Analise Real I - Notas de Aula UFTM

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Notas de aula não revisadas de Análise Real I Rafael Peixoto O material que aqui se encontra são notas de aula para a disciplina de Análise Real I do curso de Matemática da UFTM Todo seu conteúdo é baseado nos livros e arquivos citados na bibliografia 1 Números Reais 11 Conjuntos Nesta seção recordaremos algumas definições sobre conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos aos quais estes objetos serão chamados de elementos Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A usaremos a notação x A Se o elemento x não pertencer a A denotaremos por x A Um conjunto A fica caracterizado quando se dá a ele uma regra P que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A isto é A x x satisfaz P Exemplo 11 1 A x x é um triângulo 2 A x x é uma letra do alfabeto 3 Conjunto dos Números Naturais ℕ 1 2 3 4 5 n 4 Conjunto dos Números Inteiros ℤ n 2 1 0 1 2 n 5 Conjunto dos Números Racionais ℚ ab a b ℤ b 0 Um conjunto e dito vazio e denotado pelo sımbolo se este nao possuir nenhum elemento Dados os conjuntos A e B dizemos que A e um subconjunto de B quando todo elemento de A e tambem elemento de B a qual sera denotado por A B relacao de inclusao Diremos que A nao esta contido em B e denotaremos por A B se existir um elemento em A que nao pertence a B E usual denotar que o conjunto vazio e um subconjunto de qualquer conjunto A pois se o conjunto vazio nao estiver contido em A entao significa que existe um elemento x tal que x A o que e uma contradicao pois nao existe x A relacao de inclusao e uma relacao de ordem isto e Reflexiva A A para qualquer conjunto A Antisimetrica se A B e B A entao A B isto e A e B possuem os mesmos elementos Transitiva se A B e B C entao A C Vejamos agora algumas operacoes com conjuntos 1 Uniao A B e o conjunto formado por todos os elementos de A e B A B x x A ou x B 2 Intersecao A B e o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B A B x x A e x B 3 Diferenca AB ou A B e conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas nao pertencem a B AB x x A e x B Para o caso em que B A a diferenca AB e chamada de complementar de B em relacao a A e e denotado por AB Bc 4 Produto cartesiano A B e o conjunto formado por todos os elementos pares ordenados a b onde a A e b B A B a b a A e b B 2 12 Funcoes Definicao 12 Sejam A e B dois conjuntos Uma funcao f e uma lei que associa cada elemento x de A um unico elemento fx em B O conjunto A e chamado de domınio da funcao f A Df x A fx B O unico elemento fx de B e o valor de f em x e o conjunto B e chamado de contradomınio de f A imagem de f e conjunto de todos os valores possıveis de fx em B quando x varia por todo domınio A Imf fx B x A B O conjunto formado por todos os pares ordenados x y AB onde x varia no domınio A de f denotado por Gf x y A B y fx A B e chamado de grafico da funcao f Seja f A B uma funcao Dado Λ A chamase imagem direta de Λ segundo f e 3 indicado por fΛ o seguinte subconjunto de B fΛ fx x Λ isto e fΛ e o conjunto das imagens por f dos elementos de Λ Quando Λ A denotamos fA Imf Similarmente dado Ω B chamase imagem inversa de Ω segundo f e indicase por f 1Ω o seguinte subconjunto de A f 1Ω x A fx Ω isto e f 1Ω e o conjunto dos elementos de A que tem imagem em Ω atraves de f Seja f A B uma funcao Dizemos que a funcao f e injetora se dados quaisquer a b A tais que fa fb entao a b ou se dado quaisquer a b A tais que a b entao fa fb Dizemos que a funcao f e sobrejetora se para qualquer y B existe x A tal que fx y Neste caso Imf B Dizemos que a funcao f e bijetora se f for injetora e sobrejetora Exercıcio 13 Verifique se as seguintes funcoes sao injetoras sobrejetoras e bijetoras e determine as imagens direta e inversa dos conjuntos 1 3 5 e 1 9 25 1 f Z Z fx 3x 2 f Z Z fx x2 3 f Z Z fx x Sejam f A B e g B C duas funcoes Definimos a funcao composta gf A C por g fx gfx para todo x A 4 Observacao 14 Se f A B e g B C duas funcoes bijetoras entao a funcao composta tambem e bijetora Exercıcio Dado f A B uma funcao dizemos que uma funcao g B A e funcao inversa de f se gfx x para todo x A e fgy y para todo y B Nos casos em que a funcao inversa g exista e usual denotar g f 1 nestes caso dizemos que f e invertıvel Teorema 15 Seja f A B uma funcao Entao f e invertıvel se e somente se f e bijetora Demonstracao Suponha que f seja invertıvel entao existe g B A tal que gfx x para todo x A e fgy y para todo y B Mostremos que f e bijetora Sejam a b A tais que fa fb Entao aplicando a g temos que gfa gfb isto e a gfa gfb b Portanto f e injetora Agora seja y B entao gy A Assim tomando x gy A temos que fx fgy y e portanto f e sobrejetora Logo f e bijetora Agora suponha que f e bijetora Precisamos determinar uma funcao g B A tal que gfx x para todo x A e fgy y para todo y B Dado y B como f e bijetora existe um unico x A tal que fx y Assim defina a funcao g B A tal que gy x Entao fgy fx y para todo y B 5 Falta mostrar que gfx x para todo x A De fato seja x A e suponha que gfx u A entao aplicando a f temos fgfx fu e logo da definicao de g temos fx fu e como f e injetora segue que x u Logo gfx x para todo x A Portanto f e invertıvel 13 Conjuntos finitos infinitos e enumeraveis Definicao 16 Dados um conjunto A ele e dito finito se e vazio ou se existe uma bijecao entre o conjunto A e um subconjunto B 1 2 3 n N para algum n N Caso A nao seja finito dizemos que que ele e infinito Exemplo 17 1 Os conjuntos 1 2 3 1000 Z5 0 1 2 3 4 sao conjuntos finitos 2 Os conjuntos N Z Q e R sao conjuntos infinitos Definicao 18 Um conjunto A e dito ser enumeravel se A e finito ou se existe uma bijecao entre N e A ou seja se existir uma funcao bijetora f N A N 1 2 3 4 f A fN f1 a1 f2 a2 f3 a3 Quando um conjunto A e enumeravel e comum denotar A a1 a2 a3 Exemplo 19 1 O conjunto 1 2 3 1000 e enumeravel pois e finito 2 O conjunto dos numeros naturais N e enumeravel pois basta tomar a bijecao como sendo a funcao identidade I N N com In n 3 O conjunto dos numeros naturais pares A 2 4 6 8 2n e enumeravel pois basta tomar a bijecao f N A dada por fn 2n 4 O conjunto dos inteiros Z e enumeravel Neste caso basta tomar a funcao f N Z definida por f1 0 f2n n f2n 1 n para n 1 2 3 5 Todo subconjunto A N e enumeravel 6 De fato se A for finito por definicao A e enumeravel Assim suponha que A e infinito Como A N e A temos do Princıpio da boa ordenacao PBO que A possui um menor elemento que denotaremos por a1 Seja A1 Aa1 Como A1 N e A1 temos do PBO que A1 possui um menor elemento que denotaremos por a2 Continuando esse processo obteremos que A a1 a2 e daı basta definir f N A por fn an Da construcao de A temos que f e sobrejetora e se i j da construcao temos que ai aj ou seja fi fj e portanto f e injetora concluindo assim que f e bijetora Logo A e enumeravel Teorema 110 Todo subconjunto de um conjunto enumeravel e tambem enumeravel Demonstracao Seja B um subconjunto de um conjunto enumeravel A Se B for finito por definicao B e enumeravel Assim suponha que B nao e finito Considere a aplicacao de inclusao i B A dada por ix x para todo x B Como A e enumeravel existe uma bijecao f N A Seja f 1 A N a funcao inversa de f e considere a composicao f 1i B N Observe que f 1i e injetora pois para x y B se f 1ix f 1iy entao f 1ix f 1iy e logo f 1x f 1y e como f 1 e injetora temos que x y Agora se f 1 i for sobrejetora temos que f 1 i e bijetora e a funcao inversa de f 1 i e a bijecao procurada Caso contrario se f 1 i nao for sobrejetora sobre N temos que f 1 i e sobrejetora de B sobre sua imagem f 1 iB ou seja f 1 i e bijetora de B em f 1 iB Como e um subconjunto infinito de N pois f 1 i e injetora temos do exemplo 195 que f 1 iB e enumeravel Logo existe uma bijecao g N f 1 iB Assim a composicao f 1 i1 g N B e uma bijecao pois a composicao de funcoes bijetoras e bijetora Exercıcio N g f 1 iB f1i1 B Logo B e enumeravel Proposicao 111 Se A e B sao conjuntos enumeraveis entao A B e enumeravel Demonstracao Suponha que A B pois caso contrario trocamos B pelo conjunto B BA Sendo A e B enumeraveis podemos denotar A a1 a2 a3 e B b1 b2 b3 7 Assim considere a função h ℕ A B definida por hn ak se n 2k bk se n 2k 1 para k ℕ Desta forma temos que h é uma função bijetora Portanto A B é enumerável Corolário 112 Se A₁ A₂ A₃ são conjuntos enumeráveis então i1 to Aᵢ A₁ A₂ A₃ é enumerável Demonstração Segue por indução da proposição anterior Exercício Vamos mostrar agora que o conjunto dos números racionais ℚ é enumerável mas que o conjunto do números reais ℝ não é enumerável Lema 113 O conjunto ℚ pq p q ℕ é enumerável Demonstração Considere a tabela abaixo 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 Seja A o conjunto formado pelos elementos ordenados da tabela anterior desconsiderando as frações repetidas isto é A 11 12 21 31 13 14 Considere a função f ℕ A definida por fn nésimo elemento de A Da forma como f foi construída temos que f é bijetora Logo A é enumerável Como ℚ A do Teorema 110 temos que ℚ é enumerável Lema 114 Se A e um subconjunto enumeravel de R entao o conjunto A tambem e enu meravel Demonstracao De fato como A e enumeravel existe uma bijacao f N A Entao defina a funcao g N A como sendo gn fn Entao como f e bijetora segue que g tambem e bijetora Logo A e enumeravel Proposicao 115 Q e enumeravel Demonstracao Observe que Q Q Q 0 onde Q x Q x 0 e Q x Q x 0 Do lema 113 Q e enumeravel e do lema 114 Q Q tambem e enumeravel Como 0 e um conjunto finito enumeravel segue entao do corolario 112 que Q Q Q 0 e enumeravel Teorema 116 R nao e enumeravel Demonstracao Metodo diagonal de Cantor Basta mostrar que o conjunto 0 1 nao e enumeravel Suponha por absurdo que 0 1 seja e enumeravel Entao podemos denotar 0 1 x1 x2 x3 cujos elementos podem ser representados por x1 0 a11a12a13 x2 0 a21a22a23 x3 0 a31a32a33 onde os aij sao algarismos de 0 a 9 Agora considere o numero real b 0 b1b2b3 onde bi e um algarismo diferente de aii e de 9 para todo i N Entao b 0 1 Logo existe um numero xj 0 1 tal que b xj 0 aj1aj2aj3 o que e uma contradicao pois por construcao bj ajj Logo 0 1 nao e enumeravel e consequentemente R nao e enumeravel Corolario 117 RQ nao e enumeravel Demonstracao Suponha por absurdo que RQ e enumeravel Entao como R Q RQ e Q e enumeravel segue da proposicao 111 que R e enumeravel Contradicao 9 14 Corpos ordenados Vimos no curso de Estruturas Algébricas que um corpo é um conjunto K não vazio onde estão definidas duas operações K K K K K K ab a b ab a b e denominadas respectivamente por adição e multiplicação e que satisfazem as seguintes propriedades A1 a b c a b c para todo abc K A2 a b b a para todo ab K A3 Existe 0 K tal que a 0 a 0 a para todo a K A4 Para todo a K existe um único a K tal que a a 0 a a M1 a b c a b c para todo abc K M2 a b b a para todo ab K M3 Existe 1 K tal que a 1 a a 1 para todo a K M4 Dados a K a 0 existe a¹ K tal que a a¹ 1 D a b c a b a c a b c a c b c para todo abc K Exemplo 118 Os conjuntos ℕ e ℤ não são corpos Já os conjuntos ℚ e ℝ são corpos Definição 119 Um corpo ordenado é um corpo K no qual existe um subconjunto P de K que satisfaz as seguintes propriedades 1 Se xy P então x y P e x y P 2 Dado x K exatamente uma das três propriedades abaixo se verifica x P ou x P ou x 0 O conjunto P é chamado conjunto dos elementos positivos Assim se indicarmos com P o conjunto dos elementos x onde x P temos que K P P 0 sendo P P e 0 dois a dois disjuntos Os elementos de P chamase negativos Exemplo 120 1 Q e um corpo ordenado onde P x Q x 0 De forma analoga R e um corpo ordenado 2 O corpo Z2 0 1 nao e ordenado pois 1 1 0 enquanto num corpo ordenado 1 deve ser positivo e a soma 1 1 deveria ser positiva 3 Num corpo ordenado se a 0 entao a2 P pois sendo a 0 temos que a P ou a P Em ambos os casos temos a2 a a P ou a2 a a P Definicao 121 Se K e um corpo ordenado podemos definir uma ordem estrita entre seus elementos do seguinte modo dados x y K x y se e somente se y x P Em particular x 0 significa que x P ou seja que x e positivo enquanto x 0 quer dizer que x P ou que x e negativo Propriedades 122 Seja K um corpo ordenado Dados x y z K temos 1 x y ou x y ou x y Tricotomia 2 Se x y e y z entao x z transitividade 3 Se x y entao x z y z para todo z K 4 Se x y e z 0 entao xz yz 5 Se x y e z 0 entao xz yz 6 Se x 0 entao 1 x 0 7 Se 0 x y entao 0 1 y 1 x Demonstracao 1 Dados x y K como K e ordenado temos que y x P ou y x 0 ou y x P isto e x y ou y x ou x y 2 Se x y e y z entao y x P e z y P Logo z y y x P ou seja z x P o que implica que x z 3 Dado z K se x y temos que y x P mas y z x z y x P entao 11 x z y z 4 Se x y e z 0 então y x P e z P logo zy zx zy x P o que implica que zx zy 5 Se x y e z 0 então y x P e z P logo zx zy zy x P e portanto zx zy 6 Se x 0 então x P Como 1x K temos da definição de corpo ordenado que 1x P ou 1x P ou 1x 0 Se 1x 0 então 1 x 1x x 0 0 contradição Se 1x P então 1 x 1x P e logo 1 0 contradição Logo 1x P isto é 1x 0 7 Se Se 0 x y então y x P e xy P logo 1xy P e portanto 1x 1y y x 1xy P isto é 1x 1y Exercício 123 Seja K um corpo ordenado Dados x y z t K mostre que 1 Se x y então y x 2 Se x y e z t então x z y t 3 Se 0 x y e 0 z t então xz yt 4 Se x 0 e y 0 então xy 0 5 Se x 0 e y 0 então xy 0 6 Se x 0 e y 0 então xy 0 Definição 124 Sejam K um corpo ordenado e x y K Dizemos que x y se x y ou x y ou ainda se y x P 0 Observação 125 O é uma relação de ordem total em K isto é 1 x x para todo x K Reflexiva 2 Se x y e y x então x y Antisimétrica 3 Se x y e y z então x z Transitiva 4 Dados x y K então ou x y ou y x Exercício Demonstrar as propriedades acima Observação 126 Em um corpo ordenado K podemos supor de modo natural as inclusões N Z Q K Pois indiquemos como o símbolo 1 o elemento unidade de K e defina a função f N K dada por f1 1 f2 1 1 fn 1 1 n vezes Temos que f é uma bijeção de N sobre sua imagem direta fN N em K Desta forma podemos identificar o conjunto dos naturais N com N e assim podemos supor que N K e que 1 1 Assim dado qualquer n N K como n K e 0 n n K temos então que Z K Agora dados x y Z com y 0 como y1 K pois K é corpo temos que o conjunto dos elementos da forma x y1 xy K onde x y Z e y 0 Portanto Q K Observação 127 Todo corpo ordenado K é denso