Modelo de Bielas e Tirantes em Concreto Armado

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS ÁREA DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS CONCRETO ARMADO APLICAÇÕES DE MODELOS DE BIELAS E TIRANTES ENG REGINALDO CARNEIRO DA SILVA ORIENTADOR PROF DR JOSE SAMUEL GIONGO Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Estruturas COMISSÃO EXAMINADORA Prof Dr Yosiaki Nagato UFRJCOPPE Prof Dr Libânio Miranda Pinheiro USPEESC Prof Dr José Samuel Giongo USPEESC SUPLENTES Prof Dr Laércio Ferreira e Silva USPEESC Prof Dra Ana Lúcia H C El Debs USPEESC São Carlos Novembro de 1991 AGRADECIMENTOS Ao Prof Dr José Samuel Giongo pela orientação dedicada e competente pelo convívio profissional e pessoal Ao Prof Dr Libânio Miranda Pinheiro pela importante contribuição bibliográfica incentivo e sugestões durante a elaboração do trabalho Ao Prof Dr João Bento de Hanai pelas sugestões no exame de qualificação À Sra Sylvia Helena M Villani pela rapidez e excelente qualidade dos desenhos À Sra Maria Nadir Minatel pela colaboração e revisão das referências bibliográficas Às Sras Rosi A J Rodrigues e Marta R C Faria pela cooperação e impressão final do texto Aos Professores Toshiaki Takeya Mounir Khalil El Debs e Norberto Costardi pela contribuição na formação profissional Aos demais professores e funcionários do Departamento de Estruturas da EESCUSP À Universidade Federal de Viçosa que me propiciou condições de estudo e pesquisa em nível de pósgraduação Ao Prof Ernani Mendes Nobre e demais colegas e amigos da pósgraduação À CAPES pelo auxílio financeiro prestado através da concessão de bolsa de estudos À Letícia e Matheus esposa e filho Aos meus pais Este trabalho aborda os fundamentos do modelo de bielas e tirantes a sistematização do cálculo e exemplos de dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado Relacionase o comportamento estrutural dos elementos com os modelos simplificados propostos por vários autores Comentase também sobre o detalhamento das armaduras compatibilizandoo aos modelos utilizados Para as vigas usuais analisase o critério proposto pelo Código Modelo do Comité EuroInternational du Beton CEB editado em 1990 com relação à verificação das tensões tangenciais originadas do cisalhamento e ao dimensionamento das armaduras transversais Modelos são propostos para algumas regiões descontínuas como vigasparede ligações vigapilar consoles e descontinuidades geométricas em vigas Nos exemplos mostrase a aplicação de alguns dos modelos propostos aos elementos estruturais abordados Para as vigas usuais em geral o critério do CEB mostrouse mais econômico com relação ao consumo de armadura do que o proposto pelo Anexo da NBR 7197 editado em 1989 que altera prescrições da NBR 6118 Para o projeto de elementos estruturais com regiões descontínuas podese utilizar a modelagem para o dimensionamento das armaduras e a verificação das tensões no concreto Todavia ressaltase que em alguns casos a verificação das tensões ainda não pode ser feita com exatidão devido à incerteza com relação à geometria das bielas e regiões nodais dos modelos This work treats the fundamentals of the strutandtie models the design systematization and examples for reinforced concrete structural members The structural behaviour of the members is compared with the simplified models proposed by several authors The reinforcement layout is also commented adapting it to the models For the common beams it is analysed the criterion proposed by the Model Code of Comité EuroInternational du Beton CEB edited in 1990 for the verification of shear stresses and the transverse reinforcement calculation Models are proposed for some discontinuous regions like in deep beams beamcolumn connections corbels and geometrical discontinuities in beams In the examples it is shown the application of some proposed models to the treated structural members For the common beams generally the calculation by the CEB criterion resulted more economical compared with the amount of reinforcement given by NBR 7197Addendum edited in 1988 For the structural members design with discontinuous regions the models can be used in order to calculate the reinforcement area and to verify the concrete stresses However it can be emphasized that in some cases the verification of stresses cannot be made with accuracy due to the doubt related to the geometry of the struts and the nodal regions of the models 4 APLICAÇÃO AS VIGASPAREDE SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1 1 12 HISTÓRICO 1 3 13 OBJETIVOS 1 4 14 ETAPAS DO TRABALHO 1 4 2 FUNDAMENTOS DO MODELO 21 INTRODUÇÃO 2 1 22 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO MODELO 2 2 23 REGIÕES B E D 2 4 24 ANÁLISE ESTRUTURAL 2 7 25 PROCESSO DO CAMINHO DE CARGA 2 8 26 ROTINA DE PROJETO 2 11 27 OTIMIZAÇÃO DO