Atividade Avaliativa

Ministério da Educação Universidade Federal do Tocantins Campus Universitário Prof Dr Sérgio Jacintho Leonor Arraias Curso de Licenciatura em Matemática AV 02 de Cálculo IV 202402 Valor 80 Alunoa Francival Santos Monteiro Data 21022025 NOTA 68 Prof Thiago Rodrigues Cavalcante Questão 1 20 Escolha APENAS uma para responder a Encontre a área da parte da superfície dada por z 4 x² que fica acima do retângulo R contido no plano xy de coordenadas 0 x 1 e 0 y 4 b Encontre a área de superfície da porção do paraboloide z y² x² abaixo do plano z 1 c Ache a área da superfície que é cortada do cilindro x² y² 16 pelos planos x 0 x 2 y 0 e y 3 d Ache a área da parte superior da esfera x² y² z² a² e Determine a área da superfície da parte da esfera x² y² z² 4 que esta dentro do cilindro x² y² 2x Questão 2 20 Escolha APENAS uma para responder a Calcule R xyxy dA onde R é a região compreendida pelas retas xy0 xy1 xy1 xy3 b Calcule ₀¹ ₀¹ˣ x yy2x² dydx c Calcule ₁² ₁ʸʸ yx exy dxdxy d Calcule R x²xy y² dA onde R é a região limitada pela elipse x² xy y² 2 Dica Faça as mudanças x2u 23v e y 2u 23v Questão 3 40 Escolha DUAS para responder a Calcule a integral tripla E x² y² dV onde E é a região que está dentro do cilindro paraboloide x² y² 16 entre os planos z 5 e z 4 b Calcule a integral tripla E xex²y²z² dV onde E é a porção da bola unitária x² y² z² 1 que fica no primeiro octante c Encontre o volume da casquinha de sorvete D cortada da esfera sólida ρ 1 e pelo cone Φ π3 d Calcule E xyz dV onde E fica entre as esferas ρ 2 e ρ 4 e acima do cone Φ π3 e Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z x² y² e a esfera x² y² z² 2 a Encontre a área da parte da superfície dada por z 4 x² que fica acima do retângulo R contido no plano xy de coordenadas 0 x 1 e 0 y 4 Image shows diagram and calculation steps dzdx 0 2x 2x dzdy 0 1 dzdx² dzdy² 1 2x² 0² 1 4x² Área A R 1 4x² dA dA dx dy 0 x 1 e 0 y 4 A ₀⁴ dy ₀¹ 1 4x² dx y₀⁴ ₀¹ 1 4x² dx A 4 ₀¹ 1 4x² dx 1ª Substituição x u2 u 2x u² 4x² dx du2 4 1 4 x² dx 42 1 u² du 2 1 u² du 2ª Substituição u tanv v arctanu 1 u² sec²v 1cos²v du sec²v dv 2 1 u² du 2 sec²v sec²v dv 2 sec³v dv Agora podemos usar secⁿv dv secⁿ²v tanv n 1 n 2 n 1 secⁿ²v dv Com n 3 2 sec³v dv 2 secv