no sentido que dados quaisquer dois elementos a b K tais que a b existe c K tal que a c b De fato se a b então a a a b b b Logo 2a a b 2b que é equivalente a a a b2 b Assim basta tomar c a b2 Em particular o conjunto dos números Q é um corpo ordenado denso Se representarmos geometricamente um corpo ordenado como pontos de uma reta a observação acima faz parecer que cada ponto da reta está associado a um número racional Mas isto é falso pois suponha que x seja o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1 e que x esteja associado a um número racional pq Sem perda de generalidade podemos supor p e q inteiros primos entre si Então pq2 x2 12 12 2 Temos então que p2 2q2 o que resulta que p2 é par e consequentemente p é par ou seja p 2k k Z Logo 2k2 2q2 4k2 2q2 q2 2k2 Portanto q2 também é par e consequentemente q é par absurdo pois p e q foram tomados primos entre si Logo x não está associado a um número racional Note que a prova acima mostra que 2 é irracional Dado isto procederemos agora no sentido de determinar um corpo ordenado mais amplo que o corpo dos racionais e cujos elementos estejam em bijeção com os pontos de uma reta O corpo ordenado que resolve esta questão é o corpo dos números reais Definicao 128 Seja K um corpo ordenado e A um subconjunto de K Um elemento x K e chamado de cota superior de A quando para todo a A temse que a x Quando A possui uma cota superior dizemos que A e limitado superiormente Analogamente Definicao 129 Seja K um corpo ordenado e A um subconjunto de K Um elemento x K e chamado de cota inferior de A quando para todo a A temse que x a Quando A possui uma cota inferior dizemos que A e limitado inferiormente Definicao 130 Seja K um corpo ordenado Um subconjunto de A de K e dito limitado quando A for limitado inferiormente e limitado superiormente em K isto e para todo x A existem a b K tais que a x b Exemplo 131 Considere o corpo ordenado Q dos numeros racionais Entao o conjunto dos numeros naturais N e limitado inferiormente pois x 0 e cota inferior de N Mas N nao e limitado superiormente pois dado qualquer numero racional p q temos que p 1 N e p 1 p q Ja o conjunto dos numeros inteiros Z nao e limitado inferiormente e nem superiormente em Q Definicao 132 Seja K um corpo ordenado e A um subconjunto limitado superiormente de K Um elemento x K e chamado supremo de A e denotamos por x sup A se x e a menor das cotas superiores de A em K Em outras palavras x K e o supremo de A se 1 x for cota superior de A e 2 Se b K for uma cota superior de A entao x b Exemplo 133 Considere o corpo ordenado Q e o subconjunto A x Q 0 x 1 Entao sup A 1 De fato observe que 1 e cota superior de A pois para todo x A temos que x 1 Assim suponha que b Q tambem seja uma cota superior de A mas que b 1 Como Q e denso temos que b 1 2 Q e b b 1 2 1 isto e b 1 2 A o que e uma contradicao pois b e uma cota superior de A Logo sup A 1 Observe que 2 tambem e uma cota superior para A mas nao e o supremo de A 14 Definição 134 Seja K um corpo ordenado e A um subconjunto limitado inferiormente de K Um elemento x K é chamado ínfimo de A e denotamos por x inf A se x é a maior das cotas inferiores de A em K Em outras palavras x K é o ínfimo de A se 1 x for cota inferior de A e 2 Se c K for uma cota inferior de A então c x Exemplo 135 Considere o corpo ordenado Q e o subconjunto A x Q 0 x 1 Então inf A 0 De fato observe que 0 é uma cota inferior de A Assim suponha que b Q também seja uma cota inferior de A tal que 0 b 1 Então b2 Q e 0 b2 b e ainda b2 A o que é uma contradição pois b é uma cota inferior de A Logo inf A 0 Observe que sup A 1 A e inf A 0 A Exemplo 136 Considere o corpo ordenado Q e o subconjunto A 12n Q n N Então inf A 0 e sup A 12 De fato observe que 12 A e 12n 12 para todo n 1 Logo 12 é o maior elemento de A e portanto sup A 12 Por outro lado temos que 12n 0 para todo n N e portanto 0 é uma cota inferior de A Mostremos então que inf A 0 Suponha que existe uma cota inferior c Q de A tal que c 0 Então podemos encontrar n N tal que n 1 1c pois N é ilimitado superiormente em Q Como 2k 1 k para todo k N Exercício por indução temos então que 0 1c n 1 2n e logo c 12n contradizendo o fato de c ser uma cota inferior de A Portanto inf A 0 Exemplo 137 Considere os conjuntos A x Q x 0 e x2 2 e B x Q x 0 e x2 2 Temos que A é limitado superiormente pois 2 é uma cota superior de A e B é limitado inferiormente pois 0 é uma cota inferior Mas A não possui supremo em Q e B não possui ínfimo em Q ver5 exemplo 13 pag78 Pois se existisse a sup A então teríamos que ter a2 2 mas nenhum número racional satisfaz esta propriedade De forma análoga se existisse b inf B então teríamos que ter que b2 2 e não há elementos em Q com esta propriedade 15 Numeros Reais Definicao 138 Um corpo ordenado K e dito ser completo quando todo subconjunto nao vazio limitado superiormente A K possui um supremo em K Resulta desta definicao que num corpo ordenado completo K todo conjunto nao vazio limitado inferiormente B K possui umınfimo De fato pois dado B limitado inferiormente em K tomando A B x x B entao A e nao vazio e limitado superiormente Logo existe a sup A e logo a inf B Assim adotaremos agora o axioma fundamental da analise matematica Existe um corpo ordenado completo R chamado o corpo dos numeros reais Por R ser um corpo ordenado completo e Q R temos que os conjunto A e B definido no exemplo 137 sao subconjuntos de R e portanto existe em R um numero positivo a tal que a2 2 Este numero e representado pelo sımbolo 2 Aos elementos do conjunto RQ chamaremos de numeros irracionais Veremos agora que os numeros racionais e os numeros irracionais se encontram espalhados por toda parte entre os numeros reais Definicao 139 Dado um corpo ordenado K dizemos que K e arquimediano se dados a b K com a 0 existe n N tal que n a b Proposicao 140 Seja K e um corpo ordenado Entao K e arquimediano se e somente se N K e ilimitado superiormente Demonstracao Suponha que K e um corpo ordenado arquimediano Entao dado b K como 1 0 existe n N tal que n 1 b Assim nenhum elemento positivo de K pode ser cota superior de N Logo N K e ilimitado superiormente Agora suponha N K e ilimitado superiormente Dados a 0 e b K como N e ilimitado existe n N tal que b a n e portanto n a b Logo K e arquimediano Exemplo 141 Q e arquimediano 16 Exemplo 142 Se K e um corpo ordenado arquimediano entao dado qualquer a K com a 0 existe n N tal que 0 1 n a De fato pois como 1 K a 0 e K e arquimediano entao existe n N tal que na 1 Logo 0 1 n a Teorema 143 R e arquimediano Demonstracao Suponha por absurdo que N seja limitado superiormente em R Entao existe a sup N R Assim temos para todo n N que n a Temos tambem que n 1 a para todo n N Logo n a 1 para todo n N isto e a 1 e cota superior de N que e menor que a sup N contradicao Definicao 144 Um subconjunto A de R chamase denso se dados quaisquer dois elementos a b R tais que a b existe c A tal que a c b Teorema 145 Os conjuntos Q e RQ sao densos em R Demonstracao Mostremos primeiro que Q e denso em R Sejam a b R tais que a b Como ba 0 existe p N tal que 0 1 p ba Assim seja A m Z m p b Como R e arquimediano A e um conjunto nao vazio de numeros inteiros limitado inferiormente por b p Seja m0 A o menor elemento de A PBO Entao b m0 p Mas como m0 1 m0 entao da definicao de m0 temos que m0 1 p b Mostremos que a m0 1 p b Suponha que m0 1 p a b Como b m0 p temos m0 1 p a b m0 p Disto temos que b a m0 p m0 1 p 1 p contradicao Logo a m0 1 p b e como m0 1 p Q segue que Q e denso em R Mostremos agora que RQ e denso em R Sejam a b R tais que a b Como b a 0 existe p N tal que 0 1 p b a 2 ou seja 2 p b a Considere o conjunto B m Z m 2 p b Como R e arquimediano B e um conjunto nao vazio de numeros inteiros limitado inferiormente por b p 2 Seja m0 B o menor elemento de B PBO Entao de forma semelhante ao realizado anteriormente temos que a m0 1 2 p b e como m0 1 2 p RQ segue que RQ e denso em R 17 2 Sequencias e Series de Numeros Reais 21 Intervalos Sejam a e b dois numeros reais com a b Um intervalo em R e um subconjunto de R que possui uma das seguintes formas Intervalo aberto a b x R a x b Intervalo fechado a b x R a x b Intervalos semiabertos ou semifechados 1 a b x R a x b 2 a b x R a x b Introduzindo os sımbolos e podemos considerar os seguintes intervalos 1 b x R x b 2 b x R x b 3 a x R x a 4 a x R x a 5 R Intervalo degenerado a a consiste em um unico ponto a 22 Valor Absoluto Definicao 21 Seja x R Definimos o modulo ou valor absoluto de x por x x se x 0 x se x 0 Observe que x 0 para todo x R Note tambem que x2 x2 para todo x R Logo segue que x x2 para todo x R 18 Proposição 22 Sejam x y r ℝ com r 0 Então 1 x r r x r 2 x r x r ou x r 3 x y x y 4 x x e x x 5 x y x y 6 x y x y Demonstração 1 Temos que x r x² r² x² r² x² r² 0 x r x r 0 Analisando a inequação x r x r 0 temos que esta ocorre somente nos casos x r 0 e x r 0 x r e x r absurdo pois r 0 x r 0 e x r 0 x r e x r Logo x r x r x r 0 r x r 2 Temos que x r x² r² x² r² x² r² 0 x r x r 0 Analisando a inequação x r x r 0 temos x r 0 e x r 0 x r e x r x r ou x r 0 e x r 0 x r e x r x r x r x r x r 0 x r ou x r 3 Observe que x y² x y² x² y² x² y² Como x y 0 x 0 e y 0 temos que x y x² y² x y 19 4 Basta observar que x maxx x 5 Se x y 0 então x y x y x y Se x y 0 então x y x y x y x y 6 Temos de 5 que x x y y x y y x y x y Exercício 23 Mostre que x y x y para todo x y R 23 Sequências Numéricas Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida a₁ a₂ a₃ a₄ aₙ O número a₁ é chamado primeiro termo a₂ é o segundo termo e em geral aₙ é o nésimo termo Trataremos exclusivamente de sequências infinitas de modo que cada termo aₙ terá um sucessor aₙ₁ Observe que para cada inteiro positivo n existe um número correspondente aₙ e dessa forma uma sequência pode ser definida da seguinte maneira Definição 24 Uma sequência de números reais é uma função definida no conjunto dos números naturais e tomando valores no conjunto dos números reais isto é a ℕ ℝ n an aₙ Geralmente escrevemos aₙ em vez da notação de função an para o valor da função no número n Notação Escrevese a₁ a₂ aₙ ou aₙₙℕ ou simplesmente aₙ para indicar a sequência cujo nésimo termo é aₙ 20 Exemplo 25 1 Sendo aₙ n n 1 temos a sequência 12 23 34 45 nn 1 2 Sendo aₙ n 3 n 3 temos a sequência 0 1 2 3 n 3 3 Sendo aₙ 6 temos a sequência constante 6 6 6 6 6 4 Ache uma fórmula para o termo geral aₙ da sequência 35 425 5125 6625 73125 supondo que o padrão dos primeiros termos continue Temos que a₁ 35 a₂ 425 a₃ 5125 a₄ 6625 a₅ 73125 Observe que os numeradores dessas frações começam com 3 e são incrementados por 1 à medida que avançamos para o próximo termo O segundo termo tem numerador 4 o terceiro numerador 5 generalizando o nésimo termo terá numerador n 2 Os denominadores são potências de 5 logo aₙ tem denominador 5ⁿ Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo assim precisamos multiplicar por uma potência de 1 Neste exemplo queremos começar com um termo positivo e assim usamos 1ⁿ¹ ou 1ⁿ¹ Portanto uma fórmula para o termo geral aₙ é aₙ 1ⁿ¹ n 2 5ⁿ 5 A sequência de Fibonacci fₙ é definida recursivamente pelas condições f₁ 1 f₂ 1 fₙ fₙ₁ fₙ₂ n 3 Cada termo é a soma dos dois termos precedentes Os primeiros termos são 1 1 2 3 5 8 13 21 Exercício 26 Encontre uma fórmula para o termo geral aₙ da sequência 21 14 29 316 425 supondo que o padrão dos primeiros termos continue Observação 27 Note que como uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais a N R n an an seu gráfico consiste em pontos isolados Por exemplo no exemplo 25 1 vimos que a sequência dada tem termo geral an nn1 Então seu gráfico é dado por Observe que os termos da sequência an nn1 estão se aproximando de 1 a medida que n cresce Isso motiva a seguinte definição Definição 28 Seja an uma sequencia e L um número real a Dizemos que a sequência an tem limite L R e escrevemos lim n an L ou lim n an L ou ainda an L quando n se para cada número real ϵ 0 existir N N tal que se n N então an L ϵ Neste caso dizemos que a sequência converge para L ou que a sequência é convergente b Se a sequência an não tem limite em R dizemos que a sequência an diverge ou que a sequência é divergente Antes de fazermos alguns exemplos verifiquemos que se uma sequência converge então ela não pode ter dois limites distintos Teorema 29 Unicidade do limite O limite de uma sequência se existir é único isto é se lim an a e lim an b então a b Demonstração Suponha por absurdo que a b Tomando ϵ a b2 0 temos que como lim an a existe N0 N tal que se n N0 então an a ϵ De forma análoga como lim an b segue que existe N1 N tal que se n N1 então an b ϵ Observe que a b a an an b an a an b Então se n maxN0 N1 teremos an a ϵ e an b ϵ e portanto a b a an an b an a an b ϵ ϵ 2ϵ a b Absurdo Logo a b Exemplo 210 1 A sequencia an cujo termo geral é an 1n converge para 0 zero De fato dado ϵ 0 queremos encontrar N N tal que se n N então 1n 0 ϵ Observe que 1n 0 ϵ 1n ϵ n 1ϵ Assim tomando N o menor natural tal que N 1ϵ temos pela equivalência acima que se n N então 1n 0 1n 1N ϵ Logo lim 1n 0 2 A sequencia an cujo termo geral é an nn1 converge para 1 De fato dado ϵ 0 queremos encontrar N N tal que se n N então nn1 1 ϵ Observe que nn1 1 nn1n1 1n1 1n1 Assim nn1 1 ϵ 1n1 ϵ 1ϵ n 1 1ϵ 1 n Assim tomando tomando N o menor natural tal que N 1ϵ 1 temos pela equivalência acima que se n N então nn1 1 1n1 1N1 ϵ Logo lim nn1 1 3 A sequência de termo geral an 1n é convergente ou divergente Se escrevermos os termos da sequência obteremos 1 1 1 1 1 1 1 Como os termos da sequencia oscilam entre 1 e 1 infinitamente an não se aproxima de número algum Então lim n 1n não existe Portanto esta sequência é divergente De fato se tomarmos n 2k com k N então an 1n 1 enquanto se tomarmos n 2k 1 com k N então an 1n 1 Mas como o limite é único então segue lim1n não existe Definição 211 Uma sequência an é dita ser limitada superiormente quando existe b R tal que an b para todo n N isto é an b para todo n N Analogamente uma sequência an é dita ser limitada inferiormente quando existe c R tal que c an para todo n N ou seja an c para todo n N Uma sequência an é dita ser limitada se for limitada inferiormente e superiormente isto é se existe M 0 tal que an M para