MODELO 2 12 28 DIMENSIONAMENTO DAS BIELAS TIRANTES E NÓS 2 14 281 DIMENSIONAMENTO DAS BIELAS 2 15 282 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS BIELAS 2 17 283 DIMENSIONAMENTO DOS TIRANTES 2 20 284 DIMENSIONAMENTO DOS NÓS 2 21 285 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS REGIÕES NODAIS 2 27 286 COMENTÁRIOS SOBRE OS PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA 2 30 5 APLICAÇÃO AS LIGAÇÕES VIGAPILAR 6 APLICAÇÃO AOS CONSOLAS E DESCONTINUIDADES GEOMÉTRICAS EM VIGAS 7 EXEMPLOS PRÁTICOS 74 EXEMPLO 3 VIGA DE TRANSIÇÃO 711 1 INTRODUÇÃO No modelo de vigas e tirantes os elementos comprimidos ou bielas representam campos de tensão de compressão no concreto e os elementos tracionados ou tirantes campos de tensão de tração que são geralmente absorvidos pelas barras da armadura Eventualmente essas A analogia da treliça clássica idealizada por Ritter e Mörsch e analisada experimentalmente pelo segundo no início deste século foi uma das concepções mais duradoras da história do concreto armado Quase noventa anos depois as pesquisas sugeriram apenas modificações e aperfeiçoamentos na teoria inicial mantendo no entanto a sua ideia básica a analogia entre a viga de concreto armado fissurada e a treliça Os resultados de ensaios sugeriram a adoção de uma treliça chamada treliça de Mörsch generalizada cuja inclinação θ das bielas comprimidas com a horizontal passou a ser adotada de maneira compatível com o modelo obtido nos ensaios Na década de 80 pesquisadores de Stuttgart 1987 sugeriram a utilização de modelos de bielas e tirantes de modo generalizado para o dimensionamento de outros elementos estruturais Podese citar ainda vigasparede apoios em dente e aberturas em fundação MARTI 1985 utilizando a teoria da plasticidade propôs a aplicação dos modelos no dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais de uma viga Um conjunto de critérios básicos utilizando bielas tirantes nós leques e arcos tornam possível o desenvolvimento de modelos adequados Através da comparação com resultados de ensaios COOK MITCHELL 1988 confirmaram a adequação desses modelos ao projeto de vigasparede consoles e vigas com descontinuidades geométricas O Código Modelo CEBFIP 1990 e a norma canadense CAN3A233M84 1984 recomendam a utilização desses modelos e sugerem valores para os parâmetros de resistência das bielas e regiões nodais MACGREGOR 1988 apresenta exemplos de aplicação dos modelos a alguns tipos de vigasparede ligações vigapilar e outras regiões descontínuas O objetivo deste trabalho é apresentar o modelo de bielas e tirantes de maneira a possibilitar a sua utilização pelos projetistas de estruturas de concreto armado Procurase sistematizar sua aplicação através de rotinas de projeto para casos frequentes Finalmente por meio de exemplos práticos pretendese mostrar a aplicação dos modelos e comparar alguns resultados com aqueles obtidos através de outras rotinas de cálculo Pretendese inicialmente apresentar uma revisão de literatura sobre os fundamentos do modelo proposto A ênfase nos pontos básicos do modelo suas origens e justificativas propicia ao usuário uma utilização mais segura e eficiente do mesmo Tópicos ainda controversos como a resistência das bielas comprimidas e das zonas nodais serão discutidos e analisados tendo em vista a literatura disponível e as recomendações de normas Posteriormente procurase aplicar o modelo proposto a vários tipos de estruturas e suas partes através da análise do comportamento estrutural Para as vigas usuais e de transição no capítulo 3 apresentase o refinamento dos modelos pela consideração dos efeitos de leque e de arco além do critério do CEB1990 para a verificação das tensões tangenciais oriundas do cisalhamento No capítulo 4 sobre vigasparede relacionase o comportamento estrutural para diversos tipos de ações aos modelos propostos O detalhamento das armaduras é também apresentado sob a ótica do modelo adotado Para os diversos tipos de ligações vigapilar no capítulo 5 propõemse modelos considerando as possíveis combinações de ações atuantes Através da análise de resultados de ensaios já realizados recomendase uma disposição adequada das armaduras Modelos são propostos para consoles no capítulo 6 juntamente com recomendações sobre o detalhamento das armaduras Para algumas descontinuidades geométricas em vigas apoios em dente aberturas sugerese modelos em função de alguns parâmetros geométricos A apresentação de exemplos práticos para vigas usuais vigasparede consoles etc visa principalmente esclarecer tópicos acerca da geometria e dos parâmetros de resistência das bielas e regiões nodais A comparação com resultados obtidos por outras rotinas de cálculo ou ensaios já realizados tem caráter apenas ilustrativo Finalmente tendo em vista os resultados dos exemplos