336 514 Funcoes Ortogonais 341 vi 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 515 Coeficientes de uma serie respeito de um conjunto ortogonal 344 52 Criterios de convergˆencia 345 521 Criterio DAlemberts 347 522 Series Alternadas 348 523 Convergˆencia uniforme 348 524 Convergˆencia de series trigonometricas 351 Exercıcios 51 353 53 Series de Fourier 355 531 Calculo dos coeficientes de Fourier 355 532 Convergˆencia da Serie de Fourier 360 533 Condicoes de Dirichlet 365 534 Outros criterios de convergˆencia 367 54 Propriedades das funcoes pares e das ımpares 370 541 Extensao de Funcoes 373 542 Extensao ımpar 376 543 Extensao par 376 Exercıcios 52 379 55 Serie de Fourier de meia onda 381 551 Simetria do seno e cosseno de meia onda 381 552 Coeficientes de Fourier que tendem a zero 383 56 Derivada e Integral de uma serie de Fourier 385 Exercıcios 53 389 57 Identidade de Parseval 391 58 Outra Representacao da Serie de Fourier 393 581 Serie exponencial de Fourier 393 582 Serie de Fourier com ˆangulo da fase 395 583 Series duplas de Fourier 397 59 Aplicacoes 397 Exercıcios 54 403 Miscelˆanea 51 407 6 Transformada de Fourier 411 61 Teoria preliminar da transformada de Fourier 412 611 Teorema da integral de Fourier 413 612 Integral de Fourier 416 62 A integral seno e cosseno de Fourier 418 621 A integral cosseno de Fourier 418 622 A integral seno de Fourier 419 vii 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 63 Formas equivalentes da integral de Fourier 421 631 Forma complexa da integral de Fourier 422 64 Transformada de Fourier 423 641 Propriedades da Transformada de Fourier 426 642 Transformada inversa de Fourier 429 643 Transformada cosseno Transformada seno 432 644 Espectro amplitude e fase da transformada de Fourier 434 Exercıcios 61 437 65 Transformada de Fourier das derivadas 441 66 Derivada da transformada de Fourier 441 67 Propriedades adicionais das transformadas 442 671 Funcoes de decrescimento rapido 442 672 Comportamento de Fβ quando β 443 673 Linearidade 443 674 Simetria ou dualidade 444 675 Conjugado 444 676 Translacao no tempo 444 677 Translacao na frequˆencia 445 678 Similaridade ou mudanca de escala e inversao de tempo 445 68 Convolucao 446 681 Propriedades da convolucao 447 682 A transformada de Fourier de uma convolucao 448 69 Aplicacoes 449 691 Transformada de Fourier da funcao delta de Dirac 449 692 Transformada de Fourier da funcao de Heaviside 452 693 Transformada de Fourier da funcao constante 453 694 Transformada de Fourier funcao periodica 454 695 Transformada de Fourier da funcao escada unitaria 455 696 Solucao de Equacao Diferencial 456 697 Propriedade operacional 458 610 Transformada bidimensional da Transformada de Fourier 464 Exercıcios 62 465 APˆENDICE 469 A1 Formulas elementares de integracao 469 A2 Tabela de Transformadas de Laplace 471 A21 Transformada de Laplace elementares 471 A22 Transformada inversa de Laplace elementares 472 viii 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais A3 Identidades Hiperbolicas 472 Referˆencias Bibliograficas 473 Indice 474 Epigrafe 477 ix 18112022 Christian Q Pinedo Séries e Equações Diferenciais Identidades algébricas Considerar a b R e m n Z en geral temse am an amn amn amn abm am bm abm am bm b 0 am an amn a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a3 b3 a ba2 ab b2 an bn a ban1 an2 b an3 b2 abn2 bn1 an bn a ban1 an2 b an3 b2 abn2 bn1 quando nímpar amn nam na m a 0 nab na nb a 0 b 0 m na mna a 0 n a b na nb a 0 b 0 an 1 an a 0 a b3 a3 3a2 b 3ab2 b3 a b3 a3 3a2 b 3ab2 b3 a3 b3 a ba2 ab b2 Identidades trigonométricas Considerar α β R senα senα sen2 α cos2 α 1 tan2 α 1 sec2 α cot2 α 1 csc2 α sen2 α 1 cos 2α 2 sen2α 2senα cos α senα β senα cos β senβ cos α tanα β tan α tan β 1 tan α tan β 2senαsenβ cosα β cosα β 2senα cos β senα β senα β cosα cos α senα csc α 1 cos α sec α 1 tan α cot α 1 cos2 α 1 cos 2α 2 cos 2α cos2 α sen2 α cosα β cos α cos β senαsenβ tan2α 2 tan α 1 tan2 α tan α 1 cos 2α sen2α sen2α 1 cos 2α 2 cos α cos β cosα β cosα β x 18112022 Christian Q Pinedo Séries e Equações Diferenciais Identidades geométricas 1 Aárea P perímetro l lado r raio Quadrado Retângulo Círculo A l2 A b a A πr2 P 4l P 2a b P 2πr 2 Aárea P perímetro c hipotenusa a e b catetos h altura r raio α ângulo central L comprimento do setor circular Teorema de Pitágoras Triângulo Setor circular c2 a2 b2 A 12 b h A 12 r2 α P a b c P αr 3 Aárea P perímetro B base maior b base menor h altura R raio maior r raio menor Paralelogramo Trapezóide Coroa circular A b h A 12 B bh A πR2 r2h P 2πR r 4 Aárea P perímetro S superfície total V volume h altura r raio xi 18112022 Christian Q Pinedo Séries e Equações Diferenciais Triângulo Equilátero Paralelepipedo reto Cilindro A 34 l2 V a b c V πr2 h h 32 l S 2a bc 2ab S 2πrh 2πr2 5 V volume h altura r raio S superfície Triângulo Cone circular reto Tronco de cone A pp ap bp c V 13 πr2 h V 13 πR2 rR r2h p a b c2 6 V volume h altura r raio S superfície Esfera Prisma V 43 πr3 V B h S 4πr2 B área da base Identidades para derivadas Sejam C constante n Q a R fx gx funções αângulo Lnxlogaritmo neperiano logb x logaritmo natural na base b xii 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais DxC 0 Dxf g f Dxg g Dxf Dxfgx Dxfgx Dxg Dxefx efx Dxfx DxLnf 1 f Dxf f 0 Dxsenx cos x Dx cos x senx Dx sec x sec x tan x Dxarcsenx 1 1 x2 Dx arctan x 1 1 x2 Dxf g Dxf Dxg Dxf g g Dxf f Dxg g2 Dxfn n Dxfn1 Dxaf af Dxf Lna a 0 Dxlogb f 1 f Lnb Dxf f 0 Dx tan x sec2 x Dx cot x csc2 x Dx csc x csc x cot x Dx arccos x 1 1 x2 Dxarcsecx 1 x x2 1 Identidades diversas Suponhamos b c R m Q temse logb a N a bN Logo i logba c logb a logb c ii logbac logb a logb c iii logb am m logb a iv logc a logb a logc b Para numeros na base decimal anan1 a1a0 10nan10n1an1 10a1a0 Equivalˆencia entre graus sexagesimais e radianos α graus α radianos senα cos α tan α cot α sec α csc α 0o 0 0 1 0 1 300 π 6 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 45o π 4 2 2 2 2 1 1 2 2 60o π 3 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 90o π 2 1 0 0 1 xiii 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Formas determinadas e Formas indeterminadas lim x fx lim x gx hx lim x hx de modo simbolico 1 fx gx 2 fx gx 3 K R fx gx K 4 K R fx gx K 5 fx gx 6 fx gx 7 K 0 fx gx K 8 K 0 fx gx K 9 0 fx gx 0 10 K fxgx 0 K 0 11 fxgx 12 K 0 0 fxgx K0 13 0 fxgx 0 14 K 0 0 fxgx K0 15 0 fxgx 0 16 0 0 fxgx 00 17 0 0 fxgx 00 18 fxgx 19 0 fxgx 0 20 0 fxgx 0 21 1 fxgx 1 Seja K R nao existem em R K 0 00 K No limite lim x0 1 x lim x 1 x 0 lim x0 xx 1 xiv 18112022 PREFACIO O proposito destas notas de aula da disciplinaSeries e Equacoes Diferenciaise ensinar aos estudantes em geral dos cursos de Engenharia ou Matematica a nıvel da graduacao as nocoes basicas das series de funcoes com domınio em R e das equacoes diferenciais ordinarias assim como as tecnicas e aplicacoes basicas que acompanham tais conceitos esta obra e a continuacao e abordagem de conceitos e teorias sobre serie de potˆencias equacoes diferenciais e solucao de alguns tipos de equacoes diferenciais ordinarias mediante series de funcoes e a solucao das equacoes mediante as series e transformadas de Laplace de Fourier Esta obra representa o esforco de sıntese na selecao de um conjunto de problemas que com frequˆencia se apresenta quando um estudante comeca a estudar calculo avancado Este trabalho e apresentado em cinco capıtulos No primeiro capıtulo apresentase nocoes gerais sobre serie de potˆencias series de Taylor e MacLaurin e teoremas do resto uteis na solucao de equacoes diferenciais No segundo capıtulo apresentase nocoes gerais sobre equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem e notacao a ser utilizada nestas notas e parte da classificacao das equacoes de primeira ordem que se utiliza com muita frequˆencia No terceiro capıtulo apresentase alguns metodos para a solucao de equacoes diferenci ais ordinarias de ordem maior ou igual a dois equacoes estas de coeficientes constantes ou xv Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais variaveis Tambem neste capıtulo se apresenta a solucao de equacoes mediante as series infinitas O quarto capıtulo esta reservado para o estudo da transformada de Laplace e suas aplicacoes na solucao de equacoes diferenciais lineares de coeficientes constantes assim como as propriedades que esta transformada apresenta para a solucao de outros problemas Os dois ultimos capıtulos sao reservados para o estudo das series e transformada de Fourier assim como suas aplicacoes diversas na solucao de equacoes diferenciais ordinarias O objetivo deste trabalho e orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e construir um modelo matematico e logo resolvˆelo Cada capıtulo se inicia com os objetivos que se pretende alcancar os exercıcios apre sentados em quantidade suficiente estao classificados de menor a maior dificuldade A variedade dos problemas e exercıcios propostos pretende transmitir minha experi ˆencia profissional que assimilei como Consultor em Matematicas Puras e Aplicadas assim como professor de ensino superior com atuacao na graduacao e posgraduacao da docˆencia universitaria Fico profundamente grato pela acolhida deste trabalho e pelas contribuicoes e sugestoes dos leitores em particular a meus alunos do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Tocantins Christian Quintana Pinedo Palmas TO 18 de Julho de 2022 A Matematica e a honra do espırito humano Leibniz xvi 18112022 Capıtulo 1 Serie de potˆencias Brook Taylor Brook Taylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton Middlesex Inglaterra e faleceu em 29 de dezembro de 1731 em Somerset House Londres Inglaterra Taylor teve uma excelente educacao em casa antes de entrar no College Brook St Johns de Cambridge em 03 de abril de 1703 nessa epoca ele tinha uma boa base em matematica classica Em Cambridge Taylor identificouse definitivamente com a matematica Graduouse como Bacharel em Direito em 1709 mas nessa epoca ele ja havia escrito um primeiro artigo importante de ma tematica em 1708 embora nao fosse publicado ate 1714 Sabese algo dos detalhes do pensamento de Taylor a respeito de varios problemas matematicos a partir de cartas que trocou com Machin e Keill no seus ultimos anos na graduacao Adicionou a matematica um novo ramo agora chamado o Calculo das Diferencas Finitas inventou a integracao por partes e descobriu a celebre formula conhecida como a expansao de Taylor de qual a importˆancia permaneceu nao reconhecida ate 1772 quando Lagrange proclamou isto como o princıpio basico do calculo diferencial Em 1708 Taylor encontrou uma solucao para o problema do centro de oscilacao sendo que isso foi inedito ate 1714 resultando em uma disputa de prioridade com Johann Bernoulli Em 03 de abril de 1712 Taylor foi eleito membro da Royal Society Foi uma eleicao base ada mais nas experiˆencias que Machin matematico e astrˆonomo Keill matematico e outros sabiam a respeito de Taylor Por exemplo Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma solucao para um problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetario Tambem em 1712 Taylor foi nomeado para o comitˆe criado para se pronunciar sobre o pedido de Newton ou Leibnitz ter inventado o Calculo De 14 de janeiro de 1714 ate 21 de outubro de 1718 Taylor foi secretario da Royal Society Comentase de um experimento de Taylor em 1715 para a descoberta das leis da atracao magnetica e um metodo nao provado para aproximar as raızes de uma equacao dando um novo metodo para logaritmos computacionais 1717 Taylor desenvolveu em 1715 os princıpios fun damentais da perspectiva em Perspectivas Lineares 1715 junto com os Novos Princıpios da Perspectiva Linear 1 11 Séries de números reais Seja N 0N o conjunto dos números naturais onde N subconjunto dos números naturais é definido por N 1 2 3 4 n Seja aₙₙN uma sequência de números reais a partir dela podemos obter os seguintes elementos s₁ a₁ s₂ a₁ a₂ s₃ a₁ a₂ a₃ sₙ₁ a₁ a₂ a₃ aₙ₂ aₙ₁ sₙ a₁ a₂ a₃ aₙ₂ aₙ₁ aₙ Destas somas podemos obter outra sequência sₙₙN chamada série como podemos observar seus elementos são somas parciais de elementos da sequência aₙₙN Quando o índice n seja o maior possível por exemplo n escrevemos o termo geral da sequência sₙₙN como a soma de uma quantidade indeterminada de elementos da forma aᵢ onde i N A notação que permite exprimir esta soma é sₙ ₖ₁ⁿ aₖ Por se tratar sₙₙN de uma sequência de números reais todo o estudado para sequências numéricas aₙₙN podemos aplicar à nossa série sₙₙN por exemplo limitação monotonia convergência entre outros Logo a série sₙₙN é limitada se existe constante C ℝ tal que sₙ C para todo n N isto é ₙ₁ aₙ C A série sₙₙN é convergente se lim ₙ sₙ S ou lim ₙ ᵢ₁ⁿ aᵢ S para algum S ℝ fixo e único Assim podemos dizer que existem séries convergentes e séries divergentes O objetivo deste capítulo é aprender a distinguir umas das outras Dada uma sequência aₙₙN de números reais a soma infinita a₁ a₂ a₃ aₙ₂ aₙ₁ aₙ será representada simbolicamente por ₙ₁ aₙ ou ₙN aₙ Agora temos que estabelecer condições sobre a sequência aₙₙN para que a soma infinita ₙ₁ aₙ tenha como resultado um valor numérico Se isto acontecer dizemos que a soma infinita converge Estas somas infinitas são denominadas séries infinitas ou simplesmente séries Definição 11 Série convergente Dizemos que a série ₙ₁ aₙ é convergente quando a sequência sₙₙN de suas somas parciais for convergente Neste caso a soma da série é o limite da sequência sₙₙN isto é ₙ₁ aₙ lim ₙ ₖ₁ⁿ aₖ lim ₙ sₙ S 11 Quando uma série não converge ela é denominada série divergente Estamos trabalhando com os índices n N os elementos das séries podemos escrever ₙ₀ aₙ ou ₙ₀ aₙ e se entende que a variação do índice n é de zero ou outro número natural quando indicado até Exemplo 11 Se para todo n N temse aₙ 0 a série gerada pela sequência aₙₙN é convergente sua soma é zero isto é ₙ₁ aₙ 0 bₙ 1 a série gerada pela sequência bₙₙN é divergente sua soma é indeterminada na verdade ₙ₁ bₙ aₙ 1ⁿ¹ então a série gerada pela sequência aₙₙN é divergente a soma de todos seus termos é indeterminada isto é ₙ₁ 1ⁿ¹ 1 ou 0 Pela unicidade do limite lim ₙ sₙ S concluímos que essa soma não existe Por definição uma série geométrica é da forma S ₙ₁ αrⁿ¹ onde o número r é denominado razão da série e o número constante α é seu coeficiente Exemplo 12 Estudar a série geométrica S ₙ₁ αrⁿ¹ r ℝ Solução Pela propriedade do somatório podemos escrever S ₙ₁ αrⁿ¹ αₙ₁ rⁿ¹ de onde sₙ α ᵢ₁ⁿ rⁱ¹ α 1 rⁿ 1 r 12 Quando r 1 sabemos que lim ₙ rⁿ 0 tomando o limite em 12 quando n temse lim ₙ sₙ α lim ₙ 1 rⁿ 1 r α 1 r S Isto é S ₙ₁ αrⁿ¹ lim ₙ sₙ α 1 r converge quando r 1 É imediato que para o caso r 1 a série diverge Por definição uma série harmônica é da forma ₙ₁ 1n Exemplo 13 Série harmônica Determine se a série harmônica ₙ₁ 1n converge Solução Esta série representa o termo nésimo de uma sequência sₙₙN onde sₙ ₖ₁ⁿ 1k Consideremos duas subsequências de sₙ sₘ 1 12 13 14 1m e s₂ₘ 1 12 13 14 1m 12m 1 12m Suponha que sₘ L quando m então temse que s₂ₘ L quando m segue assim s₂ₘ sₘ 0 quando m Porém s₂ₘ sₘ 1m1 1m2 1m3 1m 12m 1 12m 12m 12m 12m 12m 12 de onde lim ₘ s₂ₘ sₘ 12 0 caso o limite existisse Portanto a série harmônica ₙ₁ 1n diverge Por definição uma série p é da forma ₙ₁ 1nᵖ onde p 0 é uma constante fixa Esta série também é conhecida como Série de Dirichelet ou de Riemann Mostrase que a série n1 1np 1 12p 13p 1np 13 converge se p 1 e diverge se 0 p 1 Logo k1n Lnkk1 Ln1 Lnn1 então limn k1n Lnkk1 limn Ln1 Lnn1 0 Portanto a série n1 Lnnn1 diverge Esta última propriedade nos leva a um primeiro teste para saber a respeito da divergência de uma série e justifica a seguinte propriedade Observação 12 Suponha que a série sum n1 to an seja convergente isto é lim n snlim n sum k1 to n akS existe Então é correto afirmar que lim n snS existe se e somente se lim n snS existe Deduzimos assim que podemos omitir um número finito de termos entre os primeiros de uma série infinita sem afetar sua convergência Como no caso das sequências numéricas o acréscimo ou a omissão de um número finito de termos não altera a convergência de uma série podendo alterar o valor de sua soma Exemplo 18 A seguinte tabela ilustra algumas situações sum n1 to an lim n an situação sum n1 to en n2 divergente sum n1 to n 3n5 13 divergente sum n1 to Lnn n2 0 indefinida Propriedade 13 Se as séries sum n1 to an e sum n1 to bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quantidade finita então ambas são convergentes ou ambas são divergentes A demonstração é exercício para o leitor Ainda mais uma consequência da Propriedade 13 temos que para cada número k N as séries sum n1 to an e sum nk to an são ambas convergentes ou ambas divergentes Exemplo 19 As séries sum n9 to 1n e sum n9 to 1n8 ambas são divergentes entanto as séries sum n9 to 1n2 e sum n9 to 1n82 ambas são convergentes Propriedade 14 Sejam sum n1 to an e sum n1 to bn duas séries numéricas e α R a Se as séries sum n1 to an e sum n1 to bn são convergentes então sum n1 to an bn e sum n1 to α an também convergem b Se sum n1 to an e convergente e sum n1 to bn é divergente a série sum n1 to an bn diverge c Se sum n1 to an é divergente e β 0 então a série sum n1 to β an é também divergente A demonstração é exercício para o leitor Observação 13 Quando as séries sum n1 to an e sum n1 to bn são ambas divergentes a Propriedade 14 não dá informação a respeito da convergência da série sum n1 to an bn Exemplo 110 As séries sum n1 to 1n e sum n1 to 1n são ambas divergentes entanto que a série sum n1 to 1n 1n converge A série sum n1 to 1n2 n 34n1 é convergente entanto as séries sum n1 to 1n2 n e sum n1 to 34n1 são convergentes Propriedade 15 Condição de Cauchy Seja sn N uma sequência de números reais a série sn sum k1 to n ak é convergente se para qualquer ε 0 existe n0 0 tal que smsn ε sempre que m n n0 A demonstração é exercício para o leitor Existem casos onde a série têm seus termos decrescentes então podemos utilizar a seguinte propriedade Propriedade 16 Dada uma série de termo geral an de modo que an an1 para todo n N logo A série sum n1 to an converge se e somente se a série sum n1 to 2n a2n também converge A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 111 Verificar que a série sum n1 to 1n2 converge Solução Temse que an 1n2 1n12 an1 então podemos obter a2n 12n2 Logo sum n1 to 2n a2n sum n1 to 2n 12n2 sum n1 to 2n 22n sum n1 to 12n lim n 12 112n 112 1 Como a série sum n1 to 12n converge então a série sum n1 to 1n2 também converge Uma série sum n1 to an onde cada termo an é maior ou igual do que zero é denominada série de termos positivos Propriedade 17 Seja an N uma sequência com an 0 para todo n N Então a série sum n1 to an é convergente se e somente se a sequência de somas parciais sn N é limitada A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 112 A série sum n1 to 1nn1 é convergente Observe que 1nn1 1n 1n1 para todo n N Como sn 112 123 134 1nn1 temse que sn 1 1n1 1 para todo n N Sendo os termos positivos e a sequência de somas parciais snN limitada então a série n1 1nn1 é convergente Definição 12 Série dominada Dizemos que a série n1 an é dominada pela série n1 bn quando an bn n N Nesse caso n1 an é a série dominada e n1 bn é a série dominante Exemplo 113 i A série nN 1n é dominante e a série nN 1np p 2 é dominada ii A série nN n é dominante e a série nN senn² é dominada Observação 14 Para séries de termos positivos os seguintes fatos são imediatos 1 A sequência sn de somas parciais é monótona crescente 2 Se a série sn k1n ak é dominada pela série tn k1n bk as respectivas séries de somas parciais snN e tnN satisfazem a relação sn tn n N Estes fatos junto com a Propriedade 17 estabelecem o seguinte critério de convergência conhecido como critério de comparação 111 Critérios de convergência das séries numéricas Propriedade 18 Critério de comparação Sejam n1 an e n1 bn duas séries de termos positivos i Se a série n1 bn converge e an bn n N então a série n1 an também converge ii Se a série n1 an diverge e an bn n N então a série n1 bn também diverge Como as afirmações i e ii são equivalentes é suficiente demonstrar apenas uma delas A demonstração é exercício para o leitor Definição 13 Série absolutamente convergente Dizemos que uma série n1 an é absolutamente convergente se a série n1 an for convergente Observe se an 0 n N an an assim a série é absolutamente convergente Para o caso de alguns termos an positivos e negativos a convergência e a convergência absoluta não é a mesma Exemplo 114 Toda série convergente cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente Em particular quando 1 r 1 a série geométrica n1 rn é absolutamente convergente pois rn rn com 0 r 1 Observação 15 Os elementos de uma série absolutamente convergente podem ser reordenados sem afetar a convergência ou a soma da série Por exemplo a série 1 13 19 127 181 1243 1729 12187 é absolutamente convergente O reordenamento 1 19 181 1729 13 127 1243 12187 também converge e tem a mesma soma que a original Propriedade 19 Se a série n1 an é absolutamente convergente então ela é convergente e n1 an n1 an Este resultado é consequência do fato que 0 x x 2x x R A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 115 A série n1 1nn2 é absolutamente convergente Observe que 1nn2 1n2 n N Como n1 1n2 converge seguese que n1 1nn2 é absolutamente convergente Propriedade 110 Sejam n1 an e n1 bn séries absolutamente convergentes então i A série n1 an bn é absolutamente convergente ii O produto n1 cn das séries n1 an e n1 bn é absolutamente convergente e n1 cn n1 ann1 an A demonstração é exercício para o leitor O critério de convergência a seguir embora não seja conclusivo em alguns casos constituise como o mais importante teste de convergência para séries numéricas não apenas do ponto de vista técnico mas também como nas aplicações às Séries de Potências Propriedade 111 Critério de comparação Sejam somatório n1 a infinito an tais que somatório n1 a infinito bn duas séries e an Kbn n N K 0 i Se a série somatório n1 a infinito bn é absolutamente convergente então a série somatório n1 a infinito an também é absolutamente convergente ii Se a série somatório n1 a infinito an não é absolutamente convergente então a série somatório n1 a infinito bn não é absolutamente convergente A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 116 A série somatório n1 a infinito sen n2n é absolutamente convergente É imediato que sen n 2n 12n n N Como a série somatório n1 a infinito 12n é absolutamente convergente pela Propriedade 111 a série somatório n1 a infinito sen n2n é absolutamente convergente Definição 14 Série simplesmente convergente A série somatório n1 a infinito an é simplesmente convergente se a série somatório n1 a infinito an for convergente e a série somatório n1 a infinito an for divergente Definição 15 Série alternada Uma série se diz alternada se for da forma somatório n1 a infinito 1n1 an ou somatório n1 a infinito 1n an com an 0 Exemplo 117 A série somatório n1 a infinito 1n1 1n é simplesmente convergente Propriedade 112 Uma série alternada somatório n1 a infinito 1n1 an é absolutamente convergente se somatório n1 a infinito an for convergente A demonstração é exercício para o leitor Propriedade 113 Critério de Leibniz Seja a série alternada S somatório n1 a infinito 1n1 an uma série de termos alternados com an 0 que satisfaz as condições i an N é decrescente ii lim n infinito an 0 Então a série S é convergente e dizse simplesmente convergente Caso contrário é divergente A demonstração é exercício para o leitor Propriedade 114 Critério DAlemberts¹ Seja an 0 para todo n N e suponha que temos lim n infinito an1an r R i Se r 1 a série somatório n1 a infinito an é absolutamente convergente ii Se r 1 a série somatório n1 a infinito an diverge A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 118 A série somatório n1 a infinito pnn é absolutamente convergente para todo p R Com efeito se p0 é imediato Sejam p 0 e an pnn para n N então an1an pn1n1 npn pn1 Calculando o limite r lim n infinito an1an lim n infinito pn10 Portanto a série somatório n1 a infinito pnn é absolutamente convergente A série somatório n1 a infinito senn n é absolutamente convergente Com efeito somatório n1 a infinito senn n somatório n1 a infinito 1n Pelo critério de comparação Propriedade 111 a série somatório n1 a infinito senn n é absolutamente convergente Propriedade 115 Critério de Cauchy² Suponhamos que lim n infinito nan r R i Se r 1 a série somatório n1 a infinito an é absolutamente convergente ii Se r 1 a série somatório n1 a infinito an diverge A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 119 A série somatório n1 a infinito np an é absolutamente convergente se a 1 e é divergente se a 1 Com efeito nnp an nnpa para n N de onde lim n infinito nnp an a Se a 1 pelo critério de Cauchy a série é absolutamente convergente Se a 1 a série diverge Exemplo 120 Determine se a série somatório n1 a infinito 3n1n é convergente Solução Usando o critério de Cauchy lim n infinito n3n1n lim n infinito 