todo n N Quando a sequência não é limitada dizemos que ela é ilimitada Exemplo 212 1 A sequência an 1n é limitada pois para todo n N an 1 2 A sequencia an senn é limitada pois para todo n N senn 1 3 A sequência de termo geral an 12n é limitada pois 0 12n 12 para todo n 4 A sequência an n é limitada inferiormente an 0 mas não é limitada superiormente 5 A sequência an nn1 é limitada pois 0 an 1 para todo n Definição 213 Uma sequência an é dita ser a crescente se a1 a2 an an1 b decrescente se a1 a2 an an1 c nãodecrescente se a1 a2 an an1 d nãocrescente se a1 a2 an an1 Dizse que a sequência é monótona se ela satisfaz qualquer uma das condições acima Exemplo 214 1A sequência de termo geral an 1n é decrescente pois 1 12 13 De modo geral 1n1 1n para todo n 2 A sequência de termo geral an n3 é crescente pois n3 n13 para todo n 3 A sequência 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 é nãodecrescente 4 A sequência an 1n 1 1 1 1 não é monótona 5 A sequência de termo geral an nn21 é decrescente Mostremos que an1 an para todo n isto é n1n121 nn21 n N Temos que n1n121 nn21 n1n21 nn121 n3 n2 n 1 n3 2n2 2n 1 n2 n Como n 1 sabemos que n2 n 1 é verdadeiro Portanto an1 an para todo n N e assim an é decrescente Teorema 215 Toda sequência convergente é limitada Demonstração Seja a lim an Então tomando ε 1 temos que existe um N N tal que se n N então an a 1 Assim para n N temos an an a a an a a 1 a 25 Logo tomando M maxa1 a2 aN 1 a temos que an M para todo n N Portanto an é limitada Note que a recíproca deste resultado é falsa pois a sequência 1n é limitada por 1 mas não é convergente Teorema 216 Toda sequência monótona limitada é convergente Demonstração Seja an a1 a2 an uma sequencia nãodecrescente e limitada Tomemos a supan n N Mostremos que lim an a De fato dado ε 0 como a ε a o número a ε não é uma cota superior do conjunto dos an Logo existe algum N N tal que a ε aN Assim como an é nãodecrescente temos que para todo n N a ε aN an Como an a para todo n N então se n N temos a ε an a ε an a ε Portanto lim an a De forma análoga se an é uma sequência nãocrescente e limitada então tomando b infan n N temos que lim an b Exemplo 217 Considere a sequência an 12n Observe que esta sequência é decrescente Vimos no exemplo 136 que ela é limitada com inf12n n N 0 e sup12n n N 12 Então do teorema anterior temos que an é convergente e lim 12n 0 Definição 218 Dada uma sequência de números reais a an uma subsequência é a restrição da função a a um subconjunto infinito N n1 n2 n3 nj de N ou seja uma subsequencia de an é uma subsequência do tipo a anj onde n1 n2 n3 nj Exemplo 219 1 1 1 1 1 1 é uma subsequência de an 1n 2 a2n 2n é uma subsequencia de an n 3 12nnN é uma subsequência de 1nnN Teorema 220 Se uma sequência an converge para a então toda sua subsequencia anj também converge para a 26 Demonstracao Como lim an a entao dado ϵ 0 existe N N tal que se n N entao an a ϵ Seja anj uma subsequencia de an Entao como n1 n2 nj existe um ındice k N tal que nk N Assim para todo j k temos que nj nk N e portanto anj a ϵ Logo lim anj a Observacao 221 Observe que se uma subsequencia anj de an e convergente isto nao im plica que a sequencia an seja convergente Por exemplo 1 1 1 1 1 e uma subsequˆencia de an 1n que converge para 1 mas a sequˆencia an 1n diverge Exercıcio 222 Seja an uma sequˆencia monotona que possui uma subsequˆencia que con verge para c R Mostre que an tambem converge para c 231 Propriedades de sequˆencias Teorema 223 Sejam an e bn duas sequencias convergentes com limites a e b respecti vamente e k R Entao 1 an bn e convergente e liman bn lim an lim bn a b 2 k an e convergente e limk an k lim an ka 3 an bn e convergente e liman bn lim an lim bn ab 4 se b 0 an bn e convergente e lim an bn lim an lim bn a b Demonstracao 1 Dado ϵ 0 queremos encontrar N N tal que se n N entao an bn a b ϵ Como lim an a entao para ϵ 0 existe N0 N tal que se n N0 entao an a ϵ 2 De forma analoga como lim bn b temos que existe N1 N tal que se n N1 entao bn b ϵ 2 Assim tomando N maxN0 N1 se n N entao N N0 e n N1 e logo an bn a b an a bn b an a bn b ϵ 2 ϵ 2 ϵ Portanto liman bn a b 27 2 Dado ε 0 queremos encontrar N N tal que se n N então kan ka ε Se k 0 segue de imediato a proposição Se k 0 como lim an a então para ε 0 existe N N tal que se n N então an a εk Então para n N temos kan ka kan a kan a k εk ε Logo limk an ka 3 Dado ε 0 queremos encontrar N N tal que se n N então anbn ab ε Observe que anbn ab anbn abn abn ab an abn abn b an abn abn b Como bn é convergente então bn é limitada ver Teorema 215 e portanto existem M 0 tal que bn M para todo n N Temos também que como lim an a então para ε 0 existe N0 N tal que se n N0 então an a ε2M De forma análoga como lim bn b temos que existe N1 N tal que se n N1 então bn b ε2a Assim tomando N maxN0 N1 se n N então N N0 e n N1 e logo anbn ab an abn abn b an aM abn b M ε2M aε2a ε Logo lim anbn ab 4 Para mostrar que anbn é convergente basta mostrar que 1bn converge para 1b e depois utilizar a propriedade 3 para anbn an 1bn Seja ε 0 queremos encontrar N N tal que se n N então 1bn 1b ε Observe que 1bn 1b b bnbnb bn b 1bnb Como lim bn b dado ε b2 0 existe N1 N tal que se n N1 então bn b ε Agora observe que para n N1 temos b b bn bn bn b bn b2 bn b2 bn para todo n N1 Então para n N1 temos 2b 1bn Novamente para b2ε2 0 como lim bn b então existe N2 N tal que se n N2 então bn b b2ε2 Assim tomando n maxN1 N2 se 28 n N então N N1 e n N2 e logo 1bn 1b bn b 1bn 1b b2 ϵ2 1b 1b ϵ Então lim 1bn 1b Da propriedade 3 temos então que lim anbn lim an 1bn lim an lim 1bn a 1b ab Proposição 224 Se an é uma sequência que converge para a então a sequência an também é convergente e converge para a isto é lim an lim an Demonstração Segue imediatamente da definição de convergência e do exercício 23 Exercício A recíproca deste resultado é falsa exceto quando a 0 Pois tomando a sequência 1n temos que esta é divergente mas 1n 1 1 1 1 que é convergente Exercício 225 Se lim an 0 então lim an 0 Exemplo 226 A sequencia de termo geral an 1nn é convergente pois observe que an 1nn 1n Assim lim an lim 1n 0 e portanto pelo exercício anterior lim an lim 1nn 0 Proposicao 227 Se an e bn forem duas sequencias convergentes e an bn para todo n k para algum k N entao lim an lim bn Demonstracao Suponha que lim an a e lim bn b Suponha por absurdo que a b Considere ϵ a b 2 Como lim an a existe um N0 N tal que se n N0 entao ana ϵ isto e an a ϵ a ϵ Por outro lado lim bn b logo existe N1 N tal que se n N1 entao bn b ϵ ou seja bn b ϵ b ϵ Assim para N maxN0 N1 k temos que se n N entao bn b ϵ a b 2 a ϵ an contradicao Logo a b Teorema 228 Teorema do Confronto Considere as sequˆencias an bn e cn Se an bn cn para n n0 e lim an lim cn L entao lim bn L Demonstracao Seja ϵ 0 Queremos encontrar N N tal que se n N entao bn L ϵ Como lim an L existe N0 N tal que se n N0 entao an L ϵ ou seja an L ϵ L ϵ e como lim cn L existe N1 N tal que se n N1 entao cn L ϵ ou seja cn L ϵ L ϵ Entao tomando N maxN0 N1 n0 temos que se n N temos L ϵ an bn cn L ϵ bn L ϵ Portanto lim bn L Exemplo 229 Considere a sequencia de termo geral an sen n n Como 1 sen n 1 para todo n N temos que 1 n sen n n 1 n Mas como lim 1 n lim 1 n 0 pelo teorema do confronto segue que lim sen n n 0 30 Portanto an é convergente Teorema 230 Se lim an 0 e bn é uma sequência limitada então lim an bn 0 independente de lim bn existir ou não Demonstração Como bn é limitada existe M R M 0 tal que bn M para todo n N Dado ϵ 0 como lim an 0 existe N N tal que an 0 ϵM Então para n N temos que an bn 0 anbn ϵM M ϵ Logo lim an bn 0 Exemplo 231 Temos que lim 1n 2n 0 De fato observe que lim 1n 0 e que 0 12n 12 Como 1n 2n 1n12n segue do teorema anterior que lim 1n 2n 0 232 Limites infinitos Definição 232 Dizemos que uma sequência an diverge ou tende para e escrevemos lim an se para cada número real M 0 existe N N tal que se n N então an M Definição 233 Dizemos que uma sequência an diverge ou tende para e escrevemos lim an se para cada número real M 0 existe N N tal que se n N então an M Exemplo 234 1 lim n De fato dado M 0 tomando N N tal que N M temos que se n N então n M 2 lim2n 5 De fato dado M 0 queremos determinar N N tal que se n N então 2n 5 M Observe que 2n 5 M n M 52 Assim basta tomar N N tal que N M 52 pois se n N então 2n 5 2N 5 2 M 52 5 M 3 A sequência 1n n não tem limite e nem pois é ilimitada nos dois sentidos Proposição 235 1 lim an liman 2 Se lim an então lim 1an 0 3 Se lim an 0 e an 0 para todo n N então lim 1an 4 Se lim an 0 e an 0 para todo n N então lim 1an 5 Se bn é uma sequência limitada e lim an então liman bn 6 Se lim an e existe c 0 tal que bn c para todo n N então lim an bn 7 Se an bn para todo n N e lim an então lim bn Demonstração 1 Segue diretamente da definição 2 Suponha que lim an Dado ϵ 0 queremos encontrar N N tal que se n N então 1an 0 ϵ Como lim an para M 1ϵ 0 temos que existe N0 N tal que se n N0 então an 1ϵ isto é 1an ϵ Assim tomando N N0 temos se n N então 1an 0 1an ϵ Portanto lim 1an 0 A demonstração é análoga para o caso lim an exercício 3 Seja M 0 dado Queremos encontrar N N tal que se n N então 1an M Observe que 1an M an 1M Como lim an 0 tomando ϵ 1M 0 existe N N tal que se n N então an 0 ϵ Como an 0 para todo n N temos que an 0 ϵ an ϵ 1an 1ϵ M Portanto lim 1an 4 Segue de forma análoga ao caso anterior exercício 5 Seja M 0 dado Suponha que lim an e mostremos que liman bn Como bn e uma sequˆencia limitada existe c R tal que c bn para todo n N Como lim an existe N N tal que se n N entao an M c Entao para todo n N temos que an bn M c c M Portanto liman bn O outro caso segue de forma analoga exercıcio 6 Seja M 0 dado Como lim an existe N N tal que se n N entao an Mc Como bn c para todo n N temos para n N que anbn M c c M 7 Seja M 0 dado Como lim an existe N N tal que se n N entao an M Como an bn para todo n N entao para n N temos que bn an M Logo lim bn Exemplo 236 1 Como lim n entao limn e lim 1 n 0 2 A sequˆencia an n 1 2n diverge para pois lim n e 0 1 2n 1 n N 3 lim n2 pois lim n e n n2 n N Exercıcio 237 Sejam an e bn sequˆencias de numeros positivos Se an e limitada e lim bn mostre que lim an bn 0 233 Estudo de algumas sequˆencias Daremos destaque nesta secao a algumas sequˆencias Exemplo 238 Vamos investigar a sequˆencia an para a R 1 caso a 1 Como a 1 entao existe r R com r 0 tal que a 1 r Entao do Teorema do Binˆomio de Newton segue que an 1 rn 1 nr para todo n N Como lim1 nr segue da Proposicao 235 7 que lim an 2 caso a 1 Neste caso a sequˆencia an 1 1 1 1 1 que converge para 1 3 caso 0 a 1 Como 0 a 1 considere a 1 a 1 entao do 1 caso temos que liman isto e lim 1 an Entao da Proposicao 235 2 temos que lim an lim 1 1an 0 33 4 caso a 0 Neste caso a sequência an 0 0 0 que converge para 0 5 caso 1 a 0 Como 1 a 0 então 0 a 1 e do caso anterior temos que lim an 0 e portanto lim a n 0 Logo do exercício 225 temos que lim an 0 6 caso a 1 Neste caso an 1n 1 11 1 a qual diverge 7 caso a 1 Quando a 1 então os valores da sequência an alternam de sinal de acordo com a paridade de n e como lim a n temos que an é ilimitada e portanto divergente Exemplo 239 Vamos investigar a sequência n a para a R com a 0 1 caso a 0 Neste caso n a 0 0 0 que converge para 0 2 caso a 1 Neste caso n a 1 1 1 que converge para 1 3 caso a 1 Supondo a 1 temos que n a 1 e logo podemos escrever n a 1 rn onde rn 0 e varia a cada n Então elevando a n a expressão n a 1 rn do Teorema do Binômio de Newton temos a 1 rnn 1 nrn Daí obtenmos que 0 rn a 1n Como lim a 1n 0 segue do Teorema do confronto que lim rn 0 Portanto lim n a lim1 rn 1 ou seja a sequência n a converge para 1 4 caso 0 a 1 Como a 1 temos 1a 1 e logo 1n a n 1a 1 Do caso anterior temos que lim 1n a 1 o que implica que lim n a 1 Exemplo 240 Vamos investigar a sequência n n Observe que para n 1 temos que n n 1 e logo podemos escrever n n 1 bn onde bn 0 Então elevando a n a expressão n n 1 bn do Teorema do Binômio de Newton temos n 1 bnn 1 nbn nn 12 b2n bnn nn 12 b2n Logo 0 b2n 2n 1 para n 1 e consequentemente 0 bn 2n 1 Como lim 2n 1 0 então lim 2n 1 0 e do Teorema do confronto temos que lim bn 0 Logo lim n n lim1 bn 1 isto é a sequência n n converge para 1 Exemplo 241 Vejamos outras sequencias an 1 a a2 an 1 an11 a para todo n N e a R com 0 a 1 Note que an é convergente pois como 0 a 1 então do exemplo 238 3 caso temos lim an lim 1 an11 a 11 a Como an é crescente pois an1 an an1 temos então que 0 an 11 a para todo n N bn 1 11 12 1n com n N Observe que bn é crescente pois bn1 bn 1n 1 Além disso ela é limitada pois bn 1 11 12 1n 1 1 12 122 12n 3 Como bn é monótona e limitada segue que ela é convergente cn 1 1nn com n N Observe que cn é uma sequência de termos positivos Do Teorema do Binômio de Newton temos cn 1 1nn n 0 n 1 1n n 2 1n2 n n1 1nn1 n n 1nn 1 n 1n nn12 1n2 nn1 2 1n 1nn 1 1 12 1 1n 13 1 1n1 2n 1n 1 1n 1 n 1n 1 1 12 1n bn 3 Logo 0 cn bn 3 para todo n N isto é cn é limitada Além disso como cada uma das parcelas de cn cresce com n e também o número de parcelas também cresce com n segue que cn é crescente Portanto a sequência cn é convergente Neste caso ambas as sequências bn e cn convergem para o número e 234 Teorema de BolzanoWeierstrass Vimos no Teorema 220 que se uma sequência converge para um certo limite então qualquer subsequencia desta sequência também converge para o mesmo limite Mostraremos agora que toda sequencia limitada possui uma subsequência convergente Mas antes vejamos alguns resultados e conceitos necessários para a sua demonstração Teorema 242 Teorema dos Intervalos Encaixados TIE Consideremos uma famılia de intervalos encaixados isto e intervalos In an bn n 1 2 3 tais que I1 I2 I3 In Entao existe pelo menos um numero c pertencendo a todos os intervals In isto e c I1 I2 In Se alem disso o comprimento do nesimo intervalo In bn an tender a zero entao I1 I2 In c Demonstracao Da famılia do intervalos In obtemos duas sequˆencias an e bn tais que an e naodecrescente e bn e naocrescente Alem disso temos que a1 a2 an bn b2 b1 Assim temos que an e bn sao sequˆencias limitadas e portanto do Teorema 216 segue que ambas as sequˆencias sao convergentes Seja A supan lim an e B infbn lim bn Entao an A B bn para todo n N o que implica que A B In para