tanv 2 12 secv dv secv tanv lntanv secv Como v arctanu arctan2x 4 0¹ 1 4x² dx 2x 4x² 1 ln4x² 1 2x₀¹ 25 ln5 2 0 0 A 25 ln5 2 b Encontre a área de superfície da porção do paraboloide z y² x² abaixo do plano z 1 1 b z x² y² zx 2x 0 2x zy 0 2y 2y Área A D 1 zx² zy² dA A D 1 2x² 2y² dA A D 1 4x² y² dA Coordenadas polares x r cosθ y r sinθ dA r dr dθ x² y² r² z 1 0 r 1 0 θ 2π A ₀²π dθ ₀¹ 1 4 r² r dr 2π ₀¹ 1 4 r² r dr Substituição u 1 4 r² du 0 8 r dr r dr du8 A 2π 8 u₁u₂ u du π 4 u₁u₂ u12 du π 4 u32 32u₁u₂ π 6 1 4 r²320¹ π 6 1 432 1 032 A π 6 532 1 Usando os planos dados no enunciado e o cilindro 𝑥 2𝑧 216 d Ache a área da parte superior da esfera x² y² z² a² x² y² z² a² z 0 parte superior raio r a A área é metade da área de uma esfera de raio a A 12 dA dA a² sinθ dθ dϕ 0 ϕ 2π 0 θ π A 12 ₀²π dϕ ₀π sinθ dθ a² A a²2 2π cosπ cos0 2πa²2 2 A 2πa² e Determine a área da superfície da parte da esfera x² y² z² 4 que está dentro do cilindro x² y² 2x x r cosθ y r sinθ x² y² r² Cilindro x² y² 2x r² 2r cosθ r 2 cosθ cosϕ r2 2 cosθ2 cosθ ϕ θ π2 θ π2 0 ϕ θ dA 4 sinϕ dϕ dθ A 4 from π2 to π2 from 0 to θ sinϕ dϕ dθ 4 from π2 to π2 cosϕ₀θ dθ A 4 from π2 to π2 cosθ 1 dθ A 4 from π2 to π2 cosθ dθ 4 from π2 to π2 dθ A 4 sinπ2 sinπ2 4 π2 π2 A 4 2 4 π 4π 8 A 4π 8 a Calcule R xyxy dA onde R é a região compreendida pelas retas xy0 xy1 xy1 xy3 Mudança de variáveis uxy σxy 1u3 0σ1 Somando as duas equações uσ xxyy 2x x uσ2 Subtraindo as duas equações uσ xxyy 2y y uσ2 Jacobiano J xu xv yu yv 12 12 12 12 14 14 12 J 12 12 R xyxy dA 01 13 σu J du dσ 12 01 σ dσ 13 duu R xyxy dA 12 σ2201 lnu13 12 102ln3ln1 R xyxy dA ln34 b Calcule 01 01x xy y2x2 dy dx Substituição u yx u2 yx y u2 x y2x2 u3x2 dy 2u du 01 01x xy y2x2 dy dx 01 u1u2 u2 u3x2 2u du dx 2 01 u1u2 u2 u3x2 du dx 2 01 u1u2 u6 6x u4 9x2 u2 du dx 2 01 u77 6x u55 9x2 u33u1u2 dx 2 01 xyy37 27xy235 36x2y35 68 x335y0y1x dx 01 210 x2 84x 136 x72 1035 dx 135 210 01 x2 dx 84 01 x dx 136 01 x72 10 01 dx 135 210 x33 84 x22 136 x9292 10 x01 29 01 01x xy y2x2 dy dx 29 c Calcule ₁² ₁yʸ yx exy dxdy 2c 1 y 2 1y x y ₁² ₁yʸ yx exy dx dy substituição u x du 12 x12 dx dx 2x du u₁ 1y dx 2 u du u₂ y ₁y ʸ yx exy dy y u₁u₂ eu y u x 2u du 2 y u₁u₂ eu y du ₁yʸ yx exy dy 2 y 1y eu y u₁u₂ 2 eu₂ y eu₁ y 2 eʸ e ₁² ₁yʸ yx exy dx dy 2 ₁² eʸ e dy 2 ₁² eʸ dy 2e ₁² dy 2 eʸ₁² 2e y₁² 2 e² 2 e 2 e 21 2 e² 2 e 2 e 2 e² 4 e ₁² ₁yʸ yx exy dx dy 2 e² 4 e d Calcule R x² xy y² dA onde R é a região limitada pela elipse x² xy y² 2 Dica Faça as mudanças x 2 u 23 v e y 2 u 23 v 2 d x 2 u 23 v y 2 u 23 v Jacobiano J xu xv 2 23 yu yv 2 23 J 23 23 43 x² xy y² 2 u² 23 v² 4 u v 3 6 u² 2 v²3 2 u² 2 v²3 4 u v 3 2 u² 23 v² 2 u² 2 v²3 2 u² 6 v²3 2 u² v² 2 r² R x² xy y² dA R 2 u² 2 v² J du dv 2 J R u² v² du dv 83 ₀¹ ₀²π r² r dr dθ 83 ₀²π dθ ₀¹ r³ dr 83 2π r⁴4₀¹ 82π4 3 4π3 a Calcule a integral tripla E x² y² dV onde E é a região que está dentro do cilindro paraboloide x² y² 16 entre os planos z 5 e z 4 dV r dr dθ dz 5 z 4 0 θ 2π x r cosθ y r sinθ 0 r 4 E x² y² dV ₀²π ₀⁴ ₅⁴ r² r dr dθ dz ₀²π dθ ₀⁴ r² dr ₅⁴ dz 2π r³3₀⁴ z₅⁴ 2π3 4³ 0 4 5 2π3 64 9 384 π b Calcule a integral tripla E xex² y² z² dV onde E é a porção da bola unitária x² y² z² 1 que fica no primeiro octante x² y² z² 1 r² 1 dV r² sinθ dr dθ dφ x r sinθ cosφ 1º octante 0 r 1 0 θ π2 0 φ π2 E x ex² y² z² dV ₀π2 ₀π2 ₀¹ r sinθ cosφ er² r² sinθ dr dθ dφ ₀¹ r³ dr er² ₀π2 sin²θ dθ ₀π2 cosφ dφ E x ex² y² z² dV ₀¹ r³ er² dr θ2 sin2θ4₀π2 sinφ₀π2 ₀¹ r³ er² dr π4 1 Substituição u r² du 2r dr r dr du2 r³ dr u du2 r³ er² dr 12 u eu du 12 u eu eu du u eu eu2 E x ex² y² z² dV π412 eᵣ² r² er²₀¹ π8 e e 0 1 π8 E x ex² y² z² dV π8 c Encontre o volume da casquinha de sorvete D cortada da esfera sólida ρ 1 e pelo cone Φ π3 Esfera ρ 1 x² y² z² 1 Cone Φ π3 x² y² 3 z² x ρ sinΦ cosθ y ρ sinΦ sinθ z ρ cosΦ dV ρ² sinΦ dρ dθ dΦ 0 ρ 1 0 θ 2π 0 Φ π3 V ₀²π dθ ₀π3 sinΦ dΦ ₀¹ ρ² dρ V 2π cosΦ₀π3 ρ³ 3₀¹ 2π 3 cosπ3 cos0 V 2π 3 12 1 π3 No textual content blank page e Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z x² y² e a esfera x² y² z² 2 x² y² r² z x² y² z² 2 r² z² 2 0 r 1 r² z 2 r² 0 θ 2π dV r dr dθ dz V 0 2π 0 1 r² 2 r² r dz dr dθ 0 2π dθ 0 1 r 2 r² r² dr V 2π 0 1 r 2 r² dr 0 1 r³ dr r 2 r² dr 12 u du 12 u¹² du 12 u³² 3 μ 2 r² du 2r dr rdr du 2 0 1 r 2 r² dr μ³² 3 μ2 μ1 2 r²³² 3 0 1 2 2 1 3 V 2π 0 1 r³ dr 2 2 1 3 2π r⁴ 4 0 1 2 2 1 3 V 2π 14 2 2 1 3 8 2 7 6 π d Calcule xyz dV onde E fica entre as esferas ρ 2 e ρ 4 e acima do cone Φ π3 x ρ senΦ cosθ y ρ senΦ senθ z ρ cosΦ dV ρ² senΦ dρ dΦ dθ xyz ρ³ sen²Φ cosΦ senθ cosθ E xyz dV 0 2π 0 π3 2 4 ρ⁵ sen³Φ cosΦ senθ cosθ dρ dΦ dθ 0 2π senθ cosθ dθ 2 4 ρ⁵ dρ 0 π3 sen³Φ cosΦ dΦ 0 2π senθ cosθ dθ μ2 μ1 μ du μ² 2 μ1 μ2 sen²θ 2 0 2π 0 0 0 μ senθ du cosθ dθ Como 0 2π senθ cosθ dθ 0 E xyz dV 0 a Encontre a área da parte da superfície dada por z 4 x2 que fica acima do retângulo R contido no plano xy de coordenadas 0 x 1 e 0 y 4 1 a a z 4 x2 dzdx 0 2x 2x zy 0 1 zx2 zy2 1 2x2 02 1 4x2 Área A R 1 4x2 dA dA dx dy 0 x 1 e 0 y 4 A 04 dy 01 1 4x2 dx y04 01 1 4x2 dx A 4 01 1 4x2 dx 1ª Substituição x u2 u 2x u2 4x2 dx du2 4 1 4x2 dx 42 1 u2 du 2 1 u2 du 2ª Substituição u tanυ υ arctanu 1 u2 sec2υ 1cos2υ du sec2υ dυ 2 1 u2 du 2 sec2υ sec2υ dυ 2 sec3υ dυ Agora podemos usar secnυ dυ secn2υ tanυn1 n2n1 secn2υ dυ Com n 3 2 sec3υ dυ 2 secυ tanυ2 12 secυ dυ secυ tanυ lntanυ secυ Como u arctanu arctan2x 4 ₀¹ 1 4x² dx 2x 4x² 1 ln 4x² 1 2x₀¹ 25 ln 5 2 0 0 A 25 ln5 2 b Encontre a área de superfície da porção do paraboloide z y² x² abaixo do plano z 1 z x² y² zx 2x 0 2x zy 0 2y 2y Área A D 1 zx² zy² dA A D 1 2x² 2y² dA A D 1 4x² y² dA Coordenadas polares x r cosθ y r sinθ dA r dr dθ x² y² r² z 1 0 r 1 0 θ 2π A ₀²π dθ ₀¹ 1 4r² r dr 2π ₀¹ 1 4r² r dr Substituição u 1 4r² du 0 8r dr r dr du8 A 2π8 u₁u₂ u du π4 u₁u₂ u12 du π4 23 u32 u₁u₂ A π6 1 4r²32 ₀¹ π6 1 432 1 032 A π6 55 1 Usando os planos dados no enunciado e o cilindro 𝑥2 𝑧2 16 d Ache a área da parte superior da esfera x² y² z² a² x² y² z² a² z 0 parte superior raio r a A área é metade da área de uma esfera de raio a A 12 dA dA a² sinθ dθ dφ 0 φ 2π 0 θ π A 12 ₀²π dφ ₀π sinθ dθ a² A a²2 2π cosπ cos0 2πa²2 2 A 2πa² e Determine a área da superfície da parte da esfera x² y² z² 4 que esta dentro do cilindro x² y² 2x x r cosθ y r sinθ x² y² r² Cilindro x² y² 2x r² 2 r cosθ r 2 cosθ cosφ r2 2 cosθ2 cosθ φ θ π2 θ π2 0 φ θ dA 4 sinφ dφ dθ A 4 π2 to π2 0 to θ sinφ dφ dθ 4 π2 to π2 cosφ₀θ dθ A 4 π2 to π2 cosθ 1 dθ A 4 π2 to π2 cosθ dθ 4 π2 to π2 dθ A 4 sinπ2 sinπ2 4 π2 π2 A 4 2 4 π 4π 8 A 4π 8 a Calcule R x yx y dA onde R é a região compreendida pelas retas x y 0 x y 1 x y 1 x y 3 Mudança de variáveis u x y σ x y 1 u 3 0 σ 1 Somando as duas equações u σ x x y y 2x x uσ2 Subtraindo as duas equações u σ x x y y 2y y uσ2 Jacobians J xu xv 12 12 14 14 12 