31 31nn 13 1 concluímos que a série é convergente Pelo critério de DAlembert nada se pode concluir Com efeito 3n11n1 3n1n 3n11n1n1n 3 se n par 33 se n ímpar Propriedade 116 Critério da integral Consideremos a função f 1 ℝ contínua e suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente isto é a fx 0 x 1 b fx fy sempre que 1 x y Nessas condições a série n1 fn é convergente se e somente se a integral n1 fn for convergente A demonstração é exercício para o leitor Além de dar informação relativa à convergência de uma série o critério da integral pode ser usado para calcular a soma da série Exemplo 121 A função fx 1x3 atende às condições da propriedade no intervalo 1 De fato nesse intervalo a função fx é claramente contínua e não negativa e como sua derivada fx 3x4 é negativa para todo x 1 então fx é decrescente A integral imprópria 1 fxdx 12 é convergente por conseguinte a série n1 1n3 converge Exemplo 122 Determine a convergência da série k1 1k1Lnk1 Solução A função fx 1x1Lnx1 é contínua e positiva em 1 Observe que fx 1 Lnx1x1Lnx12 x 1 Então fx 0 x 1 logo é decrescente Assim a série atende condições da Propriedade 116 Temse que a integral imprópria 1 1x1Lnx1 dx limA 1A 1x1Lnx1 dx limA LnLnx11A Portanto a série k1 1k1Lnk1 é divergente 112 Sumário dos Critérios para Séries de Números Critério Série Converge Diverge Comentário do nésimo termo n0 an limn an 0 O critério não pode ser usado para provar convergência da série geométrica n0 arn r1 r1 quando converge sua soma S a1r para séries p n0 1np p1 p1 Propriedade 14 n0 an n0 an bn se n0 bn Propriedade 14 n0 an n0 n0 an bn se n0 bn Propriedade 16 n0 an n0 an se n0 2n a2n para séries telescópicas n0 bn bn1 limn bn L soma S b1 L de comparação an bn 0 n0 an se 0 an bn e n0 bn se 0 bn an e n0 bn da integral f contínua positiva e decrescente n0 an an fn 0 1 fxdx 1 fxdx resto 0 RN N fxdx dos limites da comparação an bn 0 n0 an limn anbn L 0 e n0 bn limn anbn L 0 e n0 bn n1 an caso L0 e n0 bn de Raabe n0 an k1 k1 k limn n1 an1an de DAlemberts ou da razão n0 an limn an1an 1 absolutamente limn an1an 1 inconclusivo se limn an1an 1 de Cauchy ou da raiz n0 an limn nan 1 absolutamente limn nan 1 inconclusivo se limn nan 1 de Leibniz ou para séries alternadas n0 1n an 0 an1 an e limn an 0 Resto RN aN1 Observação 16 Quando utilizamos o critério da integral o valor da integral imprópria não é necessariamente igual ao valor da soma da série no caso de esta convergir Propriedade 117 Consideremos a função f 1 ℝ contínua e suponhamos que fx seja não negativa e monótona decrescente Se a integral imprópria 1 fxdx converge então a série n1 fn converge e 1 fxdx n1 fn f1 1 fxdx A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Propriedade 118 Critério de comparação no limite Sejam n1 an e n1 bn duas séries de termos positivos e seja L limn anbn i Se L 0 então as séries n1 an e n1 bn são ambas convergentes ou ambas divergentes ii Se L 0 e n1 bn converge então n1 an também converge iii Se L e n1 bn diverge então n1 an também diverge A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Exemplo 123 Determine se a série n1 1nn converge ou diverge Solução Seja an 1nn e consideremos bn 12n sabese que a série geométrica n1 12n é convergente r 12 1 Então limn anbn limn 1nn12n limn 2nnn limn 2nn 0 Pela parte ii da Propriedade 118 segue que a série n1 1nn é convergente 12 Séries de funções As linguagens de programação de computadores fornecem certas funções tais como seno cosseno logaritmo exponencial etc No entanto muitas vezes não temos a função prédefinida e recorremos ao desenvolvimento em série de potências para fazer nossos cálculos Na seção anterior estudamos séries de números da forma n0infty an onde cada an é um número real Em analogia a essas séries podemos estudar séries de funções da forma n0infty an x onde os an x são funções Um exemplo típico desta classe de séries é n1infty fraccosnxn2 fraccos x1 fraccos 2x4 fraccos 3x9 cdots Evidentemente quando substituímos um valor para x por exemplo x2 retornamos ao estudo da série numérica Nossa atenção estará centrada nas somas particulares infinitas de equações tais como ex1fracx1fracx22fracx33cdots referentes a somas de quantidades que dependem de x Em outras palavras estamos interessados em funções definidas mediante equações da forma n1infty fn xf1 xf2 xf3 xf4 xcdots 15 Em tal situação fiiin N será uma sequência de funções para cada valor de xx0 obteremos uma sequência fi x0iin N de números reais ou complexos Para analisar tais funções temse que lembrar que cada soma f1 xf2 xf3 xf4 xcdots é por definição o limite da sequência f1 x f1 xf2 x f1 xf2 xf3 x f1 xf2 xf3 xf4 xcdots Se definirmos uma nova sequência de funções sniin N mediante snf1f2f3f4cdotsfn então podemos expressar mais sucintamente este fato escrevendo fxlimn o infty sn x Assim estaremos concentrados em funções definidas como limites De modo natural existem duas perguntas importantes a respeito de uma série de funções 1ª pergunta Para quais valores de x a série 15 converge 2ª pergunta A qual função converge a série de funções 15 Isto é qual é a soma fx da série Para obter resposta a nossa preocupação será estudada as séries de potências Definição 16 Série de potências Uma série infinita da forma n0infty an xn a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 cdots 16 onde an é número que não depende de x denominase série de potências de x Pela sua forma a igualdade 16 podemos imaginar como uma função polinômica de variável x As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinômio Mais geralmente em matemática uma série de potências de xc de uma variável é uma série infinita da forma n0infty an xcn a0 a1 xc a2 xc2 a3 xc3 cdots 17 onde an representa o coeficiente do nésimo termo chamado coeficiente da série de potência c é uma constante e x varia em torno de c por esta razão algumas vezes a série é dita série centrada em c Por convenção xc0 1 quando xc O número c é chamado centro da série Note que não se trata de uma série numérica Uma série da forma 17 pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores Assim faz sentido falar em domínio de convergência o qual denotamos por Ds que é o conjunto dos valores de x que tornam a série 17 convergente Essas séries de potências aparecem primariamente em análise matemática também ocorre em análise combinatória sob o nome de funções geradoras e em engenharia elétrica sob o nome de TransformadaZ também as séries de potências aparecem em muitos problemas da FísicaMatemática como por exemplo em fenômenos ondulatórios onde recorremos as Funções de Bessel Definição 17 Domínio de convergência Chamase domínio de convergência Ds da série de potências 17 o conjunto dos valores reais que substituídos na série originam uma série numérica convergente Exemplo 124 O domínio de convergência da série n0infty xn 1 x x2 x3 cdots é Ds11 O valor 0 zero pertence sempre ao domínio de convergência Ds desta série porém para qualquer x in 11 temse que n0infty xn define a função fxfrac11x Esta é chamada série geométrica é um dos exemplos mais importantes de séries de potência A igualdade 17 permite imaginar que qualquer polinômio pode ser facilmente expresso como uma série de potências em torno de um centro xc embora um ou mais coeficientes sejam iguais a zero Como mostra o exemplo a seguir Exemplo 125 O polinômio pxx2 2x 3 pode ser escrito como a série de potência em torno de c0 assim px3 2x 1 cdot x2 0x3 0x4 cdots ou em torno do centro c1 como px 6 4x1 1 cdot x12 0x13 0x14 cdots ou mesmo em torno de qualquer outro centro c Exemplo 126 São exemplos de série de potências A fórmula da função exponencial ex n0infty fracxnn 1 x fracx22 fracx33 cdots A fórmula do seno sin x n0infty frac1n x2n12n1 x fracx33 fracx55 fracx77 cdots Exemplo 127 Considerese a série k0infty leftfrac23rightk leftx frac12rightk Para x 1 obtémse k0 23k 12k k0 13k é série convergente Para x 3 obtémse k0 23k 52k k0 53k é série divergente Para os valores de x em que a série de potências é convergente a soma define uma função de variável x Observação 17 Potências negativas não são permitidas em uma série de potências por exemplo 1 x1 x2 não é considerada uma série de potência embora seja uma série de Laurent Similarmente potências fracionais tais como x12 não são consideradas séries de potências veja série de Puiseux Existem séries de potências da forma k0 ak φxk a0 a1 φx a2 φx2 a3 φx3 ak φxk onde φx é função de x Tal série é chamada de série de potência em φx 121 Raio de convergência Dizemos que uma série de potências k0 ak xck pode convergir para alguns valores conforme os valores tomados da variável x e pode divergir para outros Sempre há um número r com 0 r tal que a série converge quando xc r e diverge para xc r Definição 18 Intervalo de convergência Chamase intervalo de convergência da série de potências 17 ao subconjunto de ℝ de todos os valores para os quais a série converge O intervalo de convergência e o domínio de convergência são sinônimos quando estudamos séries em ℝ isso não acontece com as séries em ℝn n 2 neste último caso se estuda discos ou esferas de convergência geralmente se entende como região de convergência O intervalo de convergência de uma série de potências pode ser de um dos seguintes tipos cr cr ou cr cr ou cr cr ou cr cr isso depende da convergência da série nos extremos Definição 19 Raio de convergência O número r que é a metade do comprimento do intervalo de convergência da série 17 é chamado raio de convergência da série de potências 17 Em casos particulares r logo a série 17 converge em todo ℝ para o caso r 0 a série de potências só converge em x c O raio de convergência r pode ser encontrado utilizando na série dos módulos correspondentes o critério da razão ou outro critério utilizado na determinação da natureza de uma série numérica Também é costume determinar o intervalo e o raio de convergência r da série de potências k0 ak xckn usando um dos seguintes procedimentos 1 Se ak 0 k ℕ isto é a série só tem potências positivas em xc então r1 limk ak1ak 18 sempre que o limite exista 2 Se uma série é da forma k0 ak xckp onde p ℕ então r1 limk ak1ak 1p 19 e a sequência dos expoentes 3 Para o caso da série de potências 17 tiver coeficientes iguas a zero e a sequência dos xc que ficaram é qualquer3 então o raio de convergência podemos determinar ³Isto é não forma uma PG como no caso anterior pela fórmula r1 limk supak1k 110 ou equivalentemente r limk infak1k na qual somente se utilizam valores de ak diferentes de zero Esta fórmula também é útil nos dois primeiros casos 4 Em todos os casos o intervalo de convergência podese determinar aplicando diretamente o critério de DAlembert ou o de Cauchy a uma série determinada pelos valores absolutos dos termos da série inicial A série é absolutamente convergente para xc r e converge uniformemente em todo subconjunto compacto⁴ de x xc r Propriedade 119 O raio de convergência r de uma série de potências k0 ak xckn é dado por r1 limk ak1ak 1n desde que o limite exista ou seja zero r1 limk supak1kn desde que o limite exista ou seja zero Além disso 1 Se r0 a série converge só quando x c 2 Se r a série converge para todo x ℝ 3 Se r 0 então a série converge pelo menos para todos os valores de x cr cr A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 128 a A série n1 xn tem raio de convergência r 1 Quando x 1 diverge para e quando x 1 a série é oscilante ⁴Um subconjunto A ℝ se diz compacto se A é fechado e limitado b A série n1 xnn tem raio de convergência r1 Quando x1 diverge para e quando x1 converge não absolutamente c A série n1 xnn2 tem raio de convergência r1 Quando x1 ou x1 é absolutamente convergente Exemplo 129 Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da k0 k xk Temse r1 limk ak1ak limk k1k limk k1 de onde r0 Como o raio de convergência é 0 zero a série dada converge apenas quando x0 Exemplo 130 Calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência da série k0 xkk Temse r1 limk ak1ak limk kk1 limk 1k1 0 de onde r O raio de convergência é r logo a série converge quando x R Esta última série converge para todo x R logo podemos definir uma função f R R de modo que fx 1 x x22 x33 xnn k0 xkk Formalmente derivando em relação à variável x obtémse fx 1 x x22 x3 xn1n1 k1 xk1k1 fx como fx 0 podemos escrever fxfx 1 para logo integrando obter Ln fx x de onde fx ex Assim obtivemos uma série de potências para representar a função exponencial ex k0 xkk k0 x5kk2 Temse r1 limk ak1ak limk k2k12 limk k2k12 1 de onde r 1 Como o raio de convergência é r1 a série dada converge pelo menos para x tal que x5 1 isto é x 4 6 Quando x4 a série k0 45kk2 k0 1kk2 é apenas uma série absolutamente convergente justificar e por isso é convergente Quando x6 a série k0 65kk2 k0 1k2 é uma série de Dirichlet5 com p2 e por isso é convergente Portanto o intervalo de convergência é 4 6 Propriedade 120 Se a série de potências k0 ak xk converge quando x1 0 então converge para todo y tal que y x1 Temse que k0 ak x1k converge logo limk ak x1k 0 Aplicando a definição de limite ao infinito temse que para ε1 0 existe M 0 tal que ak x1k 1 sempre que k M Se y é tal que y x1 então ak yk ak yk x1kyk ak yk x1kyk x1yk k M Como a série k0 x1yk converge pois seu raio ryx1 1 e temos que k0 ak yk k0 x1yk pelo critério de comparação Propriedade 111 a série k0 ak yk é absolutamente convergente quando y x1 Portanto se a série k0 ak xk converge quando x1 0 então converge para todo y tal que y x1 Propriedade 121 Se a série de potências k0 ak xk diverge quando x2 0 então diverge para todo y tal que y x2 Suponhamos que a série k0 ak xk seja convergente para algum x1 tal que x2 x1 pela Propriedade 120 a série converge quando x2 0 Isto é contradição Portanto a série k0 ak xk diverge para todo y tal que y x2 Teorema 11 de Abel Seja y xc se temos a série k0 ak yk nas condições da Propriedade 121 então 1 A série converge somente quando xc 2 Existe um número r 0 tal que a série é absolutamente convergente para todo x R tal que xc r e diverge x R tal que xc r Logo o intervalo de convergência será um dos intervalos cr cr cr cr cr cr cr cr Neste teorema ao verificar o 1º caso temse r0 e se verifica o 2º caso temse r Um dos corolários do Teorema de Abel é o fato que para toda série de potências existe um intervalo de convergência xc r para o qual a série de potências é absolutamente convergente e fora do intervalo diverge Nos extremos do intervalo isto é em xc r diversas séries de potências se comportam de um modo diferente umas absolutamente convergentes em ambos os extremos outras condicionalmente convergentes em ambos os extremos o bem em um dos extremos é condicionalmente convergente e no outro divergem umas terceiras divergem em ambos os extremos Consequência deste teorema é a seguinte propriedade Propriedade 122 Seja a série sumk0infty ak xk então uma e somente uma das condições cumpre 1 A série converge só se x0 2 A série é absolutamente convergente para todos os valores de x 3 Se r é o raio de convergência da série então a série é absolutamente convergente se x r e diverge se x r Demonstração 1 Se x0 então sumk0infty ak xk a0 0 0 0 cdots a0 a série converge 2 Suponhamos que a série dada seja convergente para xx1 onde x1 eq 0 então a série é absolutamente convergente para todo x tal que x x1 Se não existe outro valor de x para o qual a série dada seja divergente podemos concluir que a série é absolutamente convergente para todo x 3 Suponhamos que a série dada seja convergente para xx1 onde x1 eq 0 e divergente para xx2 onde x2 x1 então pela Propriedade 121 a série diverge para todos x tal que x x1 Portanto x2 é um limite superior do conjunto de valores de x para o qual a série é absolutamente convergente Logo pelo Axioma do Supremo6 este conjunto tem um supremo que é o número r Esta propriedade nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência O intervalo de convergência é o maior intervalo aberto em que a série é convergente Exemplo 132 Determine o raio de convergência de cada uma das seguintes séries 1 sumk0infty 1k x2k 2 sumk0infty fracx2k5k1 3 sumk0infty fracx2k2k k2 Solução 6Ver Cálculo Diferencial em mathbbR do mesmo autor Exemplo 134 Determine o domínio de convergência da série sumn1infty fracx1kk1kk Solução Aplicando a Propriedade 115 critério da raiz ou de Cauchy considerando o termo geral ak fracx1kk1kk então sqrtkak fracx1k1k logo limk o infty sqrtkak leftbeginarrayll0 extse x1 leq 1 infty extse x1 1 endarrayright assim a série converge quando x1 leq 1 Portanto a série converge em 02 Propriedade 123 Seja fx sum0infty an xcn a0 a1xx a2 xc2 cdots uma série de potências cujo raio de convergência r eq 0 então no intervalo rc rc verificase 1 A função f é diferenciável e fx sum1infty n cdot an xcn1 a1 a2 xx a3 xc2 cdots 2 A função f é integrável e int0x ft sum0infty int0x an tcn sum0infty fracann1 xcn1 xc r 3 As funções fx e fnx são contínuas para todo n in mathbbN Exemplo 135 Mostre que ex sumn0infty fracxnn 1 x fracx22 fracx33 cdots fracxkk cdots Solução Seja fx sumn0infty fracxnn onde seu domínio é o intervalo infty infty 1 Aplicando a Propriedade 119 aqui n2 logo r1 sqrt2limk o infty leftfracak1akright sqrt2limk o infty leftfrac1k11kright 1 Rightarrow r 12 1 A série é absolutamente convergente se x 1 r Se x pm 1 a série diverge logo o intervalo de convergência é 11 2 Aplicando a Propriedade 119 aqui n2 logo r1 sqrt2limk o infty leftfracak1akright sqrt2limk o infty leftfracfrac15k2frac15k1right sqrt2limk o infty leftfrac5k15k2right sqrtfrac15 Rightarrow r sqrt5 Como x2 5 a série é absolutamente convergente se x sqrt5 r Se x pmsqrt5 a série diverge logo o intervalo de convergência é sqrt5sqrt5 3 Aplicando a Propriedade 119 aqui n1 logo r1 sqrt1limk o infty leftfracak1akright limk o infty leftfrac2k k22k1k12right frac12 Rightarrow r 2 Rightarrow x2 2 A série é absolutamente convergente se x2 2 r Se x2 a série converge logo o intervalo de convergência é 04 Exemplo 133 Determine o domínio de convergência da série sumn1infty leftfracn12n1rightn x22n Solução Para determinar o raio de convergência devemos usar a fórmula 19 limn o infty sqrtnleftfracn12n1rightn limn o infty fracn12n1 frac12 como x22n 2 forall n in mathbbN então x22 2 e o raio de convergência é r sqrt2 A série converge se x2 sqrt2 um estudo nos extremos 2 pm sqrt2 nos leva a estudar a série sumn1infty leftfracn12n1rightn sqrt22n sumn1infty leftfracn12n1rightn 2n sumn1infty 1 frac12n1n Como limn o infty 1 frac12n1n sqrte eq 0 a série diverge O mesmo acontece com x sqrt2 Portanto o domínio de convergência é o intervalo 2 sqrt2 2 sqrt2 Pela Propriedade 123 segue fx sum from n1 to of n xn1 n sum from n1 to of xn1 n1 sum from m0 to of xm m fx Portanto fx ex Exemplo 136 Mostre que integral from 0 to π of sum from n1 to of senπx n2 dx sum from n1 to of 2 1 2n3 Solução Observe que sennx n2 1n2 para todo x R e como sum from n1 to of 1n2 é convergente logo sum from n1 to of senπx n2 converge para todo x R Por outro lado integral from 0 to π of sum from n1 to of sennx n2 sum from n1 to of integral from 0 to π of sennx n2 sum from n1 to of cosnx n3 evaluated from 0 to π integral from 0 to π of sum from n1 to of sennx n2 sum from n1 to of 1n n3 sum from n1 to of 1 n3 sum from n1 to of 2 2n 13 Portanto integral from 0 to π of sum from n1 to of senπx n2 dx sum from n1 to of 2 1 2n3 Exercícios 11 1 Mostre que a série sum from n1 to of 1 np converge sempre que p 1 e diverge se 0 p 1 2 Demonstre a condição de Cauchy Se akkN é uma sequência de números reais a série sn sum from k1 to n of ak é convergente se para qualquer ε 0 existe n0 0 tal que sm sn ε sempre que m n n0 3 Determine a convergência das séries 1 sum from n1 to of 9n 1 n2 3n 2 sum from n1 to of 1 2n 1 1nn2 3 sum from n1 to of 1 n 1Lnn 1 4 Suponhamos temos uma série de termo geral an de modo que an an1 para todo n N Demonstre que a série sum from n1 to of an converge se e somente se a série sum from n1 to of 2n a2n também converge 5 Verificar que o produto infinito product from n0 to of 1 an com an 0 converge sempre sum from n0 to of an converge 6 Demonstre que se annN é uma sequência com an 0 para todo n N então a série sum from n1 to of an é convergente se e somente se a sequência de somas parciais snnN é limitada 7 Sejam sum from n1 to of an e sum from n1 to of bn duas séries numéricas e α R Mostre o seguinte 1 Se as séries sum from n1 to of an e sum from n1 to of bn são convergentes então sum from n1 to of an bn e sum from n1 to of α an também convergem 2 Se sum from n1 to of an e convergente e sum from n1 to of bn é divergente a série sum from n1 to of an bn diverge 3 Se sum from n1 to of an é divergente e α 0 então a série sum from n1 to of α an é também divergente 8 Critério de comparação Sejam sum from n1 to of an e sum from n1 to of bn duas séries de termos positivos Demonstre o seguinte 1 Se a série sum from n1 to of bn converge e an bn n N então a série sum from n1 to of an também converge 2 Se a série sum from n1 to of an diverge e an bn n N então a série sum from n1 to of bn também diverge 9 Demonstre que se a série sum from n1 to of an é absolutamente convergente então ela é conver gente e sum from n1 to of an sum from n1 to of an 10 Sejam sum from n1 to of an e sum from n1 to of bn séries absolutamente convergentes demonstre o seguinte 1 A série sum from n1 to of an bn é absolutamente convergente 2 O produto sum from n1 to of cn das séries sum from n1 to of an e sum from n1 to of bn é absolutamente convergente e sum from n1 to of cn sum from n1 to of ansum from n1 to of bn 11 Sejam sum from n1 to of an tais que sum from n1 to of bn duas séries e an Kbn n N K 0 1 Se a série sum from n1 to of bn é absolutamente convergente então a série sum from n1 to of an também é absolutamente convergente 2 Se a série sum from n1 to of an não é absolutamente convergente então a série sum from n1 to of bn não é absolutamente convergente 12 Demonstre que uma série alternada sum from n1 to of 1n1 an é absolutamente convergente se sum from n1 to of an for convergente 13 Seja an uma sucessão decrescente que converge para zero Então a série Σn1 1n1 an é convergente 14 Critério de Leibniz Seja a série alternada S Σn1 1n1 an uma série de termos alternados com an 0 nℕ Demonstre que esta série converge se satisfaz as condições 1 annℕ é decrescente 2 limn an 0 15 Critério DAlemberts Seja an 0 para todo n ℕ e suponhamos que limn an1an r ℝ Demonstre o seguinte 1 Se r 1 a série Σn1 an é absolutamente convergente 2 Se r 1 a série Σn1 an diverge 16 Critério de Cauchy Suponhamos que limn nan r ℝ Demonstre o seguinte 1 Se r 1 a série Σn1 an é absolutamente convergente 2 Se r 1 a série Σn1 an diverge 17 Consideremos a função f 1 ℝ contínua e suponhamos que fx seja não negativa e monótona decrescente Demonstre que se a integral 1 fx dx converge então a série Σn1 fn converge e 1 fx dx Σn1 fn f1 1 fx dx 18 Consideremos a função f 1 ℝ contínua e suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente isto é 1 fx 0 x 1 2 fx fy sempre que 1 x y Nessas condições demonstre que a série Σn1 fn é convergente se e somente se a integral n1 fn for convergente 19 Critério de comparação no limite Sejam Σn1 an e Σn1 bn duas séries de termos positivos e seja L limn anbn 1 Se L 0 então as séries Σn1 an e Σn1 bn são ambas convergentes ou ambas divergentes 2 Se L 0 e Σn1 bn converge então Σn1 an também converge 3 Se L e Σn1 bn diverge então Σn1 an também diverge 20 Determine os intervalos de convergência para as seguintes séries de potências 1 2x83x3325x51287x7 2 x12 x223 x3224 x4235 3 1 x222 x424 22 x624 26 2 21 Calcule o raio de convergência das seguintes séries de potências 1 Σn1 n2n12n1 xn 2 Σn1 1n 1352n12462n x2n 3 Σn1 1 1nn2 x1n 4 22 Encontre a região de convergência das seguintes séries de potências 1 Σn1 x3nn5n 2 Σn0 n152n1 x2n 3 Σn1 nn1 x2n 4 Σn1 1n1 x2n12n1 5 Σn1 2n xnn2 6 Σn1 x2nLnn1 7 Σn1 Lnnn1 x5n 8 Σn1 n xn 9 Σn1 11x2n 23 Determine o maior intervalo aberto em que a série Σn1 n22n xn é convergente 24 Determine a convergência da série Σn1 n12n1n x2n 25 Mostre que a série Σn1 x21x2n é convergente em ℝ 13 Desenvolvimento em séries de potências Seja a um número real não nulo e considerese a sequência uk ak kℕ Considerese uma nova sequência obtida de uk a qual designamos por Sn de tal modo que para cada n é a soma dos n1 primeiros termos de uk onde k0 até nℕ isto é Sn Σk0n ak Embora é imediato compreender o seu significado soma dos n1 primeiros termos da sequência uk tal como a sequência Sn esta escrita não nos revela muito sobre o seu comportamento Esta sequência Sn é limitada É convergente Podemos então tentar escrevêla de outra forma Sn a0 a1 a2 a3 an1 an a0 a1 a1 a2 a3 an1 1 aSn1 também Sn a0 a1 a2 a3 an1 an a0 a1 a2 a3 an1 an Sn1 an deste modo Sn1 an 1 aSn1 Sn1 1 an1 a se a 1 sabemos que limn an 0 se a1 se a1 Assim limn Sn1 11 a se a1 se a1 Portanto S Σk0 ak limn Σk0n ak limn Sn1 11 a se a1 Logo desenvolvemos fx 11 x em série de potências de x em torno de x0 obtendo para x1 a soma Σn0 xn Deste desenvolvimento obtemos outros Escrevamos então o mesmo