todo n N Se A B entao A B I1 I2 In e se A B como e o caso em que bn an 0 entao basta tomar c A B Definicao 243 Um numero real c e chamado de valor de aderˆencia ou ponto de acu mulacao de uma sequˆencia an se an possui uma subsequˆencia que converge para c Exemplo 244 1 0 e um valor de aderˆencia da sequˆencia an 1 n 2 A sequˆencia 1n tem dois valores de aderˆencia que sao 1 e 1 3 A sequˆencia an n nao possui valore de aderˆencia 4 Se uma sequˆencia an converge para a entao a e o unico ponto de aderˆencia de an pois do Teorema 220 toda subsequencia de an tambem converge para a Teorema 245 Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequencia limitada possui uma sub sequˆencia convergente Demonstracao Seja an uma sequˆencia limitada Entao existe um intervalo fechado I de comprimento c que contem a sequencia an Dividindo esse intervalo ao meio obtemos dois novos intervalos fechados de comprimento c2 um dos quais tendo necessariamente infinitos elementos da sequˆencia an Seja I1 esse intervalo Agora novamente dividindo o intervalo 37 I1 ao meio teremos novos dois intervalos fechados de comprimento c22 tendo um deles infinitos elementos de an Seja I2 este intervalo Continuando esse processo obtemos uma sequˆencia de intervalos fechados e encaixados I I1 I2 In onde In tem comprimento c2n e cada In possui infinitos elementos de an Como c 2n 0 segue do TIE existe L R tal que I I1 In L Agora tome um elemento an1 da sequˆencia an dentro de I1 um elemento an2 da sequˆencia an dentro de I2 e assim sucessivamente um apos o outro de forma que n1 n2 n3 Desta forma obtemos uma subsequˆencia anj convergindo para L De fato dado qualquer ϵ 0 como c 2n 0 existe N N tal que para todo n N temse que c 2n ϵ Logo para todo n N temos que In L ϵ L ϵ Entao para j N temos que anj Ij L ϵ L ϵ isto e anj L ϵ Portanto lim anj L Observacao 246 Note que a demonstracao pode eventualmente permitir duas escolhas de intervalos em um ou mais estagios da divisao dos intervalos Assim pode haver uma duas ou mais subsequˆencias convergentes da sequˆencia dada o que significa que a sequˆencia dada pode ter mais de um ponto de aderˆencia 235 Sequˆencias de Cauchy Nesta secao veremos o criterio de Cauchy a qual nos permite saber se uma dada sequˆencia e convergente mesmo sem saber o limite da convergˆencia Definicao 247 Uma sequˆencia de numeros reais an e chamada de uma sequˆencia de Cauchy se satisfaz a seguinte condicao dado ϵ 0 existe N N tal que se m N e n N entao am an ϵ Teorema 248 Toda sequˆencia convergente e uma sequˆencia de Cauchy Demonstracao Seja an uma sequˆencia que converge para a Dado ϵ 0 existe N N tal que se m N entao am a ϵ 2 e se n N entao an a ϵ 2 Desta forma se m n N entao am an am a a an am a an a ϵ 2 ϵ 2 ϵ Portanto an e uma sequˆencia de Cauchy 38 Veremos agora que a recíproca deste resultado também é verdadeira Lema 249 Toda sequência de Cauchy é limitada Demonstração Seja an uma sequência de Cauchy Tomando ε 1 existe N ℕ tal que se mn N então an am 1 Em particular se n N então an aN 1 isto é an aN 1 aN 1 para todo n N Assim tomando α o menor e β o maior elemento do conjunto X a1 a2 aN1 aN 1 aN 1 temos que an α β para todo n ℕ Portanto an é limitada Teorema 250 Toda sequência de Cauchy é convergente Demonstração Como an é uma sequência de Cauchy então ela é limitada e do Teorema de BolzanoWeierstrass temos que an possui uma subsequência anj que converge para um número real a Mostremos que lim an a De fato seja ε 0 dado como an é uma sequência de Cauchy existe N ℕ tal que se mn N então an am ε2 Por outro lado como lim anj a existe N0 ℕ tal que se nj N0 então anj a ε2 Então tomando N1 maxN N0 temos que se nnj N1 então an a an anj anj a an anj anj a ε2 ε2 ε Portanto lim an a 24 Séries Numéricas Considere uma sequência annℕ Uma expressão da forma j1 aj a1 a2 a3 an 1 é denominada uma série numérica infinita que denotaremos por an O número an é o nésimo termo ou termo geral da série 1 Agora considere a seguinte sequência S1 a1 S2 a1 a2 S3 a1 a2 a3 Sn a1 a2 an j1n aj A sequência Snnℕ é chamada sequência das somas parciais da série 1 onde o número Sn é a nésima soma parcial da série Se a sequência Snnℕ converge ao número S dizemos que a série é convergente e que sua soma é S Neste caso escrevemos j1 aj a1 a2 an lim Sn S Se a sequência Snnℕ diverge então dizemos que a série é divergente Exemplo 251 1 Seja a série n 1 2 3 4 n associada a ele podemos tomar a sequência das somas parciais Sn cujo termo geral dessa sequência é Sn 1 2 3 4 n nn12 Observe que limn Sn limn nn12 Portanto a série n diverge 2 Tomando a série 12n 12 14 18 116 12n a sequências das somas parciais associada a essa série é Sn onde Sn 12 14 18 116 12n 12 1 12n1 12 1 12n Observe que limn Sn limn 1 12n 1 Portanto a série converge 12n 1 3 Séries Geométricas são séries da forma a ar ar2 ar3 arn1 n1 arn1 onde a e r são números reais fixos e a 0 Se r 1 então Sn a a a na n e portanto a série geométrica diverge Se r 1 temos Sn a ar ar2 arn1 e rSn ar ar2 ar3 arn Subtraindo essas equações temos Sn rSn a arn Sn a1 rn1 r Assim se 1 r 1 do exemplo 238 temos limn Sn limn a1 rn1 r a1 r Portanto quando r 1 a série geométrica converge e sua soma é arn1 a1 r Se r 1 ou r 1 do exemplo 238 a sequência rn é divergente logo lim Sn não existe Portanto a série geométrica diverge nesses casos Resumindo A série geométrica n1 arn1 a ar ar2 converge se r 1 e sua soma é n1 arn1 a1 r Se r 1 a série geométrica diverge 4 Série Telescópica A série n1 1nn1 é convergente pois observe que Sn k1n 1kk1 Como 1kk1 1k 1k1 temos que Sn k1n 1kk1 k1n 1k 1k1 1 12 12 13 13 14 1n 1n1 1 1n1 Assim limn Sn limn 1 1n1 1 Portanto a série é convergente e 1nn1 1 5Série Harmônica A série n1 1n 1 12 13 14 15 é divergente De fato para isso será conveniente analisar as somas parciais S2 S4 S8 S16 S32 e mostrar que elas se tornam grandes S1 1 S2 1 12 S4 1 12 13 14 1 12 14 14 1 22 S8 1 12 13 14 15 16 17 18 1 12 14 14 18 18 18 18 1 12 12 12 1 32 S16 1 12 13 14 15 18 19 116 1 12 14 14 18 18 116 116 1 12 12 12 12 1 42 Analogamente S32 1 52 S64 1 62 e em geral S2n 1 n2 e portanto como lim 1 n2 temos que S2n e logo Sn Logo a série harmônica diverge Exercício 252 1 A série n1 22n31n é convergente ou divergente 2 Encontre a soma da série geométrica 5 103 209 4027 Teorema 253 Se a série n1 an for convergente então limn an 0 Demonstração Seja an uma série que converge para S e seja Sn a1 a2 an a nésima soma parcial da série Então lim Sn S Observe que an Sn Sn1 Então lim an limSn Sn1 lim Sn lim Sn1 S S 0 Exemplo 254 1 Vimos no exemplo 2512 que a série geométrica n1 12n é convergente e logo limn 12n 0 2 Vimos que a série telescópica n1 1nn1 é convergente logo limn 1nn1 0 Observação 255 A recíproca do teorema anterior é falsa por exemplo o limite limn 1n 0 mas a série harmônica n1 1n é divergente Corolário 256 Teste da Divergência Se limn an não existir ou se limn an 0 então a série n1 an é divergente Exemplo 257 1 A série n1 n1n diverge ou converge Observe que an n 1n Assim limn an limn n 1n 1 0 Logo do teste de divergência a série diverge 2 A série n1 n2 é divergente pois limn n2 3 A série n1 1n é divergente pois limn 1n não existe Propriedades 258 Se an e bn forem séries convergentes então as séries c an onde c é um constante e an bn também são convergentes Mais ainda i c an c an ii an bn an bn Demonstração Como cada série an está associada a uma sequência das somas parciais Sn e se an converge logo an S lim Sn então este resultado segue imediatamente das propriedades de convergência de sequências vistas no Teorema 223 Exemplo 259 Calcule a soma da série n1 3nn1 12n Temos que n1 3nn1 12n 3 n1 1nn1 n1 12n 31 1 4 2 Verifique se a sequência n1 3n1 16n1 diverge ou converge Observe que n1 3n1 16n1 n1 12n1 16n1 n1 12n1 n1 16n1 11 12 11 16 2 65 45 Portanto a série converge Teorema 260 Critério de Cauchy para séries Uma condição necessária e suficiente para que uma série an seja convergente é que dado qualquer ε 0 existe N N tal que para todo m n N se n N então an1 an2 anm ε Demonstração Basta observar que an1 an2 anm Snm Sn onde Sn é a sequência das somas parciais de an e aplicar o critério de Cauchy para a sequência Sn ver Teorema 248 e Teorema 250 Exemplo 261 Vamos utilizar o critério de Cauchy para séries para mostrar que a série harmônica 1n diverge Seja Sn a soma parcial da série harmônica Então S2n Sn sumi12n frac1i sumi1n frac1i frac1n1 frac1n2 frac12n underbracefrac12n frac12n frac12nn ext parcelas frac12 isto é para qualquer n in mathbbN temos que S2n Sn frac12 e logo do critério de Cauchy para séries segue que sum frac1n diverge 241 Teste da Comparação Teorema 262 Teste da Comparação Suponha que sum an e sum bn sejam duas séries de termos nãonegativos tais que an leq bn para todo n ge p para algum p in mathbbN i Se sum bn for convergente então sum an também será convergente ii Se sum an for divergente então sum bn também será divergente Demonstração i Seja Sn a1 an e Tn b1 bn as somas parciais de sum an e sum bn respectivamente Como sum bn é covergente dado epsilon 0 do critério de Cauchy para séries existe N in mathbbN tal que se n N e m in mathbbN então Tnm Tn epsilon Assim tomando N0 maxNp temos que se n N0 então Snm Sn an1 anm leq bn1 bnm Tnm Tn epsilon Logo do critério de Cauchy para séries segue que sum an converge ii É a contrarecíproca do item i Exemplo 263 Vamos agora analisar a psérie sum frac1np p in mathbbR Se p le 1 então np le n1 para todo n in mathbbN e logo frac1n le frac1np para todo n Como a série sum frac1n diverge série harmônica então do teste da comparação a série sum frac1np também diverge Agora analisemos o caso p 1 Usaremos aqui um raciocínio semelhante ao que usamos no caso da série harmônica Considere as somas parciais Sm com m 2n 1 Para cada uma delas temos m 21 1 S1 1 m 22 1 S3 1 leftfrac12p frac13pright 1 leftfrac12p frac12pright 1 frac22p m 23 1 S7 1 leftfrac12p frac13pright leftfrac14p frac15p frac16p frac17pright 1 leftfrac12p frac12pright leftfrac14p frac14p frac14p frac14pright 1 frac22p frac44p m 24 1 S15 1 leftfrac12p frac13pright leftfrac14p frac17pright leftfrac18p frac115pright 1 frac22p frac44p frac88p m 2n 1 Sm 1 leftfrac12p frac13pright leftfrac14p frac15p frac16p frac17pright frac12n 1p 1 frac22p frac44p frac88p frac2n12n1p sumi0n1 leftfrac22prighti sumi0n1 leftfrac12p1righti Como p 1 temos que frac12p1 1 logo a série geométrica sum leftfrac12p1rightn converge para uma soma C frac2p12p1 1 ver exemplo 2513 Logo Sm C para todo m 2n 1 isto é Sm é limitada Como a sequência das somas parciais Sn da psérie é crescente S1 S2 S3 segue que a subsequência Sm é monótona e limitada e portanto convergente Logo do exercício 222 segue que Sn é convergente Logo a série sum frac1np converge quando p 1 Exemplo 264 1 A série sum frac1sqrtn é divergente De fato observe que n sqrtn para todo n in mathbbN Logo frac1sqrtn frac1n e como a série sum frac1n diverge então pelo teste da comparação a série sum frac1sqrtn diverge 2 A série sum frac1nn é convergente De fato note que nn ge n2 para todo n in mathbbN Logo frac1nn le frac1n2 Como a 2série sum frac1n2 converge segue do teste da comparação que sum frac1nn também converge Exercício 265 Verifique se as séries sum fracln nn e sum frac52n2 4n 3 divergem ou convergem 242 Séries Alternadas e Convergência Absoluta Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos ou seja é uma série da forma sumn1infty 1n an Exemplo 266 1 1 frac12 frac13 frac14 sumn1infty 1n1 frac1n Note que sumn1infty 1n1 frac1n sumn0infty 1n frac1n1 2 frac12 frac23 frac34 frac45 sumn1infty 1n fracnn1 Teorema 267 Teste da Série Alternada ou Teste de Leibniz Seja a série alternada sumn1infty 1n1 an Se a sequência an for decrescente isto é an1 leq an para todo n e limn o infty an 0 então a série alternada é convergente Demonstração Considere separadamente as somas parciais de ordem par e as de ordem ímpar da série dada que podem ser escritas da forma S2n underbracea1 a2ge 0 underbracea3 a4ge 0 underbracea2n1 a2nge 0 e S2n1 a1 underbracea2 a3ge 0 underbracea4 a5 a2n a2n1ge 0 Observe que S2n é nãodecrescente pois S2 le S4 le S6 le e que S2n1 é nãocrescente pois S1 ge S3 ge S5 ge Mais ainda S2n S2n1 a2n1 le S2n1 le S1 a1 isto é S2n é nãodecrescente e limitada e portanto converge para um limite S Por outro lado como S2n1 S2n a2n1 e por hipótese lim an 0 segue que lim S2n1 lim S2n lim a2n1 S 0 S Logo a sequência Sn converge para o mesmo limite S isto é a série alternada dada é convergente Exemplo 268 Considere a série harmônica alternada sumn1infty 1n1 frac1n Observação 272 A recíproca do teorema anterior é falsa pois no exemplo 2702 vimos que a série harmônica alternada n1 1n1 1n é convergente mas não é absolutamente convergente Exemplo 273 1 Do exemplo 270 1 a série alternada n1 1n1n² é convergente pois ela é absolutamente convergente 2 Determine se a série n1 cos n n² é convergente ou divergente Observe que esta série possui termos positivos e negativos mas não é alternada Note também n1 cos nn² n1 cos nn² e como cos n 1 n N temos cos nn² 1n² Pelo teste da comparação temos que cos n n² é convergente Logo a série n1 cos n n² é absolutamente convergente e pelo teorema anterior segue que a série dada converge 243 Teste da Razão e da Raiz Teorema 274 Teste da Razão ou Teste de DAlembert Seja an uma série de termos nãonulos e suponha que lim n an1an L Então i Se L 1 então a série an é absolutamente convergente e portanto convergente ii Se L 1 então an é divergente iii Se L 1 o teste não é conclusivo Demonstração i Suponha que L 1 Assim seja k L 1 Como lim an1an L tomando ε 0 tal que L ε k existe N N tal que se n N então an1an L ε L ε isto é Temos que an 1n e para todo n an1 1n1 1n an e limn 1n 0 Logo do teste da série alternada a série dada é convergente Dada qualquer série an podemos considerar a série correspondente n1 an a1 a2 a3 cujos termos são valores absolutos dos termos da série original Definição 269 Uma série an é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos an for convergente Exemplo 270 1 A série n1 1n1n² é absolutamente convergente pois n1 1n1n² n1 1n² que é uma psérie convergente 2 Sabemos que a série harmônica alternada n1 1n1 1n é convergente mas não é