Números Irracionais - Definição, Propriedades e Exercícios Resolvidos

Um número real chamase irracional quando não é racional Como o conjunto Q dos números racionais é enumerável resulta do teorema acima que existem números irracionais e mais ainda sendo R Q U R Q os irracionais constituem um conjunto nãoenumerável portanto formam a maioria dos reais porque a reunião de dois conjuntos enumeráveis seria enumerável Evidentemente números irracionais podem ser exibidos explicitamente No Capítulo 3 Exemplo 15 veremos que a função f R R dada por fx x² é sobrejetiva Logo existe um número real positivo indicado por 2 cujo quadrado é igual a 2 Pitágoras e seus discípulos mostraram que o quadrado de nenhum número racional pode ser 2 Com efeito de pq² 2 resulta 2q² p² com p q inteiros um absurdo porque o fator primo 2 aparece um número par de vezes na decomposição de p² em fatores primos e um número ímpar de vezes em 2q² Corolário Todo intervalo nãodegenerado é nãoenumerável Com efeito todo intervalo não degenerado contém um intervalo aberto é uma bijeção basta mostrar que o intervalo aberto 11 é nãoenumerável Ora a função φ R 11 dada por φx x1 x é uma bijeção cuja inversa é ψ 11 R definida por ψy y1 y pois ψφx y e φψx x para quaisquer y 11 e x R como se pode verificar facilmente Teorema 6 Todo intervalo nãodegenerado I contém números racionais e irracionais Demonstração Certamente I contém números irracionais pois do contrário seria enumerável Para provar que I contém números racionais tomamos ab I onde a b podem ser supostos irracionais Fixemos n N tal que 1n b a Os intervalos Im mnm 1n m Z cobrem a reta isto é R U mZ Im Portanto existe m Z tal que a Im Como a é irracional temos mn a m 1n Sendo o comprimento 1n do intervalo Im menor do que b a seguese que m 1n b Logo o número racional m 1n pertence ao intervalo ab e portanto ao intervalo I 4 Exercícios Seção 1 R é um corpo 1 Prove as seguintes unicidades a Se x θ x para algum x R então θ 0 b Se xu x para todo x R então u 1 c Se x y 0 então y x d Se xy 1 então y x1 2 Dados a b c d R se b 0 e d 0 prove que ab cd ad bcbd e abcd acbd 3 Se a 0 e b 0 em R prove que ab1 a1b1 e conclua que ab1 ba 4 Prove que 1 xn11 x 1 x xn para todo x 1 2 Prove que x y x y para quaisquer x y R 3 Dados x y R se x² y² 0 prove que x y 0 4 Prove por indução que 1 xn 1 nx nn 12x² se x 0 5 Para todo x 0 em R prove que 1 x2n 1 2nx 6 Prove que a b ε implica a b ε 7 Use o fato de que o trinômio do segundo grau fλ Σni1 xi λyi² é 0 para todo λ R para provar a desigualdade de CauchySchwarz Σni1 xiyi² Σni1 x²iΣni1 y²i Prove ainda que vale a igualdade se e somente se existe λ tal que xi λyi para todo i 1n ou y1 yn 0 8 Se a1b1 anbn pertencem ao intervalo α β e b1 bn são positivos prove que a1 anb1 bn pertence a α β Nas mesmas condições se t1 tn R prove que t1a1 tn ant1 b1 tn bn também pertence ao intervalo α β Seção 3 R é um corpo ordenado completo 1 Dizse que uma função f X R é limitada superiormente quando sua imagem fX fx x X é um conjunto limitado superiormente Então põese sup f supfx x X Prove que se fg X R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f g X R e temse supfg sup f sup g Dê um exemplo com supfg sup f sup g Enuncie e prove um resultado análogo para inf 2 Dadas as funções fg X R limitadas superiormente prove que o produto fg X R é uma função limitada superior e inferiormente com supfg sup f sup g e inffg inf f inf g Dê exemplos onde se tenha e não 3 Nas condições do exercício anterior mostre que supf² sup f² e inff² inf f² 4 Dados ab R com a² 2 b² tome xy R tais que x 1 x 2 a²2a 1 e y b³ 22b Prove que a x² 2 b y² e b y 0 Em seguida considere o conjunto limitado X a R a² 2 e conclua que o número real c sup X cumpre c² 2 R é um corpo ordenado completo Nada do que foi dito até agora permite distinguir R de Q pois os números racionais também constituem um corpo ordenado Acabaremos agora nossa caracterização de R descrevendoo como um corpo ordenado completo propriedade que Q não tem Um conjunto X R dizse limitado superiormente quando existe algum b R tal que x b para todo x X Neste caso dizse que b é uma cota superior de X Analogamente dizse que o conjunto X R é limitado inferiormente quando existe a R tal que a x para todo x X O número a chamase então uma cota inferior de X Se X é limitado