desenvolvimento mas em ordem a uma nova variável y 11 y Σn0 yn se y1 111 Suponhamos que dada uma constante c y x c então podemos escrever gx 1 1 x c Σ x cn se x c 1 Admitindo que no interior do intervalo de convergência de uma série de potências de x a derivada da série é igual à série das derivadas e que a primitiva da série é igual à série das primitivas Isto permite obter desenvolvimentos em série de potências de x como por exemplo para funções Ln1 x e arctanx De fato quando y x na igualdade 111 temse 1 1 x Σ 1n xn se x 1 logo 1 1 x dx Σ 1n xn dx Lnx 1 Σ 1n n 1 xn1 C se x 1 Quando y x2 na igualdade 111 temse 1 1 x2 Σ 1n x2n se x2 1 logo 1 1 x2 dx Σ 1n x2n dx arctan x Σ 1n 2n 1 x2n1 C se x2 1 131 A função exponencial Podemos admitir que uma maneira de definir a função exponencial é ex Σ 1n xn 112 que faz sentido para todo número x real ou melhor como a série 112 em questão converge para todo número real x então define um função de domínio R A essa função de x chamamos função exponencial de x Lembrar que graças à Propriedade 114 se existe o limite lim n an1 an r 1 então a série de potências Σ an x cn é absolutamente convergente para todo x em c r c r e diverge para todo x no intervalo c r c r a convergência em x r tem que ser averiguada para cada caso específico de an Nesta abordagem informal introduzamos a variável xi na definição 112 acima de exponencial onde i2 1 Sabese que i0 1 i1 i i2 1 i3 i i4 1 i5 i i6 1 i7 i assim i2k 1k i2k1 1k i k N então eix Σ 1n xin Σ 12n xi2n Σ 12n1 xi2n1 eix Σ 1n2n x2n Σ 1n i2n1 x2n1 lembrando que eix cos x isenx segue cos x Σ 1n 2n x2n e sen x Σ 1n 2n 1 x2n 1 113 Como podemos observar para determinar a soma de séries de potências é comum partir de uma das seguintes séries Σ xn 1 1 x x 1 e Σ xn n ex Através de processos como substituição de variáveis multiplicação integração e diferenciação efetuados em ambos os membros da igualdade é possível chegar à série cuja soma queremos determinar Exemplo 137 Calcular o limite L lim x0 1 x2 cot2 x Solução Temse 1 x2 cot2 x senx x cos xsenx x cos x x2 sen2 x Por outro lado senx x cos x Σ 1n 2n 1 x2n1 x Σ 1n 2n x2n isto é senx x cos x Σ 12n1 12n x2n1 1n Σ 2n 1n 2n1 x2n1 também senx x cos x Σ 12n1 12n x2n1 1n Σ 2n1 1n 2n1 x2n1 Logo L lim x0 Σ 2n 1n2n1 x2n1 Σ 2n1 1n2n1 x2n1 x2 Σ 1n2n1 x2n1 Σ 1n2n1 x2n1 23 Exemplo 138 Calcular o limite L lim x0 2ex 2 2x x2 x senx Solução Das igualdades 112 e 113 em séries de potências temos L lim x0 2ex 2 2x x2 x senx lim x0 2Σ 1n xn 2 2x x2 x Σ 1n2n1 x2n1 L lim x0 2x33 2x44 x33 x55 lim x0 23 2x4 13 x25 2 Portanto L lim x0 2ex 2 2x x2 x senx 2 14 Operações com série de potências Cada série de potências Σ an xn define uma função f fx Σ an xn 114 o domínio da função f é o intervalo de convergência da série Consequência do Teorema de Abel Teorema 11 é que qualquer função definida por uma série de potências de x c com raio r 0 é indefinidamente derivável em c r c r e as suas derivadas podem ser calculadas derivando a série termo a termo Propriedade 124 Dada uma série de potências como em 114 cujo raio de convergência é r 0 então sua função derivada é definida por fx Σ n an xn1 em cada número x do intervalo aberto r r Observação 18 Se o raio de convergência da série fx n0 an xn é r 0 então r também é o raio de convergência da série fx n2 nn1an xn2 Propriedade 125 Dada uma série de potências fx n0 an xn cujo raio de convergência é r 0 então para x r temse 0x ft dt n0 0x an tn dt n0 ann1 xn1 Demonstração Sejam fx n0 an xn e gx n0 ann1 xn1 então pela Propriedade 123 gt tem o mesmo raio de convergência de ft e gx fx Como g0 0 pelo teorema fundamental do cálculo integral segue que 0x ft dt gx As Propriedades 123 e 124 apresentam vários aspectos Afirma que f é derivável e integrável e implica que o raio de convergência da série derivada e integrada é o mesmo raio de convergência da série original não afirma nada a respeito dos extremos do intervalo de convergência Exemplo 139 Obter uma representação em série de potências para 1x12 Solução Sabemos pela igualdade 111 que 11x 1 x x2 x3 xn se x 1 derivando com respeito a x segue 11x2 1 2x 3x2 4x3 nxn1 se x 1 Portanto 1x12 n1 n xn1 Exemplo 140 Verificar que ex n0 xnn Solução Sabese que se fx ex então sua derivada fx ex fx Seja fx n0 xnn fx n1 n xn1n n1 xn1n1 n0 xnn fx Portanto ex n0 xnn O teorema a seguir é uma complementação das Propriedades 123 e 124 Teorema 12 Seja a série n0 an xcn com raio de convergência r isto é a série converge no intervalo aberto ar ar Então definindo fx n0 an xcn temse que 1 fx é contínua em cr cr 2 Existe fx tal que fx n1 n an xcn1 3 Existe hx tal que hx n0 an xcn dx n0 an xcn1n1 A demonstração é exercício para o leitor Exemplo 141 Determine uma representação em séries de potências para o arctan x Solução Sabese que 11y 1 y y2 y3 yn quando y 1 Considerar y t2 logo 0x 11t2 dt 0x 1 t2 t4 t6 tn dt x2 1 arctan x x x33 x55 x77 x99 x1111 x 1 Propriedade 126 Sejam fx n0 an xn e gx n0 bn xn convergentes em x r Ao se realizar operações de adição subtração e multiplicação com estas séries como se forem polinômios então a série resultante converge em x r e representa fx gx fx gx e fx gx respectivamente Quando b0 0 o resultado também vale para a divisão sendo x suficientemente pequeno A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Exemplo 142 Multiplicar a série geométrica n0 xn com o desenvolvimento em série de gx 11x para obter uma série de potências de 11x2 Solução Sabese que n0 xn 11x sempre que x 1 e sejam fx n0 an xn 1 x x2 x3 xn x 1 an 1 n ℕ gx n0 bn xn 1 x x2 x3 xn x 1 bn 1 n ℕ logo fx gx n0 cn xn onde cn a0 bn a1 bn1 a2 bn2 aj bnj an1 b1 an b0 n 1 n ℕ Então pela Propriedade 128 fx gx n0 cn xn n0 n 1 xn 11x2 x 1 Exemplo 143 Determine uma série de potências para earctan x Solução Sabese que ey 1 y y2 2 y3 3 y4 4 De onde earctan x 1 arctan x arctan x2 2 arctan x3 3 arctan x4 4 1 x x3 3 x5 5 x x3 3 x5 5 2 2 x x3 3 x5 5 3 3 logo earctan x 1 x x2 2 x3 6 7x4 24 141 A série binomial Lembre que o binômio de Newton diz que x yn Σk0n n choose k xk ynk fazendo y 1 nesta igualdade obtemos 1 xn 1 nx n1n 2 x2 nn1n2 nk1 k xk nxn1 xn Motivados por esta expressão dado x 1 queremos uma representação do desenvolvimento em série de potências para a função fx 1 xα onde é um número racional qualquer Dada uma série da forma 1 αx αα1 2 x2 αα1α2 αk1 k xk αxα1 xα 115 para esta série verificase que limn an1 an x limn αn n1 x Portanto a série 115 é absolutamente convergente quando x 1 diverge nos outros casos Formalmente suponhamos que gx Σk0 αα1α2 αk1 k xk Derivando termo a termo obtémse gx α αα1x αα1α2 αk1 k1 xk1 assim gx xgx αgx gx gx α 1x Ln gx LnC1xα de onde gx C1xα como g0 1 segue que C1 e assim gx 1xα com isto obtemos a representação 1xα 1 αx αα1 2 x2 αα1α2 αk1 k xk αxα1 xα válida para x 1 e α Q Algumas propriedades desta série binomial são i Se α N tem um número finito de termos e é um polinômio ii Se α 0 α Z a série é absolutamente convergente em 1 1 iii Se 1 α 0 a série converge em 1 1 iv Se α 1 a série converge em 1 1 Exemplo 144 Determine uma aproximação para 12 Solução Consideremos a função fx 1x aplicando a série binomial temse que α 12 x02 11 logo 1x 1 12 x 11212 x2 11211226 x3 12 1 12 02 18 022 116 023 10955 15 Série de Taylor Com muita frequência a série de Taylor é utilizada no Cálculo Numérico e tem participação importante na solução de equações algébricas e transcendentdes na interpolação na integração na diferenciação e na solução de equações diferenciais Em muitos problemas de Física desejamos uma solução exata de uma função mas às vezes nos deparamos com funções com soluções aproximadas Com tais aproximações podemos extrair o significado físico de alguns problemas A série de Brook Taylor nos dá uma solução aproximada de uma função além de nos permitir estimar o erro associado Uma função definida por série de potências possui derivada de todas as ordens que podemse obter derivando a série de potências termo a termo de acordo com a Propriedade 14 Se fx Σn0 an xcn tem como domínio um intervalo aberto que contêm x c então dfdx fx Σn1 n an xcn1 d2f dx2 fx Σn2 nn1 an xcn2 Em geral dn f dxn fnx Σkn kk1 kn1 ak xcnk A função f e suas derivadas têm todas o mesmo raio convergência de acordo com a Propriedade 124 ao calcular a função e suas derivadas no ponto x c obteremos fc a0 fc a1 fc 2a2 fnc n an Propriedade 127 Se f tiver uma representação expansão em séries de potências em x c fx Σn0 an xcn xc r 116 então seus coeficientes são dados pela fórmula an fnc n A demonstração é exercício para o leitor Assim an fnc n para cada número natural n a série de potências 116 associada à f podemos escrever como fx fc fc1 xc fc2 xc2 fc3 xc3 fncn xcn isto é fx Σn0 fncn xcn O emprego desta última série evidentemente limitada para os casos em que esta é convergente será de muita utilidade Pela teoria de das séries de potências esta série é convergente para valores de que satisfazem a desigualdade x c r Na última igualdade pondo x x0 h substituindo c por x0 temos fx0 h n0 fnx0n hn Nesta segunda forma o valor da função fx quando substituímos x por x0 h é desenvolvido em série de potências de h onde este h é um acréscimo de x0 Exemplo 145 Desenvolver cos x em série de potências de h quando x se desloca de x0 para x0 h Solução Observe que fx cos x logo fx0 h cosx0 h derivando no ponto x0 temse fx0 sen x0 fx0 cos x0 fx0 sen x0 De onde cosx0 h sen x0 h1 cos x0 h22 sen x0 151 Série de Taylor associada a uma função Definição 110 Série de Taylor Seja f ℝ ℝ uma função indefinidamente derivável num ponto c ℝ Chamase série de Taylor de f em torno do ponto x c à série de potências fx n0 fncn x cn 117 isto é fx fc fc1 x c fc2 x c2 fc3 x c3 fncn x cn A série de potências associada à função f dada por 117 também é chamada de Série de Taylor em torno de x c Assim uma função pode ser representada por mais de uma série de potências em x c A questão da existência de uma série de Taylor persiste quando a pergunta é Uma função f pode ser representada por meio de uma série de Taylor A constante c é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum direct a et inversa em 1715 Condorcet7 atribuía estas séries a Taylor e dAlembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786 por lHuillier Na Física com frequência é usada a notação fx n0 fncn x cn ou fx n0 1n dk fx dxnxc x cn Exemplo 146 Desenvolver a função fx Lnx na vizinhança de x 1 e determinar o raio de convergência da série obtida Solução Se fx Lnx então fnx 1n1 n1xn Observe que f1 0 e fn1 1n1 n1 1n1 nn Assim fx Lnx 0 n1 1n1 n x1n O raio de convergência da série é r1 limn 1n2 n 1n1 n1 1 Portanto a série converge quando x 1 1 Exemplo 147 Expressar a função fx x como uma série de Taylor em torno de c 8 Solução Sabese que fx x fx 13 x23 fx 1232 x53 fx 12533 x83 fivx 125834 x113 em geral para n 2 temse fnx 1n1 13n k2n 3k4 x13n3 Quando x 8 temse f8 2 f8 112 fn8 1n1 13n k2n 3k4 813n3 7 Antoine Nicolas de Caritat Condorcet 1743 1794 um dos líderes ideológicos da revolução matemático e filósofo Foi um dos últimos iluministas o grupo de pensadores franceses que acreditava acima de tudo no poder do conhecimento A origem do termo iluminismo se refere justamente às luzes da razão que tirariam o homem dos domínios da superstição e da ignorância Logo fx x 2 112 1 x 8 1144 2 x 82 53456 3 x 83 fx x 2 112 x 8 n2 1n1 2n 24n k2n 3k 4 x 8n Estudamos numa disciplina de Cálculo diferencial em ℝ que a linearização de uma função diferenciável em x c é dada por Lx fc fcx c Se fx admitir derivadas finitas e determinadas até a ordem n no ponto x c existirá um único polinômio inteiro em x c de grau n Para o caso ser a função fx diferenciável em x c para ordens superiores então podemos ter aproximações de ordem mais elevada 152 Polinômio de Taylor Definição 111 Polinômio de Taylor Seja fx uma função com derivada de ordem k para k 1 2 3 m em algum intervalo contendo x c Então para n 0 m o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x c é o polinômio Tnx k0n fkck x ck 118 isto é Tn x fc fc1 x c fc2 x c2 fc3 x c3 fncn x cn Quando c 0 em 118 o polinômio é conhecido como Polinômio de MacLaurin Exemplo 148 Expressar a função fx x como uma série de Taylor com aproximação até terceira ordem em torno de c 8 Solução Sabese que fx x fx 13 x23 fx 29 x53 fx 1027 x83 Christian Q Pinedo Séries e Equações Diferenciais Quando x 8 temse f8 2 f8 112 f8 1144 f8 53456 Logo T3x 3x 2 121 x 8 11442 x 82 534563 x 83 T3x 2 112 x 8 1288 x 82 520736 x 83 Definição 112 Série de MacLaurin Chamase série de MacLaurin de f à série de Taylor de f quando c 0 isto é em 116 a fx f0 f01 x f02 x2 fn 0n xn Σk0 fk 0k xk 119 Exemplo 149 Determine a série de MacLaurin para a função fx ex Solução Se fx ex então fnx ex assim fn0 1 e a série de MacLaurin é da forma ex 1 x x22 x33 xnn Σn0 xnn A Figura 46 mostra a função fx ex e suas aproximações mediante os polinômios de Taylor até a terceira ordem isto é T3x Figura 11 Aproximações para fx ex Figura 12 Aproximações para fx senx Exemplo 150 Determine a série de MacLaurin para a função fx senx Solução Christian Q Pinedo Séries e Equações Diferenciais Se fx senx então f0 0 Por outro lado para todo j Z temse fnx cos x se n 4j 1 senx se n 4j 2 cos x se n 4j 3 senx se n 4j fn0 1 se n 4j 1 0 se n 4j 2 1 se n 4j 3 0 se n 4j logo senx x x33 x55 x77 1k x2n12n 1 Σk0 1k x2k12k 1 A Figura 45 mostra a função fx senx e suas aproximações mediante os polinômios de Taylor até a terceira ordem três isto é T3x 153 Convergência da série de Taylor Toda série de Taylor possui um raio de convergência r com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola circunferência x c ρ r Entre outros a fórmula de Cauchy Hadamard fornece o valor deste raio de convergência r1 limx sup an1n O fato de uma função possuir derivada de todas as ordens em algum ponto x c não garante que tem representação em série de Taylor naquele ponto o exemplo clássico desta patologia é a função definida por fx e1x2 se x 0 0 se x 0 Observe a derivada f0 limx0 fxf0x0 limx0 e1x2x aplicando a regra de LHospital segue que f0 limx0 1x22x3 e1x2 limx0 x2e1x2 0 Podese seguir mostrando que f0 0 f0 0 fn0 0 n N Assim uma série em torno de uma vizinhança de x 0 para fx é Σn0 fn0n x0n 0 0x 0x2 0x3 fx Christian Q Pinedo Séries e Equações Diferenciais Isto nos indica que se exige de uma condição adicional como por exemplo limx0 Rnx 0 para garantir a existência da série de Taylor 3ª pergunta Qual a relação entre esta a série de Taylor e a função f que usamos para calcular os coeficientes da série Na seção anterior procurouse mostrar entre outros assuntos que funções transcendentais no caso exponencial seno cosseno logaritmo e arco de tangente podem ser expressas como séries de potências pelo menos em parte do seu domínio e que as séries de potências são diferenciáveis e integráveis termo a termo evidenciando assim a importância de poder exprimir uma função à custa de uma série de potências Exemplo 151 Determine o intervalo de convergência da função fx Lnx em potências de x 1 Solução Se fx Lnx então f1 0 As derivadas fx 1x fx 1x2 fx 2x3 fivx 3x4 em geral fnx 1n1 n1xn de onde fn1 1n1 n1 A série de Taylor para Lnx é da forma Lnx x1 x122 x133 Σk1 1k1 x1kk Para determinar o raio de convergência r1 limn an1an limn 1n1 n1 1 A série converge se x1 1 e diverge se x1 1 Quando x1 1 para x 0 diverge para x 2 converge Portanto a série converge no intervalo 02 Exemplo 152 Dada a função de Bessel de ordem zero J0x Σk0 1k x2k 22k k2 determine seu domínio de convergência Solução Temse que r1 limk ak1ak limk 1k122k1 k12 22k k21k limk 122k12 0 logo r converge em todo ℝ Quando k 0 S₀ 1 quando 0 k 1 S₁ 1 x²4 quando 0 k 2 então S₂ 1 x²4 x⁴64 logo S₃ 1 x²4 x⁴64 x⁶2⁶3 A Figura 13 mostra as aproximações para a função de Bessel a Figura 14 mostra o gráfico da função de Bessel Figura 13 Aproximações para a função de Bessel J₀x Figura 14 A função de Bessel J₀x Exemplo 153 Seja q Q algum número determine o intervalo de convergência da função gx 1 xᵍ em potências de x Solução Temse que a késima derivada de g é dada por gᵏx qq 1q 2q 3 q k 11 xqqᵏ portanto a série de MacLaurin desta função chamada série binomial é dada por gx 1 xᵍ 1 qx qq 12 x² qq 1q 23 x³ qq 1q k 1k xᵏ ₖ₀ Cₖxᵏ onde Cₖ qq 1q 2 q k 1k Quando q seja um inteiro não negativo então a série binomial converge Para determinar o raio de convergência lim n aₙ₁aₙ lim n Cₙ₁Cₙ lim n a nn 1 1 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais A serie converge se x 1 e diverge se x 1 Portanto o raio de convergˆencia e r 1 Observe que para o caso da funcao hx b xq podemos fatorar o numero b para obter 1 xq Assim por exemplo podemos determinar a serie binomial para 9 x 31 y substituindo y por x 3 Retomando o assunto em discussao serıa desejavel que a serie de Taylor convergisse para a funcao que lhe deu origem pelo menos em alguma vizinhanca de x c 54 18112022 Exercícios 12 1 Considere a série de potências ₙ₀ aⁿ¹n 1 xⁿ¹ com a ℝ 1 Determine o raio de convergência da série e estude a sua natureza nos extremos do intervalo de convergência 2 Considere a série numérica que se obtém fazendo x 3 Justifique que existe um único valor de a para o qual a série numérica correspondente é simplesmente convergente e determineo 2 Demonstre que o raio de convergência r de uma série de potências ₖ₀ aₖx cᵏⁿ é dado por r¹ n lim k aₖ₁aₖ desde que o limite exista ou seja zero r¹ lim k supaₖ¹ᵏⁿ desde que o limite exista ou seja zero Além disso 1 Se r 0 a série converge só quando x c 2 Se r a série converge para todo x ℝ 3 Se r 0 então a série converge pelo menos para todos os valores de x c r c r 3 Considere a série de potências ₖ₁ xᵏ³k 3 1 Determine o maior intervalo onde a série é convergente 2 Representando por fx a soma da série dada escreva o desenvolvimento de fx em série de potências e determine a soma desta série 3 Utilizando a parte 2 calcule a soma da série dada 4 Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências e estude a sua natureza nos extremos de aquele intervalo 1 ₙ₁ xⁿ2n n 2 ₙ₁ 2ⁿxⁿ1 2ⁿ 3 ₙ₁ 2 1ⁿ²ⁿx 1ⁿ 4 ₙ₁ x 3ⁿn 5 ₙ₁ x 1ⁿ1 n² 6 ₙ₁ 1ⁿn 12 4 6 2n xⁿ¹ 7 ₙ₁ x 5ⁿ5ⁿ¹ 8 ₙ₁ x 3²ⁿn 1⁴ⁿ 9 ₙ₁ 1ⁿ2n 1 x 1ⁿ 10 ₙ₁ 3x 1ⁿ3²ⁿ 11 ₙ₁ nxeⁿˣ 12 ₙ₁ cos nxeⁿˣ 5 Determine uma série de potências de x 1 para a função fx e²ˣ e uma série de potências de x 1 para a função gx Lnx 6 Desenvolver em séries de potências de x² a fração fx x⁴x⁴ x² 2 7 Desenvolver em séries de potências de x a fração fx x 2x² x 1 8 Desenvolver em série de potências de x as seguintes funções 1 fx 11 x² 2 fx 1x 1x 2 3 fx arctan x 4 fx Ln1 x1 x 5 fx 11 x² 6 fx 2x1 2x² 9 Seja fx 11 x 1 Desenvolver em série de potências de x a função x fx indicando o respectivo intervalo de convergência 2 Utilize o desenvolvimento obtido em 1 para mostrar que ₖ₁ k2ᵏ 2 10 Diga justificando se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições 1 Se ₖ₁ aₖxᵏ tem raio de convergência 12 então ₖ₁ aₖ é convergente 2 Se ₖ₁ aₖxᵏ tem raio de convergência 2 então lim k aₖ 0 11 Estude para os diferentes valores de x a natureza das séries 1 ₖ₁ x 4ᵏk 13ᵏ¹ 2 ₖ₁ xᵏkk 22ᵏ 3 ₖ₁ cosnxeⁿˣ 12 Determine o domínio de convergência da série de potências k1 1k5k k2 x2k 13 Considere a série de potências k1 1xk kk1k 1 Determine o maior subconjunto de R para o qual a série é convergente e indique se existem pontos para os quais a série é simplesmente convergente 2 Sendo fx k1 1xk kk1 no intervalo de convergência desta série determine fx 14 Considere a série de potências k1 x3k2k 1 1 Determine o maior subconjunto de R para o qual a série é absolutamente convergente 2 Sendo fx k1 x3k2k 1 definida no intervalo de convergência desta série determine a primitiva de fx que para x 3 assume o valor 2 15 Determine o intervalo de convergência da série n1 xn 12n xn 16 Expresse a função 11x2 como soma de uma série de potências Em seguida encontre a soma da série numérica n1 n2n 17 Obtenha o desenvolvimento em série de potências da função fx abaixo em torno do ponto a indicado 1 fx 1x2x3 a0 2 fx senhx a0 3 fx sen2 x a0 4 fx senx cos x a0 5 fx Lnx a1 6 fx cos x a π3 18 Considere a série de potências k1 x1kk 3k 1 Determine em que pontos a série é absolutamente convergente e em que pontos converge simplesmente 2 Sendo fx a função definida por aquela série nos pontos onde é convergente calcule f1 f1 e escreva a série de Taylor de f no ponto x1 da função x fx 19 Considere a série de potências k1 1k 11kk xk 1 Determine o conjunto dos pontos onde a série é convergente 2 Seja fx a função definida pela série anterior Determine o domínio da função gt f12t 20 Desenvolver em série de potências de x a função fx 23 4x3 21 Considere a função fx x31 x2 Desenvolva fx em série de potências de x determine o respectivo intervalo de convergência e calcule o valor de f90 22 Sempre que x 1 verificar a representação em séries de potências 1 n1 n xn x1x2 2 n1 n2 xn x2 x1x3 3 n1 n3 xn x3 4x2 x1x4 4 Ln 1x1x n1 x2n12n 1 23 Encontre uma expansão em série de potências de x para x2 ex logo derive este resultado para provar que n2 1n n2 2nn 4 24 Determine as constantes a0 a1 a2 a3 e a4 de modo que 3 x4 17 x3 35 x2 32 x 17 a4 x 14 a3 x 13 a2 x 12 a1 x 1 a0 25 Desenvolver em série de MacLaurin a função fx Ln 1x 2 e indique o maior intervalo aberto em que esse desenvolvimento é válido 26 Se possível encontre o desenvolvimento em série de MacLaurin das seguintes funções 1 1senhx 2 cosh x 3 1x1 x 1 4 Ln1 x 5 senx2 1 6 0x sent2 1 cos2t2 1 dt Determine o conjunto dos números reais tais que a soma das respectivas séries de MacLaurin que encontrou coincidam com o valor das funções que representam 16 Fórmula de Taylor Dada uma função f R R e afixo a R a fórmula de Taylor tem como objetivo decompor o valor fxa da função fx como uma soma de outras duas funções Tn x e R n x onde Tn x é um polinômio de grau arbitrário n e Rn x é um termo complementar Definição 113 Função analítica Uma função f dizse analítica num ponto x c do seu domínio se f é a soma de uma série de potências de x em alguma vizinhança de c Isto é se existe uma sequência ak tal que para algum ε 0 fx k0 ak xck para todo x c ε c ε Logo uma função f que pode ser representada por uma série de potências podemos dizer que é uma função analítica Assim e sabendo que uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo no interior do seu intervalo de convergência os ak são as nésimas derivadas de f em x c multiplicadas por n e esta representação em séries de potências para uma função analítica é única Portanto funções analíticas num ponto x c são indefinidamente diferenciáveis em x c Exemplo 154 A função fx 11x é analítica no ponto x 0 O questionamento feito acima pode agora reformularse da seguinte maneira 4ª pergunta Será que todas as funções indefinidamente diferenciáveis num ponto x c são analíticas em x c A resposta é não Nem todas as funções que são indefinidamente diferenciáveis são analíticas como mostrado na seção anterior para a função fx e1x2 se x 0 0 se x 0 Esta função é indefinidamente diferenciável em qualquer x com todas as derivadas nulas em x 0 Consequentemente sua série de Taylor gerada por f em x 0 é n0 0 xn n0 0 0 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Assim concluımos que uma funcao f e analıtica num ponto x c se e so se e possıvel desenvolver em serie de Taylor no ponto x c Esta Propriedade 127 permite garantir que se uma serie e a serie de Taylor de uma funcao num ponto entao a funcao e soma dessa serie Mostrase isto recorrendo a desenvolvimentos conhecidos eou aos resultados sobre derivacao e integracao de series de potˆencias Uma pergunta natural e 6a pergunta Se a funcao f nao for indefinidamente diferenciavel em x c Isto e se f so admitir n derivadas no ponto x c Se a funcao f da igualdade 117 admitir derivadas contınuas no ponto x c ate a ordem n as duas funcoes fx e Tnx e suas primeiras derivadas tenderao para o mesmo limite quando x c e sera natural considerar Tnx como o valor aproximado de fx quando x for pequeno em valor absoluto Assim temos que fx Tnx Rnx 120 onde Tnx e um polinˆomio de grau arbitrario n N em x c dado em 117 e Rnx e um termo complementar Entao vale a formula de Taylor fx f0 f 0 1 x f 0 2 x2 f 0 3 x3 f n0 n xn Rnx onde Rnx e uma funcao de x tal que lim xc Rnx x cn 0 161 Resto de um Polinˆomio de Taylor Nas aplicacoes da serie de Taylor tornase impossıvel computar todos os termos da serie O que se faz e considerar somente um numero finito deles Se a serie 117 e truncada apos o nesimo termo obtemos a aproximacao 120 O erro que se obtem nesta aproximacao constitui o erro de truncamento Rnx apre sentado na igualdade 120 Um dos problemas mais importantes do Calculo Numerico e a estimativa do erro de truncamento sem o conhecimento do qual a aproximacao dada pela igualdade 117 nao faz qualquer sentido 62 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais assim existe ξ a x tal que Rnx f n1ξ n 1 x an1 121 Esta ultima identidade e conhecida como Formula de Lagrange Nao sendo ξ co nhecido explicitamente o emprego desta formula fica limitado a estimativa do valor mais desfavoravel do erro de truncamento Rnx M n 1x an1 122 