absolutamente convergente pois n1 1n1n n1 1n que é a série harmônica divergente Quando uma série an for convergente mas não for absolutamente convergente ela é chamada condicionalmente convergente Teorema 271 Se uma série an for absolutamente convergente então ela é convergente Demonstração an for absolutamente convergente então an converge Logo do Teorema de Cauchy para séries dado ε 0 existe N N tal que se n N e m N então an1 an2 anm ε Desta forma para n N temos das propriedades de módulo que an1 an2 anm an1 an2 anm ε Novamente pelo Teorema de Cauchy para séries a série an converge an1an k ou ainda an1 k an Disto temos aN1 k aN aN2 k aN1 k² aN aN3 k aN2 k² aN1 k³ aN aNm k aNm1 km aN ou seja aNm km aN Como m1 km aN aN m1 km e m1 km converge pois é uma série geométrica de razão k 1 temos então que m1 km aN converge e do teste da comparação segue que m1 aNm converge o que implica que an converge ii Suponha que L 1 Como lim an1an L tomando ε 0 tal que L ε 1 existe N N tal que se n N então an1an L ε L ε isto é an1an 1 ou ainda an1 an Logo para m N 0 aN aN1 aN2 aNm1 aNm ou seja aNm não tende a zero quando m Consequentemente o termo aNm não tende a zero o que implica que an não tende a zero quando n Logo do teste da divergência segue que a série an diverge iii O caso L 1 é inconclusivo pois para ambas as séries 1n e 1n² temos que L 1 porém a série 1n diverge e a série 1n² converge Exemplo 275 1 A série 1n converge De fato pois para an 1n temos lim n11n lim n n1 lim 1n1 0 Logo pelo teste da razão a série dada é absolutamente convergente e portanto convergente No exemplo 241 vimos que n0 1n e 2 A série nⁿ n é divergente De fato para aₙ nⁿ n temos aₙ₁ aₙ n 1n1 n 1 n nⁿ n 1n1 n 1 n nⁿ n 1n 1 n 1 n nⁿ n 1ⁿ nⁿ n 1 n ⁿ 1 1nⁿ Logo lim n aₙ₁ aₙ lim n 1 1nⁿ e 1 Portanto do teste da razão a série dada diverge Observação 276 O número e é irracional Suponha que e Q Então existem p q N tais que e pq Então 1n e pq Multiplicando a igualdade acima por q temos pq q qn p q 1 qn n0 to q qn nq1 to ou seja pq 1 qn n0 to q qn nq1 to Observe que o lado esquerdo da igualdade acima corresponde a um número inteiro Vamos mostrar que o lado direito da igualdade não é inteiro De fato 0 qn nq1 to 1q 1 1q 1q 2 1q 1q 2q 3 12 14 18 12ⁿ n1 to 1 Logo temos uma contradição o que resulta que e é irracional Teorema 277 Teste da Raiz ou Teste de Cauchy Considere a série aₙ e suponha que lim n ⁿaₙ L Então Exercício 279 Verifique se as seguintes séries convergem ou divergem a n³ 3ⁿ b 2ⁿ n c 2ⁿ nⁿ i Se L 1 então aₙ é absolutamente convergente e portanto convergente ii Se L 1 então aₙ é divergente iii Se L 1 o teste não é conclusivo Demonstração i Suponha que L 1 Seja k L 1 Como lim ⁿaₙ L tomando ϵ 0 tal que L ϵ k existe N N tal que se n N então ⁿaₙ L ϵ L ϵ isto é ⁿaₙ k Logo temos aₙ kⁿ para todo n N Como k 1 segue que a série geométrica kⁿ é convergente Logo do teste da razão segue que aₙ é convergente o que implica que aₙ converge ii Suponha agora que L 1 Como lim ⁿaₙ L tomando ϵ 0 tal que L ϵ 1 existe N N tal que se n N então ⁿaₙ L ϵ L ϵ isto é ⁿaₙ 1 Logo aₙ 1 para todo n N o que implica que aₙ não tende a zero quando n Então pelo teste da divergência segue aₙ diverge iii O caso L 1 é inconclusivo pois para ambas as séries 1n e 1n² temos que L 1 do exemplo 240 temos lim ⁿ1n 1 e logo lim ⁿ1n² limⁿ1n² 1 porém a série 1n diverge e a série 1n² converge Exemplo 278 1 Verifique se a série 2n 3 3n 2 ⁿ é convergente ou divergente Para aₙ 2n 3 3n 2 ⁿ temos ⁿaₙ 2n 3 3n 2 2 3n 3 2n n 23 1 Então pelo teste da raiz a série dada converge 2 Verifique se a série 2ⁿn² é convergente ou divergente Para aₙ 2ⁿn² temos que ⁿaₙ 2n2n n 2 1 Do teste da raiz segue que a série dada diverge 3 Noções Topológicas 31 Conjuntos Abertos Definição 31 Dado um conjunto A ℝ dizemos que a A é um ponto interior de A se existir um número real δ 0 tal que a δ a δ A ou a δ a δ Aᶜ Representaremos por int A o conjunto formado por todos os pontos interiores de A Observação 32 Note que int A A e se A B então int A int B exercício Definição 33 Dizemos que um conjunto A ℝ é um conjunto aberto se todos os pontos de A são interiores isto é A int A Exemplo 34 a b é um conjunto aberto de ℝ De fato dado qualquer c a b temos que a c b Assim tomando δ minc a2 b c2 temos que c δ c δ a b Logo c é um ponto interior de a b Como c foi tomado arbitrariamente em a b temos que todos os pontos de a b são interiores e portanto a b é aberto De forma semelhante os conjuntos a e a são conjuntos abertos de ℝ Exemplo 35 a b não é um conjunto aberto de ℝ De fato pois os pontos a e b não são pontos interiores de a b Basta notar que para qualquer δ 0 temos que a δ a δ a bᶜ e b δ b δ a bᶜ Observe que int a b a b Exemplo 36 O conjunto vazio é um conjunto aberto pois um conjunto deixa de ser aberto se este possuir algum ponto que não seja interior e como o conjunto vazio não possui nenhum ponto então ele não possui pontos que não sejam interiores Exemplo 37 ℝ é aberto pois para qualquer a ℝ e δ 0 temos que a δ a δ ℝ Exemplo 38 ℚ e ℝ ℚ não não são abertos em ℝ De fato como ℝ ℚ é denso em ℝ para qualquer a ℚ e para qualquer δ 0 temos que a δ a δ ℝ ℚ Neste caso int ℚ De forma análoga mostrase que ℝ ℚ não é aberto Teorema 39 a Se A e B são conjuntos abertos então A B é um conjunto aberto b Se Aᵢᵢℕ é uma família qualquer de conjuntos abertos então A ᵢₙ Aᵢ é um conjunto aberto Demonstração a Se A B então A B é aberto Assim suponha que A B Seja x A B Então x A e x B Como A e B são abertos existem δ₁ 0 e δ₂ 0 tais que x δ₁ x δ₁ A e x δ₂ x δ₂ B Tome δ minδ₁ δ₂ então x δ x δ A e x δ x δ B e portanto x δ x δ A B Logo x é ponto interior de A B Como x foi tomado arbitrariamente em A B segue que todos os pontos de A B são interiores e portanto A B é aberto b Seja x A Aᵢ Então existe j N tal que x Aj Como Aj é aberto existe δ 0 tal que x δ x δ Aj Como Aj A temos que x δ x δ A e portanto x é ponto interior de A Como x foi tomado arbitrariamente em A segue todos os pontos de A são interiores ou seja A Aᵢ é aberto Corolário 310 Se A₁ Aₙ são conjuntos abertos então A₁ Aₙ é aberto Demonstração Segue por indução finita sobre n utilizando o resultado anterior Exercício Exemplo 311 A interseção de uma infinidade de conjuntos abertos não é necessariamente um conjunto aberto Por exemplo se tomarmos os conjuntos abertos Aₙ 1n 1n n ℕ Então n1 Aₙ 0 a qual não é aberto Observe que 0 Aₙ para todo n Logo 0 Aₙ Suponha agora que existe x Aₙ com x 0 Então x 0 e como ℕ é ilimitado superiormente em ℝ existe k ℕ tal que k 1x ou seja 0 1k x Logo x Ak e portanto x Aₙ contradição Logo Aₙ 0 Exemplo 312 Todo conjunto aberto A de ℝ é uma reunião de intervalos abertos De fato pois tomando x A escolhamos um intervalo aberto Iₓ tal que x Iₓ A Desta forma A ₓA x ₓA Iₓ A ou seja A ₓA Iₓ 32 Conjuntos Fechados Definição 313 Dizemos que um ponto a é um ponto aderente a um conjunto A ℝ quando a for o limite de alguma sequencia de pontos aₙ A Exemplo 314 Todo ponto a A é um ponto aderente de A pois a é o limite da sequencia de termos aₙ a A Exemplo 315 0 e 1 são pontos aderente de 01 pois 0 lim 1n e 1 lim nn 1 onde 1n nn 1 01 para todo n ℕ Note que 0 e 1 não são elementos de 0 1 Teorema 316 Um ponto a ℝ é um ponto aderente de A ℝ se e somente se para todo ε 0 temse que A a ε a ε Demonstração Se a é um ponto aderente de A então existe uma sequencia aₙ A tal que lim aₙ a Logo dado ε 0 existe N ℕ tal que se n N então aₙ a ε ou seja aₙ a ε a ε e consequentemente A a ε a ε Reciprocamente se para todo ε 0 temse que A a ε a ε então para cada n ℕ tomando ε 1n podemos encontrar aₙ A tal que aₙ a 1n a 1n Desta forma obtemos uma sequencia de pontos aₙ A tais que aₙ a 1n Logo do Teorema do confronto lim aₙ a ou seja a é ponto aderente de A Definição 317 Chamaremos de fecho do conjunto A ao conjunto A formado por todos os pontos aderentes de A Observação 318 Note que A A e se A B então A B exercício Exemplo 319 0 1 0 1 De fato temos que 0 1 0 1 pois 0 1 0 1 e 0 e 1 são pontos aderentes de 0 1 Agora note que se 0 aₙ 1 e lim aₙ a então 0 a 1 Desta forma todos os pontos aderentes de 0 1 pertencem ao intervalo 0 1 Exemplo 320 Q ℝ ℚ ℝ pois Q e ℝ ℚ são densos em ℝ Definição 321 Dizemos que um conjunto A ℝ é fechado se A A isto é todos os pontos aderentes a A pertencem a A Observação 322 Se A ℝ é um conjunto fechado e limitado então a inf A A e b sup A A De fato para cada n ℕ é possível encontrar an bn A tais que a an a 1n e b 1n bn b já que a inf A e b sup A Desta forma obtemos duas sequencia an e bn em A tais que lim an a e lim bn b ou seja a e b são pontos aderentes de A Como A é fechado segue que a b A Exemplo 323 01 é um conjunto fechado pois 01 01 Exercício 324 Mostre que a b a b a b ab ab Teorema 325 Um conjunto A ℝ é fechado se e somente se Ac ℝ A é aberto Demonstração Suponha que A seja fechado então todo ponto aderente de A pertence a A Assim seja a ℝ A Então a não é aderente a A e portanto existe ε 0 tal que a ε a ε A Desta forma a ε a ε ℝ A ou seja a é ponto interior de ℝ A Como a foi tomado arbitrariamente em ℝ A segue que ℝ A é aberto Reciprocamente suponha que ℝ A é aberto Então todos os pontos de ℝ A são interiores Assim dado a A temos que a intℝ A isto é para todo ε 0 temse que a ε a ε A Logo a é ponto aderente de A e como a foi tomado arbitrariamente em A segue que todos os pontos de A são pontos aderentes de A Logo A é fechado Exemplo 326 a ℝ é um conjunto fechado pois a a é aberto Exemplo 327 ℝ e são conjuntos fechados Exemplo 328 ℚ e ℝ ℚ não são conjuntos fechados de ℝ Exemplo 329 ℤ é um conjunto fechado pois note que o seu complementar ℝ ℤ n ℤ n n 1 é um união infinita de intervalos abertos a qual do Teorema 39 é aberto Logo ℤ é fechado Teorema 330 a Se A e B são conjuntos fechados então A B é um conjunto fechado b Se Aii N é uma família qualquer de conjuntos fechados então A i N Ai é um conjunto fechado Demonstração a Se A e B são conjuntos fechados então Ac ℝ A e Bc ℝ B são conjuntos abertos Do Teorema 39 Ac Bc é aberto Mas Ac Bc A Bc leis de De Morgan logo A Bc é aberto e do teorema anterior segue que A B é fechado b Como cada Ai é um conjunto fechado i N então cada Aci ℝ Ai é aberto e do Teorema 39 i N Aci é aberto Mas da lei de De Morgan i N Aci i N Aic a qual é aberto Então do teorema anterior i N Ai é fechado Observação 331 Note que a união infinita de conjuntos fechados não é necessariamente um conjunto fechado pois tomando A a b então para todo x a b temos que x é um conjunto fechado e a b x A x é um conjunto aberto 33 Pontos de acumulação Definição 332 Seja A ℝ Um número a ℝ é um ponto de acumulação do conjunto A se para todo ε 0 temos que a ε a ε A a ou seja todo intervalo aberto a ε a ε contém algum ponto de A diferente do próprio a O conjunto de todos os pontos de acumulação de A será representado por A Desta forma se a A então para todo ε 0 existe x A tal que 0 x a ε Exemplo 333 0 é um ponto de acumulação do conjunto A 1n n N De fato para todo ε 0 existe n N tal que 1n ε pois ℝ é arquimediano ou seja 1n 0 ε Note que 0 A Definição 334 Se a A não for um ponto de acumulação de A dizemos que a é um ponto isolado de A Se todos os pontos de um conjunto A forem isolados dizemos que A é um conjunto discreto Exemplo 335 ℤ é um conjunto discreto de ℝ pois para todo a ℤ se tomarmos ε 12 temos que a ε a ε ℤ a Teorema 336 Dados A ℝ e a ℝ as seguintes afirmações são equivalentes i a é um ponto de acumulação ii a é o limite de alguma sequência de pontos an A a iii Para todo ε 0 existem uma infinidade de pontos de A no intervalo a ε a ε Demonstração i ii Suponha que a seja um ponto de acumulação Então para cada n N podemos encontrar an a 1n a 1n A a Desta forma an a 1n para todo n Logo lim an a ii iii Seja an uma sequência de elementos de A a tais que lim an a Então dado ε 0 existe N N tal que se n N então an a ε a ε Desta forma se n N existem infinitos termos an a ε a ε iii i Se para todo ε 0 existem uma infinidade de pontos de A em a ε a ε então a ε a ε A a Logo a é um ponto de acumulação de A Observação 337 Todo ponto de acumulação de A é um ponto aderente de A Exemplo 338 Dado o conjunto A 1n n N temos que A 0 De fato pois como lim 1n 0 então qualquer sequência de elementos de A converge para 0 Exemplo 339 ℚ ℝ e ℝ ℚ ℝ pois estes conjuntos são densos em ℝ Exemplo 340 ab ab ab ab Proposição 341 Para todo A ℝ temse que A A A Demonstração Note que A A e A A Logo A A A Reciprocamente seja a A Então do Teorema 316 para todo ε 0 temos que A a ε a ε Desta forma a A ou a ε a ε A a isto é a A Logo a A A ou seja A A A Teorema 342 BolsanoWeierstrass Todo conjunto infinito e limitado de números reais tem pelo menos um ponto de acumulação Demonstração Seja A ℝ um conjunto infinito e limitado Então como A é infinito A possui um subconjunto enumerável de elementos distintos a1 a2 a3 an Desta forma temos uma sequencia limitada an de números reais a qual pelo Teorema de BolzanoWeierstrass possui uma subsequencia anj convergente Seja lim anj a Como todos os elementos de anj são distintos segue que no máximo um deles é igual a a Eliminadoo caso exista e reorganizando os elementos desta sequencia temos que lim anj a com anj A a Portanto a é um ponto de acumulação de A 34 Conjuntos Compactos Definição 343 Dizemos que um conjunto A ℝ é um conjunto compacto se A for fechado e limitado Exemplo 344 Todo conjunto finito é um conjunto compacto Exemplo 345 a b ℝ é um conjunto compacto Exemplo 346 ℤ ℚ e ℝ não são compactos pois são ilimitados Exemplo 347 O conjunto vazio é compacto Teorema 348 Um conjunto A ℝ é compacto se e somente se toda sequencia de elementos de A possui uma subsequencia que converge para um ponto de A Demonstração Seja A ℝ um conjunto compacto Então A é limitado e portanto toda sequência de elementos de A é limitada Logo pelo Teorema de BolsanoWeierstrass toda sequência de elementos de A possui uma subsequência convergente e como A é fechado o limite dessa sequência pertence a A Reciprocamente suponha que toda sequência de elementos de A possui uma subsequencia que converge para um ponto de A Temos que A é limitado pois caso contrário para cada n ℕ podemos encontrar aₙ A tal que aₙ n e consequentemente a sequência aₙ não possuiria uma subsequência convergente Além