Exercícios Resolvidos: Corpo Ordenado Completo, Funções Limitadas e Enumerabilidade

vos prove que a1 anb1 bn pertence a a b Nas mesmas condições se f1 f2 fn R prove que t1a1 tnan t1b1 tnbn também pertence ao intervalo a β Seção 3 R é um corpo ordenado completo 1 Dizse que uma função f X R é limitada superiormente quando sua imagem fX fx x X é um conjunto limitado superiormente Então põese supf supfx x X Prove que se f g X R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f g X R e temse supf g sup fsup g Dê um exemplo com supf g sup f sup g Enuncie e prove um resultado análogo para inf 2 Dadas as funções f g X R limitadas superiormente prove que o produto fg X R é uma função limitada superior e inferiormente com supfg sup fsu pg e inffg inf finf g Dê exemplos onde se tenha e não 3 Nas condições do exercício anterior mostre que supf2 sup f2 e inff2 inf f2 4 Dados a b R com a2 2 b2 tome x y R tais que a 1 x 2 a22a 1 e y b2 22b Prove que ta 22 2 x b y2 e b y 0 Em seguida considere o conjunto limitado X a R a2 2 e conclua que o número real c sup X cumpre c2 2 43 Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável Um número real chamase algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável Um número real chamase transcendente quando não é algébrico Prove que existem números transcendentos 6 Prove que um conjunto I R é um intervalo se e somente se a x b u h e I x I 1 Dizse que uma função f X IR é limitada superiormente quando sua imagem fx fx x X é um conjunto limitado superiormente Então põese supf sup fx x XT Prove que se f g X IR são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f g x IR e temse supf g supf sup g Demonstração Sejam f g x IR funções limitadas superiormente Então os conjuntos fx fx x XT gx gx x XT são limitadas superiormente Além disso temos sup f sup fx x XT e sup g sup gx x XT Para mostrar que a função f g x IR é limitada superiormente precisamos mostrar que o conjunto f gx f gx x XT é limitado superior mente e supf g sup ff gx x xτ sup fx gx x xτ Para isso basta encontrar uma cota superior do conjunto f gx fx gx x xτ Temos x x fx sup f e x x gx sup g Logo sup f sup g fx gx xx f gx xx ou seja supf g sup f sup g Portanto f g x ℝ é uma Função limitada superiormente o Dê um exemplo de supf g sup f sup g Solução sejam fℝ ℝ e gℝ ℝ x sen x x sen x Temos f g ℝ ℝ definido por f gx fx gx sen x sen x 0 x ℝ ou seja f g é a função nula Ainda temos sup f 1 sup g 1 e supf g 0 1 1 sup f sup g Logo supf g sup f sup g Enuncie e prove um resultado análogo para inf Solucao Uma função f X R é limitada inferiormente quando sua imagem fX fx x X e um conjunto limitado inferiormente Então póese inf f inf fx x X Se f g X IR são limitados inferiormente o mesmo ocorre com a soma f g X IR e temse inf f g inf f inf g De fato sejam f g X IR funções limitados inferiormente Então fX fx x X e gX gx x X são conjuntos limitados inferiormente E inf f inf fx x X e inf g inf gx x X Para mostrar que f g X IR é limitada inferiormente isto é que o conjunto f gX f gx x X é limitado inferiormente e inff g inf f gx x X inf fx gx x X Temos x X fx inf f e x X gx inf g Logo inf f inf g fx gx x X f gx x X donde podemos concluir que inf f inf g inf f g Portanto f g X IR é limitada inferiormente Exemplo de inf f g inf f inf g Solucao Sejam f IR IR e g IR IR x sen x x sen x A função f g IR IR é dada por f gx fx gx sen x sen x 0 x IR f g é a função nula Além disso inf f 1 inf g 1 e inf f g 0 1 1 inf f inf g Logo inf f g inf f inf g 6 Um conjunto I R é um intervalo se e somente se a x b a b I x I Demonstração Seja I R um intervalo Suponha α inf I e β sup I por convenção α respectivamente β se I for ilimitado inferiormente respectivamente superiormente Então basta mostrar que α β I Se x α β então α x β pois α e β são ínfimo e supremo Pela definição de sup e inf existem a b I tal que α a x b β Portanto x I Suponha a x b onde a b e I Logo x I e por definição I R é um intervalo