onde o valor de M e o valor maximo absoluto de f n1ξ a ξ x Observacao 19 i O erro cometido ao aproximar fx pelo polinˆomio de Taylor Tnx e inferior a Rnx da desigualdade 122 ii Considerando x a h na equacao 121 Rnh f n1a th n 1 hn1 0 t 1 123 Sem considerarmos o termo f n1ath que muitas vezes nao varia substancialmente com h e n a igualdade 123 nos mostra que quanto menor h e quanto maior n menor sera o valor de Rnh Logo verificase a seguinte propriedade Propriedade 129 Resto de Lagrange Sob as condicoes do Teorema 13 o resto da formula de Taylor podemos es crever na forma Rnh hn1 n 1f na th onde 0 t 1 124 A demonstracao e exercıcio para o leitor Exemplo 157 Para o exemplo 148 determine Ln 0 8 para θ 0 01 onde θ e o erro absoluto Solucao 64 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Calculamos no Exemplo 148 que f nx 1n1n 1 xn entao f n1x 1nn x assim na igualdade 124 Rnh hn1 n 1 1n n 1 hn1 onde 0 t 1 Como 0 x 1 e queremos Ln 0 8 consideremos h 0 2 de onde Rn0 2 0 2n1 n 1 1 1 0 2n1 0 25n1 n 1 1 resulta por tentativas que n 2 Portanto vem da serie obtida no exemplo 138 que Ln 0 8 0 0 2 0 22 2 com erro θ 0 01 A condicao de que uma funcao que seja indefinidamente diferenciavel num certo inter valo seja analıtica e evidentemente que o resto da formula de MacLaurin para todo valor fixo de x no intervalo tenda a zero quando n isto e sendo a serie convergente lim n Rnx 0 Exemplo 158 1 ex 1 x x2 2 x3 3 xn n eθx 0 xθ 1 2 senx x 1 x2 3 x5 5 x7 7 xn n senθx nπ 2 0 θ 1 3 cos x 1 x2 2 x4 4 x6 6 xn n cosθx nπ 2 0 θ 1 Considerando o resto nos trˆes casos podemos observar que estes restos tendem para zero para qualquer valor fixo de x R As trˆes funcoes sao por tanto analıticas em R e as series infinitas que se obtem das formulas acima quando n sao seus desenvolvimentos em serie Teorema 14 de RocheSchlomilch Se fx admitir derivadas contınuas ate a ordem n no intervalo I a b considerando b a h e uma derivada unica de ordem n 1 no intervalo aberto a b entao neste intervalo aberto existe ao menos um valor c para x tal que Rnc hkb cn1k n f n1c k N 125 Demonstracao 65 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Seja A uma constante definida pela igualdade fb Tnh Ahk 126 suponhamos φx fx b xf x b x2 2 f x b xn n f nx e consideremos a funcao auxiliar ϕx φx Tnh Ab xk 127 Quando x a temse que ϕa Ahk e ϕb fb Tnh Ahk e cumpre as condicoes do Teorema de Rolle no intervalo a b Logo existe um c a b tal que ϕc 0 isto e ϕc φc kAb ck1 0 entao b cn n f n1c kAb ck1 0 A b cn1k n k f n1c Logo das igualdades 125 e 126 segue que Rnc fb Tnh Ahk hkb cn1k n k f n1c Observe que para c a b existe t 0 1 tal que c atba ath e podemos escrever o resto do polinˆomio de Taylor 125 na forma Rnc hn11 tn1k n k f n1a th 128 Teorema 15 de Taylor Se f for derivavel ate a ordem n1 em um intervalo aberto I contendo c entao para cada x em I existe um numero a entre x e c tal que fx fcf c 1 xcf c 2 xc2f c 3 xc3 f nc n xcnRnx onde Rnx e uma funcao de x tal que Rnx f n1a n 1 x cn1 A demonstracao do teorema e exercıcio para o leitor 66 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 30 Determine o desenvolvimento em serie de Taylor no ponto x C das seguintes funcoes 1 sen2x C 0 2 1 1 x1 x2 C 0 3 Lnx 1 C 1 4 x cos2x C π 2 5 x 12 arctan x C 0 6 3x 1 x3 C 1 Determine o conjunto dos numeros reais tais que a soma das respectivas series de Taylor que encontrou coincidem com o valor das funcoes que representam 31 Considere a funcao f R 2 R fx 2xx 2 x 2x2 4 1 Determine o desenvolvimento de MacLaurin de f 2 Determine f n0 n N 32 Usando os desenvolvimentos obtidas nos exercıcios 30 e 31 indique justifica damente a existˆencia de extremos das funcoes consideradas respectivamente nos pontos aos quais sao relativos os desenvolvimentos de Taylor 33 Desenvolver pela formula de MacLaurin ate os termos de terceira ordem inclusive a funcao fx y senhy cos x 34 Desenvolver pela formula de MacLaurin ate os termos de quarta ordem inclusive a funcao gx y eysenx 35 Determine o polinˆomio de Taylor de ordem m das funcoes seguintes nos pontos indicados 1 fx y 1 2 x 2y m 2 x0 y0 2 1 2 fx y cosx seny m 2 x0 y0 0 0 3 fx y ex2y m 3 x0 y0 0 0 4 fx y yx m 2 x0 y0 1 1 84 18112022 Capıtulo 2 Equacoes diferenciais de 1a ordem L Euler Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707 Basileia na Suıca e faleceu em 18 de setembro de 1783 em Sao Petersburgo na Russia Euler ampliou as fronteiras da geometria analıtica e da trigonometria moderna deu contribuicoes decisivas para a geometria o calculo e a analise numerica Euler conseguiu de seu pai o consentimento para mudar seus estudos para a Matematica ajudado pela persuasao de Johann Bernoulli que intercedeu junto a seu pai Johann Bernoulli tornouse entao seu professor Euler ingressou na Academia de Ciˆencias de Sao Petersburgo em 1727 dois anos apos a sua fundacao por Catarina I Em Sao Petersburgo ele viveu com Daniel Bernoulli e tornouse professor de Fısica na academia em 1730 e professor de Matematica em 1733 neste mesmo ano ele casouse Deste casamento Euler teve 13 filhos dos quais apenas cinco sobreviveram a primeira infˆancia Ele costumava dizer que algumas de suas maiores descobertas foram feitas enquanto segurava um bebˆe nos bracos tendo os outros filhos brincando em suas pernas A publicacao de diversos artigos e de seu livro Mechanics173637 no qual apresentava pela primeira vez a dinˆamica Newtoniana na forma de analise matematica iniciaram Euler nos caminhos de um trabalho matematico mais incisivo Em 1741 por convite de Frederico o Grande Euler associouse a Academia de Ciˆencia de Berlim onde permaneceu por vinte e cinco anos Neste perıodo em Berlim ele escreveu cerca de 200 artigos trˆes livros de analise matematica e uma publicacao cientıfica popular Cartas para uma princesa da Alemanha 3 volumes 1768 72 Em 1766 Euler voltou a Russia e perdeu a visao do olho direito aos 31 anos e logo apos retornar a Sao Petersburgo ficou quase inteiramente cego apos uma operacao de catarata Gra cas a sua formidavel memoria ele foi capaz de continuar seus trabalhos em Otica Algebra e movimentos lunares Surpreendentemente apos 1765 quando tinha 58 anos ele produziu quase metade de seu trabalho a despeito de estar totalmente cego Depois de sua morte em 1783 a Academia de Sao Petersburgo continuo a publicar todos os seus trabalhos ainda nao publicados durante quase cinquenta anos 85 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 21 Introducao Numa primeira disciplina de Calculo1 estudamos que existem funcoes polinomiais f R R de grau n e sao da forma fx a0 a1x a2x2 a3x3 anxn sempre que an 0 os ai sao constantes que nao dependem de x O grau a que nos referimos e no sentido algebrico Quando estas funcoes polinomiais igualamos a zero isto e quando fx 0 estas expressoes sao chamadas de equacoes de grau n na variavel x ou na incognita x Resolver uma equacao fx 0 significa determinar valores x0 para a variavel x de modo ao substituirmos estes valores na equacao se obtenha uma proposicao verdadeira da forma fx0 0 Estes valores determinados da equacao sao chamados de solucao da equacao Em geral para o caso da variavel x ser matrizes terıamos uma equacao matricial para o caso da variavel x ser funcao terıamos umaequacao funcional e assim por diante 22 Equacoes diferenciais Na disciplina inicial de calculo diferencial estudamos que dada uma funcao y fx sua derivada sempre que exista e a funcao dy dx f x tambem estudamos que dada uma funcao de variavel x sua derivada e calculada com regras apropriadas Por exemplo se y ex4 entao sua derivada e dy dx 4x3ex4 ou dy dx 4x3y Uma pergunta natural e Dada uma equacao por exemplo dy dx 4x3y e possıvel achar com alguma tecnica uma funcao y fx que seja solucao de tal equacao Dito de outro modo nosso objetivo e resolver equacoes diferenciais Definicao 21 Equacao diferencial de variavel real Dizemos equacao diferencial de variavel real a toda expressao algebrica que apre senta a relacao de igualdade e tem como incognita uma funcao de variavel real assim como suas derivadas Isto e uma equacao diferencial e uma relacao entre variaveis independentes funcoes suas derivadas ou diferenciais ate certa ordem Grande quantidade das leis da Fısica Quımica e Biologia tˆem sua expressao natural nas equacoes diferenciais com derivadas ordinarias ou parciais Tambem sao muitas as aplicacoes das equacoes diferenciais em Engenharia Economia Ciˆencias Sociais Astrono mia e mesmo nas Matematicas O motivo e simples se um fenˆomeno podemos expressar mediante varias mudancas instantˆaneas entre variaveis implicadas entao consequente mente teremos uma ou mais equacoes diferenciais Um exemplo simples e a equacao diferencial que provem da segunda lei de Newton para a forca massa m por aceleracao a isto e F m a mais se um corpo de massa 1Calculo Diferencial em R Editora UFAC 2017 do mesmo autor 86 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais m cai sob a influˆencia da gravidade terrestre g entao m a m g 21 como a aceleracao a d2y dt2 e a derivada da velocidade instantˆanea onde yt e a posicao do corpo no instante t entao da igualdade 21 obtemos d2y dt2 g esta igualdade e uma equacao diferencial ordinaria sua solucao e a funcao de posicao yt Para este nosso exemplo podemos supor que sobre o corpo atua uma forca de friccao no meio em que esta inserido cuja magnitude e proporcional a velocidade instantˆanea dy dt segue entao da igualdade 21 que md2y dt2 kdy dt mg de onde d2y dt2 k m dy dt g Esta ultima igualdade e uma equacao diferencial ordinaria e satisfaz as condicoes de nosso problema Sao exemplos de equacoes diferenciais 1 md2x dt2 pkx do movimento harmˆonico simples 2 1 x2d2y dx2 2xdy dx pp 1y 0 de Legendre 3 x2 d2y dx2 xdy dx x2 p2 0 de Bessel 4 x x2d2y dx2 γ α β 1xdy dx αβy 0 α β R de Gauss 5 dx dt xα βy α β R dy dt yγ δx γ δ R de LotkaVolterra 6 dy dx pxy qxyr r Q de Bernoulli Outros exemplos sao as famosas equacoes em derivadas parciais do calor da onda e de Laplace que tˆem a forma 2u x2 2u y2 2u z2 1 a2 u t 2u x2 2u y2 2u z2 1 a2 2u t2 2u x2 2u y2 2u z2 0 87 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais respectivamente onde a e uma constante nao nula Exemplo 21 As seguintes sao equacoes diferenciais envolvendo a funcao incognita y fx ou z gx t Fx y dy dx d2y dx2 0 22 Fx y z dy dx dz dx 0 23 Fx y z z x z y 0 24 onde F e uma funcao implıcita nas variaveis reais respectivas 221 Grau de uma equacao diferencial Para entender o grau de uma equacao diferencial temos que fazer analogia com o grau no sentido algebrico de uma funcao polinomial de numeros reais isto e uma equacao de grau n e da forma anzn an1zn1 a1z a0 0 an 0 onde aos ai R sao constantes Em analogia com esta definicao de grau de uma equacao em numeros reais se conside ramos z como uma funcao de y yx ou de alguma de suas derivadas e consideramos as constantes ai como funcoes que nao dependam de y yx entao faz sentido a seguinte definicao Definicao 22 Grau O grau de uma equacao diferencial e ograu algebricoa que se encontra elevada a derivada de ordem mais alta da funcao incognita Isto e o grau de uma equacao diferencial e a maior potˆencia a que se encontra a ordem de uma equacao diferencial considerando a derivada ou diferencial como se fosse uma incognita numa equacao algebrica E por isto esta nocao de grau pode carecer de sentido em certos casos aqueles em que a equacao nao fosse algebrica como na equacao 26 222 Classificacao das equacoes diferenciais A nossa classificacao sera pelo tipo da equacao pela ordem e pela linearidade 2221 Tipo de equacao diferencial As equacoes diferenciais sao de dois tipos a Equacoes diferenciais ordinarias aquelas equacoes que envolvem as derivadas de uma funcao desconhecida de uma variavel independente como em 22 e 23 e elas se caracterizam por nao apresentarem derivadas ou diferenciais parciais Denotamse ao conjunto das equacoes diferenciais ordinarias como EDOs 88 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais onde F e uma funcao de valores reais de n 2 variaveis Fx y y y y yn Exemplo 23 A equacao 25 e uma EDO de primeira ordem 26 28 e 29 sao equacoes diferenciais de segunda ordem A equacao 27 e uma EDO de terceira ordem 2223 Classsificacao pela linearidade equacao diferencial Definicao 24 Equacao diferencial linear Uma EDO de ordem n na funcao incognita y fx dizemos que e linear de nesima ordem se pode ser escrita sob a forma anx dny dxn an1x dn1y dxn1 a1xdy dx a0xy bx 210 As funcoes ajx j 0 1 2 n an 0 e bx supoemse conhecidas dependem apenas da variavel x Isto significa que uma EDO de nesima ordem e linear se anxyn an1xyn1 a1xy a0xy gx Dois casos especiais importantes de equacoes lineares sao as lineares de primeira ordem n 1 e as de segunda ordem n 2 A observacao a seguir caracteriza as equacoes lineares o seguinte Observacao 21 As equacoes diferenciais lineares sao caracterizadas por duas propriedades 1 A variavel dependente y yx e todas suas derivadas sao do primeiro grau isto e a potˆencia de cada termo envolvendo yx e um 2 Cada coeficiente de 210 depende apenas da variavel x Definicao 25 Equacao diferencial nao linear As equacoes diferenciais que nao podem ser escritas sob esta forma 210 sao chamadas de equacoes diferenciais nao lineares Exemplo 24 A equacao 25 e uma EDO linear de primeira ordem aqui a1x 1 a0x 0 bx 8x 3 A equacao 27 e linear de terceira ordem com a3x 6 a2x tan x a1x 0 a0x 8x bx 4 As equacoes 26 e 28 nao sao lineares Exemplo 25 A equacao 28 e uma EDO de segunda ordem de grau quatro pois a derivada mais alta a segunda neste caso se encontra elevada a potˆencia quatro 90 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 2232 Variacao de temperatura A lei de variacao de temperatura de Newton estabelece que a taxa de variacao de temperatura de um corpo e proporcional a diferenca de temperatura entre o corpo e o meio ambiente Denotando por Tt a temperatura do corpo no instante de tempo t e por Tm a temperatura do meio ambiente a lei de Newton e apresentada matematicamente pela seguinte equacao diferencial dT dt kT Tm k 0 ou T kT kTm 216 O sinal negativo em 216 indica um processo de esfriamento Neste caso Tt Tm e portanto dT dt 0 Exemplo 29 Suponhamos que um corpo tenha temperatura y0 no instante de tempo t 0 e se encontra colocado em um meio cuja temperatura e igual a Tm onde y0 Tm Nosso objetivo e achar a relacao pela qual varia a temperatura do corpo em relacao ao tempo Solucao Como a temperatura do corpo esta em funcao do tempo iremos designar esta tempe ratura por yt Sabese pelas leis da fısica que a velocidade de esfriamento do corpo e proporcional a diferenca entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente Considerando que a funcao e decrescente em virtude da interpretacao mecˆanica da derivada temos dyt dt kyt Tm 217 onde k e a constante de proporcionalidade A relacao 217 e o modelo matematico do processo fısico dado E uma equacao diferencial pelo fato que junto com a funcao desconhecida yt encontrase sua derivada 2233 Juro composto Seja A0 a quantidade de dinheiro aplicado a uma taxa anual de k computados continuamente Se At representa a quantidade de dinheiro ao final de t anos temos a seguinte formulacao para o problema de se calcular At dA dt k 100A A0 A0 218 A solucao desta equacao 218 e obtida por integracao com respeito a variavel t e vem dado por At A0exp k 100t A0e k 100 t Na pratica equacoes diferenciais aparecem de muitas formas existe um caminho para chegar as equacoes diferenciais que e util para intuir a classe de solucoes que se espera 93 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Em outras palavras uma solucao de uma equacao diferencial ordinaria Fx y y y y yn 0 e uma funcao y fx que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equacao isto e Fx fx f x f x f x f nx 0 para todo x no intervalo I a0 b0 Exemplo 211 Obter a equacao diferencial que tem como solucao a relacao y B cosωxα onde ω e um parˆametro Solucao Aqui temos que eliminar B e α Derivando respeito de x obtemos y Bωsenωx α A derivada segunda e y Bω2 cosωx α De onde y ω2y Bω2 cosωx α ω2B cosωx α 0 Portanto y ω2y 0 e de segunda ordem e grau um tem como solucao y B cosωx α Outro metodo que utilizaremos e o de eliminacao de constantes este metodo varia de acordo com a forma em que aparecem as constantes na relacao dada Pelo fato que em cada diferenciacao aparece uma nova relacao o numero de derivadas que necessitamos utilizar e o mesmo que o numero de constantes que aparece na primeira relacao Equacoes diferenciais tˆem propriedades intrinsecamente interessantes tais como A solucao pode existir ou nao Caso exista a solucao pode ser unica ou nao 231 Campo de direcoes Figura 21 Geometricamente a solucao de uma equacao diferencial representa uma famılia de curvas Fi gura 21 a mesma dada pela solucao geral y Fx C As propriedades resultantes do estudo da equacao diferencial serao as que dependem do pa rˆametro C a constante C Cada curva da famılia fica determinada por um so do seus pontos esse e o ponto inicial da curva Cada curva leva o nomecurva integral da equacao As solucoes das equacoes diferenciais podem ser apresentadas implicitamente ou explicitamente Consideremos no planoxy uma famılia de cur vas e um parˆametro descrito pela funcao Fx y λ 0 219 95 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais onde a funcao F e supostamente diferenciavel em alguma regiao do espaco euclidiano tridimensional R3 Para cada valor de λ R a equacao 219 descreve uma curva plana paralela ao planoxy e por diferenciacao formal com relacao a variavel x obtemos usando a regra da cadeia a seguinte equacao Fx Fy dy dx 0 220 supondo Fy 0 resolvemos esta ultima equacao para obter dy dx Fx Fy que representa a declividade das curvas planas descritas por 219 e cuja famılia de curvas ou trajetorias ortogonais tera declividade dy dx Fy Fx de onde obtemse a equacao diferencial Fx dy Fy dx 0 221 cuja solucao nos descreve a famılia de trajetorias ortogonais as curvas descritas por 219 Assim dada a equacao diferencial y fx y e sabendo que a primeira derivada representa a direcao no planoxy podemos portanto associar a cada ponto x y uma direcao A este campo de direcoes chamamos o campo de direcoes ou campo de inclinacao da equacao diferencial y fx y Este campo de direcoes nos permite inferir propriedades qualitativas das solucoes como por exemplo se sao assıntotas a uma reta se sao fechadas abertas etc Exemplo 212 O campo de direcoes da equacao y 2x2 y2 e quatro curvas solucao da equa cao diferencial que passam pelos pontos 0 2 0 0 0 1 e 0 1 respectivamente sao mostrados na Figura 22 Figura 22 Figura 23 96 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exemplo 217 Verifique se y x2 1 e uma solucao de y2 y2 1 0 Solucao Temos y 2x logo y2 4x2 Por outro lado y2 x2 12 x4 2x2 1 Somando estas duas igualdades segue que y2 y2 1 4x2 x4 2x2 1 1 x2 12 1 0 qualquer que seja o valor de x R Portanto y x2 1 nao e uma solucao de y2 y2 1 Podemos observar que algumas equacoes diferenciais admitem infinitas solucoes Exem plo 215 entanto outras nao admitem nenhuma solucao Exemplo 217 neste ultimo exemplo y yx R e a soma de quadrados nunca e menor do que zero E possıvel tambem uma EDO admitir uma unica solucao y4 y2 0 Observacao 23 1 Em geral uma equacao diferencial ordinaria de ordem n tem uma solucao que contˆem n constantes arbitrarias 2 O processo da obtencao das solucoes de uma equacao diferencial e chamado de integracao da equacao diferencial 232 Solucao geral Solucao particular Definicao 29 Condicoes iniciais Chamamse condicoes iniciais as condicoes relativas a funcao incognita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variavel independente Definicao 210 Condicoes de fronteira Chamamse condicoes de fronteira as condicoes relativas a funcao incognita e suas derivadas dadas para valores distintos da variavel independente Exemplo 218 A taxa de desintegracao perda de massa de uma substˆancia radioactiva e proporcional a massa que fica Isto e se xt representa a massa existente num instante t temse dx dt kx sendo k uma constante positiva caracterıstica da substˆancia Determine a massa existente num instante t Como x 0 pelo fato ser a massa entao 1 x dx dt k x Cekt 99 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Esta solucao xt vem afectada duma constante arbitraria C representando assim uma famılia de funcoes solucoes ou seja xt Cekt e a solucao geral da equacao diferencial Se x0 Ce0k 2 temse C 2 Logo xt 2ekt e uma solucao particular pois ja nao envolve nenhuma constante arbitraria Exemplo 219 Resolva a equacao diferencial y2 0 e indique a solucao da equacao que satisfaz as condicoes y1 0 e y0 2 Como y 2 0 entao y 2 logo y 2x C y x2 C1x C2 Observe que y yx vem afectada de duas constantes arbitrarias representando por isso uma famılia de funcoes solucoes Dizse por isso que yx x2 C1x C2 e a solucao geral da equacao diferencial y1 12 1 C1 C2 0 C1 C2 1 como yx 2x C1 entao y0 2 C1 2 de onde C2 3 Logo yx x2 2x 3 e a solucao particular Observe no exemplo acima que a constante Ci devese a primitivacao que foi necessario fazer E evidente que se a equacao envolvesse derivadas ate uma certa ordem n seria necessario primitivar n vezes logo a solucao geral envolveria n constantes arbitrarias Neste caso para obter uma solucao particular seria necessario conhecer n condicoes Dizemos que uma solucao geral da equacao diferencial y fx y e uma funcao y φx C que depende de uma constante arbitraria C e satisfaz as seguintes condicoes 1 E solucao da equacao diferencial para qualquer valor de C 2 Dada uma condicao inicial arbitraria yx0 y0 sempre e possıvel determinar um valor C C0 tal que a funcao y φx C0 satisfaz a equacao diferencial e a condicao inicial A funcao y φx C0 e chamada de solucao particular isto e uma solucao parti cular e qualquer solucao da mesma Geometricamente a solucao geral y φx C representa uma famılia de curvas no planoxy estas curvas sao chamadas curvas integrais Quando as condicoes do teorema de existˆencia e unicidade se cumprem estas curvas integrais nao se interceptam Exemplo 220 Para a equacao diferencial do Exemplo 215 temos que yx C1sen2x C2 cos 2x e uma solucao geral Para a mesma equacao diferencial temos que yx 3sen2x 5 cos 2x e uma solucao particular O seguinte exemplo mostra a procura da solucao geral de uma equacao diferencial para depois achar uma solucao particular que satisfaz as condicoes do problema 100 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 8 Determine uma solucao do problema de valor inicial pvi indicado para a solucao geral dada onde C1 e C2 sao constantes arbitrarias 1 y y 0 y3 2 Solucao geral y C1ex 2 y 4y 3senx y0 0 y0 1 Solucao geral y C1senxC2 cos x 3 y 1 y2 yπ 4 1 Solucao geral y C1 tan x 9 Determine uma solucao do problema de valores de contorno indicado para a solucao geral dada onde C1 e C2 sao constantes arbitrarias 1 y 4y 0 yπ 8 0 yπ 6 1 Solucao geral y C1sen2x C2 cos 2x 2 y 4y 0 y0 1 yπ 2 2 Solucao geral y C1senx C2 cos x 10 Determine C1 e C2 de modo que a funcao dada satisfaca as condicoes indicadas 1 Funcao y C1sen2x C2 cos 2x 1 Condicoes yπ 8 0 yπ 8 2 2 Funcao y C1e2x C2ex 2senx Condicoes y0 1 y0 1 3 Funcao y C1ex C2ex 4senx Condicoes y0 1 y0 1 4 Funcao y C1x C2 x2 Condicoes y1 1 y1 2 5 Funcao y C1ex C2e2x 3e3x Condicoes y0 0 y0 0 6 Funcao y C1senx C2 cos x 1 Condicoes yπ 0 yπ 0 7 Funcao y C1ex C2xex x2ex Condicoes y1 1 y1 1 11 Para os seguintes exercıcios determine C1 e C2 de modo que yx C1senxC2 cos x satisfaca s condicoes dadas Determine se tais condicoes sao iniciais ou de contorno 1 y0 1 y0 2 2 y0 2 y0 1 3 yπ 2 1 yπ 2 2 4 y0 1 yπ 2 1 5 y0 1 yπ 2 1 6 y0 1 yπ 1 7 y0 1 y3π 2 2 8 y0 0 y0 0 9 yπ 4 0 yπ 6 1 10 y0 0 yπ 2 1 12 Demonstrar que a curva cujo coeficiente angular da tangente em cada ponto e pro porcional a abscissa do ponto de tangencia e uma parabola 13 Achar uma curva que passe pelo ponto 1 1 de tal maneira que o coeficiente angular da tangente em cada ponto seja diretamente proporcional ao quadrado da ordenada nesse ponto 14 Verificar que y1t t e y2t 1 t sao solucoes da equacao diferencial 2t2y 3ty y 0 109 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 24 Classificacao das EDOs de primeira ordem A forma geral de uma equacao diferencial de primeira ordem e Fx y y 0 Nesta ultima igualdade para o caso seja possıvel isolar y resulta y fx y de onde dy fx ydx As equacoes diferenciais de primeira ordem podem ser clasificadas assim Forma normal Forma diferencial 241 Forma normal Lembrando que y dy dx e supondo que Mx y Nx y podemos escrever sob a forma fx y entao a igualdade dada em 228 podemos escrever como y fx y A forma normal de uma equacao diferencial de primeira ordem e da forma y fx y 226 Exemplo 230 a Para a equacao diferencial y y senx temos fx y y senx b Para y 3yx2 x2 y4 temos fx y 3yx2 x2 y4 c A equacao diferencial exy e2xy senx nao esta na forma normal podendo contudo ser posta sob a referida forma resolvendo algebricamente em relacao a funcao y Assim exy e2xysenx y exyexsenx e fx y exyexsenx Dependendo da forma que assume