disso temos também que A é fechado pois caso contrário existiria uma sequencia aₙ de elementos de A tal que lim aₙ a e a A Desta forma todas as subsequencias de aₙ convergiriam para a A contrariando a hipótese Portanto A é compacto Observação 349 Da observação 322 temos que se A é compacto então A a b onde a inf A e b sup A Teorema 350 Seja A₁ A₂ A₃ Aₙ uma sequência decrescente de subconjuntos compactos e nãovazios Então A n1 Aₙ e compacto Demonstração Observe que A é compacto pois A é fechado interseção de fechados Aₙ e limitado pois A A₁ Agora para cada n ℕ escolhemos um ponto aₙ Aₙ Então a sequência aₙ está contida em A₁ pois Aₙ A₁ para todo n Como A₁ é compacto aₙ possui uma subsequencia convergente aₙⱼ a A₁ Mostremos que a Aₙ para todo n De fato dado n ℕ tomando nⱼ₀ n temse para todo nⱼ nⱼ₀ que aₙⱼ Aₙⱼ Aₙⱼ₀ Aₙ ou seja para nⱼ nⱼ₀ a sequência aₙⱼ está contida em Aₙ Como Aₙ é compacto a lim aₙⱼ Aₙ Logo A Observação 351 O Teorema dos Intervalos Encaixados Teorema 242 é uma consequência do teorema anterior Definição 352 Uma cobertura de um conjunto A ℝ é uma família 𝒞 Cₙₙ L de conjuntos Cₙ ℝ tais que A n L Cₙ Se Cₙ são conjuntos abertos então dizemos que 𝒞 é uma cobertura aberta de A Se L é finito dizemos que 𝒞 é uma cobertura finita de A Se L L e A n L Cₙ então 𝒞 Cₙₙ L é uma subcobertura da cobertura 𝒞 Note que se 𝒞 Cₙₙ L é uma cobertura para A para cada a A existe pelo menos um índice k L tal que a Cₖ Exemplo 353 Dado Cₙ n 1 n 1 com n ℤ temos que 𝒞 Cₙₙ ℤ é uma cobertura aberta de ℝ pois ℝ n ℤ n 1 n 1 Exemplo 354 Dado o conjunto a b ℝ temos para ε 0 que 𝒞 a ε a ε a b b ε b ε é uma cobertura aberta finita de a b pois a b a ε a ε a b b ε b ε Teorema 355 Teorema de BorelLebesgue Toda cobertura aberta de um conjunto compacto possui uma subcobertura finita Demonstração Primeiro trataremos dos conjunto compactos da forma a b Seja 𝒞 Cₙₙ L uma cobertura aberta de a b isto é a b n L Cₙ Suponhamos que não seja possível obter de 𝒞 uma subcobertura finita Consideremos os intervalos a a b2 e a b2 b Então pelo menos um deles não pode ser coberto por uma quantidade finita de conjuntos abertos de 𝒞 Seja a₁ b₁ tal intervalo Consideremos agora os intervalos a₁ a₁ b₁2 e a₁ b₁2 b₁ Novamente pelo menos um deles não é coberto por uma quantidade finita de conjuntos abertos de 𝒞 Seja a₂ b₂ esse intervalo Prosseguindo desta forma obtemos uma uma cadeia de intervalos a b a₁ b₁ a₂ b₂ aₖ bₖ onde o comprimento de aₖ bₖ é bₖ aₖ b a2ᵏ e cada aₖ bₖ é coberto por uma infinidade de abertos de 𝒞 Do Teorema 350 temos que existe c k1 aₖ bₖ a b Pela definição de cobertura existe um índice n₀ L tal que c Cₙ₀ Como Cₙ₀ é aberto existe ε 0 tal que c ε c ε Cₙ₀ Assim como c aₖ bₖ para todo k ℕ tomando r ℕ tal que b a2ʳ ε segue que c aᵣ bᵣ aᵣ b a2ʳ ε e bᵣ c bᵣ aᵣ b a2ʳ ε e logo aᵣ bᵣ c ε c ε Cₙ₀ Desta forma encontramos uma subcobertura finita que cobre aᵣ bᵣ que é uma contradição Portanto a b possui uma subcobertura finita Para o caso geral seja A um conjunto compacto e 𝒞 Cₙₙ L uma cobertura aberta de A Como A é compacto então existe a b tal que A a b Então a nova cobertura aberta 𝒞 𝒞 ℝ A cobre a b isto é a b n L Cₙ ℝ A Desta forma a b admite uma subcobertura finita isto é a b Cₙ₀ Cₙ₁ Cₙₖ ℝ A e consequentemente A Cₙ₀ Cₙ₁ Cₙₖ Exemplo 356 O conjunto 0 1 é limitado mas não é fechado Assim os intervalos Cₙ 1n 2 n ℕ formam um cobertura aberta de 0 1 pois 0 1 n ℕ 1n 2 Porém essa cobertura não admite uma subcobertura finita pois C₁ C₂ C₃ Cₙ e por isso toda subcobertura finita estaria contida no aberto de maior índice e por isso não conteria o conjunto 0 1 Por outro lado ℝ é fechado mas é ilimitado e Aₙ n n n ℝ é uma cobertura aberta de ℝ já que ℝ n ℕ n n Mas esta cobertura também não admite uma subcober tura finita pois A1 A2 A3 An e novamente toda subcobertura finita estaria contida no aberto de maior ındice que nao contem R 4 Funcoes Reais 41 Limites Definicao 41 Seja fx uma funcao com domınio A e seja x0 um ponto de acumulacao de A que pode ou nao pertencer a A Dizemos que o numero L e o limite de fx quando x tende a x0 e escrevemos lim xx0 fx L x x0 fx L se para todo ϵ 0 dado existir um δ 0 tal que para todo x A se 0 x x0 δ entao fx L ϵ Neste caso os valores de fx ficam arbitrariamente proximos de L quando x esta sufici entemente proximo de x0 mas nao necessariamente x x0 Exemplo 42 Mostre que lim x2 3x 2 4 De fato dado ϵ 0 queremos encontrar δ 0 tal que se 0 x 2 δ 3x 2 4 ϵ Note que 3x 2 4 ϵ 3x 6 ϵ 3x 2 ϵ 3 x 2 ϵ x 2 ϵ 3 63 Assim tome δ ϵ3 Então se 0 x 2 δ ϵ3 3x 2 4 3x 6 3x 2 3 x 2 3 ϵ3 ϵ Exemplo 43 Mostre que lim x3 x2 1 10 Dado ϵ 0 queremos encontrar δ 0 tal que se 0 x 3 δ x2 1 10 ϵ Note que x2 1 10 ϵ x2 9 ϵ x 3x 3 ϵ x 3 x 3 ϵ Como estamos interessados nos valores de x próximos de 3 podemos restringir os valores de x a uma distância menor que 1 de 3 ou seja podemos supor que x 3 1 Assim x 3 1 1 x 3 1 3 2 x 4 3 7 5 x 3 7 x 3 7 Então x 3 x 3 7x 3 Assim tome δ min1 ϵ7 então se 0 x 3 δ x2 1 10 x2 9 x 3 x 3 7x 3 7 δ 7 ϵ7 ϵ Exemplo 44 lim xx0 x x0 desde que x0 exista Suponha x0 0 Dado ϵ 0 queremos encontrar δ 0 tal que se 0 x x0 δ então x x0 ϵ Observe que x x0 x x0x x0 x x0 x x0x x0 Note também que x x0 x0 e logo 1x x0 1x0 Assim tome δ ϵ x0 então se 0 x x0 δ temos que x x0 x x0x x0 x x0x0 δx0 ϵ x0x0 ϵ Exercício Mostre o caso x0 0 Teorema 45 Unicidade do limite Sejam A R f A R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A Se lim xx0 fx L1 e lim xx0 fx L2 entao L1 L2 Demonstracao Suponha que L1 L2 Como lim xx0 fx L1 e lim xx0 fx L2 tomando ϵ L2 L1 2 0 temos que existem δ1 0 e δ2 0 tais que para todo x A se 0 x x0 δ1 entao fx L1 ϵ e se 0 x x0 δ2 entao fx L2 ϵ Seja δ minδ1 δ2 Entao se 0 x x0 δ entao fx L1 ϵ e fx L2 ϵ Logo L2 L1 L2 fx fx L1 fx L2 fx L1 ϵ ϵ 2ϵ L2 L1 contradicao Portanto L1 L2 Teorema 46 Sejam A R f A R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A Se lim xx0 fx existe entao f e limitada numa vizinhanca de x0 isto e existem contantes positivas K 0 e δ 0 tais que se 0 x x0 δ entao fx K Demonstracao Suponha que lim xx0 fx L Entao para ϵ 1 temos que existe δ 0 tal que se 0 x x0 δ entao fx L 1 Desta forma se 0 x x0 δ temos fx fx L L fx L L 1 L Logo basta tomar o δ encontrado e K L 1 para concluir a demonstracao Teorema 47 Teorema do Confronto Sejam A R f g h A R funcoes reais e x0 um ponto de acumulacao de A Suponha que exista r 0 tal que hx fx gx para 0 x x0 r Entao se lim xx0 gx L e lim xx0 hx L temos que lim xx0 fx L 65 Demonstracao Por hipotese lim xx0 gx L lim xx0 hx Entao dado ϵ 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que se x A e 0 x x0 δ1 hx L ϵ L ϵ hx L ϵ se x A e 0 x x0 δ2 gx L ϵ L ϵ gx L ϵ Assim tomando δ minδ1 δ2 r temos que se x A e 0 x x0 δ entao L ϵ hx fx gx L ϵ L ϵ fx L ϵ fx L ϵ Logo lim xx0 fx L Exemplo 48 Mostre que lim x0 x2 sen 1 x 0 Para todo x R x 0 temos que 1 sen 1 x 1 Como x2 0 para todo x R temos que x2 x2 sen 1 x x2 Assim como lim x0 x2 0 e lim x0 x2 0 segue que pelo Teorema do Confronto que lim x0 x2 sen 1 x 0 Teorema 49 Sejam A R f A R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A Entao lim xx0 fx L se e somente se lim n fxn L para todo sequˆencia xn de elementos de A tais que lim xn x0 Demonstracao Suponhamos que lim xx0 fx L e que lim xn x0 para xn A Mos tremos que lim n fxn L isto e dado ϵ 0 queremos encontrar N N tal que se n N entao fxn L ϵ Como por hipotese lim xx0 fx L para ϵ 0 existe δ 0 tal que 0 x x0 δ entao fx L ϵ Para este δ 0 como lim xn x0 existe N N tal que se n N entao xn x0 δ e consequentemente fxn L ϵ Suponha por absurdo que seja falsa a afirmacao lim xx0 fx L Entao existe ϵ 0 tal que para todo δ 0 se 0 x x0 δ entao fx L ϵ Desta forma para todo 66 n ℕ tomando δ 1n podemos obter xn A tal que xn x0 1n e fxn L ϵ Então lim xn x0 mas lim n fxn L contradição Corolário 410 Sejam A ℝ f g A ℝ funções reais e x0 um ponto de acumulação de A Se lim xx0 fx 0 e gx M para todo x A x0 e M 0 então lim xx0 fxgx 0 Demonstração Para toda sequencia xn A tal que lim xn x0 temos do Teorema 49 que lim fxn 0 e gxn é uma sequênica limitada Desta forma basta aplicar o Teorema 230 e o Teorema 49 Propriedades 411 Sejam A ℝ f g A ℝ funções reais e x0 um ponto de acumulação de A Se lim xx0 fx L1 e lim xx0 gx L2 então 1 lim xx0 fx gx L1 L2 lim xx0 fx lim xx0 gx 2 lim xx0 fx gx L1 L2 lim xx0 fx lim xx0 gx 3 lim xx0 c fx c L1 c lim xx0 fx 4 lim xx0 fxgx L1L2 lim xx0 fx lim xx0 gx desde que L2 0 Demonstração Para toda sequencia xn A tal que lim xn x0 temos do Teorema 49 que lim fxn L1 e lim gxn L2 Logo o resultado segue aplicando as propriedades 223 de sequências e o Teorema 49 Exemplo 412 Seja f ℝ ℝ 1 Se fx c com c ℝ então lim xx0 fx c 2 Se fx x então lim xx0 fx x0 3 Se fx xn então lim xx0 fx x0n 4 Se fx an xn a2 x2 a1 x a0 com a0 a1 an ℝ então lim xx0 fx fx0 Exemplo 413 Seja A ℝ 0 e f A ℝ definida por fx cos 1x Então lim x0 cos 1x não existe De fato suponha que o limite exista Então tomando as sequências xn 22n 1π e yn 12nπ temos que xn 0 e yn 0 mas lim fxn 0 e lim fyn 1 o que é uma contradição com a unicidade do limite Exemplo 414 Seja A ℝ 0 e f A ℝ definida por fx x cos 1x Como cos 1x 1 para todo x A e lim x0 x 0 então do Corolário 410 segue que lim x0 x cos 1x 0 411 Limites Laterais Definição 415 Sejam A ℝ f A ℝ uma função e x0 um ponto de acumulação à direita de A isto é para todo α 0 vale que A x0 x0 α Dizemos que o número L é o limite lateral à direita de f em x0 escrevemos lim xx0 fx L se para todo ϵ 0 existe um δ 0 tal que para todo x A se 0 x x0 δ então fx L ϵ Isto é os valores de fx se tornam arbitrariamente próximos de L a medida que x se aproxima de x0 por valores maiores que x0 De modo análogo Definição 416 Sejam A ℝ f A ℝ uma função e x0 um ponto de acumulação à esquerda de A isto é para todo α 0 vale que A x0 α x0 Dizemos que o número L é o limite lateral à esquerda de f em x0 escrevemos lim xx0 fx L se para todo ϵ 0 existe um δ 0 tal que para todo x A se δ x x0 0 então fx L ϵ Isto e os valores de fx se tornam arbitrariamente proximos de L a medida que x se aproxima de x0 por valores menores que x0 Exemplo 417 Seja fx x2 1 se x 1 2x 3 se x 1 Entao lim x1 fx lim x1 2x 3 5 e lim x1 fx lim x1 x2 1 0 Exemplo 418 Mostre que lim x0 x 0 De fato dado ϵ 0 queremos δ 0 tal que se 0 x 0 δ entao x 0 ϵ ou seja 0 x δ x ϵ Mas se x ϵ entao x2 ϵ2 isto e x ϵ2 Assim tomando δ ϵ2 temos que se 0 x δ entao x 0 x δ ϵ2 ϵ Teorema 419 Sejam A R f A R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao a esquerda e a direita de A Entao lim xx0 fx L lim xx 0 fx L lim xx 0 fx Demonstracao Segue da definicao de limite lateral Suponha que lim xx 0 fx L e lim xx 0 fx L Entao dado ϵ 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que x0 x x0 δ1 fx L ϵ x0 δ2 x x0 fx L ϵ Entao tomando δ minδ1 δ2 temos que se 0 x x0 δ entao δ x x0 δ x0 δ x x0 δ fx L ϵ 69 Observacao 420 1 Se lim xx 0 fx e lim xx 0 fx existirem e forem diferentes entao lim xx0 fx nao existira 2 Se x0 um ponto de acumulacao a esquerda e a direita de A e um dos limites laterias nao existirem em x0 entao lim xx0 fx nao existira Exemplo 421 Sejam A R2 e f A R definida por fx x 2 x 2 Entao lim x2 fx lim x2 x 2 x 2 1 e lim x2 fx lim x2 x 2 x 2 1 Logo lim x2 fx nao existe Definicao 422 Sejam A R f A R e x1 x2 A 1 f chamase crescente quando x1 x2 implica que fx1 fx2 2 f chamase naodecrescente quando x1 x2 implica que fx1 fx2 3 f chamase decrescente quando x1 x2 implica que fx1 fx2 4 f chamase naocrescente quando x1 x2 implica que fx1 fx2 Dizemos que f e monotona se f for qualquer um dos tipos definidos acima Teorema 423 Sejam A R f A R uma funcao monotona limitada x0 um ponto de acumulacao a esquerda de A e x1 um ponto de acumulacao a direita de A Entao existem os limites laterias lim xx 0 fx L e lim xx 1 fx M Demonstracao Suponha que f seja naodecrescente Seja M inffx x A x x1 Afirmamos que lim xx 1 fx M De fato dado ϵ 0 entao M ϵ nao e cota inferior do conjunto fx x A x x1 Entao existe δ 0 tal que x1δ A e M fx1δ M ϵ Como f e naodecrescente se x A e x1 x x1δ entao M fx fx1δ M ϵ e portanto fx M ϵ De forma analoga seja L supfx x A x x0 Afirmamos que lim xx 0 fx L De fato dado ϵ 0 entao L ϵ nao e cota superior do conjunto fx x A x x0 Entao existe δ 0 tal que x0 δ A e L ϵ fx0 δ L Como f e naodecrescente se x A e x0 δ x x0 entao L ϵ fx0 δ fx L e portanto fx L ϵ 70 Observação 424 O teorema anterior nos garante que os limites laterais quando x tende a x0 pela direita ou pela esquerda de uma função monótona limitada sempre existem mas não nos garante que o limite da função existe no ponto x0 pois podemos ter que os limites laterais são distintos Por outro lado quando x0 A então é desnecessário supor no teorema acima que f seja limitada pois por exemplo se f for nãodecrescente então fx0 inffx x A x x0 e fx0 supfx x A x x0 412 Limites no infinito Limites infinitos Definição 425 Seja A ℝ ilimitado superiormente e f A ℝ uma função Dizemos que o limite de fx quando x cresce ilimitadamente é igual a L e escrevemos limx fx L se dado ϵ 0 existe N 0 tal que para todo x A se x N então fx L ϵ Observação 426 Como uma sequência é uma função f ℕ ℝ temos que o limite de uma sequência é um caso particular de limite no infinito Definição 427 Seja A ℝ ilimitado inferiormente e f A ℝ uma função Dizemos que o limite de fx quando x decresce ilimitadamente é igual a L e escrevemos limx fx L se dado ϵ 0 existe N 0 tal que para todo x A se x N então fx L ϵ Exemplo 428 Mostre que limx 1x 0 De fato dado ϵ 0 queremos encontrar N 0 tal que se x N então 1x 0 ϵ Observe que 1x 0 ϵ 1x ϵ 0 1x ϵ x 1ϵ Assim tomando N 1ϵ temos que se x N então 1x 0 1x 1x 1N ϵ Exercício 429 Mostre que limx ex 0 e limx 1x2 0 Definição 430 Sejam A ℝ e f A ℝ uma função Definimos a limx fx se dado K 0 existe N 0 tal que se x N então fx K b limx fx se dado K 0 existe N 0 tal que se x N então fx K c limx fx se dado K 0 existe N 0 tal que se x N então fx K d limx fx se dado K 0 existe N 0 tal que se x N então fx K Exemplo 431 Mostre que limx ex De fato dado K 0 queremos N 0 tal que se x N então ex K Observe que ex K ln ex ln K x ln K Assim tomando K 1 e N ln K 0 se x N então ex eN eln K K Exercício 432 Mostre que limx x 1 Definição 433 Sejam A ℝ f A ℝ uma função e x0 um ponto de acumulação de A Definimos