Sequências Numéricas - Definições, Teoremas e Exemplos

finito de índices n a saber os índices n f onde n é escolhido em função do raio do intervalo dado Em vez de a lim an escrevese também a lim2 an a limme an ou an a Esta expressão lêse n tende para a ou converge para a Uma sequência que possui limite dizse convergente Caso contrário ela se chama divergente Teorema 1 Unicidade do limite Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos Demonstração Seja lim an a Dado n já podemos tomar c 0 tal que os intervalos abertos I a c a c e J b c b c sejam disjuntos Existe n0 N tal que n n0 implica an I Então para todo n n0 temos an J Logo não é lim an b Teorema 2 Se lim an a então toda subsequência de an converge para o limite a Demonstração Seja an a subsequência Dado qualquer intervalo aberto de centro a existe n1 N tal que todos os termos an com n n1 pertencem a I Em particular todos os termos an com nk n1 também pertencem a I Logo lim ank a Teorema 3 Toda sequência convergente é limitada Demonstração Seja a lim an Tomando c 1 vemos que existe n0 N tal que n n0 an a 1 a 1 Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto finito a as an0 1 as 1 Todos os termos an da sequência estão contidos no intervalo b c logo ela é limitada Exemplo 3 A sequência 2020 cujo nésimo termo é an 1ⁿ é limitada mas não é convergente porque possui duas subsequências constantes 2n1 2 e 2n 0 com limites distintos Exemplo 4 A sequência 123 com an n não converge porque não é limitada Uma sequência zn chamase monótona quando se tem zn zn1 para 32 Sequências de números reais Cap 3 Se lim tn eina Z c a daí lim enzn oo 4 Existe e 0 tal que z ns é para todo n N Dado arbitrariamente e 0 existe n0 N tal que para n n n e c Então n n0 tzn n e c e logo lim2 zn n o As hipóteses feitas nas diversas partes do teorema anterior têm por objetivo evitar algumas das chamadas expressões indeterminadas No item 1 procuramos evitar a expressão oo De fato se lim zn oo e lim lsn oo nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre lim zn ns Este limite pode não existir como no caso em que zn n 1n e ns n pode ser igual a oo se zn 2n e ns n pode ser oo tome zn n e ns 2n ou pode assumir um valor arbitrário e R por exemplo se zn n e ns n Por causa dessa comportamento errático dizse que 00 o é uma expressão indeterminada Nos itens 2 3 e 4 as hipóteses feitas excluem os limites do tipo 0 x oo também evitado no Teorema 7 00 eooo respectivamente os quais constituem expressões indeterminadas no sentido que acabamos de explicar Outros expressões frequentemente encontradas são 00 00 e 0 Os limites mais importantes da Análise quase sempre se apresentam sob a forma de uma expressão indeterminada Por exemplo o número c lim 1 1nn é da forma 1 E como veremos mais adiante a derivada é um limite do tipo 00 Agora uma observação sobre ordem de grandeza Se k N e a é um número real 1 então lim n² nn lim n milno Todas estas sequências têm limite infinito Mas o Exemplo 9 nos diz que para valores muito grandes de n temos n c n onde o símbolo quer dizer é uma fração muito pequena de e em insignificância diante de Por isso dizse que o crescimento exponencial supera o polinomial o crescimento factorial supera o exponencial com base constante mas é superado pelo crescimento exponencial com base crescente Por outro lado o crescimento de nx mesmo quando x 1 supera o crescimento logaritmico como mostraremos agora No Capítulo 11 provaremos a existência de uma função crescente log R R tal que log 2 log a log x e log x x para quaisquer x y R Dai resulta que log x log x e77 2 log V onde log V log 22 Além disso log x log 17 log 1 log 0 onde log 1 0 Como log é crescente temse log 2 log2 todos também log2 2n log 2 portanto lim log2 n oo Como log é crescente seguese lim log 2 oo 33 Exercícios Provaremos agora que lim log in 0 log nx Para todo n N temos log c Como log V log 1 seguese que log n 2 np Dividindo por n resta que 0 log nn 2a7 Fazendo n oo vem lim log nn 0 6 Exercícios Seção 1 Limite de uma sequência 1 Uma sequência zn dizse periódica quando existe p N tal que exp n para todo n N Prove que toda sequência periódica convergente é constante 2 Dadas as sequências zn e yn definida zn sendo Zn1 Zn e Zno pns Se lim Zn sini p prove que lim zn yn p q 3 Se lim Zn a prove que lim zn a 4 Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente prove que a sequência é ela própria convergente 5 Um número a chamase valor de aderência da sequência Zn quando é limite de uma subsequência de Zn Para cada um dos conjuntos A B e C abaixo ache uma sequência que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência A 123 B N C 01 6 A fim de que o número real a seja valor