a funcao fx y esta forma normal apresenta duas categorias de equacoes diferenciais As chamadas equacoes normais lineares e as equacoes normais homogˆeneas 2411 Equacoes normais lineares Seja uma equacao diferencial na forma normal 226 se fx y podese escrever como fx y pxy qx isto e como o produto de uma funcao de x por y mais outra funcao de x entao a equacao diferencial e uma equacao linear As equacoes diferenciais lineares de primeira ordem podem sempre expressarse na forma y pxy qx 227 E importante salientar que a maioria das equacoes diferenciais de primeira ordem nao se enquadram em nenhuma dessas categorias nem pode ser transformada em nenhuma delas Ou seja para a maioria das equacoes diferenciais nao ha em geral tecnicas analıticas para obtencao da solucao 111 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais para todo t R t 0 Exemplo 232 A equacao diferencial nao linear xy2 x2ydx x2y xy2dy 0 e homogˆenea Com efeito a equacao diferencial podemos escrever na forma dy dx xy2 x2y x2y xy2 observe que fx y xy2 x2y x2y xy2 txty2 tx2ty tx2ty txty2 ftx ty para todo t R t 0 Observacao 26 No sentido geral para equacoes diferenciais a palavra homogˆenea tem signifi cado totalmente diferente No sentido do contexto das equacoes diferenciais de primeira ordem e que a palavra homogˆenea tem o significado descrito acima Definicao 215 Equacoes diferenciais exatas Dada uma equacao diferencial da forma 228 Dizemos que e exata em uma regiao do planoxy se as funcoes Mx y e Nx y satisfazem a relacao Mx y y Nx y x 230 Isto e corresponde ao diferencial total de alguma funcao Fx y 25 Solucao de equacoes da forma normal 251 Equacoes lineares Dizemos equacao diferencial linear de primeira ordem aquela que e linear com respeito a funcao incognita e sua derivada Isto e uma equacao diferencial linear e de primeira ordem se escrita na forma normal e uma combinacao de funcoes lineares das derivadas menores a2xy a1xy a0x 0 a2x 0 y yx Esta equacao podemos escrever na forma normal dy dx axy bx 231 onde ax bx sao funcoes contınuas que dependem da variavel x na regiao onde teremos que integrar 113 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais sao chamados polinˆomios homogˆeneos Em analogia com isto estenderemos o conceito de homogeneidade a funcoes que nao sejam polinˆomios Definicao 218 Dizemos que uma funcao fx y e homogˆenea de grau n N em seus argu mentos se cumpre a identidade ftx ty tnfx y para todo t R Para n 0 temos uma funcao de grau zero Por exemplo fx y x2 y2 x2 y2 e uma funcao homogˆenea de grau zero pois ftx ty tx2 ty2 tx2 ty2 t2 t2 x2 y2 x2 y2 fx y As equacoes homogˆeneas sempre podem ser representadas na forma dy dx φy x 244 Introduzindo uma nova funcao incognita u y x a equacao 244 reduzse a equacao de variaveis separaveis do tipo xdu dx φu u para o caso que u u0 seja uma raiz da equacao φu u 0 a solucao da equacao homogˆeneas e y u0x reta que passa pela origem de coordenadas Propriedade 21 Para o caso de Mx y e Nx y sejam homogˆeneas do mesmo grau entao a funcao Mx y Nx y e homogˆenea de grau zero A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Propriedade 22 Se fx y e homogˆenea de grau zero em x e y entao fx y e uma funcao de variavel y x A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Assim uma equacao diferencial homogˆenea Mx ydxNx ydy 0 ou y fx y pode ser resolvida por meio da substituicao algebrica y ux ou x vy em que u e v sao as novas variaveis independentes onde u ux ou v vy que transformara a equacao original em uma equacao diferencial de primeira ordem separavel 119 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais de onde dx x u2 1 uu2 1du 0 integrando achamos que Lnx Lnu2 1 Lnu LnC o bem xu2 1 u C Substituindo u por 1 xy obtemse a solucao geral da equacao 1 x2y2 Cy Observe que y 0 tambem e solucao trivial da equacao que se obtem quando da solucao geral 1 x2y2 Cy escrevemos y 1 x2y2 C e calculamos o limite C Portanto 1 x2y2 Cy e solucao geral e y 0 e solucao particular Exemplo 245 Resolver x y3dx 3y5 3y2xdy 0 Solucao Consideremos a substituicao y zα entao dy αzα1dz onde α e um numero arbitrario que sera determinado a seguir Substituindo na equacao original y e dy por seus equivalentes obtemse x z3αdx 3z5α 3z2αxαzα1dz 0 ou bem x z3αdx α3z6α1 3z3α1xdz 0 para ser homogˆenea supondo de grau α 1 tem que acontecer que os graus de todos os terminos resultam iguais isto e se cumpre a condicao 1 3α 6αl 3α de onde α 1 3 Consequentemente temos que y z1 e a equacao inicial resulta na forma x zdx 1 33z 3xdz 0 Seja x uz dx udz zdu substituindo uz zudz zdu z uzdz 0 dz z u 1 u2 1du 0 Lnz 1 2u2 1 arctan u C u x z z y3 Portanto 1 2x2 y6 arctan x y3 C 263 Equacoes diferenciais exatas A equacao diferencial da forma Mx ydx Nx ydy 0 247 dizemos que e exata se seu primeiro membro e a diferencial total de uma funcao Fx y 123 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Lembre que se y fx entao sua derivada y dy dx df dx e seu diferencial dy df fx h fx f xdx Para o caso de uma funcao de duas variaveis z Fx y temos que seu diferencial exata e dz dFx y Fx h y k Fx y dF Fx h y k Fx y k Fx y k Fx y dF F x dx F y dy Assim justificase a seguinte expressao 0 Mx ydx Nx ydy F x dx F y dy dFx y 248 e podemos supor Mx y F x e Nx y F y estas equacoes nos conduzem a M y 2F yx e N x 2F xy Pelas propriedades do calculo diferencial sabemos que 2F yx 2F xy sempre que as derivadas parciais sejam contınuas Assim temos a seguinte propriedade Propriedade 23 Se M N M y e N x sao funcoes contınuas de x e y a condicao necessaria e suficiente para que a equacao 247 seja uma equacao diferencial exata e que se cumpra a condicao M y N x em uma regiao simplesmente conexa3 R de variacao x e y A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Observe para resolver 247 sendo exata devemos primeiro resolver as equacoes Fx y x Mx y 249 Fx y y Nx y 250 em relacao a Fx y a fim de obter dFx y 0 entao sua solucao e dada explicitamente por Fx y C 124 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exercıcios 22 1 Determine quais das seguintes equacoes diferenciais sao lineares 1 y senxy ex 2 y xseny ex 3 y y2 x 4 y 5 5 y xy 1 6 xy 2y 0 2 Para cada exercıcio encontre uma solucao para cada equacao diferencial dada que passe pelos pontos indicados 1 dy dx y2 9 a 0 0 b 0 3 c 1 3 1 2 xdy dx y2 y a 0 1 b 0 0 c 1 2 1 2 3 Determine a solucao geral para as seguintes equacoes diferenciais 1 dy dx y tan x senx 2 x seny 1dy cos y dx 0 3 1 x2dy dx y arctan x 4 dx 2xdy e2y sec2 y dy 5 dy dx y tan x cos x 6 x dy dx y x2 7 y2dx 2xy 3dy 0 8 x Lnx dy y 2Lnxdx 0 9 dy dx y x cot x x 0 10 dx dy 6xy y2 1 y2 y2 14 11 dy dx 4y 1 3 2e4x 12 dy dx senx 1 y cos x senx 13 dr dθ 3r cot θ 5sen2θ 14 x cos xdy yxsenx cos x 1dx 0 15 xx2 1dy dx y x2 x2 1 16 dy dx y sec2 x tan x sec2 x 17 xLnxdy dx y LnLnx 18 dr dθ 2r cos2θ sen4θ 4 Resolver exdx ydy 0 y0 1 5 Determine quais das seguintes equacoes diferenciais sao de variaveis separaveis 127 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 19 Quais sao as condicoes para que a equacao fx gydx hx pydy 0 seja exata 20 Quais sao as condicoes para que a equacao fx ydxgxhxdy 0 seja exata 21 Para os seguintes exercıcios determine a solucao das equacoes que satisfazem as condicoes dadas 1 y 2xy cos x 2xsenx onde y e funcao limitada quando x 2 2xy y senx cos x onde y e limitada quando x 3 y yLn2 2senxcos x 1Ln2 onde y e limitada quando x 4 2x2y xy 2x cos x 3senx onde y 0 quando x 5 ysenx y cos x sen2x x2 onde y 0 quando x 6 1 x2Ln1 x2y 2xy Ln1 x2 2x arctan x onde y π 2 quando x 7 y exy 1 x2sen1 x ex cos 1 x onde y 2 quando x 8 y yLnx 1 2Lnxxx onde y 0 quando x 130 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 16 Um tubo em forma de U esta cheio Figura 24 com um lıquido homogˆeneo que e levemente comprimido em um dos lados do pistao O pistao e removido e o nıvel do lıquido em cada ramo oscila Determine a altura do nıvel do lıquido em um dos ramos em funcao do tempo Figura 24 146 18112022 Capıtulo 3 Equacoes diferenciais de ordem n 1 Jean Bernoulli Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646 1716 encontrou nos irmaos Jacques Bernoulli 1654 1705 e Jean Bernoulli 1667 1748 discıpulos dedicados tanto para o desenvolvi mento do Calculo como um bom substituto para seus estudos da geometria Jaques e Jean Bernoulli foram filhos de Nicolas Bernoulli Na historia da humanidade nenhuma famılia teve tantos mate maticos quanto a famılia Bernoulli doze ao todo deram uma contribuicao inestimavel ao desenvolvimento das ciˆencias Movido pelo desejo do pai Nicolas B de que os filhos se tor nassem religiosos ou medicos Jean Bernoulli chegou a escrever uma tese de doutorado em Medicina com apenas 23 anos Mas a partir de 1691 passou a se interessar pela teoria do Calculo e em 1692 chegou a escrever dois livros sobre o tema Estando em Paris no final de 1692 Jean acabou lecionando aulas particulares para G Francois LHospital este pagaria um salario mensal a Jean que passaria todas suas descobertas matematicas e as usasse como bem entendesse Deste acordo entre Jean e LHospital aconteceu uma das mais importantes contribuicoes de Jean Bernoulli para a resolucao de limites indeterminados hoje conhecida como Regra de LHospital Este trabalho de Jean Bernoulli foi incluıdo por LHospital em seu livro Analysis des Infiment Petits publicado em 1699 e considerado como o primeiro livro de Calculo editado no mundo No prefacio LHospital agradeceu de maneira especial a Jean Bernoulli e a Leibnitz Apos a morte de LHospital em 1704 Bernoulli o acusou de ter plagiado diversos trabalhos seus mas os estudiosos da epoca consideraram suas acusacoes infundadas Somente anos depois quando o acordo entre os dois tornouse publico e que os matematicos compreenderam que todas as grandes ideias de LHospital foram dadas por Bernoulli Em 1711 Jean Bernoulli era conhecido no mundo todo pelos seus importantes trabalhos em Matematica Fısica e da Engenharia Em 1712 comecou a demonstrar sinais de desequilıbrio mental expulsou de casa seu filho Daniel B 1700 1782 por este ter ganho um prˆemio da Academia de Ciˆencias de Paris ao qual Jean tambem concorria Acusava as pessoas a sua volta que conheciam Matematica de serem ladras de suas ideias Os sintomas de paranoia foram piorando com o passar dos anos Em 1747 foi abandonado pela famılia e morreu completamente louco com 81 anos 159 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Um Problema de Valor Inicial pvi de uma equacao de ordem n tem que apresentar n condicoes iniciais No caso de uma equacao de segunda ordem uma solucao para o problema de valor inicial a2xd2y dx2 a1xdy dx a0xy bx yx0 y0 yx0 y 0 e uma funcao que satisfaca a equacao diferencial em um determinado intervalo I R cujo grafico passa pelo ponto x0 y0 com x0 I e coeficiente angular inclinacao igual a y 0 Teorema 31 Existˆencia e unicidade Sejam anx an1x an2x a2x a1x a0x bx funcoes contınuas em um intervalo aberto I R com anx 0 para todo x I Se x x0 e algum ponto deste intervalo entao existe uma unica solucao y yx para o problema de valor inicial 39 nesse intervalo A demonstracao do teorema e exercıcio para o leitor Exemplo 33 Determine todas as solucoes do problema de valor inicial y exy x 1y 0 y1 0 y1 0 Solucao Aqui a2x 1 a1x ex a0x x 1 e bx 0 satisfazem as hipoteses do Teorema 31 Assim a solucao do problema de valor inicial e unica Por outro lado uma simples inspecao indica que y 0 e solucao Portanto y 0 e a unica solucao 342 Problema de valor de contorno Um outro problema consiste em resolver uma equacao diferencial de ordem dois ou maior na qual a variavel dependente y ou suas derivadas sao especificadas em pontos diferentes Para uma equacao diferencial de ordem dois um problema do tipo a2xd2y dx2 a1xdy dx a0xy bx yx0 y0 yx1 y1 x0 x1 e chamado problema de valor de contorno ou simplesmente pvc Os valores yx0 y0 yx1 y1 sao chamados de condicoes de contorno ou condicoes de fronteira Uma solucao para o pvc e uma funcao que satisfaca a equacao diferencial em algum intervalo I R contendo x0 e x1 cujo grafico passa pelos pontos x0 y0 e x1 y1 Este conceito do pvc pode ser generalizado para equacoes diferenciais de ordem n 164 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exemplo 34 Verificar que no intervalo 0 a funcao y 3x2 6x 3 satisfaz a equacao diferencial e as condicoes do problema de valor de contorno x2y 2xy 2y 6 y1 0 y2 3 Solucao Temos que y 3x2 6x 3 y 6x 6 logo y 6 x 0 Assim x2y 2xy 2y x26 2x6x 6 23x2 6x 3 6 x 0 Por outro lado y1 312 61 3 0 e y2 322 62 3 3 Portanto a funcao y 3x2 6x 3 satisfaz a equacao diferencial e as condicoes de contorno para o problema 343 Dependˆencia Linear Independˆencia linear Consideremos um conjunto de funcoes f1x f2x fnx definidas num intervalo I a b R Definicao 31 Dependˆencia Linear Dizemos que um conjunto de funcoes f1x f2x fnx e linearmente dependente em um intervalo I R se existem constantes c1 c2 cn nao todas nulas tais que c1f1x c2f2x cnfnx 0 para todo x I Definicao 32 Independˆencia Linear Dizemos que um conjunto de funcoes f1x f2x fnx e linearmente independente em um intervalo I R se ele nao e linearmente dependente em I Se as funcoes de um conjunto sao linearmente dependentes entao ao menos uma delas e combinacao linear das outras Se elas sao linearmente independentes nenhuma delas e combinacao linear das outras Exemplo 35 Mostre que os seguintes pares de funcoes sao linearmente dependentes 1 fx x gx 2x 2 fx ex gx 1 3ex 3 fx x2 gx 3x2 Solucao Podemos observar de imediato que todas sao linearmente dependentes ja que uma das funcoes e multiplo escalar da outra 1 fx ex gx 1 3ex 1 3fx 1gx 0 x R 2 fx x gx 2x 2fx gx 0 x R 165 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Verifiquemos seja y C1y1 C2y2 entao y C1 cos2t C2ysen2t y 2C1sen2t 2C2 cos2t y 4C1 cos2t 4C2sen2t 4y Portanto y1 cos2t e y2 sen2t determinam uma solucao da equacao diferencial y 4y 0 172 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 35 Equacoes diferenciais lineares de coeficientes constantes Dois metodos para resolver equacoes diferenciais lineares com coeficientes constantes serao apresentadas nestas notas O metodo classico e tratado nesta secao o outro me todo que trata do desenvolvimento da transformada de Laplace sera tratada no capıtulo seguinte Cada um dos metodos tem suas vantagens e desvantagens ambas teorias sao necessarias e suficientes para a solucao de um grande numero de EDOs lineares 351 Equacao linear homogˆenea de segunda ordem Sejam a0 a1 a2 R constantes que nao dependem de x o conjunto das solucoes da equacao homogˆenea de segunda ordem a2y a1y a0y 0 316 e da forma y C1y1x C2y2x onde y1 e y2 sao linearmente independentes C1 e C2 sao constantes que nao dependem de x Logo o conjunto de todas as solucoes da equacao 316 constitue um espaco vetorial de dimensao dois Na pratica e possıvel considerar y1 e y2 como duas solucoes particulares linearmente independentes tais solucoes formam uma base do espaco das solucoes Teorema 32 Se y1 e y2 sao solucoes da equacao diferencial 316 entao a combinacao linear C1y1x C2y2x tambem e solucao de 316 onde C1 e C2 sao numeros reais ou complexos quaisquer A demonstracao deste teorema e exercıcio para o leitor Este teorema diz que se y1 e y2 sao solucoes da equacao diferencial 316 entao entao e possıvel elaborar uma infinidade de solucoes de 316 Uma pergunta natural e Esta infinidade de solucoes inclue todas as solucoes de 316 A resposta e sim desde que y1 e y2 sejam linearmente independentes Definicao 34 Conjunto fundamental de solucoes Se y1 e y2 sao duas solucoes da equacao diferencial 316 e sao linearmente independentes num intervalo I R entao dizemos que y1 e y2 constituem um conjunto fundamental de solucoes de 316 em I Logo nossa preocupacao e saber quando as solucoes da equacao diferencial 316 sao linearmente independentes em algum intervalo O teorema a seguir proporciona uma condicao necessaria e suficiente para a independˆencia linear de solucoes 175 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Teorema 33 Suponhamos que y1 e y2 sao solucoes da equacao 316 em I R entao y1 e y2 formam um conjunto fundamental de solucoes em I se e somente se Wy1 y2 0 para algum x0 I A demonstracao deste teorema e exercıcio para o leitor Por ultimo o resultado principal desta secao diz Teorema 34 Se a equacao diferencial homogˆenea 316 tem duas solucoes y1 e y2 linear mente independentes em I R entao para qualquer outra solucao y φx de 316 em I podemos encontrar constantes C1 e C2 tais que φx C1y1x C2y2x 317 Da igualdade 317 a solucao geral da equacao homogˆenea 316 definese como y C1y1x C2y2x x I Uma outra pergunta natural e Como determinar essas solucoes y1 e y2 linearmente independentes para a equacao 316 Para resolver 316 procuramos solucoes particulares da forma y Ceλx de onde y λCeλx logo y λ2Ceλx assim substituindo em 316 a2λ2 a1λ a0Ceλx 0 Para nao obter uma solucao trivial de 316 consideremos y Ceλx 0 logo a2λ2 a1λ a0 0 esta ultima igualdade e chamada equacao caracterıstica3 associada a equacao diferencial 316 Como a2 a1 a0 sao as mesmas constantes de equacao 316 e as raızes da equacao caracterıstica de segundo grau podem ser reais ou complexas distintas ou iguais entao de todos estes casos se deduzem duas solucoes linearmente independentes para equacao 316 A solucao geral yg da equacao tem um destes formatos 1 yg C1eλ1x C2eλ2x para o caso que λ1 e λ2 sejam raızes reais distintas 2 yg C1xeλx C2eλx se λ e raiz real de multiplicidade dois 3 yg C1eαxsenβx C2eαx cosβx se α iβ sao raızes complexas Exemplo 314 3A equacao caracterıstica tambem e conhecido como polinˆomio caracterıstico 176 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais e a solucao geral y da equacao 318 e da forma y C1eλ1xC2eλ2x Cnk1eλxCnk2xeλxCnk3x2eλx Cnxnk1eλx c Se algumas das raızes da equacao caracterıstica sao de numeros complexos suponhamos λ1 α iβ λ2 α iβ λ3 γ iδ λ4 γ iδ β 0 δ 0 e as demais raızes sao reais por hipotese os coeficientes ai i 0 1 2 n da equacao 319 sao reais as raızes complexas da equacao 318 sao conjugadas dois a dois Entao neste caso o sistema fundamental de solucoes da equacao 318 tem a forma eλ1x eλ2x eλ3x eλn2x eλn2x eλnx e a solucao geral y da equacao 318 e da forma y C1eλ1x C2eλ2x C3eλ3x Cn1eλn2x Cneλnx Lembre como C1 e uma constante real entao C1eλ1x C1eαiβx eαxeiβx C1eαxcosβx isenβx C1eαx cosβx iC1eαxsenβx C1eαx cosβx D1eαxsenβx D1 iC1 d Se todas as raızes da equacao caracterıstica sao complexas porem algumas de elas sao multiplas Seja por exemplo λn λn1 λk1 λk λ onde λ e a raiz complexa de multiplicidade n k da equacao 319 entanto que as outras k raızes sao distintas Entao neste caso o sistema fundamental de solucoes da equacao 318 tem a forma eλ1x eλ2x eλk1x eλx xeλx x2eλx xnk2eλx xnk1eλx e a solucao geral y da equacao 318 e da forma yh C1eλ1x C2eλ2x Ckeλx Ck1xeλx Ck2x2eλx Cnxnk1eλx Lembre por se tratar de raızes complexas o estudo deve ser analisado como no item c Exemplo 316 Determine a solucao geral yg da equacao y 2y 3y 0 Solucao Sua equacao caracterıstica e λ3 2λ2 3λ 0 Suas raızes sao λ 0 λ 1 e λ 3 Portanto a equacao geral tem forma y C1 C2ex C3e3x Exemplo 317 Resolver y 6y 9y 0 Solucao 178 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais A equacao caracterıstica correspondente e λ2 6λ 9 0 de onde λ 3 e raiz de multiplicidade dois Logo o sistema fundamental de solucoes e e3x xe3x Portanto a solucao geral da equacao diferencial e y C1e3x C2xe3x Exemplo 318 Resolver y 6y 2y 36y 0 Solucao A equacao caracterıstica e λ3 6λ2 2λ 36 0 tem como raızes os numeros λ 2 λ 4 i 2 e 4 i 2 A solucao e da forma y C1e2xC2e4xi 2xC3e4xi 2x que pode ser escrito usando as relacoes de Euler na forma y C1e2x C4e4x cos 2x C5e4xsen 2x Exemplo 319 Resolver d6y dx6 6d4y dx4 9d2y dx2 4y 0 Solucao A equacao caracterıstica da equacao diferencial e λ6 6λ4 9λ2 4 0 de onde r1 i e r2 i sao raızes de multiplicidade dois r5 2i e r6 2i Assim obtivemos o sistema fundamental de solucoes cos x senx x cos x xsenx cos 2x sen2x Portanto a solucao geral da equacao e y C1 cos x C2senx C3x cos x C4xsenx C5 cos 2x C6sen2x 36 Equacoes lineares nao homogˆeneas de coeficientes cons tantes 361 Equacao nao homogˆenea de segunda ordem Seja a equacao diferencial a2y a1y a0y bx 320 onde os a2 a1 a0 sao constantes reais e bx e uma funcao dada Dizemos que a equacao que se obtem em 320 quando bx 0 e chamada deequacao homogˆenea reduzida ou complementar associada ao problema e foi estudada na secao anterior Para obter a solucao geral das equacoes diferenciais lineares nao homogˆeneas de coefi cientes constantes 320 primeiro determinase uma solucao geral yh da equacao diferen cial linear homogˆenea associada ao problema depois procurase uma solucao particular yp qualquer da equacao diferencial linear nao homogˆenea 320 e sua solucao geral y e da forma y yh yp Logo o problema se reduz a achar a solucao particular das equacoes 320 179 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Propriedade 35 1 Se a funcao bx for da forma bx b1x b2x entao procurase uma solucao particular yp para cada uma das funcoes b1x e b2x logo somam se as solucoes achadas 2 Para o caso ser bx da forma bx eαxb1x a mudanca de variavel y eαxz facilita os calculos A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Examinemos trˆes metodos para achar uma solucao particular yp da equacao linear nao homogˆenea 320 362 Metodo dos coeficientes indeterminados Com o metodo dos coeficientes indeterminados obtemse solucoes particulares yp da equacao de coeficientes constantes 320 Este e um metodo para resolver equacoes line ares nao homogˆeneas e somente se aplica a um tipo restrito de equacoes nao obstante a vantagem consiste em que quando este metodo e pertinente pelo geral e mais facil de utilizar os outros metodos Para aplicar o metodo dos coeficientes a determinar iniciamos supondo conhecida a forma da solucao particular yp a menos de constantes arbitrarias multiplicativas Estas constantes logo em seguida sao calculadas levandoas a solucao suposta conhecida na equacao diferencial em estudo e identificandose os coeficientes Este metodo somente se aplica para equacoes diferenciais lineares de coeficientes cons tantes e somente quando o segundo membro tem a forma bx eαxPmx cos βx Qnxsenβx aqui α e β sao constantes Pnx e Qmx sao polinˆomios de graus m e n respectivamente A solucao particular e conveniente procurala na forma yp xseαxPkx cos βx Qkxsenβx Aqui s e o ındice de multiplicidade da raiz α iβ na equacao caracterıstica Pkx e Qkx sao polinˆomios de coeficientes indeterminados onde k e o maior entre os numeros n e m E importante lembrar que os polinˆomios Pkx e Qkx devem ser completos em x com grau k e com coeficientes indeterminados Casos especiais para a funcao bx Na solucao das equacoes diferenciais nao homogˆeneas de segunda ordem 320 se apresentam os seguintes casos Caso 1 Se bx e um polinˆomio e a0 0 em 320 entao existe uma solucao parti cular que e um polinˆomio do mesmo grau de bx este polinˆomio se determina por identificacao 180 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais temos y px C3ex cos2x 2C3exsen2x 2C4ex cos2x C4exsen2x isto e 2C4 C3ex cos2x C4 2C3exsen2x Por outro lado y px ex4C4 3C3 cos2x 4C3 3C4sen2x Logo y p 6y p 9y ex4C4 3C3 cos2x 4C3 3C4sen2x 62C4 C3ex cos2x C4 2C3exsen2x 9exC3 cos2x C4sen2x ex cos 2x isto e ex8C4 cos 2x 8C3sen2x ex cos 2x isto implica C3 0 e C4 18 Assim a solucao geral e yx C1e3x C2xe3x 1 8exsen2x Quando x 0 temos y0 0 C1 e C2 1 4 Portanto a solucao geral e yx 1 4xe3x 1 8ex sen2x 363 O metodo da variacao de parˆametros Sem perda de generalidade podemos descrever o metodo para equacoes de segunda ordem a2y a1y a0 bx 322 onde a2 a1 a0 sao constantes e bx e funcao contınua num intervalo I R suponhamos a2x 0 Da equacao caracterıstica podemos obter a solucao geral yh da equacao homogˆenea de 330 da forma yh C1y1x C2y2x Sendo a combinacao de y1x e y2x solucoes da equacao diferencial homogˆenea asso ciada a 322 Logo uma solucao particular e da forma ypx u1xy1xu2xy2x onde u1x e u2x sao funcoes a determinar e que devem satisfazer a condicao lateral u 1xy1x u 2xy2x 0 323 condicao esta que justifica o nome do metodo Derivando a suposta solucao particular yp segue y px u 1xy1x u1xy 1 u 2xy2x u2xy 2x y px u1xy 1 u2xy 2x y px u1xy 1u1xy 1xu 2xy 2x u2xy 2x Substituindo ypx y px e y px na equacao 322 e simplificando obtemos a igualdade u1a2y 1 a1y 1 a0y1 u2a2y 2 a1y 2 a0y2 a2u 1y 1 a2u 2y 2 bx 324 183 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais A solucao particular e entao yp 2 ieix 2 icos x isenx 2 cos x senx i cos x 2senx Como 5 cos x Re5eix para obter a solucao da equacao inicial e suficiente conside rar a parte real desta ultima expressao ypx Ryp 2 cos x senx como ja esperado Assim a solucao da equacao e y ex2C2sen 11x 2 C2 cos 11x 2 2 cos x senx Exemplo 325 Resolver a equacao y y 3y 5senx Solucao O polinˆomio caracterıstico e λ2 λ 3 0 de onde λ 1 2 11 2 i A solucao geral e da forma yg ex2C2sen 11x 2 C2 cos 11x 2 Pelo metodo dos coeficientes indeterminados fazemos yp C3 