a limxx0 fx se dado K 0 existe δ 0 tal que se x x0 δ então fx K b limxx0 fx se dado K 0 existe δ 0 tal que se x x0 δ então fx K c limxx0 fx se dado K 0 existe δ 0 tal que se x0 x x0 δ então fx K d limxx0 fx se dado K 0 existe δ 0 tal que se x0 x x0 δ então fx K e limxx0 fx se dado K 0 existe δ 0 tal que se x0 δ x x0 então fx K f limxx0 fx se dado K 0 existe δ 0 tal que se x0 δ x x0 então fx K Exemplo 434 Seja r ℕ então limx0 1xr De fato dado K 0 queremos δ 0 tal que se 0 x 0 δ então 1xr K Observe que 1xr K xr 1K x 1K1r Assim tomando δ 1K1r temos que se 0 x 0 δ então 1xr 1δr 11K1rr K Exercıcio 435 Mostre que lim x0 1 x Observacao 436 As propriedades de limites como soma produto quociente etc conti nuam todas validas para todos os casos definidos anteriormente Propriedades 437 1 Se x0 R lim xx0 fx L 0 e lim xx0 gx 0 entao a Se gx 0 atraves de valores positivos de gx entao i lim xx0 fx gx se L 0 ii lim xx0 fx gx se L 0 b Se gx 0 atraves de valores negativos de gx entao i lim xx0 fx gx se L 0 ii lim xx0 fx gx se L 0 2 a Se lim xx0 fx e lim xx0 gx L entao i lim xx0fx gx ii lim xx0fx gx se L 0 iii lim xx0fx gx se L 0 b Se lim xx0 fx e lim xx0 gx L entao ii lim xx0fx gx ii lim xx0fx gx se L 0 iii lim xx0fx gx se L 0 3 a Se lim xx0 fx e lim xx0 gx entao ii lim xx0fx gx ii lim xx0fx gx b Se lim xx0 fx e lim xx0 gx entao ii lim xx0fx gx 73 Exemplo 442 Mostremos que fx ln x é contínua em Df 0 Mostremos então que para todo a Df temos que limxa ln x ln a Dado ϵ 0 queremos encontrar δ 0 tal que para todo x a Df se x a δ então ln x ln a ϵ Observe que ln x ln a ϵ lnxa ϵ ϵ lnxa ϵ eϵ elnxa eϵ eϵ xa eϵ a eϵ x a eϵ a eϵ a x a a eϵ a a 1 eϵ x a a eϵ 1 Assim tomando δ mina 1 eϵ a eϵ 1 temos que se x Df e x a δ δ x a δ a 1 eϵ δ x a δ a eϵ 1 a 1 eϵ x a a eϵ 1 2 ln x ln a ϵ Exemplo 443 A função fx ex é contínua De fato sabemos que Df ℝ Assim mostremos para todo a ℝ que limxa ex ea Seja h ℝ tal que x a h Observe que quando h 0 temos que x a Então limxa ex xah limh0 eah limh0 ea eh ea limh0 eh ea 1 ea Exercício 444 Mostre que a função fx ℝ ℝ dada por fx x é contínua Teorema 445 Sejam A ℝ f A ℝ uma função e x0 A Então f é contínua em x0 se e somente se limn fxn fx0 para todo sequência xn de elementos de A tais que lim xn x0 Demonstração Segue imediatamente do Teorema 49 Propriedades 446 Sejam f e g funções contínuas em ponto x0 Então 1 f g é contínua em x0 2 f g é contínua em x0 ii lim xx0fx gx c Se lim xx0 fx e lim xx0 gx entao lim xx0fx gx Observacao 438 1 As propriedades acima continuam validas se substituımos x x0por x x 0 x x 0 x ou x 2 As expressoes 0 0 0 00 1 e 0 sao expressoes indeterminadas as quais necessitam de uma analise mais detalhada das funcoes dadas e das operacoes empregadas entre as funcoes Tais indeterminacoes sao muito estudadas no Calculo e uma maneira bem eficaz de se calcular estas indeterminacoes e atraves da Regra de LHˆopital 42 Funcoes contınuas Definicao 439 Sejam A R f A R uma funcao e x0 A Dizemos que f e uma funcao contınua em x0 se e somente se lim xx0 fx fx0 isto e dado ϵ 0 existe δ 0 tal que para todo x A se x x0 δ entao fx fx0 ϵ Dizemos que f e uma funcao contınua se for contınua em todo ponto x0 A Observacao 440 Quando uma funcao fx nao e contınua em um ponto x0 dizemos que a funcao e descontınua em x0 Exemplo 441 Se fx e uma funcao polinomial entao f e uma funcao contınua De fato pois se fx anxn a2x2 a1x a0 entao para x0 Df R temos lim xx0 fx lim xx0 anxn a2x2 a1x a0 anx0n a2x02 a1x0 a0 fx0 74 3 f g e contınua em x0 desde que gx0 0 Demonstracao Segue das propriedades 411 de limites Teorema 447 A composta de duas funcoes contınuas e contınua isto e se f A R contınua no ponto a A g B R contınua no ponto b fa B e fA B entao g f A R e contınua em a Demonstracao Dado ϵ 0 como g e contınua em b existe δ1 0 tal que para y B y b δ1 entao gy gb ϵ Da mesma forma como f e contınua em a para δ1 0 existe δ2 0 tal que se x A x a δ2 entao fx fa δ1 Logo se x A x a δ2 entao fx fa δ1 e logo gfx gfa ϵ Exemplo 448 Se f A R e contınua entao f A R definida por fx fx e contınua De fato basta tomar a funcao g R R dada por gx x Como g e contınua segue do teorema anterior que g f f e contınua Teorema 449 Sejam f g A R funcoes contınuas no ponto a A com fa ga Entao existe δ 0 tal que fx gx para todo x A com x a δ Demonstracao Seja c fa ga 2 e tome ϵ c fa ga c 0 Como f e g sao contınuas em a entao existem δ1 0 e δ2 0 tal que se x A x a δ1 fa ϵ fx fa ϵ x a δ2 ga ϵ gx ga ϵ Tomando δ minδ1 δ2 temos que se x A x a δ entao fx fa ϵ c ga ϵ gx Corolario 450 Lei de Conservacao do sinal Se f A R funcao contınua no ponto a A com fa 0 resp fa 0 entao existe δ 0 tal que fx 0 resp fx 0 para todo x A com x a δ 76 421 Funcoes contınuas em intervalos fechados Teorema 451 Teorema do Valor Intermediario Seja f a b R contınua Se fa d fb entao existe c a b tal que fc d Demonstracao Seja A x a b fx d Entao A pois a A Observe que A e limitado superiormente por b logo A admite supremo Seja c sup A Temos que c b De fato pois sendo fb d tomando gx fx d temos que g e contınua em a b e gb 0 entao da Lei de Conservacao de Sinal existe δ 0 tal que gx 0 para todo x b δ b isto e fx d para todo x b δ b Portanto todo x b δ b e cota superior de A Assim mostremos que fc d Suponha que fc d Entao fc d 0 e tomando gx fx d temos que g e contınua em a b e gc 0 entao da Lei de Conservacao de Sinal existe δ 0 tal que gx 0 para todo x c δ c δ ou seja fx d para todo x c δ c δ Logo c c δ A contradizendo que c sup A Suponha agora que fc d Entao fc d 0 e tomando gx fx d temos que g e contınua em a b e gc 0 Entao da Lei de Conservacao de Sinal existe δ 0 tal que gx 0 para todo x c δ c δ isto e fx d para todo x c δ c δ Desta forma todo x c δ c e cota superior de A contradizendo que c sup A Portanto fc deve ser igual a d Corolario 452 Se f for contınua no intervalo fechado a b e se fa e fb tiverem sinais opostos entao existe pelo menos um c a b tal que fc 0 77 Demonstracao Segue imediatamente do teorema anterior observando que fa 0 fb ou fa 0 fb Exemplo 453 Considere o polinˆomio px x52x46x32x3 Observe que p1 4 e p2 17 Como p e uma funcao contınua em 1 2 segue do TVI que existe c 1 2 tal que pc 0 Logo c e uma raiz real de px Exercıcio 454 Seja f a b R contınua tal que fa a e fb b Mostre que existe c a b tal que fc c Definicao 455 Uma funcao f A R e dita ser limitada superiormente quando existe M R tal que fx M para todo x A Equivalentemente f e limitada superiormente quando o conjunto fA for limitado supe riormente Neste caso fA admite supremo Assim definimos o supremo de f em A como sendo sup f supfA Definicao 456 Uma funcao f A R e dita ser limitada inferiormente quando existe M R tal que fx M para todo x A Equivalentemente f e limitada inferiormente quando o conjunto fA for limitado inferi ormente Neste caso fA admite ınfimo Assim definimos o ınfimo de f em A como sendo inf f inffA Definicao 457 Uma funcao f A R e dita ser limitada quando f e limitada inferior mente e superiormente ou equivalentemente se existe M 0 tal que fx M para todo x A Exemplo 458 A funcao fx sen x e uma funcao limitada pois para todo x R temse que sen x 1 Neste caso sup f 1 e inf f 1 78 Exemplo 459 A função fx ex é uma função limitada inferiormente pois ex 0 para todo x R Neste caso inf f 0 Proposição 460 Se f ab R é contínua então f é limitada Demonstração Mostremos inicialmente que f é limitada superiormente Suponha que f não seja limitada superiormente Então dado n N existe xn a b tal que fxn n Pelo Teorema de BolsanoWeierstrass a sequência xn possui uma subsequência xnk convergente Seja lim xnk r ab pois ab é fechado Como f é contínua temos que lim fxnk fr Logo a sequência fxnk é limitada o que é uma contradição com o fato de fxnk nk para todo k R Mostremos agora que f é limitada inferiormente Suponha que f não seja limitada inferiormente Então dado n N existe yn ab tal que fyn n Pelo Teorema de BolsanoWeierstrass a sequência yn possui uma subsequência ynk convergente Seja lim ynk s ab pois ab é fechado Como f é contínua temos que lim fynk fs Logo a sequência fynk é limitada o que é uma contradição com o fato de fynk nk para todo k R Portanto f é limitada Teorema 461 Teorema de Weierstrass Se f ab R é contínua então f assume valores máximo e mínimo em ab Demonstração Pela proposição anterior segue que f é limitada logo existe M sup f Desta forma para cada n N existe xn ab tal que fxn M 1n pois caso contrário M 1n seria uma cota superior de f menor que M o que seria uma contradição Então xn é uma sequencia limitada pois xn ab e do Teorema de BolsanoWeierstrass xn possui uma subsequência convergente xnk Suponha que lim xnk r ab pois ab é fechado Como f é contínua temos que lim fxnk fr Mas fxnk M 1nk para todo nk N então fr lim fxnk lim M 1nk M Como fr M pois M sup f temos que fr M Seja agora L inf f pois f é limitada Então para cada n N existe yn ab tal que fyn L 1n pois caso contrário L 1n seria uma cota inferior de f maior que L 5 Derivadas 51 Nocao de derivada Definicao 51 Sejam A R f A R e x0 A um ponto de acumulacao de A Dizemos que f e derivavel ou diferenciavel em x0 quando existir o limite f x0 lim xx0 fx fx0 x x0 Neste caso dizemos que o limite f x0 e a derivada de f em x0 Quando f e derivavel em todos os pontos de A A entao dizemos que f e derivavel em A Observacao 52 1 Tomando h x x0 temos que f x0 lim xx0 fx fx0 x x0 lim h0 fx0 h fx0 h 2 Dado qualquer x para o qual a derivada de f exista podemos atribuir a x o numero f x Assim podemos considerar f como uma funcao chamada de derivada de f e definida por f x lim h0 fx h fx h 3 Notacao Se y fx denotamos a derivada de y com relacao a x por y ou f x ou dy dx ou dfx dx ou Dxy 4 Interpretacao geometrica o quociente fx fx0 x x0 representa a inclinacao da reta secante ao grafico de f que passa pelos pontos Q x fx e P x0 fx0 Assim se f x0 existir ele sera a inclinacao da reta tangente ao grafico de f no ponto x0 fx0 81 o que seria uma contradição Logo yn é uma sequencia limitada pois yn ab e do Teorema de BolsanoWeierstrass yn possui uma subsequência convergente ynk Suponha que lim ynk s ab pois ab é fechado Como f é contínua temos que lim fynk fs Mas fynk L 1nk para todo nk N Então fs lim fynk lim L 1nk L Como fs L pois L inf f temos que fs L Observação 462 A hipótese de f ser contínua em um intervalo fechado é crucial para a validade do resultado pois se tomarmos a função fx 1x temos que a mesma é contínua em 01 mas f não admite um valor máximo neste intervalo Exemplo 463 O conjunto A x² 1x 12 x 2 possui ínfimo e supremo De fato seja fx x² 1x Observe que f é contínua em 12 2 pois é soma de funções contínuas neste intervalo Então do Teorema de Weierstrass existem c d 12 2 tais que fc inf f e fd sup f Logo inf A fc e sup A fd Teorema 464 Se f ab R é contínua então fab é um intervalo fechado e limitado Demonstração Como f é contínua em ab então f assume valores máximo e mínimo em ab isto é existem c d ab tais que fc s inf f e fd r sup f Logo s fx r para todo x ab isto é fab sr Por outro lado dado y sr do Teorema do Valor Intermediário existe x entre os pontos c e d tais que fx y isto é existe x ab tal que fx y Logo sr fab Portanto fab sr 5 Dado f A R e x0 A quando x0 e um ponto de acumulacao a direita de A podemos definir a derivada lateral a direita de f em x0 como sendo o limite se existir f x0 lim xx 0 fx fx0 x x0 Quando x0 e um ponto de acumulacao a esquerda de A podemos definir a derivada lateral a esquerda de f em x0 como sendo o limite se existir f x0 lim xx 0 fx fx0 x x0 Evidentemente quando x0 e um ponto de acumulacao a esquerda e a direita de A entao f x0 existe se e somente se as derivadas laterais f x0 e f x0 existem e sao iguais Exemplo 53 1 Seja f R R definida por fx c onde c R Entao f x lim h0 fx h fx h lim h0 c c h 0 Portanto f x 0 para todo x R 2 Seja f R R definida por fx ax b com a b R Entao f x lim h0 fx h fx h lim h0 ax h b ax b h lim h0 ah h a Portanto f x a para todo x R 3 Seja f R R definida por fx ax2 bx c com a b c R Entao f x lim h0 fx h fx h lim h0 ax h2 bx h c ax2 bx c h limh0 ax2 2axh ah2 bx bh c ax2 bx c h lim h0 2axh ah2 bh h lim h0 2ax ah b 2ax b Portanto f x 2ax b para todo x R 82 4 Seja f R R definida por fx xn n N Então fx nxn1 De fato tomando t x h temos que h 0 então t x assim fx limh0 fx h fx h limtx ft fx t x limtx tn xn t x limtx t x tn1 tn2x tn3x2 t2xn3 txn2 xn1 t x xn1 xn2x xn3x2 x2xn3 xxn2 xn1 n parcelas nxn1 Portanto fx nxn1 5 Seja f 0 R definida por fx x Para todo x 0 temos fx limh0 x h x h limh0 x h x h x h x x h x limh0 x h x hx h x limh0 1 x 1 x 1 2x Portanto fx 1 2x para todo x 0 Observação 54 Pode acontecer de fx não existir para alguns pontos x no domínio de f como é o caso da função fx x Observe que 0 Df 0 mas limh0 0 h 0 h limh0 h h h h limh0 1 h f0 Assim o domínio de f pode não ser o mesmo que o domínio de f Exemplo 55 A função f R R definida por fx x não é derivável em x 0 Mostremos que f0 não existe De fato observe que f0 limh0 f0 h f0 h limh0 0 h 0 h limh0 h h f0 limh0 h h 1 f0 limh0 h h 1 Como as derivadas laterais são diferentes segue f0 não existe Portanto fx x não é derivável em 0 Observação 56 Note que a função fx x é contínua em x 0 mas não é derivável nesse ponto Disto concluise que continuidade não implica em diferenciabilidade Teorema 57 Se f e uma funcao derivavel em x0 entao f e contınua em x0 Demonstracao Como f e derivavel em x0 entao f x0 existe e f x0 lim xx0 fx fx0 x x0 Mostremos que lim xx0 fx fx0 De fato observe que lim xx0fxfx0 lim xx0 fx fx0 x x0 xx0 lim xx0 fx fx0 x x0 lim xx0xx0 f x00 0 Logo lim xx0 fx fx0 e portanto f e contınua em x0 Teorema 58 Sejam A R f A R e x0 A um ponto de acumulacao de A Entao f e derivavel em x0 se e somente se existe a R tal que rh fx0 h fx0 ah onde lim h0 rh h 0 Neste caso temos que a f x0 Demonstracao Suponha que f seja derivavel em x0 Entao f x0 lim h0 fx0 h fx0 h ou seja lim h0 fx0 h fx0 h f x0 0 lim h0 fx0 h fx0 f x0h h 0 Logo tomando a f x0 e rh fx0 h fx0 ah temos da expressao acima que lim h0 rh h 0 Reciprocamente suponha que exista a R tal que rh fx0 h fx0 ah onde lim h0 rh h 0 Observe que rh h fx0 h fx0 ah h fx0 h fx0 h a Como lim h0 rh h 0 segue que lim h0 fx0 h fx0 h a 0 ou seja lim h0 fx0 h fx0 h a Logo f x0 a