Prova - Conjunto Finito F 3 7 9 25 29 33 45 51 63

Alunoa Alunoa Alunoa Alunoa 1 Prove que o conjunto F 3 7 9 25 29 33 45 51 63 é um conjunto finito Primeira forma de provar Para provar que o conjunto F é finito precisamos mostrar que ele tem um número finito de elementos Podemos fazer isso contando os elementos em F 𝐹 9 Como o resultado é um número finito podemos concluir que o conjunto F é finito Segunda forma de provar Além disso podemos mostrar que F não tem limites superior ou inferior Podemos ver que o elemento máximo de F é 63 e o mínimo é 3 mas esses valores não são limites superiores ou inferiores no sentido matemático Um limite superior é um número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto e um limite inferior é um número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto Como nenhum número maior que 63 está em F e nenhum número menor que 3 está em F F não tem limites superiores ou inferiores no sentido matemático Portanto podemos concluir que F é um conjunto finito Terceira forma de provar Para provar por redução ao absurdo que o conjunto F 3 7 9 25 29 33 45 51 63 é finito suponha por absurdo que F é infinito Se F é infinito então podemos construir uma sequência infinita estritamente crescente de elementos em F Vamos chamar essa sequência de 𝑎𝑛 onde 𝑎1 é o menor elemento de F e cada 𝑎𝑛1 é o próximo elemento menor de F que é maior que 𝑎𝑛 Por exemplo podemos começar com 𝑎1 3 e em seguida encontrar o próximo menor elemento de F que é maior que 3 que é 7 Em seguida podemos encontrar o próximo menor elemento de F que é maior que 7 que é 9 e assim por diante Mas isso levaria a uma contradição porque a sequência 𝑎𝑛 é estritamente crescente e cada elemento pertence a F o que significa que não pode haver um limite superior para a sequência que não esteja em F No entanto isso contradiz o fato de que F é um conjunto infinito e portanto deve ter um maior elemento Logo chegamos a uma contradição e nossa suposição inicial de que F é infinito deve estar errada Portanto podemos concluir por redução ao absurdo que o conjunto F 3 7 9 25 29 33 45 51 63 é de fato finito