de aderência de Zn é necessário e suficiente que para todo 0 e todo k N dados existam n k tal que a Zn a A 123 7 A fim de que o número real e não seja valor de aderência da sequência Zn é necessário e suficiente que existam mG N e 0 tais que n m0 Zn a e Seção 2 Limites e desigualdades 1 Se lim an a tim bm b e an bm e para todo n N prove que a b e 2 Sejam lim Zn a e lim hn b Sea c b prove que existe no N tal que n n0 Zn c hD 34 Sequências de números reais Cap 3 Seção 5 Exercícios 35 mn 1 0 único número positivo tal que e 1 a c Prove que x0 x xnr 0 xn x3 x1 e que lim xn O O número c pode ser considerado como a soma da fração continuada 1 1 a 1 a 1 a Dado a 8 defina indutivamente a sequência Sn pondo sn Sn 1 c 14 119 Mostre que lim sn c e onde c é como no exercício anterior 7 Defina a sequência an inductivamente pondo an 1 e an1 é a asen 1 an para todo n N Escreva Zn doiosi e prove que lim3n c onde c é único número positivo tal que 1c 1 c O termo en chamase o número místico de Fibonacci e an 1 V52 é o número de ouro da Geometria Clássica Seção 4 Limites infinitos 1 Prove que limn yn oo 2 Se lim 2 e c R prove lim 2V2 Vlogan 0 3 Dados k N e a 0 determine o limite üs us epto Supondo a 0 e a r calcule Para o caso a e ver exercício 9 seção 1 capítulo 11 4 Mostre que lim log n 1 log n 1 5 Sejam zn uma sequência arbitrária e sn uma sequência crescente com unimys oo Supondo que lim 2ni Zn sni sn a prove que limZnsn a Conclua que se lims Zni Zn o então lim Znsn 0 Em particular de lim log 1 1n 0 conclua que lim log nn 0 Seqüências de números reais Neste capítulo será apresentada a noção de limite sob sua forma mais simples o limite de uma seqüência A partir daqui todos os conceitos importantes da Análise de uma forma ou de outra reduzsese à algum tipo de limite 1 Limite de uma seqüência Uma seqüência de números reais é uma função z N R que associa a cada número natural n um número real zn chamado o nésimo termo da seqüência Escrevese z1 z2 zn ou znnen ou simplesmente zn para indicar a seqüência cujo nésimo termo é zn Não se confunda a seqüência zn com o conjunto z1 z2 zn dos seus termos Por exemplo a seqüência 1 1 1 1 1 não é o mesmo que o conjunto 1 Ou então as seqüências 0 1 0 1 0 1 0 1 são diferentes mas o conjunto dos seus termos é o mesmo igual a 01 Uma seqüência zn dizse limitada superiormente respectivamente inferiormente quando existe k R tal que zn respectivamente zn k para todo n N Dizse que a seqüência zn é limitada quando ela é limitada superior e inferiormente Isto equivale a dizer que existe 0 tal que zn k para todo n N Exemplo 1 Se a 1 então a seqüência a a² a³ é limitada inferiormente porém não superiormente Com efeito multiplicando ambos os membros da desigualdade 1 a por a obtemos a a 1 Seguese que a a para todo n N logo a é limitada inferiormente por a Por outro lado temos a 1 d com d 0 Pela desigualdade de Bernoulli para todo n e N vale a 1 nd Portanto dado qualquer c R podemos obter s c desde que tomemos 1 nd c isto é n c 1d Dada uma seqüência z znnen uma subseqüência de z é a restrição da função z a um subconjunto infinito H nh nh nh de N Escrevese z zno zno zno ou znhnh para indicar a subseqüência z z A notação z mostra como uma subseqüência pode ser considerada como uma seqüência isto é uma função cujo domínio é N Lembremos que N N é infinito se e somente se é ilimitado isto é para todo no N existe nh N com nh no Exemplo 2 Dado o número real a 1 formamos a seqüência a Se N c N é o conjunto dos números pares e N c N c N é o conjunto dos números ímpares então a subseqüência a é limitada apenas inferiormente enquanto a subseqüência a é limitada apenas superiormente Dizse que o número real a é limite da seqüência zn quando para todo número real e 0 dado arbitrariamente podese obter nlo N tal que todos os termos z com índice n no cumprem a condição zn a e Escrevese zn a em limn oo Esta importante definição significa que para valores muito grandes de n os termos z tornamse o se mantêm tão próximos de a quanto se deseje Mais precisamente estipulandose uma margem de erro e 0 existe um índice h N tal que todos os termos zn da seqüência com índice n no são valores aproximados de a com erro menor do que e Simbolicamente escrevese a limzn Ve 0 3ne N n no zn a e Acima o símbolo significa que o que vem depois é a definição do que vem antes Y significa para todo ou qualquer que seja d significa existe O pontoevírgula quer dizer tal que e a seta significa implica Convém lembrar que zn a e é o mesmo que e zn a e isto é zn pertence ao intervalo aberto a e a e Assim dizer que a lim zn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a contém todos os termos zn da seqüência salvo para um número