yu yv 12 12 J 12 12 R xyxy dA 0113 vμ J dμ dv 12 01 v dv 13 duu R xyxy dA 12 v22 01 lnμ 13 12 102 ln3 ln1 R xyxy dA ln34 b Calcule 01 01x xy y2x2 dy dx 2b Substituicão μ yx μ² yx y μ² x y2x2 μ3x2 dy2μ dμ 01 01x xy y2x2 dy dx 01 μ1μ2 u2 μ3x2 2μ dμ dx 2 01 μ1μ2 μ² μ 3x2 dμ dx 2 01 μ6 6xμ4 9x²μ2 μ1μ2 dμ dx 2 01 μ77 6xμ55 9x2μ33 μ1μ2 dx 2 01 xy y37 27xy235 36x2y35 68x335 γ0γ1x dx 01 210x2 84x 136x12 1035 dx 135 210 01 x2 dx 84 01 x dx 136 01 x72 10 01 dx 135 210 x33 84x²2 136 x92 92 10 x01 29 01 01x xyy2x2 dy dx 29 c Calcule 12 1yy yx exy dx dy 2c 1 y 2 1y x y 12 1yy yx exy dx dy Substituicão μ x dμ 12 x12 dx dx2x dμ μ1 1y μ2 y y 1y yx exy dy y μ1μ2 eμyμ 2μ dμ 2 y μ1μ2 eμy dμ 1y yx exy dy 2 y 1y eμyμ1μ2 2 eμ2y eμ1y 2 ey e 12 1yy yx exy dx dy 2 12 ey e dy 2 12 ey dy 2 e 12 dy 2 ey12 2 e y12 2 e² 2 e 2 e 2 e² 4 e 12 1yy yx exy dx dy 2 e² 4 e d Calcule R x² xy y² dA onde R é a região limitada pela elipse x² xy y² 2 Dica Faça as mudanças x 2 u 23 v e y 2 u 23 v 2 d X 2 u 23 v y 2 u 23 v Jacobiano J xu xv 2 23 yu yv 2 23 J 23 23 43 x² xy y² 2u² 23 v² 4uv3 6u² 2v² 3 2u² 2v² 3 4uv3 2u² 23 v² 2u² 2v² 3 2u² 2v² 3 2u² 6v² 3 2 u² v² 2 r² R x² xy y² dA R 2u² 2v² J dudv 2 J R u² v² dudv 83 ₀¹ ₀²π r² r dr dθ 83 ₀²π dθ ₀¹ r³ dr 83 2π r⁴4₀¹ 82π 43 4π 3 a Calcule a integral tripla E x² y² dV onde E é a região que está dentro do cilindro paraboloide x² y² 16 entre os planos z 5 e z 4 3 a dV r dr dθ dz 5 z 4 0 θ 2π x r cosθ x² y² r² y r sinθ 0 r 4 E x² y² dV ₀²π ₀⁴ ₅⁴ r² r dr dθ dz ₀²π dθ ₀⁴ r² dr ₅⁴ dz 2π r³3₀⁴ z⁴₅ 2π3 4³ 0 4 5 2π3 64 9 384 π b Calcule a integral tripla E xex2y2z2 dV onde E é a porção da bola unitária x2 y2 z2 1 que fica no primeiro octante c Encontre o volume da casquinha de sorvete D cortada da esfera sólida ρ 1 e pelo cone Φ π3 d Calcule E xyz dV onde E fica entre as esferas ρ 2 e ρ 4 e acima do cone Φ π3 e Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z x² y² e a esfera x² y² z² 2 X² y² r² z x² y² z² 2 r² z² 2 0 r 1 r² z 2 r² 0 θ 2π dV rdrdθdz V ₀²π₀¹r²2 r² r dz dr dθ ₀²π dθ ₀¹ r2 r² r² dr V 2π ₀¹ r2 r² dr ₀¹ r³ dr r2 r² dr 12 u du 12 u12 du 12 23 u32 u 2 r² du 2r dr rdr du2 ₀¹ r2 r² dr u323 from u₁ to u₂ 2 r²323 from 0 to 1 22 13 V 2π ₀¹ r³ dr 22 13 2πr⁴4 from 0 to 1 22 13 V 2π 14 22 13 82 76 π