cos x C4senx e substi tuimos na equacao para encontrar a solucao particular ypx cos x 2senx O metodo complexo consiste em resolver outra equacao y y 3y 5eix Para esta equacao fazemos a tentativa y keix Substituindo esta funcao e suas derivadas y ikeix y keix na equacao inicial e temos keix ikeix 3keix 5eix ou seja k2 i 5 k2 i2 i 52 i 5k 52 i k 2 i A solucao particular e entao yp 2 ieix 2 icos x isenx 2 cos x senx i cos x 2senx Como 5senx Im5eix para obter a solucao da equacao inicial e suficiente considerar a parte imaginaria desta ultima expressao ypx Imyp cos x 2senx como ja esperado Assim a solucao da equacao e y ex2C2sen 11x 2 C2 cos 11x 2 cos x 2senx 186 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exercıcios 32 1 Determine se as funcoes dadas sao linearmente dependentes ou linearmente inde pendentes no intervalo f1x 2 x f2x 2 x 2 Determine se as funcoes dadas sao linearmente dependentes ou linearmente inde pendentes no intervalo f1x 1 x f2x x f3x x2 3 Formar as equacoes diferenciais lineares homogˆeneas dadas que se conhecem sua equacoes caracterısticas 1 λ2 3λ 2 0 2 2λ2 3λ 5 0 3 λλ 1λ 2 0 4 λ2 12 0 5 λ3 0 6 λ2 5λ 6 0 4 Determine as equacoes diferenciais lineares homogˆeneas dado que se conhecem as raızes da equacao caracterıstica Escrever suas solucoes gerais 1 λ1 1 λ2 2 2 λ1 1 λ1 1 3 λ1 3 2i λ2 3 2i 5 Forme as equacoes diferenciais lineares homogˆeneas se se conhece o conjunto fun damental de solucoes 1 ex ex 2 1 ex 3 e2x xe2x 4 sen3x cos3x 5 1 x 6 ex e2x e3x 7 ex xex x2ex 8 1 x ex 9 1 senx cos x 6 Determine a forma da solucao particular da equacao linear nao homogˆenea se se conhecem as raızes da equacao caracterıstica e o segundo membro bx 1 λ1 1 λ2 2 bx Ax2 Bx C 2 λ1 0 λ2 1 bx Ax2 Bx C 3 λ1 0 λ2 0 bx Ax2 Bx C 4 λ1 1 λ2 2 bx exAx B 5 λ1 1 λ2 1 bx exAx B 6 λ1 1 λ2 1 bx exAx B 7 λ1 0 λ2 1 bx senx cos x 8 λ1 i λ2 i bx senx cos x 9 λ1 2i λ2 2i bx Asen2x B cos2x 10 λ1 ki λ2 ki bx Asenkx B coskx 11 λ1 1 λ2 1 bx exAsenx B cos x 12 λ1 1 i λ2 1 i bx exAsenx B cos x 187 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 7 Resolver as seguintes equacoes diferenciais homogˆeneas 1 y y 0 2 3y 2y 8y 0 3 y 3y 3y y 0 4 y 2y 2y 0 5 yvi 2yv yiv 0 6 y 6y 11y 6y 0 7 2y 3y y 0 8 y 3y 2y 0 9 yv 0 10 y 2y 2y 0 11 y 2y y 2y 0 12 y 2y 3y 0 8 Resolver as seguintes equacoes diferenciais lineares nao homogˆeneas pelo metodo dos coeficientes indeterminados 1 y 3y 3 2 y 7y x i2 3 y 3y e3 4 y 7y e7x 5 y 8y 16y x 1e4x 6 y 10y 25y e5x 7 4y 3y x 4 e3x 8 y y 2y ex e2x 9 y 4y xe4x 10 y 25y cos5x 11 y y senx cos x 12 y 4y 8y e2xsen2x cos2x 13 y 16y sen4x α 14 y 4y 8y e2xsen2x cos2x 15 y 6y 13y e3x cos2x 16 y k2y ksenkx α 17 y k2y k 18 y 4y senxsen2x 9 Resolver as seguintes equacoes nao homogˆeneas por qualquer metodo estudado 1 y 4y 4y x2 2 y 8y 8x 3 y 4y 4y 8e2x 4 y 2ky k2y ex k 1 5 y 4y 3y 9e3x 6 7y y 14x 7 y 3y 3xe3x 8 y 5y 6y 101 xe2x 9 y 2y 2y 1 x 10 y y y x x2ex 11 y 4y 2y 8sen2x 12 y y 4x cos x 13 y 2my m2y senmx 14 y 2y 5y exsen2x 15 y y exsenx 16 y a2y 2 cosmx 3senmx m a 10 Determine os valores de α R para os quais o Problema de Valor Fronteira y αy 0 y0 y0 e yπ yπ tenha solucao nao trivial Neste caso achar as solucoes 188 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Para calcular estas constantes substituımos yp na equacao original dada obtendo C4x2 2C4 C5x C5 2C4 C6 x2 x C4 1 2C4 C5 1 C5 2C4 C6 0 Resolvendo o sistema achamos que C4 1 C5 3 e C6 1 entao yp x2 3x 1 Portanto a solucao geral da equacao e y C1ex C2 cos x C3senx x2 3x 1 Exemplo 327 Resolver o problema de valor inicial y 2y y 2y 2x2 6x 4 y0 5 y0 5 y0 1 Solucao A equacao caracterıstica associada a equacao tem a forma λ3 2λ2 λ 2 0 de onde λ2 1λ 2 0 suas raızes sao λ 1 e λ 2 Uma solucao da homogˆenea e da forma yh C1ex C2ex C3e2x A selecao particular e da forma yp C4 C5x C6x2 logo y p C5 2xC6 y p 2C6 e y p 0 Substituindo na equacao original y2yy2y 2x26x4 022C6C52xC62C4C5xC6x2 2x26x4 2C6x2 2x2 2C62C5x 6x 4C6C52C4 4 C6 1 C5 2 C4 3 A solucao geral e y yh yp C1ex C2ex C3e2x 3 2x x2 Para determinar as constantes C1 C2 e C3 das condicoes iniciais segue y C1ex C2ex C3e2x 3 2x x2 C1 C2 C3 3 5 yx C1ex C2ex 2C3e2x 2 2x C1 C2 2C3 2 5 yx C1ex C2ex 4C3e2x 2 C1 C2 4C3 2 1 Resolvendo o sistema temos que a solucao do pvi esta dada por y ex 2ex e2x 3 2x x2 Exemplo 328 Determine a solucao da equacao y y y y x2 x Solucao A equacao caracterıstica λ3 λ2 λ 1 0 tem raızes distintas λ1 1 λ2 i e λ3 i pelo qual a solucao geral da equacao e da forma yg C1ex C2 cos x C3senx Como o numero 0 zero nao e raiz da equacao caracterıstica devese procurar uma solucao particular yp da equacao dada na forma yp A1x2 A2x A3 192 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais onde A1 A2 A3 sao constantes a determinar Para isto substituımos yp na equacao dada resultando 2A1 2A1x A2 A1x2 A2x A3 x2 x A1x2 2A1 A2x A2 2A1 A3 x2 x Por igualdade de polinˆomios resulta A1 1 A2 3 A3 1 consequentemente a solucao particular e yp x2 3x 1 Portanto a solucao geral tem a forma yx C1ex C2 cos x C3senx x2 3x 1 Exemplo 329 Resolver a equacao diferencial yiv y 18e2x Solucao A equacao caracterıstica da equacao e λ4 1 0 de onde λ 1 e λ i sao raızes Uma solucao da equacao homogˆenea associada ao problema e yh C1ex Cx 2 C3eix C4eix ou yh C1ex C2ex C5senx C6 cos x Da igualdade 328 supondo uma solucao particular da forma yp Ce2x substituindo na equacao original segue yiv p yp 18e2x 24Ce2x Ce2x 18ex de onde C 1 2 Portanto y C1ex C2ex C5senx C6 cos x 1 2e2x e solucao procurada Observacao 32 Se qualquer termo da suposta solucao a menos constantes multiplicativas e tambem um termo da solucao da homogˆenea yh associada entao a forma da solucao procurada deve ser modificada multiplicando por xk onde k e o menor inteiro positivo tal que o produto de xk com a solucao procurada nao tenha nenhum termo em comum com a solucao yh da homogˆenea associada ao problema Isto afasta a possibilidade de chegar a igualdades do tipo 0 0 ou a um sistema algebrico sem solucoes Naturalmente este metodo nao se aplica as equacoes diferenciais que nao possuem coeficientes constantes ou aquelas em que a funcao bx nao seja de algum dos tipos considerados por exemplo este metodo nao se aplica quando bx tan x O seguinte exemplo mostra esta situacao Exemplo 330 Achar a solucao geral da equacao diferencial y 3y 3y y 36ex Solucao A equacao caracterıstica da equacao e λ3 3λ2 3λ 1 0 de onde λ 1 e uma raiz tripla 193 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Uma solucao da equacao homogˆenea associada ao problema e yh C1ex C2xex C3x2ex C4x3ex Supondo uma solucao particular da forma yp Cex substituindo na equacao original segue C 3C 3C C 30 o qual nao tem solucao unica para C tambem supor yp Cxex ou yp Cx2ex nao leva a determinar uma solucao para C Pela Observacao 32 temos k 3 e devemos supor yp Cx3ex isto implica y p Cex3x2 x3 y p Cex6x 6x2 x3 y p Cex6 18x 9x2 x3 Substituindo estas ultimas igualdades na equacao original segue Cex6 18x 9x2 x3 Cex6x 6x2 x3 Cex3x2 x3 Cx3ex 36ex de onde C 6 Portanto y C1 C2x C3x2ex 6x3ex e solucao procurada Exemplo 331 Dada a equacao diferencial y xy 2 pela igualdade 327 admitimos como solu cao particular uma funcao do tipo yp Ckxk sendo Ck e k constantes com k Z Levando esta suposta solucao na equacao diferencial obtemos a identidade polinomial kk 1Ckxk2 Ckxk1 2 a qual nao tem solucao algebrica pois um dos coeficientes nao e constante 367 Metodo da variacao de parˆametros Este metodo se utiliza para determinar uma solucao particular de uma equacao linear nao homogˆenea de ordem n seja com coeficientes constantes conhecido a solucao geral da equacao homogˆenea correspondente a 335 Este metodo consiste no fato que conhecido o sistema fundamental de solucoes y1 y2 y3 yn da equacao homogˆenea correspondente entao e conveniente procurar a solucao geral da equacao nao homogˆenea correspondente na forma y yh yp Isto e supondo que a solucao da equacao diferencial da homogˆenea 335 e yh C1y1 C2y2 C3y3 Cnyn Logo a solucao particular yp de 335 e yp u1xy1 u2xy2 u3xy3 unxyn onde as funcoes u1x u2x u3x unx sao incognitas que satisfazem as seguintes 194 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exercıcios 33 1 Determine a solucao particular da equacao linear nao homogˆenea se se conhecem as raızes da equacao caracterıstica e o segundo membro bx 1 λ1 λ2 λ3 1 bx Ax2 Bx C 2 λ1 0 λ2 1 λ3 2 bx Ax2 Bx C 3 λ1 i λ2 i λ3 1 bx senx cos x 4 λ1 1 λ2 1 λ3 2 bx Aex Bex 5 λ1 λ2 0 λ3 1 bx Aex Bex 6 λ1 0 λ2 1 λ3 2 bx Ax2 Bx Cex 7 λ1 λ2 k bx ax2 bx cekx k 1 k 0 8 λ1 λ2 λ3 k bx ax2 bx cekx k 1 k 0 9 λ1 λ2 1 λ3 2 bx Asenx B cos x 10 λ1 i λ2 i λ3 0 bx Asenx B cos x 11 λ1 3 2i λ2 3 2i λ3 λ4 0 bx e3xsen2x cos2x 12 λ1 λ2 3 2i λ3 λ4 3 2i bx e3xsen2x cos2x 2 As raızes de uma equacao caracterıstica que correspondem a uma dada equacao diferencial homogˆenea de ordem 10 com coeficientes constantes sao 4 4 4 4 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i Escrever a solucao geral 3 Resolver as seguintes equacoes pelo metodo dos coeficientes indeterminados 1 y 2y y x2ex 2 y y 1 4y exsen3x cos 3x 3 y y x2ex 5 4 y 4y cos2 x 5 y y y xsenx 6 y y 3xex cos 2x 7 y 25y 6senx 8 y 2y 5y exsenx 9 y 3y 2y 6 10 y 8y 20y 100x2 26xex 11 y 3y 48x2ex 12 4y 4y 3y cos 2x 13 y 5y 2x3 4x2 x 6 14 y 16y 2e4x 15 y 2y 24y 16x 2e4x 16 y 2y 4y 8y 6xe2x 4 Resolver as seguintes equacoes 1 y 2y 2 2 y 2y y 2 3 5y 7y 3 0 4 y y 1 5 y 9y 9 0 6 yiv 6y 6 0 7 3yiv y 2 8 y yy2 1 9 yiv 2y 2y 2y y 1 5 Para cada uma das seguintes equacoes determine as solucoes particulares para os dados iniciais 197 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 1 y 5y 6y 12x 7ex y0 y0 0 2 y 9y 6e3x y0 y0 0 3 y 4y 5y 2x2ex y0 2 y0 3 4 y 6y 9y 10senx y0 y0 0 5 y y 2 cos x y0 1 y0 0 6 y 4y senx y0 y0 1 7 y 6y 9y x2 x 3 y0 4 3 y0 1 27 8 y 4y 4y e2x y0 2 y0 8 9 y 4y 4sen2x cos2x yπ yπ 2π 10 y y 5exsenx cos x y0 4 y0 5 11 y 2y 2y 4ex cos x yπ eπ yπ eπ 12 y y 2x y0 0 y0 1 y0 2 13 yiv y 8ex y0 1 y0 0 y0 1 y0 0 14 y y 2x y0 y0 0 y0 2 15 yiv y 8ex y0 0 y0 2 y0 4 y0 6 6 Resolver as equacoes mediante variacao de parˆametros 1 y y cot x 2 y y x cos x 3 y y sec x 4 y y x 5 y 4y 4 cot2x 6 y 2y 3y 9x 1 7 y y y y senhx 8 y 3y y 3y cosh x 9 y 3y y 3y ex e3x 10 y 2y y 2y x 12 11 y y 4y 4y 3ex 4x 6 12 y 3y y 3y ex 1 13 y 2y 4x 1 14 y y e2xsenex 7 Resolver as seguintes equacoes pelo metodo de variacao de parˆametros 1 y y sec x 2 y 2y y ex x 3 y y y e3x 4 xy 4y x4 5 x2y 2x2y x2y ex 6 y 4y sen22x 7 y y x2senx 2x1 cos x 8 y 5y 6y e2x sec2 x1 2 tan x 9 y 2y y exLnx 10 y 3y 2y cosex 11 y 4y 4 sec2 x 12 y y csc x cot x 13 y 3y 2y e2x 1 e2x 14 y 2y y e2xex 12 8 Resolva os problemas de valores iniciais 1 y y 2y t2 3 y0 0 y0 0 2 y 2y y 3sen2t y0 0 y0 0 198 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Substituindo 352 e 353 na equacao 351 temos a2et2e2tdy dt d2y dt2 a1etdy dt et a0y bet isto leva a uma equacao diferencial linear de variavel t com coeficientes constantes da forma a2 d2y dt2 a1 a2dy dt a0y bet Exemplo 338 Determine a solucao geral da equacao x2y 5xy 3y 4Lnx x 0 Solucao Consideremos x et das igualdades 352 e 353 temse x2y 5xy 3y xLnx d2y dt2 4dy dt 3y 4t Como λ2 4λ 3 0 entao a solucao da equacao homogˆenea e yh C1e3t C2et e uma solucao particular e da forma yp C3t C4 Esta solucao particular na equacao original modificada fornece 0 4C3 3C3t C4 4t C3 4 3 e C4 16 9 logo a solucao geral da equacao modificada e y C1e3t C 2et 4 3t 16 9 Portanto a solucao geral da equacao dada e y C1x3 C2xt 4 3Lnx 16 9 382 Metodo de Frobenius Um modo alternativo para resolver as equacoes de EulerCauchy conhecido como metodo de Frobenius consiste em procurar um numero λ real ou complexo que torne yp xλ uma solucao particular da equacao Obtendo para λ uma equacao que coincide com a equacao caracterıstica de 337 Exemplo 339 Determine a solucao geral da equacao x2y 2xy 6y 0 Solucao Consideremos a mudanca y xλ de onde y λxλ1 y λλ1xλ2 substituindo na equacao original resulta x2λλ 1xλ2 2xλxλ1 6xλ 0 ou bem xλλλ 1 2λ 6 0 Como xλ 0 temos λλ 1 2λ 6 de onde λ 2 ou λ 3 O sistema fundamental de solucoes e y x3 y x2 Portanto y C1x3 C2x2 e a solucao procurada 205 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Observacao 35 Seja λ uma raiz da equacao caracterıstica do problema da equacao da Observa cao 34 entao 1 Se λ for uma raiz real de multiplicidade k a esta raiz fazemos corresponder as solucoes linearmente independentes eλt teλt t2eλt t3eλt tk1eλt 2 Se λ α i β e uma raiz complexa da equacao caracterıstica entao sua conjugada λ tambem sera raiz Observe que xλ xαiβ xα eβLnxi xαcosβLnx isenβLnx xλ xαiβ xα eβLnxi xαcosβLnx isenβLnx Com estas solucoes complexas construımos um conjunto de solucoes reais linearmente independentes da forma φ1x xα cosβLnx e φ2x xαsenβLnx Exemplo 340 Determine a solucao geral da equacao x2y xy 2y xLnx Solucao Seja y xλ entao y λxλ1 y λλ1xλ2 substituindo na equacao homogˆenea associada ao problema x2λλ 1xλ2 xλxλ1 2xλ 0 xλλλ 1 λ 2 0 Logo a equacao caracterıstica e λλ 1 λ 2 0 de onde λ1 1 i λ2 1 i sao as raızes Consequentemente a solucao yh da equacao homogˆenea correspondente e yh xC1 cosLnx C2senLnx Pela primeira parte da Observacao 35 procuremos por uma solucao particular da forma yp C3xLnx xC4 temos y p C3Lnx C3 C4 y p C3 x Substituindo na equacao original dada resulta C3x xC3Lnx C3 C4 2xC3Lnx C4 xLnx o bem C3xLnx C4x xLnx de onde C3 1 e C4 0 logo yp xLnx Portanto a solucao geral da equacao dada e y x C1 cosLnx C2senLnxxLnx 206 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 39 Aplicacoes 391 Movimento harmˆonico simples Podemos apreciar duas situacoes para o movimento harmˆonico simples 3911 Mola na posicao horizontal Suponhamos que temos uma mola flexıvel presa em um de seus extremos como mostra a Figura 31 suponhamos que em seu outro extremo se encontre um objeto de massa m e que seja puxado horizontalmente x unidades de medida para fora com uma forca F esta forca e diretamente proporcional ao comprimento x puxado Figura 31 Sistema massamola Suponhamos que para esta forca existe uma outra unica forca em sentido contrario fr que depende da constantes k da lei de Hooke5 e da distˆancia x puxada Como pela segunda lei de Newton a somatoria de forcas e a massa vezes a aceleracao entao temos fr kx F ma onde a e a aceleracao em que e puxado o objeto assim ma kx md2x dt2 kx d2x dt2 ω2x 0 onde ω2 k m Esta ultima equacao e chamada de equacao do oscilador harmˆonico simples Para a solucao desta ultima equacao diferencial temos que as raızes do polinˆomio caracterıstico e r iω de onde xt C1eiωt C2eiωt C1 C2 cos ωt iC1 C2senωt Considerando C1 C2 Asenϕ e iC1 C2 A cos ϕ na ultima igualdade temos xx Asenϕ cos ωt A cos ϕsenωt Asenωt ϕ Portanto xt Asenωt ϕ e a distˆancia percorrida pelo objeto de massa m no instante de tempo t 3912 Mola na posicao vertical Suponha uma mola flexıvel de comprimento l de peso depreciavel como mostra a Figura 32 se encontra presa num suporte rıgido em um de seus extremos e no outro 5Robert Hooke 1635 1703 fısico inglˆes precursor de Newton con respeito a lei da gravitacao 207 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais extremo livre se encontra pendurado um objeto com determinado peso m Figura 32 Sistema massamola Quando o objeto se encontra em repouso descrevemos sua posicao como a posicao de equilıbrio Caso o objeto seja deslocado para baixo uma certa distˆancia x e logo solto estara sob um movimento vibratorio entorno de sua posicao de equilıbrio Figura 32 Nosso proposito e estudar o movimento do corpo conhecido como movimento harmˆo nico simples no qual ignoramos qualquer forca de friccao do meio em que esta inserido Neste caso as unicas forcas que atuam sao Uma forca de recuperacao da mola fr oposta a direcao de alongamento e proporci onal a sua magnitude Lei de Hooke De modo simples podemos escrever fr αd onde α e uma constante de proporcionalidade e d a magnitude do alongamento O peso do corpo dado por W mg onde g 9 8ms2 ou 32pls2 e a aceleracao da gravidade Adotamos a seguinte convencao Todas as quantidades deslocamento velocidade e forca medidas para baixo desde a posicao de equilıbrio sao consideradas positivas As que sao medidas para acima serao consideradas negativas Na posicao de equilıbrio temos mg αd 0 Da posicao inicial de repouso ao alongar a mola para baixo um comprimento de magnitude x xt soltala da segunda Lei de Newton segue md2x dt2 mg αd x md2x dt2 mg αd αx e usando a condicao de equilıbrio resulta md2x dt2 mg αd x 354 de onde d2x dt2 α mx 0 ou bem d2x dt2 ω2x 0 onde ω2 α m 355 A equacao 355 e a equacao diferencial do movimento harmˆonico simples ou movi mento vibratorio nao amortecido 208 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 4 O perıodo e frequˆencia da solucao Solucao 1 Pela Lei de Hooke temos 2kg k16cm k 1 8kgcm O peso do corpo e dado por W mg m 2kg 98ms2 2 9 8 Logo de 356 temos d2x dt2 18 29 8x 0 entao d2x dt2 9 8 16 x 0 sujeita as condicoes x0 0 x0 4 2 A equacao caracterıstica da equacao diferencial e λ2 9 8 16 0 e suas raızes sao λ1 i 9 8 4 e λ2 i 9 8 4 Sua equacao geral vem dado por xt C1 cos 9 8 4 C2sen 9 8 4 Das condicoes iniciais C1 0 e C2 16 9 8 A solucao requerida e xt 16 9 8sent9 8 4 3 A posicao velocidade e aceleracao do peso 2 segundos depois x2 16 9 8sen29 8 4 5 11 x2 4 cos 29 8 4 x2 29 8 16 sen 9 8 4 o qual indica que o corpo se encontra 5 11cm abaixo da posicao de equilıbrio 4 O perıodo da solucao e T 2π 9 84 2 55π A frequˆencia e fr 1 2 55π 0 3921 Com facilidade se observa que a amplitude e 16 9 8cm A solucao mostra que o sis tema fica em movimento e permanece em tal estado deslocandose alternadamente 16 9 8cm para cima e embaixo da posicao de equilıbrio x 0 3913 Movimento vibratorio amortecido Na subsecao anterior supusemos que nao atuam forcas retardadoras sobre a massa em movimento o qual nao e certo a menos que o objeto se encontre suspenso num vazio perfeito Obtemse assim a equacao do movimento vibratorio amortecido livre md2x dx2 β dx dt kx 0 d2x dx2 2λdx dt ωx 0 358 210 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Figura 33 Movimento vi bratorio amortecido livre Quando um objeto preso a uma mola se movi menta num meio que produz friccao sobre o objeto isto e quando existe resistˆencia do meio sobre a massa entao dizemos que o movimento se efetua com amor tecimento ver Figura 33 suponhamos que o amor tecimento e diretamente a velocidade dx dt Pela segunda Lei de Newton na ausˆencia de forcas externas temos md2x dx2 kx s mg β dx dt onde β e a constante de friccao e a constante do amortecimento positivo este sinal devese a que a forca de amortecimento atua na direcao oposta ao mo vimento onde 2λ β m e ω2 k m Esta ultima igualdade e chamada equacao do oscilador harmˆonico amortecido A equacao caracterıstica da equacao 358 e r22λrω 0 r λ λ2 ω2 Caso i Quando λ2 ω2 0 entao a este movimento e chamado movimento amortecido forte ou superamortecimento ver Figura 34 neste caso as raızes da equacao caracterıstica sao as duas negativas Figura 34 Amortecimento forte A equacao que descreve este movimento e xt C1er1t C2er2t C1eλ λ2ω2t C2eλ λ2ω2t ela representa um movimento suave e nao oscilatorio observe que lim t xt 0 Caso ii Quando λ2ω2 0 entao a este movimento e chamadomovimento crıticamente amortecido ou amortecimento crıtico ver Figura 35 A equacao que descreve este movimento e xt C1eλt C2teλt eλtC1 tC2 211 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Na forma alternativa da solucao igualdade 359 o coeficiente Aeλt e chamado de amplitude amortecida das solucoes A igualdade 2π ω2 λ2 e o quaseperıodo e ω2 λ2 2π e a quasefrequˆencia O quaseperıodo e o intervalo de tempo transcorrido entre dois maximos sucessivos de xt tambem e o dobro do tempo entre dois zeros sucessivos da solucao Para representar graficamente as solucao 359 considerar as seguintes observacoes As intersecoes com o eixox se obtem fazendo sen ω2 λ2t ϕ 0 ω2 λ2t ϕ nπ n N tn nπ ϕ ω2 λ2 n N Por outro lado o grafico de xt e tangente as curvas exponenciais y Aeλt e y Aeλt para os valores de t tais que sen ω2 λ2t ϕ 1 de onde resolvendo esta equacao as solucoes t k sao dadas por t k 2k 1π 2ϕ 2 ω2 λ2 k N Exemplo 342 Uma mola de 5ft encontrase pendurada em um de seus extremos Depois de pendurar um corpo de 10lb ao outro extremo o comprimento esta mola mede 7ft Retirase este corpo de 10lb e logo se substitui por outro de 8lb O sistema completo e colocado num meio que oferece resistˆencia numericamente igual a velocidade instantˆanea 1 Obtenha a equacao do movimento se o peso e solto desde um ponto que se encontra a 12ft abaixo da posicao de equilıbrio com uma velocidade direcionada para baixo de 1fts 2 Encontre os instantes nos quais o corpo passa pela posicao de equilıbrio em direcao para baixo Solucao Um corpo de 10lb estica de 5ft para 7ft logo esticou 2ft e pela Lei de Hooke k 10lb 2ft 5lbft Substituindo por um corpo de 8lb entao m 8lb 32fts2 1 4slug A resistˆencia nume rica β 1 Na igualdade 358 temos 1 4 d2 dt2 dx dt 5x 0 d2 dt2 4dx dt 20x 0 Sua equacao caracterıstica e r2 4r 20 entao r 2 4i logo xt C1e2t cos4t C2etsen4t 360 Solucao 1 213 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Portanto xt 25 102 cos 4t 50 51sen4t e3t38 51 cos4t 86 51e3tsent 3914 Movimento vibratorio forcado Nas subsecoes anteriores estudamos o problema da mola e foram consideradas as forcas restauradoras e de amortecimento Estudaremos o caso onde atuam outras forcas externas que variam com o tempo Esta forcas podem ocorrer por exemplo quando o suporte que segura a mola se desloca verticalmente de um certo modo dado tal como um movimento periodico ou quando o ao peso se da um certo puxao para baixo cada vez que alcanca sua posicao mais baixa Denotemos por ft a forca exterior que atua sobre a massa da segunda lei de Newton a equacao diferencial do movimento e md2x dt2 kx β dx dt ft ou d2x dt2 2λdx dt ω2x Ft 361 onde 2λ β m ω2 k m e Ft ft m A solucao da equacao 360 podemos obter mediante a variacao dos parˆametros ou dos coeficientes indeterminados Exemplo 344 Uma mola vertical com constante de 6 lbft tem suspenso uma massa de 12slug Se aplica uma forca externa dada por ft 40sen2t t 0 Suponha que atua uma forca de amortecimento igual a duas vezes velocidade instantˆanea e que inicialmente o corpo esta em repouso na posicao de equilıbrio Determine a posicao do corpo em qualquer instante t 0 Solucao Com os dados k 6lbft m 12slug e β 2 a equacao diferencial de movimento e d2x dt2 4dx dt 12x 80sen2t 362 A solucao da equacao homogˆenea associado a equacao 362 e xht e2tC1 cos 2 2t C2sen2 2t Pelo Metodo dos coeficientes indeterminados podemos supor uma solucao particular de 361 da forma xpt A cos 2t Bsen2t logo x pt 2Asen2t 2B cos 2t e x pt 4A cos 2t 4Bsen2t Substituindo em 362 segue que 8A 8B cos 2t 8B 8Asen2t 80sen2t 215 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais de onde A 5 e B 5 Assim a solucao geral de 362 e xt e2tC1 cos 2 2t C2sen2 2t 5sen2t cos 2t Utilizando as condicoes iniciais x0 0 e x0 0 achamos que C1 5 e C2 0 Portanto a solucao pedida e xt 5e2t cos 2 2t 5sen2t cos 2t Observese neste exemplo que a solucao da homogˆenea xht 5e2t cos 2 2t associ ado a equacao 362 tem a propriedade lim t xht 0 e devido a isto que dizemos que xht e um termo transitorio ou uma solucao de trˆansito Assim para valores grandes de t a solucao xt se aproxima a solucao particular xpt A funcao xpt e chamada solucao estacionaria ou de estado permanente De fato se na equacao diferencial 361 escrevemos Ft F0senαt ou Ft F0 cos αt onde F0 e α sao constantes entao sua solucao geral consiste na soma de dois termos um termo transitorio e um termo estacionario 3915 O pˆendulo simples Os pˆendulos fazem parte de uma classe de os ciladores harmˆonicos simples nos quais a forca res tauradora esta associada a gravidade ao inves das propriedades elasticas de um fio torcido ou de uma mola comprimida Um pˆendulo simples consiste em uma massa m presa ao extremo de uma corda de comprimento l e massa depreciavel e o outro extremo fixo Supondo que a corda esta sempre tensa quando afastado de sua posicao de equilıbrio e solta as oscilacoes acon tecem num plano vertical sob a acao da gravidade Figura 37 Pˆendulo simples e as unicas forcas que atuam sao o peso da massa e a tensao na corda o movimento e periodico e oscilatorio Desejamos achar a equacao do perıodo de movimento Decompondo o peso mg em duas componentes uma na direcao a tangente da trajetoria e a outra perpendicular a esta observase que a componente perpendicular e compensada pela tensao A magnitude da componente tangencial e mg senθ Pela segunda Lei de Newton m a m ld2sθ dt2 m g senθ 0 onde s e o deslocamento medido ao longo do arco que descreve a oscilacao o sinal negativo indica que a forca age na direcao da posicao de equilıbrio Considerando a componente do peso na direcao tangencial o arco s l θ temos a equacao diferencial d2θ dt2 g l senθ ou equivalente d2θ dt2 g l senθ 0 363 216 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Nosso objetivo e determinar a carga qt e a cor rente it num circuito como mostrado na