Atividade para Prova

Ministério da Educação Universidade Federal do Tocantins Campus Universitário Prof Dr Sérgio Jacintho Leonor Arraias Curso de Licenciatura em Matemática Prof Thiago Rodrigues Cavalcante Realizar as questões motivadoras para a AV01 Questão 1 20 Encontre o volume do sólido cuja base é a região do plano xy que é delimitada pela parábola y 4 x2 e pela reta y 3x enquanto o topo do sólido é delimitado pelo plano z x 4 Questão 2 20 Calcular R x dA onde R é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x2 y2 4 e x2 y2 2x Questão 3 20 Ache o volume do sólido limitado pela superfície z 4 x29 y216 pelos planos x 3 y 2 e pelos planos coordenados Questão 4 20 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro y2 z2 4 e pelos planos reta x 2y x 0 z 0 no primeiro octante Questão 5 20 Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros z x2 y x2 e pelos planos y 4 e z 0 Questão 6 20 Determine o volume do sólido limitado pelo hiperboloide x2 y2 z2 1 e pelo plano z 2 Questão 7 20 Calcule a integral dupla R ex2 y2 dA onde R é a região do plano xy delimitado pelos circunferências x2 y2 4 e x2 y2 9 Questão 8 20 Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos z x y 2 e x y 2 Questão 9 20 Determine a integral dupla integral dupla de fu v v u sobre a região cortada no primeiro quadrante do plano uv pela reta u v 1 Questão 10 20 Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z x2 3y2 e pelos planos x 0 y 1 y x e z 0 Questão 11 20 Ache o volume do sólido limitado pelo cilindro y2 z2 4 e pelos planos x 2y x 0 e z 0 no primeiro octante Questão 12 20 Calcular R x y dA onde R é a região determinada por y x2 1 y 1 x2 x 1 e x 1 Questão 13 20 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos y z x 0 e z 0 no primeiro octante Questão 14 20 Encontre o volume do Prisma cuja base é o triângulo no plano xy delimitado pelo eixo x pelas retas y x e y 1 cujo topo esta o plano y z 3 x Questão 15 20 Determine o volume do sólido dentro da esfera x2 y2 z2 19 e fora do cilindro x2 y2 4 Questão 16 20 Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados pelo cilindro x2 y2 4 e pelo plano z y 3 Questão 17 20 Determine o volume do sólido acima do cone z x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 1 Questão 18 20 Calcular R y2x2 y2 dA onde R é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x2 y2 a2 e x2 y2 b2 com 0 a b Questão 19 20 Determine o volume do sólido delimitado superiormente pelo cilindro z x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y 2 x2 e pela reta y x no plano xy Questão 20 20 Determine o volume do sólido acima do cone z x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 1 Questão 21 20 Calcule a integral dupla R e x2 y2 dA onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x2 y2 a2 e pelos planos coordenados Questão 22 20 Encontre o volume do sólido em forma de cunha que esta abaixo da superfície z 16 x2 y2 e acima da região R delimitada pela curva y 2x a reta y 4x 2 e o eixo x Questão 23 20 Determine JUSTIFICANDO o volume de uma esfera de raio α 0 Questão 24 20 Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide z x2 y2 e inferiormente pela região do plano xy delimitada superiormente pelas retas y x x 0 e x y 2 Questão 25 20 Determine o valor da integral dupla R y dA onde R é a região determinada pelos vértices 10 00 11 e 01 Pontos 1 3 e 4 12 2 Monte a integral dupla V 41 3x4x2 x 4 dy dx 3 Resolva a integral interna 3x4x2 