Conjuntos Finitos e Infinitos - Teoremas e Corolários

axioma 2 temse 1 sn para todo n logo em particular 1 s1 Supondoa verdadeira para um certo n N vale n sn Como a função s é injetiva daí resulta sn ssn isto é a afirmação é verdadeira para sn No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais a adição que associa a cada par de números mn sua soma m n e a multiplicação que faz corresponder ao par mn seu produto mn Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades que lhes servem de definição m 1 sm m sn sm n isto é m n 1 m n 1 m1 m mn 1 mn m Noutros termos somar 1 a m significa tomar o sucessor de m E se já conhecemos a soma m n também conheceremos m n 1 que é o sucessor de m n Quanto à multiplicação multiplicar por 1 não altera o número E se conhecemos o produto mn conheceremos mn 1 mn m A demonstração da existência das operações e com as propriedades acima bem como sua unicidade se faz por indução Os detalhes serão omitidos aqui O leitor interessado pode consultar o Curso de Análise vol 1 ou as referências 6 Con Cont Um e uma bije temos er dos elem número o númer contager Teorem Dem q1a que g é Teore Demon existe u cumpr e 1 a res é finito númer Supond um conj nada há na real Y é fini Corolá Com subconj e X é fi tal que para to provar Um Corolá Corolá Corn vemos q é limita que X é 3 Cor Di infinite de X X Teorem Demon 6 Conjuntos FInitos e Infinitos Cap 1 Seção 4 Por exemplo o conjunto N dos números naturais é infinito em virtude do Corolário 2 do Teorema 2 Pelo mesmo motivo se k N então o conjunto kN dos múltiplos de k é infinito Teorema 3 Se X é um conjunto infinito então existe uma aplicação injetiva f N X Corolário 2 Seja X um conjunto finito Uma aplicação f X X é injetiva se e somente se é sobrejetiva Demonstração Aqui devemos fazer a prova de dois resultados nesse sentido vamos provar que para dado X um conjunto finito a aplicação f X X injetiva está também é sobrejetiva bem como mostraremos que dada f X X sobrejetiva essa é também injetiva Primeiramente consideremos X um conjunto finito e a aplicação fX X injetiva No entanto X é finito logo por definição existe um conjunto In tal que φ In X é uma bijeçãõ por ser bijeção essa admite inversa a qual é φ¹ X In Dd e para dessas funções vamos estabelecer a composição φ¹ o f o φ a qual é f o φ In X E agora compendo com φ¹ temos ainda que φ¹ o f o φ In In Em suma essa composição permite deslbocarmos o problema da f X X injetiva para a f In In injetiva A partir disso podemos por um conjunto A que é formado pela imagem de f sobre In isto é A fIn e agora tomemos a restrição de f até A temos que f₀ A In essa aplicação por sua vez é bijetiva por construção pois mapécia fIn A em In e assim admite inversa a qual é f₀¹ A In Entretanto f₀ é uma bijeção e logo A não pode ser subconjunto próprio de In pois isso violaria o resultado do Teorema 1 então A deve necessariamente ser In isto é A In Digitalizado com CamScanner E assim obtemos que a f é sobrejetiva pois esta é bijetiva Agora vamos supor que f seja sobrejetiva aqui construiremos um conjunto A In de tal modo que a f seja injetiva e por conseguinte f é uma bijeção Então formemos um conjunto A In escolhendo para cada y de In um elemento x₀ de In que satisfaçam fx y Então dada f X X ou ainda f In In tomamos a restrição f A In logo fx y x A e y In essa construção garante f seja bijetiva de fato buscase elementos de A In e conectamse a In por fx y Então nova mente pelo teorema 1 temos que A não é subconjunto próprio dos In caso fosse a f não seria bijetiva E com isso devemos ter que A In Ou seja a construção feita para cada y In associandose um x A deve ser única de tal forma que então temos a injetividade da f conforme desejado Corolário 3 Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e sua parte própria Demonstração Considere X um conjunto finito e Y X um subconjunto próprio de X Por hipótese X é finito e por definição existe uma bijeção φ In X por ser bijeção essa admite inversa a qual é dada por φ1 X In Como Y X podemos tomar ainda uma restrição de φ1 de X para Y Motivado por isso definimos o conjunto A φ1Y o qual é parte própria de In pois esse conjunto é obtido por φ1φ1Y In o qual não é bijeção com isso vamos definir uma função auxiliar dada por φA A Y essa por sua vez é bijeção pela construção feita a qual mapeia os elementos de φ1Y em Y ou seja φAA φAφ1Y Y Y e temos a bijeção onde I é a função identidade Feita essa construção podemos enfim ater a demonstração desejada para tanto suponhamos por absurdo que exista f Y X bijetiva uma bijeção entre um conjunto X e sua parte própria Y com isso temos as seguintes funções e composições f Y X φ1 X In φA A Y f φA A Y φ1 f φA A In ou seja obtemos a função φ1 f φA A Y que é bijetiva pois composta de bijeção é uma função bijetiva Vc entretanto isso contradiz o resultado do teorema 1 pois A é subconjunto próprio de In e isso mostra que a suposição inicial de que exista a função f Y X bijetiva seja falsa e assim provamos o desejado