Figura 310 no caso em que se conectam um indutor ou bobina de L henrys uma resistˆencia de R ohms um condensador ou capacitor de C farads e um gerador de voltagem cuja forca eletromotriz esta dada pela funcao Et volts Da segunda Lei de Kirchhoff temos Figura 310 Circuito LRC 392 Circuito LRC em serie Ldi dt Ri 1 C q Et como i dq dt di dt d2q dt2 367 Substituindo na igualdade anterior resulta a equacao diferencial para a carga eletrica no condensador Ld2q dt2 Rdq dt 1 C q Et 368 Podemos observar a analogia entre as equacoes 364 e 365 a qual permite resolver um problema de movimento vibratorio na base da analise do correspondente circuito eletrico e viceversa identificando qt e a carga instantˆanea medida em coulombs com a posicao x Et e a voltagem ou forca eletromotriz fornecida medida em volts com a forca externa L e a indutˆancia medida em henry com massa m R e a resistˆencia medida em ohms com constante de amortecimento β C a a capacitˆancia medida em farad com o recıproco da constante de Hooke i e a corrente eletrica i dq dt com a velocidade v dx dt Note que se derivamos a equacao de Kirchhoff com respeito a t obtemos Ld2i d2 Rdi dt 1 C dq dt dE dt logo substituindo as igualdades de 368 isto nos conduz a equacao diferencial da corrente eletrica Ld2i dt2 Rdi dt 1 C i E dt 219 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exemplo 346 Um circuito em serie consta de um indutor de 0 25H uma resistˆencia de 40 Ω um capacitor de 4104F e uma forca eletromotriz dada por Et 5sen100tV Se a corrente inicial e a carga inicial do capacitor sao ambas zero determine a carga no capacitor e a corrente eletrica do circuito em qualquer tempo t 0 Solucao Substituindo os valores de L 0 25H R 40Ω C 4104F e Et 5sen100tV na equacao diferencial 368 0 25d2q dt2 40dq dt 1 4 104q 5sen100t isto e d2q dt2 160dq dt 10000q 20sen100t 369 A equacao caracterıstica de 369 e r2 160r 10000 0 cujas raızes sao r1 80 60i e r2 80 60i logo qht e80tC1 cos 60t C2sen60t Pelo metodo dos coeficientes indeterminados achamos uma solucao particular de 369 qp 1 800 cos 100t Assim a solucao geral da equacao e qt e80tC1 cos 60t C2sen60t 1 800 cos 100t Das condicoes iniciais C1 1 800 0 e 80C160C2 0 resolvendo esse sistema C1 1800 e C2 1600 Portanto a carga no capacitor e qt e80t 1 600 cos 60t 1 600sen60t 1 800 cos 100t A corrente eletrica vem dada por it 5 24e80tsen60t 1 8sen100t 220 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Exercıcios 34 1 Resolver as seguintes equacoes homogˆeneas de Euler 1 x2y xy y 0 2 xy y 0 3 x2y 2xy 6y 0 4 x3y 2x2y 10xy 8y 0 5 xy 2y 6 2x 12y 22x 1y 4y 0 7 x2y 3xy 3y 0 8 x 22y 3x 2y 3y 0 9 x 12y 12y 0 10 2x 12y 22x 1y y 0 11 x2y 3xy y 0 12 2x 12y 22x 1y 4y 0 13 2x 12y 12y 0 14 2x 12y 22x 1y y 0 15 x3y x2y 6xy 18y 0 2 Resolver as seguintes equacoes pelo metodo de Frobenius 1 x2y xy y 0 2 x2y 5xy 6y 0 3 xy y 0 4 xy 2y 5 2x 12y 22x 1y 4y 0 6 x2y 3xy 3y 0 7 x 22y 3x 2y 3y 0 8 x 12y 12y 0 9 2x 12y 22x 1y y 0 10 x2y 3xy y 0 3 Resolver as seguintes equacoes nao homogˆeneas de Euler 1 x2y xy y x6 Lnx 2 x2y xy y 2x 3 x2y xy 3y 16Lnx x 4 x2y 2xy 2y x2 2x 2 5 x2y xy y xm m 1 6 x2y 4xy 2y 2Ln2x 12x 7 x3y 3x2y 6xy 6y x 8 x3y x2y 6xy 18y 5x 9 x3y x2y 2xy 2y x3 10 x3y 4x2y 8xy 8y 4Lnx 4 Resolver as seguintes equacoes pelo metodo de reducao de ordem dado que y1 e uma solucao da equacao 1 y 9y 0 y1 e3x 2 x2y xy y 0 y1 cos Lnx 3 y y 0 y1 cos x 4 1 x2y 2xy 2y 0 y1 x 5 x2y 2xy 6y 0 y1 x2 6 x3y x2y xy 0 y1 senLnx 7 x2y xy 0 y1 1 8 x2y 4xy 6y 0 y1 x2 9 x2y 3xy 0 y1 1 10 x2y 2xy 2y 0 y1 x 11 x2y 2xy 1 0 y1 Lnx 12 2x 12y 4x 1y 4y 0 y1 x 12 5 Se y1 x1 cos x e y2 x1senx formam un conjunto linearmente independente e sao solucoes de x2y xy x2 1 4y 0 Achar a solucao geral para x2y xy x2 1 4y x3 221 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 6 Se y1 x e y2 ex formam un conjunto linearmente independente e sao solucoes da homogˆenea associada a ED x 1y xy y 2x 12ex 0 x 1 Achar a solucao geral 7 Para x 1 considere a seguinte equacao diferencial x4 x3y 2x3 2x2 xy y x 12 x 1 Achar a solucao geral da homogˆenea sabendo que uma de suas solucoes e y1 e1x 2 Achar a solucao geral da equacao nao homogˆenea 8 Um peso de 24 libras preso a extremidade de uma mola que se estende 4 polegadas Encontre a equacao do movimento se o peso em repouso e liberado a partir de um ponto que e de 3 polegadas na posicao de equilıbrio 9 Encontrouse num experimento que um corpo de 4 lb estica uma mola 6 polegadas O meio oferece uma resistˆencia ao movimento do corpo numericamente igual a 2 5 vezes a velocidade instantˆanea Determine a equacao do movimento sabendo que o peso esta se desplazando 4 polegadas por baixo da posicao de equilıbrio e e solta 10 Um peso de 32lb estica uma mola 6 polegadas O peso se move em um ambiente que se opoe a uma forca de amortecimento numericamente igual a β vezes a velocidade instantˆanea Determine os valores de β para que o sistema mostre um movimento oscilatorio 11 Uma massa de uma libra esta sujeita a uma mola cuja constante e 9 lbpie O meio oferece resistˆencia ao movimento numericamente igual a 6 vezes a velocidade instantˆanea A massa e liberada desde um ponto que esta a 8 polegadas sobre a posicao de equilıbrio Determinar os valores de v0 a fim de que posteriormente a massa passe a posicao de equilıbrio 12 Um peso 16 lb estica uma mola em 8 3 ft Inicialmente peso a partir do repouso de um ponto que e de 2 ft abaixo da posicao de equilıbrio e o movimento posterior e feito em um ambiente que se opoe uma forca de amortecimento numericamente igual a 1 2 da velocidade instantˆanea Encontre a equacao do movimento se o peso e impulsionado por uma forca externa igual a ft 10 cos 3t 13 Uma massa pesa de 4 lb esta pendurada no extremo de numa mola Se a mola se estica 2 polegadas por causa do peso da massa para em seguida se mover 6 polegadas da posicao de equilıbrio e ser lancada com uma velocidade inicial de zero encontrar a equacoes diferencial do sistema considerar que o meio ambiente oferece uma resistˆencia ao movimento de 6lb quando a massa tem uma velocidade de 3fts 14 Um bloco de 4 0Kg esta suspenso de uma certa mola estendendoa a 16 0cm alem de sua posicao de repouso 1 Qual a constante da mola 2 O bloco e removido e um corpo de 0 5 Kg e suspenso da mesma mola Se esta mola for entao puxada e solta qual o perıodo de oscilacao 222 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 4 O ponto x 0 e o unico ponto singular regular no plano finito para a equacao de Bessel x2y xy x2 λ2y 0 5 O ponto x 0 e o unico ponto singular regular no plano finito para a equacao de Laguerre xy 1 xy λy 0 6 A equacao y 2xy y 0 nao tem pontos singulares no plano finito Todas estas equacoes acima mencionadas aparecem em problemas das equacoes dife renciais parciais da Fısica Matematica e apresentam interessantes propriedades do ponto de vista matematico Observacao 37 1 Se x x0 nao satisfaz a Definicao 37 entao dizemos que x x0 e ponto singular irregular 2 Se na equacao diferencial a2xy a1xy a0xy 0 temos a2x a1x e a0x sao polinˆomios sem fatores comuns entao dizemos que x x0 e um ponto singular regular se a2x 0 alem disso se em px a1x a2x e qx a0x a2x o fator x x0 tem quando mais grau um no denominador de px e grau dois no denominador de qx Exemplo 355 Determine os pontos singulares regulares e irregulares de x2 42y x 2y y 0 Solucao Sao pontos singulares a2x x2 42 0 x 2 px x 2 x2 42 1 x 2x 22 e qx 1 x 22x 22 Para o ponto x 2 como x 2 e um fator de grau um em px e de grau dois em qx portanto x 2 e um ponto singular regular Para o ponto x 2 temos um ponto singular irregular pois x 2 e um fator de grau dois no denominador de px 228 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 2 Mostre que se α e inteiro par entao y1 e um polinˆomio Mostre que se α e inteiro ımpar entao y2 e um polinˆomio 3 O polinˆomio desta segunda parte denotase por Hnx e e chamado polinˆomio de Hermite quando o coeficiente de xn seja 2n 4 Determine os seis primeiros polinˆomios de Hermite 24 Para as seguintes equacoes diferenciais determine a equacao indicial e os expoentes da singularidade raızes indiciais correspondentes aos pontos singulares regulares que em cada caso existam a x2y xx 1y 4y 0 b x2y xsenxy y 0 c x 2x2y xy 1 xy 0 25 Dada a equacao diferencial 2x2y 3x 2x2y x 1y 0 a Verificar a singularidade do ponto x 0 e achar a equacao indicial e as raızes indiciais correspondentes b Utilizando a teoria de Frobenius achar o desenvolvimento em serie de potˆencias de x e duas solucoes linearmente independentes 26 Determine a solucao particular da EDO de Ayry entorno do ponto ordinario x 1 y xy 0 y1 1 y1 0 27 1 Encontre a solucao geral da equacao y 2y αy 0 para α 1 para α 1 e para α 1 2 Determine a forma adequada para uma solucao particular da equacao y 2y αy tetsentα 1 para α 1 3 Para quais valores de α todas as solucoes tendem a zero quando t 28 Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 centımetros A massa esta presa a um amortecedor viscoso Suponha que a aceleracao da gravidade seja de 103 centımetros por segundo ao quadrado 1 Para quais valores da constante de amortecimento γ o sistema e superamortecido tem um amortecimento crıtico e e subamortecido 2 Suponha que o amortecedor exerce uma forca de 104 dinas gramas centımetros por segundos2 quando a velocidade e de 10 centımetros por segundo Se a massa e puxada para baixo 2 centımetros e depois e solta determine a posicao xt em funcao do tempo t e faca um esboco do seu grafico Qual o valor do quase perıodo 258 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 2 y y 4y 4y 2x3 4x 1 2x2e2x 5xe2x e2x 3 y y csc x 4 2y xLnx 10 Para os seguintes problemas achar a solucao particular das equacoes que cumpram no infinito as condicoes dadas 1 y 4y 5y senx y e limitada para x 2 y 2y 5y 4 cos2x sen2x y e limitada para x 3 y y 1 y e limitada para x 4 y 2y y 4ex y 3 para x 5 y y 2 cos x y e limitada para x 6 y 4y 3y 8ex 9 y 0 para x 7 y y 5y 1 y 1 5 para x 8 y 4y 4y 2exsenx 7 cos x y 0 para x 9 y 5y 6y 2e2x9sen2x 4 cos2x y 0 para x 10 y 4y 4y 4x 8ex y 0 para x 11 Demonstre que a equacao diferencial x2y αxy βy 0 onde α β R pode ser transformada em uma equacao diferencial de coeficientes constantes com a mudanca x et Logo resolver x2y 2xy 4y 4senLnx 5e2Lnx 12 Resolver as equacoes com as mudancas de variavel indicadas 1 x 22y 3x ay y Ln2x 2 5Lnx 2 6 considere x 2 et 2 x2y xy 9y 3 tan3Lnx considere x et 13 Resolver os seguintes exercıcios no ponto ordinario x 0 1 y 2xy 8y 0 y0 3 y0 0 2 y xy y x cos x y0 0 y0 2 3 y 2xy 4y 0 y0 1 y0 0 4 1 x2y 1 xy y 0 y0 y0 1 5 y 2xy 2y x y0 1 y0 1 4 6 yxy2x1y x y0 2 y0 3 Determine os seis primeiros termos da solucao particular 7 y 2xy 2y x y0 1 y0 1 4 14 Verificar que o ponto x 0 e um ponto ordinario da equacao diferencial y xy y 0 e encontrar o desenvolvimento em serie de potˆencias de x Determine duas solucoes linearmente independentes assim como a solucao geral entorno desse ponto ordinario 260 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 25 Determine a solucao geral de y 2y y x2 sabendo que uma solucao particular e y x2 4x 6 e que duas solucoes da equacao homogˆenea associada sao ex e xex 26 Determine a solucao geral de y y x2 sabendo que uma solucao particular e y x2 2 e que duas solucoes da equacao homogˆenea associada sao ex e 3ex 27 Determine a solucao geral de yyy1 5 sabendo que uma solucao particular e y 4 e que trˆes solucoes da equacao homogˆenea associada sao ex ex e xex 28 Mostre que a d dxxs1Js1x xs1Jsx b d dxxs1Js1x xs1Js2x 29 Resolver a equacao de Hermite y 2xy λy 0 utilizando serie de potˆencias 30 Resolver a equacao de Ayre y k2xy 0 31 Se y1 1 x cos x y2 1 xsenx formam um conjunto linearmente independentes e sao solucoes de x2y xy x2 1 4y 0 Achar uma solucao particular para x2y xy x2 1 4y x3 se y π 2 0 yπ 0 32 Encontre a corrente I em funcao do tempo t em segundos dado que I satisfaz a equacao diferencial L dI dt RI sen2t onde R e L sao constantes nao nulas 33 Um circuito possui um capacitor de 0 125101F um resistor de 60Ω e um indutor de 10 H em serie A carga inicial no capacitor e zero No instante t 0 conectase o circuito a uma bateria cuja tensao e de 12 V e o circuito e fechado 1 Determine a carga no capacitor em qualquer instante t 0 2 Determine a carga no capacitor quando t 3 Esboce o grafico da solucao obtida 34 Um circuito possui um capacitor de 0 5 101 F um resistor de 25 Ω e um indutor de 5H em serie O capacitor se encontra descarregado No instante t 0 conectase esse circuito a uma bateria cuja tensao e de 10et4 V e o circuito e fechado 35 Determinar a carga do capacitor num circuito em serie LRC em t 0 01 s L 0 05 h R 2Ω C 0 01 f Et 0 V q0 5 C e iO 0 A Encontre o primeiro momento em que a carga no capacitor e zero 262 18112022 Capıtulo 4 Transformada de Laplace P S Laplace Pierre Simon Laplace nasceu em BeaumontenAuge na Normandia Franca em 1749 e faleceu em 1827 em Paris Pela sua extraordinaria inteligˆencia foi auxiliado por protetores ricos para poder fazer estudos superiores Impressionou vivamente o matematico DAlembert com a apresentacao de um trabalho so bre Mecˆanica o que le valeu o lugar de professor de matematica na Escola Militar de Paris com apenas com 18 anos Laplace estudou em diversas areas como a astronomia cal culo das probabilidades calorimetria capilaridade acustica di latacao dos corpos eletricidade Publicou varias obras cientıficas A mais importante foi o Tratado de Mecˆanica Celeste em quatro volumes impresso em 1799 e 1825 Outras obras importantes sao Exposicao do Sistema do Mundo de 1796 e Teoria Analıtica das Probabilidades em 1812 Sao de sua autoria a Equacao de Laplace a Lei de Laplace e a Transformada de Laplace Em 1773 com 24 anos foi eleito para a Academia das Ciˆencias Desenvolveu atividades polıticas com Napoleao de quem foi Ministro do Interior e mais tarde serviu os Bourbons que lhe deram o tıtulo de Marques em 1817 Em 1793 e de opiniao que a luz e constituıda por corpusculos Fez estudos em colabora cao com Biot entre 1802 e 1816 sobre a velocidade de propagacao do som cujos resultados se verificaram muito proximos dos obtidos experimentalmente em 1822 por GayLussac e JJ Welter Em 1804 foi efetuada a primeira ascensao cientıfica em balao por GayLussac e Biot por instigacao de Laplace tendo medido a composicao do ar a 6500 metros de altitude Concluıram que as proporcoes de azoto e de oxigenio do ar sao as mesmas que no solo As obras que tornaram Laplace celebre sao Traite de Mecanique Celeste 4 volumes 1799 1825 Theorie Analytique des Probabilites 1812 Memoire sur la chaleur 1783 resultado de uma sua colaboracao com Lavoisier Theorie du mouvement et de la figure elliptique des planetes 1784 Nos anos de 1790 uma obra de vulgarizacao LExposition du Systeme du Monde Desenvolveu em suplementos a um dos volumes da Mecˆanica Celeste explicacoes teoricas para fenˆomenos conhecidos de capilaridade Pelo que se sabe Laplace nunca realizou pessoal mente uma experiˆencia Sugeria oportunamente projetos de instrumentos aos seus associados 263 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Portanto Laft bgt aLft bLgt Consequentemente a transformada inversa tambem e um operador linear L1aFs bGs aft bgt aL1Fs bL1Gs 49 Exemplo 410 Podemos demonstrar sem dificuldade que La bt ct2 a L1 b Lt c Lt2 Solucao Supondo a b c R temos La bt ct2 La Lbt Lct2 a 1 s b 1 s2 c 2 s3 a L1 b Lt c Lt2 Exemplo 411 Determine Fs se ft 2sent 3 cos 2t Solucao Sabemos que Fs L2sent 3 cos 2t 2Lsent 3Lcos 2t Logo Fs 2 1 s2 1 3 s s2 4 2 s2 1 3s s2 4 Exemplo 412 Determine Fs se ft cosh at Solucao Sabese que cosh at eat eat 2 pela Propriedade 42 e do Exemplo 42 Fs 1 2 1 s a 1 2 1 s a s s2 a2 s a 432 Deslocamento em s Propriedade 43 Deslocamento em s Se ft e uma funcao que admite transformada de Laplace Fs Lft onde s a entao para qualquer constante β R segue que eβtft tem a transformada Fs β onde s β a logo Leβtft Fs β s β a 410 Demonstracao 278 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais contradicao isto indica que a funcao delta de Dirac nao e de ordem exponencial e admite transformada de Laplace e por isso que esta funcao e umafuncao estranha Esta funcao em detalhes e tratada nos textos da Teoria das Distribuicoes 47 Transformada inversa de Laplace Embora sejam necessarias algumas propriedades para facilitar o calculo da transfor mada inversa de Laplace um modo pratico para obter transformadas inversas de Laplace e atraves de tabelas A transformada inversa de Laplace de uma funcao Fs pode nao ser unica e possıvel que Lf1t Lf2t nao obstante f1 f2 Seja ϑ f f seccionalmente contınua de ordem exponencial Definamos em ϑ as operacoes de adicao e produto usual entre funcoes entao ϑ e um espaco vetorial Seja Ψ g Dg s0 ou s0 com s0 Definamos em Ψ as operacoes de adicao e produto usual entre funcoes entao Ψ e um espaco vetorial Logo pela Propriedade 42 temse que L ϑ Ψ e uma transformacao linear Sera que essa transformacao linear L tem inversa Para saber isto temse que saber se L e biunıvoca Propriedade 410 Se 0 x b k n 1 ou 0 k n b x 1 entao x k n1 x1 k n e2xb2b k n1 b1 k n A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Teorema 44 Teorema de aproximacao de Weierstrass Seja f a b R uma funcao contınua Para todo ϵ 0 existe um polinˆomio pt tal que ft pt ϵ para todo t a b Demonstracao A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor 292 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 48 Resolucao de equacoes diferenciais mediante a transfor mada de Laplace Estudamos na secao anterior que as transformadas de Laplace das derivadas de uma funcao sao todas proporcionais a transformada da funcao original multiplicada por sn onde n e a ordem da derivada Estas transformadas tˆem inumeras aplicacoes na enge nharia resulta particularmente util em problemas onde a forca impolsora mecˆanica ou eletrica apresenta descontinuidades e impulsiva ou e periodica mais nao uma simples fun cao seno ou cosseno Outra vantagem e que as equacoes nao homogˆeneas sao resolvidas sem a necessidade de resolver primeiro as homogˆeneas correspondentes Esta propriedade permite transformar uma equacao diferencial linear com coeficientes constantes em uma equacao algebrica Por exemplo temos uma funcao ft de modo que sua derivada em relacao a t e substraıda dela propria e igual a zero que satisfaz f0 1 Isto e temos o problema de valor inicial f t ft 0 f0 1 426 Esta funcao ft pode ser encontrada se aplicarmos ambos os lados da equacao a transformada de Laplace Lf t ft L0 427 nao entanto sabemos que L0 0 Lf t sLft f0 logo em 427 segue pela linearidade da transformada que sLft f0 Lft 0 de onde Lft 1 s 1 Lembre que Leat 1 s a Portanto ft et e solucao da equacao diferencial 426 Roteiro Para resolver uma equacao diferencial linear ordinaria seguese o seguinte roteiro 1 Aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equacao diferencial 2 Aplicar o teorema da transformada da derivada Quando as condicoes iniciais nao estiveram dadas em t 0 por exemplo estiver em t a fazer a mudanca de variavel τ t a com esta mudanca a nova EDO tem condicoes iniciais em τ 0 305 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais isto e ansnLy sn1y0 syn20 yn10 an1sn1Ly sn2y0 syn30 yn20 a2sy0 y0 a1y0 Lfx 429 Chamaremos a expressao 429 equacao auxiliar equacao da transformada ou equacao operatorio Para abreviar a notacao consideremos Lyx Y s Observe que o coeficiente de Y s em 429 obtemse da parte esquerda de 428 mediante a substituicao formal das derivadas ykx pelas potˆencias de sk Designemos este coeficiente por Rns ansn an1sn1 a1s a0 E imediato observar que este coeficiente e o primeiro membro da equacao caracterıstica para a equacao diferencial 428 Entao achamos a transformada da solucao na forma Y s Fs Rns ψn1s Rns 430 onde ψn1s a1y0 a2sy0 y 0 a3s2y0 sy 0 y0 ansn1y0 sn2y 0 syn2 0 yn1 0 Para o caso das condicoes iniciais nulas isto e para o caso yx0 yx0 yx0 yn1x0 yn1 0 0 a formula 430 escreveremos Y s Fs Rns 431 Caso a partir de 430 ou 431 achamos a inversa da transformada de Laplace em virtude da unicidade esta sera precisamente a solucao procurada y yx Exemplo 431 Temos que resolver o problema de valor inicial 307 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais A solucao da equacao e a transformada inversa de Laplace Portanto yt 2 et Exemplo 448 Resolver o problema de valor inicial y 2y 3y 6et y0 1 y0 3 460 Solucao Aplicamos a Transformada de Laplace a esta equacao para obter Ly 2y 3y L6et Ly 2Ly 3Ly 6Let que pode ser escrito como s2Y s s 3 2sY s 1 3Y s 6 s 1 de onde Y s 6 s 1s 1s 3 1 s 1s 3 Y s 3 2 1 s 1 3 4s 1 7 4s 3 aplicando as transformadas inversas de Laplace atraves do uso das tabelas obtemos a solucao do pvi Portanto yt 3 2et 3 4et 7 4e3t Problemas ligados a circuitos eletricos podem ser resolvidos rapidamente mediante a utilizacao de fracoes parciais considerando o circuito da Figura 410 acionado por uma fonte eletromotriz cons tante de valor E0 e de tal maneira que I10 I20 0 Figura 410 As equacoes que regem o circuito se deduzem das leis de Kirchhoff Exemplo 449 Temos que resolver o sistema R1I1t R2I1t I2t E0 LI 2t R2I2t I1t 0 Solucao 320 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 10 y 4y et y0 0 y0 0 11 y 2y y e2t y0 0 y0 0 12 y 2y 2y et y0 0 y0 0 13 3y 12y 12y 4e2xsen2x y0 C1 y0 C2 onde C1 e C2 constantes 14 y 4y 13y 2t 3e2tcos3t y0 0 y0 1 15 y 2y y ft y0 0 y0 0 13 Use a formula do deslocamento para determinar a L11 4e2s b L1 s s2 9eπs2 c L13 d L1 1 ss 1es 14 Resolver o problema de contorno dado 1 y 2y y 0 y1 2 y0 2 2 y 8y 20y 0 y0 0 yπ 2 3 y λy 0 y0 y1 y1 0 λ 0 15 Resolver o pvi 1 y y 2t yπ 4 π 2 yπ 4 π 2 2 y 2y y et1 y1 0 y1 5 3 y y 2t yπ 4 π 2 yπ 4 2 2 4 y 4y 3sen2t yπ 4 13 16 yπ 4 3π 8 4 16 Resolver o seguinte pvi por trˆes metodos estudados e compare as solucoes y y 2y 2t y0 0 y0 1 17 Determine a solucao de 1 y 4y 4y t3e2t y0 y0 0 2 ty y t2 y0 0 3 ty y 0 y0 0 4 y 6y 9y t2e3t y0 2 y0 6 5 y y 8 2 sent π 4 y0 0 y0 4 327 18112022 Capıtulo 5 Series de Fourier JB J Fourier JeanBaptiste Joseph Fourier nasceu na localidade de Auxerre em 21 de marco de 1768 e faleceu em Paris em 16 de maio de 1830 Foi matematico professor e burocrata publico francˆes conhecido pela elaboracao das famosas series de Fourier e as notaveis contribuicoes no campo da egiptologia Filho de um alfaiate e educado numa escola de monges be neditinos desde cedo demonstrou seus dotes matematicos Teve participacao ativa na revolucao francesa 1789 cujos ideais o atraıram para a polıtica Tornouse professor de matematica seguidamente na Escola Militar de Auxerre na recemcriada Escola Normal de Paris 1795 e finalmente na Escola Politecnica 1796 Fourier junto com Monge patrocinado oficialmente entrou para a Legiao da Cultura de Napoleao 1798 acompanhou Napoleao Bonaparte ao Egito onde se dedicou a pesquisa arqueologica e por isso foi nomeado 1798 secretario do Instituto de Egito fundado por Napoleao no Cairo e escreveu Descricao de Egito Voltando a Franca exerceu varios cargos publicos entre outros foi prefeito de Grenoble 1802 e comecou a escrever enfaticamente sobre matematica Com a queda de Napoleao deixou a polıtica e limitouse a vida acadˆemica em Paris como membro de varias sociedades cientıficas Em 21 de dezembro de 1807 anunciou ante a Academia Francesa de Ciˆencias que uma funcao arbitraria fx pode ser desenvolvida em uma serie infinita de senos e cossenos Condecorado com o tıtulo de barao 1809 ganhou um prˆemio da Academia por um ensaio sobre a teoria matematica da conducao do calor 1812 Tambem formulou um importante metodo para analise de funcoes periodicas Entrou para a Academia das Ciˆencias de Paris 1817 tornandose depois seu secretario perpetuo 1822 Os primeiros aportes de Fourier a fısica e matematica foram o desenvolvimento da teoria do calor equacoes diferenciais equacoes algebricas series trigonometricas estatısticas matematicas e teoria da probabilidade sendo a sua obra monumental o Teoria Analıtica do Calor em que se desenvolve equacoes para explicar a conducao termica em metais A primeira publicacao sobre este tema foi apresentado um relatorio para a Academia em 1807 e completou o texto Theorie analytique de la chaleur em 1822 Para explicar a conducao termica Fourier usa series matematicas infinitas que permitem 331 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais encontrar solucoes para o problema Fourier tambem publicou artigos em Egiptologia e Historia da Ciˆencia especialmente biografias de grandes cientistas 51 Teoria preliminar das series de fourier A serie de Fourier inicialmente e um tema a ser estudado em cursos de graduacao das areas da engenharia e matematica Pela sua aplicabilidade aparecem em fenˆomenos como Solucao de equacoes diferenciais Estudo dos modelos fısicos que descrevem pequenas os cilacoes de uma corda elastica ou de uma membrana No estudo do fenˆomeno de conducao de calor em uma barra Problemas da eletrˆonica Problemas na quımica entre outros Certas formas de ondas periodicas as quais a funcao dentedeserra e um exemplo so podem ser descritas por uma