Funções Reais de N Variáveis - Pontos Críticos e Formas Quadráticas

Seção 5 Pontos críticos 73 com H22 0 e H22 0 em qualquer bola de centro x existem pontos t tais que fx tu fo e pontos t tais que fx tu fo Portanto f não tem máximo local ponto Seção 6 Funções convexas 75 Portanto 74 Funções Reais de N Variáveis 5 Pontos críticos Uma forma quadrática H Rⁿ R é uma função cujo valor no vetor v α₁ αn é hᵢⱼ αᵢ αⱼ onde hᵢⱼ é uma matriz simétrica n x n O valor da forma quadrática H no vetor v será indicado com a notação H v² Portanto Hv² hᵢⱼ αᵢ αⱼ quando v α₁ αn Se t R então H tv² t² H v² A forma quadrática H chamase nãonegativa quando H v² 0 para todo v Rⁿ positiva quando H v² 0 para todo v 0 em Rⁿ e indefinida quando existem vw Rⁿ tais que H v² 0 e H w² 0 De modo análogo se definem forma quadrática negativa e nãopositiva Quando H é positiva ou negativa dizse que ela é definida Seção 5 Pontos críticos 71 Exemplo 4 A forma quadrática H R² R onde Hv ax² 2bxy cy² x y R é identificada com a matriz simétrica 2x2 A abbc Para todo k R 1 k é um autovetor de A se Ak λk λ é a forma quadrática associada a A A forma quadrática Hxy ax² 2bxy cy² é definida positiva se a 0 e ac b² 0 nãonegativa se a 0 e ac b² 0 Seja H a Rⁿ R uma forma quadrática e hjj as suas entradas H é diferenciável e sua derivada é dado por Portanto H é diferenciável e Dfa h Assim para todo v α₁ αn E Rⁿ temse Hx v² ²fxᵢxⱼ a vᵢ vⱼ A forma hessiana é usada para determinar a natureza dos pontos críticos da função f Dizse que 0 é um ponto de máximo local da função f U R se existe C tal que fx fa para todo x U Ba δ Analogamente existe o ponto de mínimo local Um ponto α de máximo local é chamado localmente diferencial se f é suficientemente diferenciável de efeito Com efeito para todo v Rⁿ lim t0 ft v α fα t² existe e é igual a 12 Hv 0 Portanto se 0 é um pequeno ententemse Hv t² suficiente pequeno Seguese como acima que para todo v suficientemente pequeno ft v α fα tem o mesmo sinal que H v² Assim se H é indefinida Cap 3 Funções Reais de n Variáveis 72 para h não é máximo nem mínimo pois em qualquer disco de centro 0 a 3 e para todo ε 0 existem pontos de U maiores e menores do que 0 00 Teorema 6 Seja U um ponto crítico da função f U R onde U é uma classe a ³ a Se a forma quadrática hessiana Hf por posição então 0 é o ponto de máximo local ponto de mínimo local de f b Se Hf for negativa então 0 é ponto de máximo local c Se Hf for indefinida então 0 não é ponto de máximo nem de mínimo local Demonstração a Por simplicidade escreveremos H em vez de H0 Pelo Teorema 2 e Teorema 3 em uma vizinhança de H a seguir existe um valor mínimo 2 0 no conjunto compacto Sⁿ¹ Outras palavras Como o ε um ponto crítico de f a fórmula de Taylor se resume a fa v fa 12 H v ² ρv² com lim v0 ρvv ² 0 Como vv é um vetor unitário pertencente a Sⁿ¹ temos 12 H v² v²2 c Portanto fa v fa v²2 0 Pelo fato de existir δ 0 tal que a u v U e v δ implicam fv a fa 0 aí funciona 0 t Eu e 0 t Eu Assim a função f tem um ponto local para f 0 v δ isto é 0 é ponto de máximo local para f b Similarmente para o mínimo c Suponha que 0 R temse 0 t v U para todo t suficientemente pequeno Então lembrando que Hv et² temos fa t v fa t² Hv ρt Lá segue com lim t0 ρt 0