Lista de Exercicios Calculo Diferencial e Integral Questoes Resolvidas

Sejam X x0 x0 e U R² X Defina f U R pondo fxy x² quando x 0 y 0 e fxy 0 quando x 0 ou y 0 Mostre que se tem fy 0 em todos os pontos de U mas f depende de y Seja U Rⁿ aberto Se f U R possui derivadas parciais fxi U R i 1 n limitadas prove que f é contínua Seja f Rⁿ R uma função contínua que possui todas as derivadas direcionais em qualquer ponto de Rⁿ Se fu u 0 para todo u Sⁿ¹ prove que existe a Rⁿ tal que fv a 0 seja qual for v Rⁿ Seja f Rⁿ R diferenciável no ponto 0 Se ftx tfx para todo t 0 e todo x Rⁿ prove que f é linear Conclua que a função φ R² R dada por φxy x³ x² y² se xy 00 e φ00 0 não é diferenciável na origem Seja f I J R de classe C² no retângulo aberto I J R² Se ²fxy é identicamente nula prove que existem φ I R ψ J R de classe C² tais que fxy φx ψy para todo xy I J Use o exercício anterior para provar que se g R R R é de classe C² com ²gx² ²gy² então existem φ R R e ψ R R de classe C² tais que gxy φx y ψx y para todo xy Uma função f U R de classe C² no aberto U Rⁿ chamase harmônica quando i1n ²fxixi x 0 para todo x U Prove que a matriz hessiana de uma função harmônica não pode ser definida nem positiva nem negativa Determine os pontos críticos da função f R² R fxy cosx² y² Idem para gxy x³ y³ x y Prove que todo ponto de mínimo local de uma função convexa é um ponto de mínimo global Além disso o conjunto dos pontos de mínimo é convexo 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 1 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 2 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 3 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 4 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 5 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 6 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 7 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 8 𝑄𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 9