funcao simples dentro de um intervalo Assim a funcao dentedeserra e expressa por ft V P t no intervalo 0 t P e por ft V P t P no intervalo P t 2P onde V e a altura maxima do dentedeserra e P o perıodo Estudaremos proximamente que embora tais expressoes descrevam de modo satisfato rio a forma da onda entretanto uma funcao periodica pode ser expressa como a soma de um numero finito ou infinito de funcoes senoidais As series de potˆencia estudadas no primeiro capıtulo sao exemplos de series em que seus termos dependem nao apenas do ındice n N que e uma variavel discreta mas tambem de uma variavel contınua x R Outros tipos das series da mesma natureza e que tambem sao utilizadas na resolucao de equacoes diferenciais sao as series trigonometricas Existe uma enorme diferenca ao estudar series de Fourier e series de potˆencia pois uma serie de Fourier funciona como um processo global enquanto que uma serie de potˆencia funciona como um processo local A ideia basica da serie de Fourier e que toda funcao periodica de perıodo P pode ser expresso como uma soma trigonometrica de senos e cossenos do mesmo perıodo P O problema ocorre naturalmente em astronomia de fato O Neugebauer1 1952 descobriu que os babilˆonios usavam uma forma primitiva de Series de Fourier para a previsao de certos eventos celestiais A historia moderna da serie de Fourier comecou com DAlembert 1747 em seu tratado sobre as oscilacoes das cordas do violino O deslocamento u ut x de uma corda de violino como uma funcao do tempo t em na posicao x e a solucao da equacao diferencial 2u t2 2u x2 t 0 0 x 1 1Otto Eduard Neugebauer 1899 1990 foi um matematico austrıacoamericano e historiador da ciˆencia e conhecido por sua pesquisa sobre a historia da astronomia e outras ciˆencias exatas Ao estu dar tabuletas de argila ele descobriu que os antigos babilˆonios sabiam muito mais sobre matematica e astronomia do que se pensava anteriormente 332 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais frequˆencia τ e o numero de ciclos por segundo Hertz Um outro tipo de frequˆencia a qual utilizaremos no estudo das Series de Fourier e a frequˆencia angular denotada por ω e definida como ω 2π P A funcao constante fx c tem como perıodo qualquer numero real P 0 e nao possui perıodo fundamental Exemplo 51 Calcular o perıodo da funcao fx cos x 3 cos x 4 Solucao Sabemos que a funcao cosseno tem domınio em todos os numeros reais e e de perıodo 2π isto e cosθ 2πk cos θ para todo k Z Logo podemos supor que cos x P 3 cos x P 4 cos x 3 cos x 4 de onde 1 3P 2πm e 1 4P 2πn para algum m n Z De onde 1 3P 1 4P 2πm 2πn 4 3 m n logo os menores numeros inteiros positivos que satisfazem esta igualdade acontece quando m 4 e n 3 assim P 24π Portanto o perıodo da funcao fx e 24π Exemplo 52 Determine o perıodo da funcao gt sent sen t 3 sen t 5 Solucao Observe gt sent sen1 3t sen1 5t sent T sen1 3t T sen1 5t T gt T o perıodo da funcao seno e 2π entao T 2mπ 1 3T 2nπ 1 5T 2kπ T 2mπ T 6nπ T 10kπ logo m 3n 5k n 5α k 3α m 15α T 30απ Portanto o perıodo e T 30π Exemplo 53 Determinar se a funcao ft cos10t cos10 πt e funcao periodica Solucao Suponhamos que f seja periodica de perıodo P entao ft P ft 337 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Temos que α1 10P e α2 10 πP e como α1 α2 10 10 π Q Portanto ft nao e funcao periodica Assim justificase a seguinte observacao Observacao 51 Em geral se a funcao ft cosα1t cosα2t e periodica com perıodo P entao e possıvel achar dois inteiros m e n tais que α1 α2 m n Q Propriedade 51 Sejam f1 e f2 funcoes periodicas de mesmo perıodo P β1 e β2 duas constantes reais quaisquer A funcao h definida por hx β1f1x β2f2x tambem e periodica de perıodo P A demonstracao e imediata e e exercıcio para o leitor Exemplo 54 Como as funcoes senx e cos x possuem o mesmo perıodo 2π pela Propriedade 51 temos 1 sen2x e cos2x possuem perıodo 2π 2 π 2 senx 2 e cos x 2 possuem perıodo 2π 12 4π 3 sen2πx e cos2πx possuem perıodo 2π 2π 1 4 sen2πx P e cos 2πx P possuem perıodo 2π 2πP P 5 sen2nπx P e cos 2nπx P possuem perıodo 2π 2nπP P n Como qualquer multiplo in teiro do perıodo tambem e perıodo concluımos que ambas tambem possuem perıodo P Logo pela Propriedade 51 observamos que a funcao hx β1sen2nπx P β2 cos 2nπx P tambem e periodica de perıodo P para todo β1 β2 R 338 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais intervalo 0 t 1 Figura 59 Observe que esta funcao nao e periodica agora veja o grafico da funcao Ft t se 0 t 1 0 se t 1 t se 1 t 0 Ft 2 Ft Observe que no intervalo 0 1 as funcoes representam o mesmo valor no grafico Sendo esta funcao Ft periodica podemos utilizar a serie de Fourier para ela porem nao podemos fazer isso para ft Dizemos que a funcao g e uma extensao da funcao f Figura 510 Propriedade 519 Se f e definida num intervalo I do tipo a b ou a b entao podemos estender f para todo R de forma periodica de perıodo P b a fazendo ft kP ft para todo t I e k Z A demonstracao desta propriedade e exercıcio para o leitor Observacao 58 Quando ft presenta um intervalo de continuidade a b podemos transformar tal intervalo em 0 2π mediante a mudanca de variavel x a b a t 2π Da mesma forma a mudanca de variavel 2x b a b a t π faz corresponder o intervalo a b ao intervalo π π Exemplo 529 A funcao ft sent π 2 t π 2 pode ser extendida de forma periodica de perıodo P π para todo t R e seu grafico e Figura 511 Grafico de f extendido Exemplo 530 374 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Miscelˆanea 51 1 Determine o perıodo para as seguintes funcoes 1 ft 5sen 5t 2 ft sen7t cos5t 3 3 ft 8 cos 2t 3 3 4 ft cott 8 tan4t 2 Determinar os coeficientes de Fourier da funcao ft 0 se π 2 t 0 π 6 se 0 t π 6 0 se π 6 t π 2 3 Determine a serie de Fourier para a funcao ft e4t no intervalo t 2 2 quadfx 2 fx 4 Determine a serie de Fourier da funcao fx 2 cos2x 1 onde π x π fx 2π fx 5 Resolver mediante series de Fourier y 2y fx onde fx 2 cos2 x 1 π x π fx 2π fx 6 Determine a serie de Fourier da funcao ft ft at2 b onde π t π ft 2π ft a b constantes 7 Determine a serie de Fourier da funcao ft at2 b onde 0 t 2π ft 2π ft a b constantes 8 Resolver mediante series de Fourier y 4y x2 8 onde π x π fx 2π fx 9 Resolver mediante series de Fourier y4y x28 onde 0 x 2π fx2π fx 10 Utilizando a tecnica de separacao de variaveis encontre um par de equacoes di ferenciais ordinarias cuja solucao permita resolver a seguinte equacao diferencial uxx uxt ut 0 Sugestao Considere ux t FxGt 407 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 11 Resolver a equacao mediante series de Fourier com as condicoes dadas u t x t 2u x2x t u0 t uπ t 0 condicoes de contorno ux 0 fx u t gx condicoes iniciais 543 nos seguintes casos 1 Quando o perfil inicial da corda esta dada pela funcao fx Ax a 0 x x fx Aπ x π a a x π e inicialmente esta em repouso gt 0 2 Quando o perfil inicial da corda e dada pela funcao fx cos x 2 e inicialmente esta em repouso gt 0 3 Quando o perfil inicial e a velocidade inicial da corda e dada pelas funcoes gt 0 fx x se 0 x π 4 π 4 se π 4 x 3π 4 π x se 3π 4 x π 4 Quando o perfil inicial e a velocidade da corda seja dada pelas funcoes fx 0 e gt v0t a 0 t a gt v0t π π a a t π 12 Resolver a equacao do calor mediante series de Fourier com as condicoes dadas u t x t a22u x2x t u0 t uπ t 0 condicoes de contorno ux 0 fx condicoes iniciais 544 13 Resolver a equacao mediante series de Fourier com as condicoes dadas u t x t a22u x2x t u0 t uπ t 0 condicoes de contorno ux 0 fx condicoes iniciais 545 nos seguintes casos 1 Quando fx cos x 2 2 Quando fx αxπ x 408 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 3 Quando fx βxx π 2 409 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 410 18112022 Capıtulo 6 Transformada de Fourier H Poincare Jules Henri Poincare nasceu em 29 de abril de 1854 em NancyFranca e faleceu em 17 de julho de 1912 em Paris foi um matematico fısico e filosofo da ciˆencia francˆes Ingressou na Escola Politecnica em 1873 continuou seus estudos na Escola de Minas sob a tutela de Charles Hermite e se doutorou em matematica em 1879 Foi nomeado professor de fısica matematica na Sorbonne 1881 posto que manteve ate sua morte Antes de chegar aos trinta anos desenvolveu o conceito de funcoes automorficas que usou para resolver equacoes diferenciais lineares de segunda or dem com coeficientes algebricos Em 1895 publicou seu Analysis situs um tratado sistematico sobre topologia No ˆambito das matematicas aplicadas estudou numerosos problemas sobre optica eletricidade telegrafia capilaridade elasticidade termodinˆamica mecˆanica quˆantica teoria da relatividade e cosmologia Foi descrito com frequˆencia como o ultimo universalista da disciplina matematica No campo da mecˆanica elaborou diversos trabalhos sobre as teorias da luz e as ondas eletromagneticas e desenvolveu junto a Hendrik Lorentz a teoria da relatividade A conjectura de Poincare foi um dos problemas nao resolvidos mais desafiantes da topologia algebrica sendo resolvido apenas em 2003 pelo matematico russo Grigory Perelman mais de um seculo apos sua proposicao e foi o primeiro a considerar a possibilidade de caos num sistema determinista em seu trabalho sobre orbitas planetarias Este trabalho teve pouco interesse ate que comecou o estudo moderno da dinˆamica caotica em 1963 Em 1889 foi premiado por seus trabalhos sobre o problema dos trˆes corpos Alguns de seus trabalhos mais importantes incluem os trˆes volumes de Os novos metodos da mecˆanica celeste Les methodes nouvelles da mecanique celeste publicados entre 1892 e 1899 e Licoes de mecˆanica celeste Lecons de mecanique celeste 1905 Tambem escreveu numerosas obras de divulgacao cientıfica que atingiram uma grande popularidade como Ciˆencia e hipotese 1902 O valor da ciˆencia 1904 e Ciˆencia e metodo 1908 Poincare fez muitas contribuicoes em diferentes campos tais como mecˆanica celestial mecˆa nica dos fluidos optica eletricidade telegrafo capilaridade elasticidade termodinˆamica teoria do potencial mecˆanica quˆantica teoria da relatividade e cosmologia 411 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 61 Teoria preliminar da transformada de Fourier E possıvel conseguir uma expressao que represente equivalentemente a uma funcao nao periodica e definida no intervalo Pela hipotese de nao periodicidade da funcao uma resposta de uma representacao do tipo series de Fourier nao e possıvel pois a Series de Fourier tˆem a propriedade da periodicidade Uma serie de Fourier pode ser utilizada algumas vezes para representar uma funcao ft dentro de um intervalo Se a funcao esta definida sobre toda a reta real R pode ser representada por uma serie de Fourier se for periodica Para o caso de nao ser periodica nem sempre e possıvel representa la por uma serie de Fourier para todo t R ainda neste caso alguns problemas sao difıceis de solucionar diretamente Pode ser mais facil resolver o problema transformado e aplicar a transformada inversa na solucao Entenderemos umsinalcomo um fenˆomeno variavel no tempo e ou espaco Descrito quantitativamente Sinais sao funcoes de uma ou mais variaveis independentes e tipicamente contˆem informacao acerca do comportamento ou natureza de um fenˆomeno fısico A representacao de um sinal no domınio do tempo do espaco etc esta presente naturalmente no nosso dia a dia Certas operacoes tornamse muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domınio da frequˆencia domınio este conseguido a partir das Transformadas de Fourier A Transformada de Fourier decompoe um sinal em seus componentes elementares seno e cosseno Inicialmente as aplicacoes da transformada de Fourier foram direcionadas para o estudo de problemas da conducao do calor lei da conducao termica Funcoes periodicas sao representadas por series de Fourier Funcoes naoperiodicas sao representadas por transformadas de Fourier espectro do sinal Uma representacao de ft e uma decomposicao em componentes que tambem sao funcoes As componentes dessa decomposicao sao as funcoes trigonometricas sent e cos t Qualquer funcao ft pode segundo Fourier ser escrita na forma da soma de uma serie de funcoes seno e cosseno Quando estudamos series de Fourier aplicamos estas ao desenvolvimento de uma funcao ft de perıodo P Naturalmente se apresenta a seguinte pergunta Que acontece quando P Neste caso achamos que a serie de Fourier se transforma em uma integral de Fourier Discutiremos as integrais de Fourier e suas aplicacoes 412 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 65 Transformada de Fourier das derivadas Sejam f R C e f funcoes absolutamente integraveis Como ft 0 quando t entao Ff t iβFβ onde Fβ Fft Sejam f R C uma funcao duas vezes diferenciavel absolutamente integravel e f e f funcoes absolutamente integraveis Como f t 0 quando t entao Ff t β2Fβ onde Fβ Fft Essa propriedade e tambem conhecida como propriedade operacional Uma expressao mais geral e dado na seguinte propriedade Propriedade 610 Suponhamos que uma funcao f seja absolutamente integravel em todo o eixo real e tem n N derivadas absolutamente integraveis e contınuas em todo R Entao Ff kt iβkFft k 1 2 3 n 619 e existe uma constante M 0 tal que Fft M βn A demonstracao e exercıcio para o leitor Observacao 62 As transformadas seno e cosseno de Fourier nao sao adequadas para transfor mar a derivada primeira ou qualquer derivada de ordem ımpar isto porque a transformada seno ou cosseno da derivada de f nao e expressa em termos da transformada seno ou cosseno da funcao f 66 Derivada da transformada de Fourier Se f R C e uma funcao absolutamente integravel e tft tambem e uma funcao absolutamente integravel entao a d dβ Fft iFt ft isto e F β iFt ft onde Fβ Fft b d2 dβ2Fft Ft2 ft isto e F β Ft2 ft onde Fβ Fft 441 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 0 Fβ β 6 1 Figura 65 A transfor mada de Fourier da funcao impulso unitario De onde a transformada de Fourier da funcao impulso uni tario e a unidade E evidente que a funcao impulso tem uma densidade espectral uniforme em todo o intervalo de frequˆen cia ver Figura 65 692 Transformada de Fourier da funcao de He aviside Em matematica e estatıstica a funcao de Heaviside ou funcao degrau e uma funcao singular e funcao descontınua com valor zero quando o seu argumento e negativo e valor unitario quando o argumento e positivo Nos casos em que o argumento e nulo seu valor assume a media dos limites laterais da funcao pela esquerda e pela direita calculados no ponto em que a abscissa vale a Normalmente a funcao e usada como uma distribuicao mas costumase definir ut 1 sgnt 2 0 se t 0 1 2 se t 0 1 se t 0 630 sendo sgnt a funcao sinal A funcao de Heaviside com descontinuidade em x a e da forma ut a 0 se t a 1 2 se t a 1 se t a A funcao de Heaviside 630 tambem chamada funcao salto unitario ou funcao degrau unitario definida em x 0 e desnecessario alguns autores nao definem u0 Na literatura tambem e comum encontrar a notacao Ht para ut Quando multiplicada por outra funcao definida em a funcao degrau unitario 630 cancela uma porcao do grafico da funcao Exemplo 619 Seja a 0 determine Featut onde ut e a funcao unitaria de Heaviside Solucao 452 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 1 Os valores de v0 y e vL y sao dados Neste caso sera necessario arbitrar ϕn0 ϕnL 0 O qual determina as seguintes funcoes e valores proprios ϕnx senλnx λn nπ L A transformada correspondente e a transformada seno de Fourier 2 Os valores de v0 yx e vL yx sao dados Neste caso sera necessario arbitrar ϕ n0 ϕ nL 0 E portanto as funcoes e valores proprios sao ϕnx cosλnx λn nπ L A transformada e a transformada cosseno de Fourier 3 Os valores de v0 y e vL yx sao dados Neste caso sera necessario arbitrar ϕn0 ϕ nL 0 E portanto as funcoes e valores proprios sao ϕnx senλnx λn n 1 2π L A transformada correspondente e a transformada seno modificada 4 Os valores de v0 yx e vL y sao dados Neste caso sera necessario arbitrar ϕ n0 ϕnL 0 E portanto as funcoes e valores proprios sao ϕnx cosλnx λn n 1 2π L Exemplo 624 Resolver 3yt 5yt 2yt ft Solucao 459 18112022 Referˆencias 1 Becerril Espinosa JV Elizarraras M D Equaciones Diferenciales Tecnicas de Solucion y Aplicaciones Universidad Autonoma Metropolitana Mexico 2004 2 Berman G N Problemas y Ejercıcios de Analisis Matematico Editorial MIR Mos cou 1977 3 Braum Martin Differential Equations and Their Applications SpringerVerlag New Yor Inc Estados Unidos 1983 4 Bugrov Ya S Nikolski S M Matematicas Superiores Vol III Editorial Mir Moscou 1985 5 Danco P E Popov A G T Ya Z Matematicas Superiores en Ejercıcios y Problemas Vol II Editorial Mir Moscou 1988 6 Dennis GZill A First Course in Differential Equations with Modeling Applications 7a Edicao International Thomson Editores 7 Deminovich B Problemas y Ejercıcios de Analisis Matematico Editorial MIR Moscou 1971 8 Djairo G F Aloiso F N Equacoes Diferenciais Aplicadas Colecao Matematica Universitaria Terceira Edicao IMPA 2010 9 Earl D Rainville Ecuaciones Diferenciales Elementales Editorial Trillas Mexico 1974 10 Eduardo Espinoza ramos Ecuaciones Diferenciales y sua Apclicaciones Editora San marcos Peru 1984 11 Erwin Kreyszig Matematicas Avanzadas para Ingenieria Vol 1 3a Edicao Editorial limusa SA Mexico 2003 12 Jaime Escobar A Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones en Maple http matematicasudeaeducojescobarColombia 13052009 473 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais 13 Felipe Alvarez et all Calculo Avanzado y Aplicaciones Apuntes para el curso MA2A2 Departamento de Ingenierıa Matematica Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas UNIVERSIDAD DE CHILE 2009 14 Jaime E Villate Equacoed Diferenciais r Equacoes de Diferencas Universidade do Porto Creative Commons 559 Nathan Abbott Way Abril 2008 15 Guerrero Miramontes Oscar Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias Universidade Autonoma de Mexico 126 Chihuahua Agosto 2009 16 Kreider D Kuller R Ostberg Ecuaciones Diferenciales Fondo Educativo Inte ramericano SA Mexico 1773 17 Marivaldo P Matos Series e Equacoes Diferenciais Prentince Hall Sao Paolo 2002 18 Makarenko G Krasnov M Kiselion A Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Editorial Mir Moscou 1979 19 PINSKY M A Partial Differential Equations and BoundaryValue Problems with Applications Mc GrawHill Inc New York p 174 1991 20 Richard Bronson Moderna Introducao as Equacoes Diferenciais Colecao Schaum McGrawHill Sao Paulo 1973 21 Ricieri A P Construindo a Transformada de Laplace Edicao PRANDIANO 1988 22 Santos Reginaldo JIntroducao as Ecuaciones Diferenciales Ordina riasDepartamento de Matematica UFMG httpwwwmatufmgbrregi Brasil 27032011 23 Trejo C Alvaro Muzquiz P R Ecuaciones Diferenciales Ordinarias alquacom la red en estudio Mexico 13052002 474 18112022 Indice Remissivo A transformada de Fourier de uma convolucao 448 Bessel 228 Brook Taylor 1 159 Caritat Condorcet 48 Centro da serie 21 Chevyshev 227 Condicao de Cauchy 9 Condicoes de fronteira 99 iniciais 99 Condicoes de Dirichlet 365 Conjunto fundamental de solucoes 175 ortogonal 343 ortonormal 343 Contınuas por partes 264 Criterio da integral 17 de comparacao 12 14 de comparacao no limite 19 de Dirichlet 366 do nesimo termo 6 346 Curva integral da equacao 95 Curvas integrais 100 DAlemberts 15 347 Dependˆencia linear 165 Desenvolvimento de Heaviside 299 Determinante de Gram 171 Domınio de convergˆencia 22 Domınio de convergˆencia 22 Equacao de Bessel 249 de Clairaut 149 de Lagrange 148 diferencial de variavel real 86 indicial 239 linear homogˆenea 114 linear nao homogˆenea 114 Equacao diferencial Grau 88 homogˆenea 162 nao homogˆenea 162 Ordem 89 Equacoes de variaveis separaveis 112 de Bernoulli 147 exatas 113 Estimativa do Resto 68 formula de Rodrigues 237 Formulas de integracao 469 475 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Fator integrante 114 131 132 Funcao ımpar 339 absolutamente integravel 384 415 admissıvel 272 analıtica 59 contınua por partes 271 de Bessel 249 de classe A 276 de Heaviside 309 de impulso unitario 291 de ordem exponencial 272 delta de Dirac 291 dente de serra 332 diferenciavel por partes 365 elementar 71 gama 289 gamma 248 homogˆenea 112 integravel 413 onda quadrada 271 par 339 seccionalmente contınua 271 360 seccionalmente suave 361 suave 363 funcao de Heaviside 310 Funcao de grau unitario 310 Funcao elementar 71 Funcoes de decrescimento rapido 442 ortogonais 341 H Poincare 411 Henri Poincare 411 Independˆencia linear 165 integracao da equacao diferencial 99 Integrais improprias 264 Integral absolutamente convergente 383 414 cosseno de Fourier 418 seno de Fourier 419 Intervalo de convergˆencia 23 Joseph Fourier 331 Lagrange 1 Laguerre 228 Laplace Pierre S 263 Legendre 225 Leonhard Euler 85 Mudanca da escala 427 Norma de uma funcao 343 Ordem exponencial 270 Pierre Simon Laplace 263 Plano de ArgandGauss 435 Polinˆomios de Hermite 235 Ponto sigular irregular 228 singular 226 227 singular regular 227 228 Primeiro Teorema da translacao 428 Princıpio de superposicao 400 problema de valor inicial 102 de valores de contorno 102 de valores de fronteira 102 Produto de Cauchy 13 Propriedade de Cauchy 10 Raio de convergˆencia 24 476 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Regiao simplesmente conexa 124 Resto de Peano 69 Resto de Lagrange 64 Resto de Taylor 62 Serie p 4 de Laurent 23 absolutamente convergente 12 347 alternada 14 convergente 3 de encaixe 5 de Puiseux 23 de termos positivos 10 divergente 3 dominada 11 dominante 11 geometrica 3 22 harmˆonica 4 simplesmente convergente 14 trigonometrica 335 Serie de Dirichlet 27 Series infinitas 3 345 Segundo Teorema da translacao 428 Sequˆencia 2 Solucao completa 189 da equacao 86 de uma equacao diferencial 94 explıcita 97 geral 100 implıcita 97 particular 100 singular 101 Teorema aproximacao de Weierstrass 292 da convolucao 315 de Abel 28 de existˆencia e unicidade 164 de Fermat 27 de Frobenius 239 de RiemannLebesgue 384 de RocheSchlomilch 65 de Taylor 66 de Weierstrass 350 Teoria das Distribuicoes 292 Transformada bidimensional de Fourier 464 Transformada de Fourier da funcao de Heaviside 452 da funcao delta de Dirac 451 da funcao escada 455 da funcao periodica 454 Transformada inversa de Fourier 429 477 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Series e Equacoes Diferenciais Christian Jose Quintana Pinedo possui Bacharelato em Matematica Pura pela universidade decana da America Universidad Nacional Mayor de San Marcos LimaPeru 1980 mestrado 1990 e doutorado 1997 em Ciˆencias Matematicas pela Universidade Federal do Rio de Janeiro Como professor de matematica desde 1977 atuou nas universidades 1 Nacional Mayor de San Mar cos 2 Nacional de Ingenieria 3 Tecnica del Cal lao 4 De Lima 5 San Martin em Lima Peru Christian J Q Pinedo No Brasil atuou nas universidades 1 Unioeste Cascavel 2 Tecnologica Federal do Parana Pato Branco e 3 Universidade Federal do Tocantins UFT E professor associado da Fundacao Universidade Federal do Tocantins e Coordenador do Curso da Licenciatura em Matematica EADUABUFT Desde 2005 pertence ao Banco de avaliadores do Instituto Nacional de Estudos e Pes quisas Educacionais Anısio Teixeira Inep Tem experiˆencia na area de Educacao com ˆenfase em Educacao Permanente atuando principalmente nos seguintes temas educacao matematica matematica historia da matematica equacoes diferenciais e educacao E membro do Conselho Editorial da IES Claretiano em Sao Paulo e da Universidade Federal do Tocantins UFT perıodo 20122014 Christian tem trabalhos publicados na area de equacoes diferenciais em derivadas parciais historia da matematica e outros suas linhas de pesquisa sao Historia da Matematica Filosofia da Matematica Epistemologia da Matematica e Equacoes Diferenciais em Derivadas Parciais 478 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais DO MESMO AUTOR Colecao Licoes da Matematica Livros Licao Paginas Calculo Diferencial em R 01 396 Calculo Integral e Funcoes de Varias Variaveis 02 426 Calculo Vetorial e Series Numericas 03 296 Series e Equacoes Diferenciais 04 498 Introducao ao Calculo Diferencial 05 368 Fundamentos da Matematica 06 322 Introducao as Estruturas Algebricas 07 280 Introducao a Analise Real 08 220 Historia da Matematica 09 288 Introducao a Epistemologia da Matematica 10 226 Suplemento de Calculo I 11 476 Suplemento de Calculo II 12 368 Suplemento de Calculo III em edicao 13 250 Suplemento de Calculo IV 14 698 Suplemento de Calculo Diferencial 15 402 Suplemento de Analise Real 16 120 Complemento da Matematica I 17 194 Complemento da Matematica II 18 228 Complemento da Matematica III em edicao 19 246 Complemento da Matematica IV em edicao 20 200 Introducao a Teoria dos conjuntos 21 146 Introducao a Logica Matematica 22 152 Argumentacao e Teoria da Demonstracao 23 132 Notas de Aula 1 Calculo com numeros complexos C 100 2 Manual do Estudante 50 479 18112022 Christian Q Pinedo Series e Equacoes Diferenciais Tıtulo do original Series e Equacoes Diferenciais ISBN 978 65 00 63720 5 Direitos reservados para lingua portuguesa Fevereiro 2023 Palmas Tocantins Brasil 480 18112022