A resultado acima nos diz que se a funcao fx e derivavel em x0 entao seu grafico pode ser aproximado em uma vizinhanca de x0 pelo da reta tangente y fx0 ax x0 de maneira que o erro rh com h x x0 cometido na aproximacao tornase arbitrariamente pequeno A relacao lim h0 rh h 0 nos diz que o erro rh tende a zero mais rapidamente do que h 84 Teorema 59 Sejam f g A ℝ ℝ duas funções deriváveis num ponto x A Então as funções f g f g e fg se gx 0 também são deriváveis em x e 1 f gx fx gx 2 f gx fx gx fx gx 3 fgx fx gx fx gx gx² onde gx 0 Demonstração 1 f gx limh0 f gx h f gx h limh0 fxh gxh fx gx h limh0 fx h fxh gx h gxh limh0 fx h fxh limh0 gx h gxh fx gx 2 f gx limh0 f gx h f gxh limh0 fx h gx h fx gx h limh0 fx h gx h gx h fx gx h fx fx gx h limh0 gx h fx h fx fx gx h gx h limh0 gx h fx h fxh fx gx h gxh limh0 gx h limh0 fx h fxh limh0 fx limh0 gx h gxh g é contínua gx fx fx gx 3 fgx limh0 fgx h fgxh limh0 fx hgx h fxgxh limh0 fx h gx fx gx h gx h gx h limh0 fx h gx fx gx fx gx fx gx h h 1gx h gx limh0 gx fx h fxh fx gx h gxh 1gx h gx limh0 gx limh0 fx h fxh limh0 fx limh0 gx h gxh limh0 1gx hgx g é contínua gx fx fx gx 1gx gx fx gx fx gx gx2 Teorema 510 Regra da Cadeia Sejam f A ℝ ℝ e g B ℝ ℝ funções tais que fA B x0 A A e fx0 B B Suponha que f seja derivável em x0 e g seja derivável em fx0 Então g o f A ℝ é derivável em x0 e g o fx0 gfx0 fx0 Demonstração Como f é derivável em x0 temos do Teorema 58 temos que fx0 h fx0 fx0h rh com limh0 rhh 0 Chamando de k fx0h rh temos que fx0 h fx0 k e como f é contínua quando h 0 implica que k 0 Como g é derivável em fx0 segue do Teorema 58 que gfx0 k gfx0 gfx0k sk com limk0 skk 0 Logo g o fx0 h g o fx0 gfx0 h gfx0 gfx0 k gfx0 gfx0k sk e substituindo k fx0h rh g o fx0 h g o fx0 gfx0fx0h rh sk isto é g o fx0 h g o fx0 gfx0fx0h gfx0rh sk Seja qh gfx0rh sk Se mostramos que limh0 qhh 0 então do Teorema 58 que g o f é derivável em x0 De fato limh0 qhh limh0 gfx0rh skh gfx0 limh0 rhh limh0 skh 3 Observe que skh skk kh skk fx0 h fx0h Logo como limk0 skk 0 e f é derivável em x0 temos limh0 skh limh0 skk fx0 h fx0h limk0 skk limh0 fx0 h fx0h 0 fx0 0 Como limh0 rhh 0 segue em 3 que limh0 qhh 0 Portanto g o f é derivável em x0 e g o fx0 gfx0 fx0 De fato como y fxgx entao ln y lnfxgx gx ln fx Assim y eln y egx ln fx Logo dy dx d dxegx ln fx egx ln fx gx ln fx fxgx gx ln fx Corolario 512 Seja f A B uma bijecao entre os conjuntos A B R com inversa f 1 B A Se f e derivavel num ponto de acumulacao a A e g e contınua no ponto b fa entao f 1 e derivavel em b desde que f a 0 Neste caso f 1b 1 f a Demonstracao Para y b temos f 1b lim yb f 1y f 1b y b lim yb f 1y f 1b ff 1y ff 1b lim yb 1 ff 1y ff 1b f 1y f 1b Assim chame x f 1y Como f 1 e contınua em b entao lim yb f 1y f 1b a ou seja quando y b temos que x a Como lim xa fx fa x a f a temos que f 1b lim yb 1 ff 1y ff 1b f 1y f 1b 1 lim xa fx fa x a 1 f a Portanto f 1 e derivavel em b Observacao 513 Seja f uma funcao invertıvel com inversa f 1 Entao para todo x Df1 temos f f 1x ff 1x x Supondo f e f 1 derivaveis temos derivando ambos os lados da igualdade acima com relacao a x que d dxff 1x d dxx f f 1x d dxf 1x 1 f 1x 1 f f 1x para todo x Df1 tal que f f 1x 0 88 Exemplo 511 1 Se fx an xn an1xn1a2 x2 a1 x a0 com ai ℝ i 1 n então fx n an xn1 n 1 an1 xn2 2 a2 x a1 2 Se fx xn 1xn então fx n xn1 nxn1 onde x 0 De fato pois fx 1xn 1 xn 1 xn xn2 n xn1x2n n xn1 n xn1 3 fx 2x2 5 Chamando de u gx 2x2 5 temos que fx u assim pela Regra da Cadeia fx fu gx 12u 4x 2x2x2 5 4 Seja y fxgx onde f e g são funções deriváveis em A e fx 0 para todo x A Então dydx fxgx gx ln fx 52 Maximos e Mınimos Definicao 514 Sejam A R f A R e x0 A Dizemos que f possui uma maximo local em x0 quando existe δ 0 tal que fx fx0 para todo x A x0 δ x0 δ Dizemos que f tem maximo local estrito em x0 se fx fx0 para todo x A x0 δ x0 δ Neste caso dizemos que x0 e um ponto de maximo local de f Definicao 515 Sejam A R f A R e x0 A Dizemos que f possui uma mınimo local em x0 quando existe δ 0 tal que fx fx0 para todo x A x0 δ x0 δ Dizemos que f tem mınimo local estrito em x0 se fx fx0 para todo x A x0 δ x0 δ Neste caso dizemos que x0 e um ponto de mınimo local de f Definicao 516 Sejam A R f A R e x0 A Dizemos que f possui uma maximo global ou absoluto em x0 quando fx fx0 para todo x A Neste caso dizemos que x0 e um ponto de maximo global de f Definicao 517 Sejam A R f A R e x0 A Dizemos que f possui uma mınimo global ou absoluto em x0 quando fx fx0 para todo x A Neste caso dizemos que x0 e um ponto de mınimo global de f Observacao 518 Se x0 e um ponto de maximo global ou de mınimo global de f entao x0 e um ponto de maximo local ou de mınimo local de f Ja a recıproca nao e verdadeira 89 Teorema 519 Seja f A R R uma funcao derivavel em um ponto c a b A Se c e um ponto de maximo ou mınimo local de f entao f c 0 Demonstracao Suponha que f tem um mınimo local em c Como f c existe temos f c lim xc fx fc x c Mas fx fc para x suficientemente proximo de c Assim se x c entao x c e portanto f c lim xc fx fc x c 0 I Por outro lado se x c entao x c e portanto f c lim xc fx fc x c 0 II Como f c existe entao as derivadas laterais I e II devem ser iguais a f c Logo f c 0 e f c 0 Entao f c 0 A demostracao e analoga se c for um ponto de maximo local Observacao 520 1 Geometricamente o teorema acima diz que se f tem um maximo ou mınimo local em c e f c existe entao a reta tangente ao grafico de f no ponto c fc e horizontal eq reta tangente y fc f cx c fc0 y fc 2 Se c Df e tal que f c 0 nao implica que f tem um valor maximo ou mınimo local em c 90 Por exemplo a funcao fx x3 tem derivada f x 3x2 e logo f 0 0 mas 0 nao e ponto de maximo e nem ponto de mınimo de f 3 Pode acontecer de f ter valor maximo ou mınimo local global em um ponto c mas f c nao existir Por exemplo a funcao fx x tem valor mınimo global em f0 0 mas a derivada de f em 0 nao existe Definicao 521 Seja f A R R uma funcao Um ponto c A e chamado de ponto crıtico de f se f c 0 ou se f c nao existe Exemplo 522 Encontre os pontos crıticos de fx x3 3x2 3x 1 Como f x 3x2 6x3 temos que os pontos crıticos de f sao dados tais que f c 0 isto e 3c2 6c 3 0 c 6 36 4 3 3 2 3 1 Portanto c 1 e o unico ponto crıtico de f Teorema 523 Teorema de Rolle Seja f a b R uma funcao contınua em a b derivavel em a b e que satisfaca fa fb Entao existe c a b tal que f c 0 91 Demonstração Note que se f for uma função constante fxk xab então fx0 xab e portanto o resultado segue imediato Suponha então que f não é constante Como f é contínua em ab pelo Teorema de Weierstrass existem x1x2ab tais que fx1fxfx2 xab Como f não é constante em ab temos que fx1fx2 e como fafb podemos afirmar que um dos pontos x1 ou x2 pertencem ao intervalo aberto ab Assim como f é derivável em ab segue do Teorema de Fermat que fx10 ou fx20 ou seja existe cab tal que fc0 Teorema 524 Teorema do Valor Médio Seja f abℝ uma função contínua em ab e derivável em ab Então existe pelo menos um cab tal que fcfbfaba ou seja fbfafcba Demonstração Considere a função Sxfafbfabaxa cujo gráfico é a reta passa pelos pontos afa e bfb Seja g a função dada por gxfxSx xab Então g é contínua em ab derivável em ab e gafaSa0 e gbfbSb0 isto é gagb Então pelo Teorema de Rolle existe cab tal que gc0 Mas gxfxSxfx fbfaba Logo 0gcfc fbfaba fcfbfaba 2 Se f x 0 para todo x a b entao f e decrescente em a b 3 Se f x 0 para todo x a b entao f e naodecrescente em a b 4 Se f x 0 para todo x a b entao f e naocrescente em a b Demonstracao Sejam x y a b com x y Pelo Teorema do Valor Medio existe c x y tal que fy fx f cy x Como y x 0 entao 1 se f c 0 fy fx f e crescente 2 se f c 0 fy fx f e decrescente 3 se f c 0 fy fx f e naodecrescente 4 se f c 0 fy fx f e naocrescente 53 Regras de LHˆopital Veremos primeiramente uma situacao particular da regra de LHˆopital Teorema 529 Sejam f g A R R funcoes continuamente derivaveis no ponto a A A tais que lim xa fx 0 e lim xa gx 0 e ga 0 Entao lim xa fx gx lim xa f x gx f a ga Demonstracao Como f e g sao continuamente derivaveis derivaveis em a segue que ambas sao contınuas em a e por isso fa ga 0 Logo lim xa fx gx lim xa fx fa gx ga lim xa fxfa xa gxga xa lim xa fx fa x a lim xa gx ga x a f a ga lim xa f x gx Para demonstrar os casos gerais precisaremos dos lemas a seguir 94 Observação 525 Geometricamente este teorema diz que se S é a reta passando pelos pontos afa e bfb então existirá pelo menos um ponto cfc com acb tal que a reta tangente T ao gráfico de f neste ponto é paralela à reta S Exemplo 526 Mostremos que sen b sen a b a para todo ab ℝ Sejam ab ℝ e suponha que ab Como sen é contínua e derivável em ℝ temos que sen é contínua em ab e derivável em ab Logo do TVM existe c ab tal que senc sen b sen a b a Mas sen xcos x logo senc cos c e cos c 1 Então 1 cos c sen b sen a b a sen b sen a b a sen b sen a b a Corolário 527 Seja f ab ℝ uma função contínua em ab e tal que fx 0 para todo x ab Então f é constante em ab Demonstração Sejam xy ab Mostremos que fx fy Suponha sem perda de generalidade que x y Do Teorema do Valor Médio existe c xy tais que fyfx fcyx Como c ab então fc 0 o que resulta que fy fx Desta forma fx fy para todo xy ab Mostremos que fa fx fb para x ab Seja x ab Seja xn ab tal que lim xn a Como f é contínua em ab então lim fxn fa Mas fxn fx para todo n ℕ Então segue que fx lim fxn fa De modo análogo mostrase que fx fb Corolário 528 Seja f ab ℝ uma função contínua em ab e derivável em ab Então 1 Se fx 0 para todo x ab então f é crescente em ab Lema 530 Seja f uma funcao derivavel em a b com f x 0 para todo x a b tais que lim xa fx 0 Entao fx 0 para todo x a b Demonstracao Considere a funcao F definida em a b dada por Fx fx se x a b 0 se x a Como f e derivavel em a b temos que f e contınua em a b Logo F tambem e contınua em a b Por outro lado lim xa Fx lim xa fx 0 Fa ou seja F e contınua em a Logo F e contınua em a b e derivavel em a b de forma que F x f x 0 para todo x a b Logo do Corolario 528 F e crescente em a b Como Fa 0 entao Fx 0 para todo x a b ou seja fx 0 para todo x a b Observacao 531 No lema anterior de forma analoga se f x 0 para todo x a b tais que lim xa fx 0 entao fx 0 para todo x a b Exercıcio Lema 532 Sejam f g R R funcoes derivaveis em a b com gx 0 para todo x a b tais que lim xa fx 0 e lim xa gx 0 Suponha que existam constantes α β R tais que para todo x a b α f x gx β Entao para todo x a b temse que α fx gx β Demonstracao Pelo lema anterior temos que gx 0 para todo x a b Por outro lado para todo x a b α f x gx β αgx f x βgx Logo para todo x a b temse que αgx f x 0 e βgx f x 0 Como lim xa αgx fx 0 e lim xa βgx fx 0 entao do Lema anterior temos que αgx fx 0 e βgx fx 0 para todo x a b Logo para todo x a b temos α fx gx β 95 Observacao 533 O lemas acima sao analogos se trocarmos os limites laterais a direita x a por limites laterais a esquerda x b ou limites no infinito x Teorema 534 1ª Regra de LHˆopital Sejam f g R R funcoes derivaveis em a r a a a r com r 0 e gx 0 em a r a r Se lim xa fx 0 e lim xa gx 0 e se lim xa f x gx existir ou for igual entao o limite lim xa fx gx existira ou sera igual e lim xa fx gx lim xa f x gx Demonstracao Suponha que lim xa f x gx L com L R Entao lim xa f x gx L e assim dado ϵ 0 existe δ 0 δ r tal que para x a a δ entao L ϵ f x gx L ϵ Do Lema 532 temos para a x a δ que L ϵ fx gx L ϵ Logo lim xa fx gx L De forma analoga lim xa f x gx L implica que lim xa fx gx L Logo lim xa fx gx L lim xa f x gx Agora suponha que lim xa f x gx Entao dado α 0 existe δ 0 δ r tal que x a a δ entao α f x gx Do Lema 532 temos para a x a δ que α fx gx ou seja lim xa fx gx Os demais casos segue de maneira analoga Lema 535 Sejam f g R R funcoes derivaveis em a b com gx 0 para todo x a b tais que lim xa fx e lim xa gx Suponha que existam constantes α β R tais que para todo x a b α f x gx β Entao existem constantes M N e δ 0 tais que para todo x a a δ a b temse que M gx α fx gx β N gx 96 Demonstracao Como lim xa gx segue que existe δ 0 tal que para todo x a a δ temse que gx 0 Por outro lado para todo x a b gx 0 e de α f x gx β temse que αgx f x 0 e βgx f x 0 Logo do Corolario 528 temos para x a a δ que αgx fx αga δ fa δ e βgx fx βga δ fa δ Fazendo M fa δ αga δ e N fa δ βga δ e lembrando que gx 0 em a b temos para todo x a a δ que M gx α fx gx β N gx Teorema 536 2ª Regra de LHˆopital Sejam f g R R funcoes derivaveis em a b com gx 0 para todo x a b Se lim xa fx e lim xa gx e se lim xa f x gx existir ou for igual entao o limite lim xa fx gx existira ou sera igual e lim xa fx gx lim xa f x gx Demonstracao Suponha que lim xa f x gx L Entao dado ϵ 0 existe δ 0 com aδ b tal que para x a a δ entao L ϵ 2 f x gx L ϵ 2 Do Lema 535 existem constantes M N e δ1 0 com δ1 δ tais que para x a a δ1 temse que M gx L ϵ 2 fx gx L ϵ 2 N gx Por outro lado como lim xa M gx 0 e lim xa N gx 0 97 existe δ2 0 tal que para x a aδ2 temse que ϵ 2 M gx e N gx ϵ 2 Logo tomando δ minδ1 δ2 temos para x a a δ que L ϵ 2 ϵ 2 M gx L ϵ 2 fx gx L ϵ 2 N gx L ϵ 2 ϵ 2 isto e L ϵ fx gx L ϵ Logo lim xa fx gx L Agora suponha que lim xa f x gx Entao dado α 0 existe δ 0 com a δ b tal que x a a δ entao α f x gx Do Lema 535 existem constantes M e δ1 0 com δ1 δ tais que para x a a δ1 temse que M gx α fx gx como lim xa M gx 0 segue que lim xa fx gx Os demais casos segue de maneira semelhante Observacao 537 As regras de LHˆopital continuam validas para os limites laterais e limites no infinito Exemplo 538 Calcule os limites 1 lim x1 ln x x 1 Note que lim x1 ln x 0 e lim x1 x 1 0 entao pela regra de LHˆopital temos lim x1 ln x x 1 lim x1 ln x x 1 lim x1 1 x 1 1 2 lim x ex x Note que lim x ex e lim x x entao por LHˆopital temos lim x ex x lim x ex x lim x ex 1 3 lim x0 senx x lim x0 sen x x 0 0 LHˆopital lim x0 sen x x lim x0 cos x 1 1 98 Referˆencias 1 AVILA Geraldo S S Analise Matematica para Licenciatura 3ª edicao Sao Paulo 2006 2 FIGUEIREDO Djairo G Analise I 2ª Edicao Rio de Janeiro 1996 3 GUERREIRO J S Curso de Analise Matematica Escolar Editora Lisboa 2008 4 Guidorizzi Hamilton L Um curso de Calculo volume 1 5ª edicao Rio de Janeiro LTC 2009 5 LIMA Elon L Curso de Analise Volume I 12ªedicao IMPA Rio de Janeiro 2009 6 MADUREIRA Alexandre L Introducao a Analise Real notas de aula da posgraduacao do LNCC 2006 99