apresentados analisase a adequação da modelagem para o projeto dos elementos estruturais abordados São feitas sugestões para a continuidade da pesquisa a nível teórico eou experimental 2 FUNDAMENTOS DO MODELO 21 INTRODUÇÃO Os modelos de bielas e tirantes são representações discretas dos campos de tensão nos elementos estruturais de concreto armado As bielas são idealizações dos campos de tensão de compressão no concreto e os tirantes campos de tensão de tração que podem ser absorvidos por uma ou várias camadas de armadura O modelo idealizado que é uma estrutura de barras concentra todas as tensões em barras comprimidas e tracionadas ligandoas através de nós rearranjado alterando a posição das bielas e tirantes com o objetivo de aumentar a resistência da estrutura Entretanto em regiões com baixas tensões esta posição pode desviarse consideravelmente do modelo elástico Por tentativas através do teorema do limite inferior da teoria da plasticidade poderseia obter um modelo mais próximo do que ocorre antes da carga última Observase que a estrutura pode se adaptar por si só até certo ponto ao sistema estrutural interno previsto reaç ões do número de camadas e cobrimento da armadura A Fig 21a apresenta o modelo para uma viga parede simplesmente apoiada submetida a uma força concentrada no meio do vão As três áreas sombreadas representam as regiões nodais externamente aplicadas coincidem em cada nó como mostra a Fig 21a Esta exigência pode limitar as dimensões das bielas A região nodal do apoio na Fig 21a é redesenhada com a armadura distribuída em camadas na Fig 21b e com um cobramento maior na Fig 21c Simplificadamente o modelo pode ser representado como mostrado na Fig 21d onde as bielas de compressão são substituídas por linhas tracejadas e os tirantes por linhas contínuas 23 REGIÕES B E D Para efeito de aplicação do modelo podese subdividir a estrutura em regiões contínuas e descontínuas As regiões contínuas são aquelas em que as hipóteses de Bernoulli de distribuição linear de deformações ao longo da seção transversal são válidas Em regiões descontínuas essas hipóteses não permanecem válidas SCHLAICH et alii 19871 denominam estas regiões contínuas de regiões BC B de Bernoulli e as descontínuas de regiões DC D de descontinuidade Fig22 Exemplos de regiões D Ref 2 Estas regiões D onde a distribuição de deformações é nãolinear podem ser produzidas por descontinuidades estáticas eou geométricas A Fig 22 apresenta exemplos de descontinuidades estáticas ações concentradas e reações e geométricas aberturas em vigas e nós de pórticos As regiões B fissuradas podem ser projetadas 2 4 utilizandose os modelos de treliça usuais Os modelos de bielas e tirantes representam de modo aproximado o fluxo interno de tensões em regiões D Estas regiões D têm sido projetadas hoje em dia de maneira inadequada através de regras práticas o que tem provocado um desempenho insatisfatório e até mesmo o colapso das estruturas A utilização de modelos de bielas e tirantes permite um tratamento unificado no projeto de regiões B e D pois o modelo de treliça nada mais é do que um caso particular do modelo de bielas e tirantes A subdivisão da estrutura em regiões B e D pode ser feita considerandose as trajetórias de tensões nas proximidades das regiões descontínuas Conforme o Princípio de SaintVenant há uma região definida por dimensões da mesma ordem de grandeza da seção transversal do elemento carregado na qual se processa a regularização das tensões Partindo desse princípio podese delimitar as regiões D considerandose a partir das descontinuidades geométricas ou estáticas distâncias iguais à altura das regiões B A Fig 23 apresenta exemplos de outras regiões D e seus limites Fig 23 Exemplos de regiões D e seus contornos a apoio em dente b variação de altura da seção c apoio externo d força concentrada Ref 2 O procedimento sugerido no parágrafo anterior para delimitação das regiões B e D é aproximado visto que para 2 5 cada tipo de descontinuidade a distribuição de tensões pode ser um pouco diferente Entretanto como não é necessária muita exatidão na definição da linha divisória destas Fig 24 Exemplos de estruturas e suas regiões B e D apórtico bviga contínua cpilar com console dvigaparede 2 6 regiões o procedimento proposto tornase satisfatório Exemplos de estruturasou suas partes e sua subdivisão em regiões B e D são apresentados na Fig 24 No pórtico da Fig 24a as regiões D são as ligações entre a viga e os pilares e as sapatas Os pontos de atuação das ações e reações e as descontinuidades geométricas são as regiões D da viga contínua da Fig 24b O console e a viga parede das Figs 24c e d também constituem regiões D 24 ANÁLISE ESTRUTURAL Na maior parte dos casos seria bastante incômodo modelar a estrutura inteira com bielas e tirantes É mais conveniente