Prova de Análise Matemática - Conjuntos, Funções e Indução

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS CAMPUS DE ARRAIAS Curso de Licenciatura em Matemática 1ª Prova de Análise Prof Dra Gisele Detomazi Almeida Acadêmicoa Questão 1 Sejam X e Y dois conjuntos onde X é finito a Mostre que X Y é finito b Sobre a Card X Y o que pode afirmar Questão 2 Seja X um conjunto finito Mostre que se f X X é injetiva então f é sobrejetiva Questão 3 Mostre que existe uma função f IN IN tal que f é injetiva mas não é sobrejetiva Questão Extra Responda com suas palavras o porquê a questão 3 não contradiz a questão 2 a Questão 4 a Defina o que é um conjunto enumerável e b mostre que o Conjunto dos Números Inteiros é enumerável Questão 5 Prove por indução que 1 2 3 4 n n n 12 1 3 5 7 2n 1 n² 1² 2² 3² n² nn 12n 16 Questão 6 Faça uma dissertação com no mínimo 10 linhas sobre Conjuntos Finitos Escolha 4 entre as questões enumeradas de 1 a 5 A questão 6 é obrigatória Boa prova 1 a VAMOS MOSTRAR QUE X Y X DE FATO SEJA y X Y ENTÃO y X E y Y y X PORTANTO X Y X SENDO X FINITO PODEMOS ESCREVER X x₁ xₖ E DESSE MODO X Y x₁ xⱼ COM j k LOGO X Y É FINITO b PODEMOS AFIRMAR QUE CARD X Y CARD X E CARD X Y CARD Y PELO MESMO ARGUMENTO USADO NO ITEM a VEJA QUE Y PODE SER INFINITO E O RESULTADO TAMBÉM VALE 2 SEJA f X X INJETIVA SENDO X x₁xₖ SUPONHA QUE f NÃO É SOBREJETORA ASSIM y X TAL QUE fxᵢ y i 1 k LOGO A IMAGEM DE f TEM CARDINALIDADE MENOR DO QUE k ASSIM PELO PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS xᵣ xₛ X TAIS QUE xᵣ xₛ E fxᵣ fxₛ CONTRADIÇÃO LOGO f É SOBREJETORA 3 DEFINA f IN IN PONDO fn n 2 ASSIM f0 2 f1 3 CLARAMENTE f É INJETORA POIS n m n 2 m 2 fn fm MAS f NÃO É SOBREJETORA POIS 0 Imf E 1 Imf ISTO É y IN TQ fx y x IN QUESTÃO EXTRA A QUESTÃO 3 NÃO CONTRADIZ A QUESTÃO 2 POIS IN É UM CONJUNTO INFINITO ENUMERÁVEL NÃO SATISFAZENDO AS HIPÓTESES DA QUESTÃO 2 QUESTÃO 4 a UM CONJUNTO X É DITO ENUMERÁVEL SE EXISTE BIJEÇÃO f X IN ISTO É SE X TEM A MESMA CARDINALIDADE DOS NÚMEROS NATURAIS b Seja f N Z dada por fn n2 se n é par n12 se n é ímpar f é injetora Sejam n m N n m Se n é par e m é ímpar fn fm Caso m par e n ímpar é análogo Se m n pares m n m2 n2 fm fn Se m n ímpares m n m1 n1 m12 n12 fm fn Portanto f é injetiva f é sobrejetora Temos f0 0 Se z Z temos dois casos a analisar z 0 tome n 2z 1 N e n ímpar n 2z 1 e veja que fn n12 2z 1 12 2z2 z z 0 tome n 2z Assim fn 2z2 z n N e n par 5 a 123n nn12 PARA n2 123 2212 Suponha que valha para algum n2 Então 123n nn12 123n n1 nn12 n1 nn12 2n12 n2n12 n11n12 b 13572n1 n2 PARA n2 134 22 Suponha que vale para algum n N n2 13572n1 n2 1357 2n1 2n11 n2 2n1 1 n2 2n 2 1 n2 2n 1 n12 c 12 22 n2 nn12n16 Caso n2 1 22 1 4 5 221416 2356 5 Suponha que vale para n2 1 22 32 n2 nn12n16 1 22 32 n2 n12 nn12n16 n12 1 22 32 n2 n12 nn12n1 6n126 n1n2n1 6n16 n12n2 n 6n 66 n12n2 7n 66 n12n3n26 n1n22n36 6 Os conjuntos finitos em sua maioria possuem uma simplicidade não presente em conjuntos infinitos Nos finitos é possível de maneira mais clara determinar e observar certas propriedades tais como a interseção de conjuntos a união a cardinalidade e até mesmo limitantes em alguns casos Estes ainda podem ser utilizados mais facilmente no ensino de matemática nas escolas por não terem em geral o conceito de infinito que muitas vezes pode ser abstrato No entanto mesmo diante de tamanha simplicidade os conjuntos finitos não perdem sua importância De fato citemos como exemplo o conjunto 1 1 que munido com a operação de multiplicação se torna um importante grupo algébrico multiplicativo