superior e inferiormente dizse que X é um conjunto limitado Isto significa que X está contido em algum intervalo limitado ab ou equivalentemente que existe k 0 tal que x X x k Seja X R limitado superiormente e nãovazio Um número b R chamase o supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X Mais explicitamente b é o supremo de X quando cumple as duas condições S1 Para todo x X temse x b S2 Se c R tal que x c para todo x X então b c A condição S2 admite a seguinte reformulação S2 Se c b então existe x X com c x Com efeito S2 diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de X Às vezes se exprime S2 assim para todo ε 0 existe x X tal que b ε x Escreveremos b sup X para indicar que b é o supremo do conjunto X Analogamente se X R é um conjunto nãovazio limitado inferiormente um número real a chamase o ínfimo do conjunto X e escrevese a inf X quando é a maior das cotas inferiores de X Isto equivale às duas afirmações I1 Para todo x X temse a x I2 Se c x para todo x X então c a A condição I2 pode também ser formulada assim I2 Se a c então existe x X tal que x c De fato I2 diz que nenhum número maior do que a é cota inferior de X Equivalentemente para todo ε 0 existe x X tal que x a ε Dizse que um número b X é o maior elemento ou elemento máximo do conjunto X quando b x para todo x X Isto quer dizer que b é uma cota superior de X pertencente a X Por exemplo b é o elemento máximo do intervalo fechado ab mas o intervalo ab não possui maior elemento Evidentemente se um conjunto X possui elemento máximo este será seu supremo A noção de supremo serve precisamente para substituir a idéia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento não existe O supremo do conjunto ab é b Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação ao ínfimo A afirmacão de que o corpo ordenado R é completo significa que todo conjunto nãovazio limitado superiormente X R possui supremo b sup X R Não é necessário estipular também que todo conjunto nãovazio limitado inferiormente X R possui ínfimo Com efeito neste caso o conjunto Y x x X é não vazio limitado superiormente logo possui um supremo b R E como se vê sem dificult do número a b é o ínfimo de Y Em seguida veremos algumas consequências da completeza de R noção de supremo serve precisamente para substituir a idéia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento não existe O supremo do conjunto a b é b Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação ao ínfimo A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo conjunto nãovazio limitado superiormente X R possui supremo b sup X R Não é necessário estipular também que todo conjunto nãovazio limitado inferiormente X R possui ínfimo Com efeito neste caso o conjunto Y x x X é não vazio limitado superiormente logo possui um supremo b R Então como se vê sem dificuldade o número a b é o ínfimo de Y Em seguida veremos algumas consequências da completude de R Teorema 3 i O conjunto N R dos números naturais não é limitado superiormente ii O ínfimo do conjunto X 1n n N é igual a 0 iii Dados a b R existe n N tal que na b Demonstração Se N R fosse limitado superiormente existiria c sup N Então c 1 não seria cota superior de N isto é existiria n N com c 1 n Daí resultaria c n 1 logo c não seria cota superior de N Esta contradição prova i Quanto a ii 0 é evidentemente uma cota inferior de X Basta então provar que nenhum c 0 é cota inferior de X Ora dado c 0 existe por i um número natural n 1c onde 1n c o que prova ii Finalmente dados a b R usamos ii para obter n N tal que n ba Então na b o que demonstra iii As propriedades i ii e iii do teorema acima são equivalentes e significam que R é um corpo arquimediano Na realidade iii é devida ao matemático grego Eudoxo que viveu alguns séculos antes de Arquímedes Teorema 4 Intervalos encaixados Dada uma sequência decrescente I1 I2 In de intervalos limitados e fechados In an bn existe pelo menos um número real c tal que c In para todo n N Demonstração As inclusões In In1 significam que a1 a2 an bn b2 b1 O conjunto A a1 a2 an é portanto limitado superiormente Seja c sup A Evidentemente an c para todo n N Além disso como cada bn é cota superior de A temos c bn para todo n N Portanto c In qualquer que seja n N Um número real chamase irracional quando não é racional Como o