Exercícios Resolvidos Analise Real - Limites Continuidade e Sequencias

Analise real Exercício 1 Assuma que f é contínua em um intervalo contendo zero e diferenciável para todo x 0 Se lim x 0 fx L mostre que f0 existe e é igual a L Exercício 2 Se f é contínua em ab mostre que as funções definidas por Fx c to x ftdt e Gx d to x ftdt para qualquer escolha de c e d em ab sempre diferem por uma constante e mostre também que Fx Gx c to d ftdt Exercício 3 Seja f uma função real definida no intervalo ab Mostre que se fr 0 para cada número irracional r ab então fx 0 para todo x ab Exercício 4 Sejam aₙ e bₙ séries de termos positivos está última convergente Suponhamos que exista N tal que n N aₙ₁aₙ bₙ₁bₙ Prove que aₙ converge Exercício 5 Prove que se lim aₙ e lim bₙ L com L 0 então lim aₙbₙ Podemos provar usando limites laterais Se o limite lim 𝑥0 𝑓𝑥 existe isso significa que os limites laterais no mesmo ponto existem e são iguais Usando a definição de derivada 𝑓0 lim ℎ0 𝑓0 ℎ 𝑓0 ℎ 0 𝐿 lim ℎ0 𝑓0 ℎ 𝑓0 ℎ 0 𝑓0 Então 𝑓0 lim ℎ0 𝑓0 ℎ 𝑓0 ℎ 0 𝐿 Pela definição de integral podemos escrever 𝐹𝑥 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝐹𝑥 𝐹𝑐 𝐺𝑥 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑑 𝐹𝑥 𝐹𝑑 Assim 𝐹𝑥 𝐺𝑥 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑑 𝐹𝑥 𝐹𝑐 𝐹𝑥 𝐹𝑑 𝐹𝑥 𝐺𝑥 𝐹𝑐 𝐹𝑑 𝐹𝑑 𝐹𝑐 𝐹𝑥 𝐺𝑥 𝐹𝑑 𝐹𝑐 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑑 𝑐 𝑓 é uma função contínua e tem valores reais no intervalo 𝑎 𝑏 Também sabemos que 𝑓𝑟 0 𝑥 𝑄 𝑎 𝑏 Supomos 𝑥 𝑄 irracional então existe uma sequência de números racionais 𝑥𝑛 tal que essa sequência converge para 𝑥 1 Seguindo a condição do enunciado 𝑓𝑥𝑛 0 para todo 𝑛 𝑁 Isso implica que 𝑓𝑥𝑛 converge para zero 2 Mas como 𝑓 é contínua no intervalo 𝑎 𝑏 a sequência 𝑥𝑛 converge para 𝑥 e usando o critério de continuidade para a sequência 𝑓𝑥 converge para 𝑓𝑥 Usando as 2 ideias acima concluímos que 𝑓𝑥 0 se 𝑥 𝑄 é irracional no intervalo 𝑎 𝑏 que era o que queríamos provar Sejam 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 sequências onde 𝑎𝑛 𝑏𝑛 0 para todo n Para um n suficientemente grande 𝑏𝑛1 𝑏𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 N é um natural Então se a série 𝑎𝑛 𝑛1 converge Pelo teste da razão de DAlembert 𝑎𝑛 𝑛1 converge se lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 1 Então lim 𝑛 𝑏𝑛1 𝑏𝑛 lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 1 Logo 𝑏𝑛 𝑛1 converge Podemos usar a ideia d que o limite de um produto é igual ao produto dos limites dos elementos desse produto lim𝑎𝑛𝑏𝑛 lim𝑎𝑛lim𝑏𝑛 lim𝑎𝑛𝑏𝑛 𝐿 Como supõese que L é um número finito maior que zero lim𝑎𝑛𝑏𝑛