x 4 dy x 44 x2 3x x3 3x2 4x 16 4 Resolva a integral externa 41 x3 3x2 4x 16 dx x44 x3 2x2 16x 41 62512 V 62512 Questão 2 Calcular R x dA onde R é a região no primeiro quadrante entre os círculos x2 y2 4 e x2 y2 2x Resolução 1 Converta para coordenadas polares x2 y2 2x r 2cos θ θ 0 π2 r 2 cos θ 2 2 Monte a integral 0π2 2cosθ2 r2 cos θ dr dθ 3 Resolva passo a passo 2cosθ2 r2 dr r332cosθ2 83 8 cos3 θ3 0π2 83 8 cos3 θ3 cos θ dθ 83 π2 R x dA 83 π2 Resolucao 16 de maio de 2025 Questao 1 Encontre o volume do solido cuja base e a regiao do plano xy delimitada pela parabola y 4 x2 e pela reta y 3x enquanto o topo do solido e delimitado pelo plano z x 4 Resolucao Figura 1 Grafico da regiao 1 Encontre os pontos de intersecao 4 x2 3x x2 3x 4 0 x 3 9 16 2 1 ou 4 1 Questão 3 Ache o volume do sólido limitado por z 4 fracx29 fracy216 pelos planos x3 y2 e pelos planos coordenados Resolução 1 Limites x in 03 y in 02 2 Integral V int03 int02 left4 fracx29 fracy216 right dy dx 3 Resolução passo a passo int02 left4 fracx29 fracy216 right dy frac476 frac2x29 int03 leftfrac476 frac2x29 right dx frac432 V frac432 Questão 4 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro y2 z2 4 e pelos planos x 2y x0 z0 no primeiro octante Resolução 1 Limites y in 02 z in 0 sqrt4y2 x in 0 2y 2 Integral tripla V int02 int0sqrt4y2 int02y dx dz dy 3 Resolução completa int02y dx 2y int0sqrt4y2 2y dz 2y sqrt4y2 int02 2y sqrt4y2 dy frac163 V frac12815 Questão 5 Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros z x2 y x2 e pelos planos y 4 e z 0 Resolução 1 Limites x in 22 y in x24 z in 0 x2 2 Integral tripla Vint22intx24int0x2 dz dy dx 3 Resolução completa int0x2 dz x2 intx24 x2 dy 4x2 x4 int22 4x2 x4 dx frac12815 V frac12815 Questão 6 Determine o volume do sólido limitado pelo hiperboloide x2 y2 z2 1 e pelo plano z 2 Resolução 1 Coordenadas cilíndricas z in sqrt1r22 r in 0 sqrt3 heta in 02pi 2 Integral V int02pi int0sqrt3 intsqrt1r22 r dz dr d heta 3 Resolução intsqrt1r22 dz 2 sqrt1r2 int0sqrt3 r 2 sqrt1r2 dr frac54 int02pi frac54 d heta frac5pi2 V frac5pi2 Questão 7 Calcule iintR ex2y2 dA onde R é a região entre x2 y2 4 e x2 y2 9 Resolução Figura 2 Grafico da região 1 Coordenadas polares r in 23 heta in 0 2pi 2 Integral int02pi int23 er2 r dr d heta 3 Resolução 23 er r dr 12 e9 e4 02π 12 e9 e4 dθ πe9 e4 R ex2y2 dA πe9 e4 Questão 8 Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por z x y 2 e x y 2 Resolução 1 Limites x 0 2 y 0 2 x z 0 xy2 2 Integral V 02 02x x y 2 dy dx 3 Resolução 02x x y 2 dy x22 2x 4 02 x22 2x 4 dx 203 V 203 Questão 9 Determine R v u dA sobre a região no primeiro quadrante cortada por u v 1 Resolução 1 Limites u 01 v 0 1 u 2 Integral 01 01u v u dv du 3 Resolução 01u v u dv 1u22 u1u 01 1u22 u1u du 310 R v u dA 310 Questão 10 Determine o volume do sólido limitado por z x2 3y2 x 0 y 1 y x e z 0 Resolução image with sketch of the region Figura 3 Grafico da região 1 Limites x 0 1 y x 1 2 Integral V 01 x1 x2 3y2 dy dx 3 Resolução x1 x2 3y2 dy x21x 1x3 01 x21x 1x3 dx 710 V 710 Questão 11 Ache o volume do sólido limitado pelo cilindro y2 z2 4 e pelos planos x 2y x 0 e z 0 no primeiro octante Resolução 1 Limites y 0 2 z 0 4y2 x 0 2y 2 Integral V 02 04y2 02y dx dz dy 3 Resolução 02y dx 2y 04y2 2y dz 2y 4 y2 02 2y 4 y2 dy 163 V 163 Questão 12 Calcular R x y dA onde R é a região determinada por y x2 1 y 1 x2 x 1 e x 1 Resolução 1 Limites x 1 1 y 1 x2 x2 1 2 Integral from 1 to 1 from 1 x2 to x2 1 x y dy dx 3 Resolução from 1 x2 to x2 1 x y dy 2xx2 1 from 1 to 1 2xx2 1 dx 83 R x y dA 83 Questão 13 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos y z x 0 e z 0 no primeiro octante Resolução 1 Limites x 0 1 y 0 1 x2 z 0 y 2 Integral V from 0 to 1 from 0 to 1 x2 y dy dx 3 Resolução from 0 to 1 x2 y dy 1 x22 from 0 to 1 1 x22 dx 13 V 13 Questão 14 Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy delimitado pelo eixo x y x e y 1 com topo no plano y z 3 x Resolução Figura 4 Gráfico da região 1 Limites x 0 1 y x 1 2 Integral V from 0 to 1 from x to 1 3 x y dy dx 3 Resolução from x to 1 3 x y dy 52 3x x22 from 0 to 1 52 3x x22 dx 56 V 56 Questão 15 Determine o volume do sólido dentro da esfera x2 y2 z2 19 e fora do cilindro x2 y2 4 Resolução 1 Coordenadas cilíndricas r 2 19 θ 0 2π z 19 r2 19 r2 2 Integral V from 0 to 2π from 2 to 19 2r 19 r2 dr dθ 3 Resolução 2r 19 r2 dr 23 19 r232 De 2 a 19 from 0 to 2π 763 dθ 152π3 V 152π3 Questão 16 Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados pelo cilindro x2 y2 4 e pelo plano z y 3 Resolução 1 Limites x 0 2 y 0 4 x2 z 0 3 y 2 Integral V from 0 to 2 from 0 to 4 x2 3 y dy dx 3 Resolução from 0 to 4 x2 3 y dy 3 4 x2 4 x22 from 0 to 2 3 4 x2 4 x22 dx 6π 163 V 6π 163 Questão 17 Determine o volume do sólido acima do cone zx² y² e abaixo da esfera x² y² z² 1 Resolução 1 Coordenadas esféricas ρ 01 ϕ 0π4 θ 02π 2 Integral V₀²π₀π4₀¹ ρ² sin ϕ dρ dϕ dθ 3 Resolução ₀¹ ρ² dρ 13 ₀π4 sin ϕ dϕ 1 22 ₀²π 13 122 dθ 2π3 122 V π32 2 Questão 18 Calcular R y²x² y² dA onde R está entre x² y² a² e x² y² b² 0 a b no primeiro quadrante Resolução 1 Coordenadas polares r ab θ 0π2 2 Integral ₀π2 ab sin² θ r dr dθ 3 Resolução ab r dr b² a²2 ₀π2 sin² θ dθ π4 b² a²2 π4 π8 b² a² R y²x² y² dA π8b² a² Questão 19 Determine o volume do sólido delimitado superiormente por z x² e inferiormente pela região entre y 2 x² e y x no plano xy Resolução 1 Pontos de interseção 2 x² x x 1 ou x 2 2 Integral V 2¹ x2x² x² dy dx 3 Resolução x2x² x² dy x² 2 x² x 2¹ x² 2 x² x dx 8120 V 8120 Questão 20 Determine o volume do sólido acima do cone zx² y² e abaixo da esfera x² y² z² 1 Resolução 1 Mesma resolução da Questão 17 V π32 2 Questão 21 Calcule R ex² y² dA onde R é a região no primeiro quadrante limitada por x² y² a² Resolução 1 Coordenadas polares r 0a θ 0π2 2 Integral ₀π2 ₀a er² r dr dθ 3 Resolução ₀a er² r dr 1 ea²2 ₀π2 1 ea²2 dθ π4 1 ea² R ex² y² dA π4 1 ea² Questão 22 Encontre o volume do sólido abaixo de z 16 x² y² e acima da região R delimitada por y 2x y 4x 2 e o eixo x Resolução 22 Figura 5 Grafico da região 1 Pontos de interseção 2x4x2 x1 2 Integral V₀¹ ₂x 4x2 16 x² y² dy dx 3 Resolução 16 x² y² dy 16y x²y y³3 Avaliado de 2x a 4x 2 expressão complexa Resultado final 1415 V 1415 Questão 23 Determine o volume de uma esfera de raio α 0 Resolução 1 Coordenadas esféricas ρ 0 α φ 0 π θ 0 2π 2 Integral V ₀2π ₀π ₀α ρ² sin φ dρ dφ dθ 3 Resolução ₀α ρ² dρ α³3 ₀π sin φ dφ 2 ₀2π 2α³3 dθ 4πα³3 V 43 πα³ Questão 24 Encontre o volume delimitado superiormente por z x² y² e inferiormente pela região entre y x x 0 e x y 2 no plano xy Resolução 1 Limites x 0 1 y x 2 x 2 Integral V ₀¹ x2x x² y² dy dx 3 Resolução x2x x² y² dy 143 6x 4x² 4x³3 ₀¹ 143 6x 4x² 4x³3 dx 76 V 76 Questão 25 Calcule R y dA onde R tem vértices 10 00 11 e 01 Resolução 1 Divida em duas regiões R1 x 1 0 y 0 x1 R2 x 0 1 y x 1 2 Integrais 10 0x1 y dy dx 01 x1 y dy dx 3 Resolução Primeira integral 16 Segunda integral 13 Total 12 R y dA 12