Conjuntos Limitados e Extremos Supremos e Infimos - Resumo Teórico

III Um conjunto X c R dizse limitado superiormente quando existe algum b E R tal que x b para todo x c X Neste caso dizse que 16 num cota superior de X Analogamente dizse que o conjunto X c R é limitado inferiormente quando existe a E R tal que a x para todo x c X O número a chamase então uma cota inferior de X Se X é limitado superior e inferiormente dizse que X é um conjunto limitado Isto significa que X está contido em algum intervalo limitado a b ou equivalentemente que existe k 0 tal que x c X x k Seja X c R limitado superiormente e nãovazio Um número R e R chamase supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X Mais explicitamente b é o supremo de X quando cumpre as duas condições Sl Para todo x c X temse x b S2 Se c E R tal que c b para todo x c X então c b A condição S2 admite a seguinte reformulação S2 Se o é então existe x c X com c x Com efeito S2 diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de X As vezes se expiram S2 assim para todo e 0 existe x e X tal que b e x b Escreveremos b sup X para indicar que b é supremo do conjunto X Analogamente se X c R é um conjunto nãovazio limitado inferiormente um número real a chamase o ínfimo do conjunto X e escrevese a inf X quando é a maior das cotas inferiores de X Isto equivale às duas afirmações 11 Para todo x c X temse a x 12 Se c a para todo x c X então c a A condição 12 pode também ser formulada assim 12 Se c a então existe x e X tal que x c De fato 12 diz que nenhum número maior do que a é cota inferior de X Equivalentemente para todo e 0 existe x e X tal que x a e Dizse que um número b e X é o maior elemento ou elemento máximo do conjunto X quando e x para todo x c X Isto quer dizer que é uma cota superior de X pertencente a X Por exemplo b é o elemento máximo do intervalo fechado a b mas o intervalo a b não possui maior elemento Evidentemente se um conjunto X possui elemento máximo este será seu supremo A noção de supremo serve precisamente para substituir a idéia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento não existe O supremo do conjunto ab e b Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação a a b relevantes números irracionais podem ser exibidos explicitamente No Capítulo 3 Exemplo 15 veremos que a funçãoƒ R R dada por fx x2 é sobrejetiva Logo existe um número real positivo indicado por v2 cujo quadrado é igual a 2 Pitágoras e seus discípulos mostraram que o quadrado de nenhum número racional pode ser 2 Com efeito de p2q2 2 resulta p2 2q2 com p q inteiros um absurdo porque o fator primo 2 aparece um número par de vezes na decomposição de p em fatores primos e um número ímpar de vezes em q Corolário Todo intervalo nãodegenerado é nãoenumerável Com efeito todo intervalo não degenerado contém um intervalo aberto uma bijeção basta mostrar que o intervalo aberto 1 1 é nãoenumerável Ora a função uR 11 dada por ux x1 x é uma bijeção cuja inversa é u1y Definida por ny y1 ly pois pux x e pux x para quaisquer y e 1 1 e x e R como se pode verificar facilmente Teorema 6 Todo intervalo nãodegenerado I contém números racionais e irracionais Demonstração Certamente I contém números irracionais pois do contrário seria enumerável Para provar que I contém números racionais tomemos a b c I onde a b podem ser supostos irracionais Fixemos n e N tal que 1n b a Os intervalos Ini mnn m 1n m e Z cobrem a reta isto é R Uml Ini Portanto existe um E Z tal que a E Ini Como e irracional temos mnn a m 1n Sendo o comprimento 1n do intervalo Ini menor do que b a seguese que m 1n b Logo o número racional m 1n pertence ao intervalo ab 6 portanto ao intervalo I 4 Exercícios Seção l R é um corpo 1 Prove as seguintes unicidades a Se z x z para algum z e R então 0 0 b Se zx x para todo x e R então z 1 c Se zx y 0 então y x d Se zx 1 então x é invertível 2 Dados a b c de R se bc 0 e d 0 prove que ab cd ad bcbd abcd acbd 3 Sea y g e de R prove que ab1 a1b1 e conclua que ab ba 4 Prove que 1 x1x x 1 x para todo x e 1 Seção 2 R é um corpo ordenado 04 Se x y e z 0 então y x R e z R logo y xz R ou seja yz xz R o que significa xz yz Se x y e z 0 então y x R e z R donde xz yz y xz R o que significa yz xz Mais geralmente x y e x y implicam x x y y Com efeito y y x x y x y x R Analogamente 0 x y e 0 x y implicam xx yy pois yy xx yy yx yx xx yy x y xx 0 Se 0 x y então y1 x1 Para provar notase primeiro que x 0 x1 xx12 0 Em seguida multiplicando ambos os membros da desigualdade x y por x1y1 vem y1 x1 Seção 3 R é um corpo ordenado completo ε x a δ ou seja x a δ e x a δ Somando a vem x a δ x a δ e x a δ a δ x a δ De modo análogo se vê que x a δ a δ x a δ Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de números reais chamados intervalos a b x R a x b b x R x b a b x R a x b b x R x b a b x R a x b a x R a x a b x R a x b a x R a x R Os quatro intervalos da esquerda são limitados com extremos a b a b é um intervalo fechado a b é aberto a b é fechado à esquerda e a b é fechado à direita Os cinco intervalos à direita são ilimitados b é a semireta esquerda fechada de origem b Os demais têm denominações análogas Quando a b o intervalo fechado a b reduzse a um único elemento e chamase um intervalo degenerado Em termos de intervalos o Teorema 2 diz que x a ε se e somente se x pertence ao intervalo aberto a ε a ε Analogamente x a ε x a ε a ε É muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta a reta real e os números reais como pontos dessa reta Então a relação x y significa que o ponto x está à esquerda de y e y à direita de x os intervalos são segmentos de reta e x y é a distância do ponto x ao ponto y O significado do Teorema 2 é de que o intervalo a δ a δ é formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a Tais interpretações geométricas constituem um valioso auxílio para a compreensão dos conceitos e teoremas da Análise 3 R é um corpo ordenado completo Nada do que foi dito até agora permite distinguir R de Q pois os números racionais também constituem um corpo ordenado Acabaremos agora nossa caracterização de R descrevendoo como um corpo ordenado completo propriedade que Q não tem