efetuar uma análise estrutural e dividir a estrutura em regiões B e D Por exemplo para estruturas hiperestáticas obtêmse em primeiro lugar as reações de apoio e esforços internos e depois dividese a estrutura em regiões B e D O projeto das regiões B pode ser efetuado aplicandose os modelos de treliça Para o projeto das regiões D devese conhecer os esforços solicitantes no contorno destas regiões Estes esforços são obtidos da análise estrutural e do projeto das regiões B adjacentes Obviamente para estruturas que consistem unicamente de regiões D como as vigasparede as forças no contorno serão as ações aplicadas e as reações de apoio É oportuno frisar a importância da divisão da estrutura em regiões B e D e a definição dos esforços no contorno para se delinear o caminhamento de cargas dentro da estrutura O caminhamento destas cargas possibilita a modelagem da estrutura através do processo do caminho de carga O modelo adotado para a estrutura é então função da geometry da mesma e das ações atuantes no seu contorno Estruturas de mesma geometry e ações diferentes não são modeladas da mesma maneira O exposto mostra claramente como é inadequado utilizar apenas parâmetros geométricos para classificar estas estruturas Assim as relações lh geralmente adotadas na classificação de consoles e vigasparede são insuficientes Para estruturas que não são planas podese subdividilas em seus planos individuais e tratálos separadamente com objetivo de simplificar a obtenção dos modelos Elementos retangulares submetidos a configurações de tensões tridimensionais podem ser analisados em planos ortogonais diferentes Apesar de em geral apenas modelos bidimensionais serem considerados a interação de modelos em planos diferentes deve ser levada em conta através de condições de contorno apropriadas 25 PROCESSO DO CAMINHO DE CARGA Modelos de bielas e tirantes podem ser sistematicamente desenvolvidos através do fluxo de cargas dentro da estrutura pelo processo do caminho de carga Devese primeiramente assegurar que o equilíbrio externo da região a ser modelada esteja satisfeito pela determinação de todos os esforços atuantes no contorno O caminhamento das cargas no interior da estrutura ocorre através de campos de tensão de tração e compressão que serão representados no modelo por tirantes e bielas respectivamente Para regiões com ação distribuída no contorno esta deve ser substituída por forças concentradas equivalentes de tal modo que as cargas de um lado da estrutura depois de percorrerem um determinado caminho de carga encontrem do outro lado cargas que as equilibrem Estes caminhos de carga devem ser alinhados e não podem se interceptar Além disso duas cargas opostas devem ser interligadas por caminhos de carga os mais curtos possíveis As curvaturas existentes nesses caminhos de carga representam concentrações de tensões Após desenhar todos os caminhos de carga entre as cargas externas devese substituílos por linhas de um polígono Através da análise das cargas externas dividese estas linhas em bielas e tirantes sendo as bielas representadas por linhas interrompidas e os tirantes por linhas contínuas Depois disso bielas e tirantes adicionais devem ser acrescentados para equilíbrio dos nós A Fig 25 apresenta um exemplo simples de aplicação do processo do caminho de carga No caso o tirante Rst1 e a biela Rc3 aparecem para equilibrar as forças atuantes nos nós 3 e 1 respectivamente Fig 25 Exemplo de aplicação do processo do caminho de carga em uma vigaparede a a estrutura e suas ações no contorno b o caminhamento das ações externas c as linhas do polígono d o modelo e o equilíbrio dos nós A modelagem para uma vigaparede contínua de dois vãos submetida a uma ação uniformemente distribuída é apresentatada na Fig 26 Em alguns casos as ações atuantes no contorno não são totalmente equilibradas pelos caminhos de carga descritos anteriormente Permanecem ainda resultantesde mesmo valor e sentido contrário que entram e saem da estrutura após um giro através da mesma A Fig 27 exemplifica A modelagem fornece ao projetista uma certa liberdade de escolha que pode ser utilizada para se obter estruturas mais seguras e econômicas Nos casos em que se dispõem de diferentes modelos para uma mesma estrutura o projetista pode se perguntar se a escolha foi a mais adequada A obtenção de modelos ótimos é uma tarefa difícil que exige bastante experiência Entretanto segundo SCHLAICH ET ALLI 1987 percebese que as cargas tentam utilizar o caminho de mínimas forças e deformações Como os tirantes das armaduras são muito mais deformáveis que as bielas de concreto o modelo com tirantes mais curtos é o melhor Este critério pode ser formulado como segue Fig 28 Exemplo de dois modelos para uma mesma vigaparede em que o modelo adequado a possui tirantes mais curtos que o modelo bRef1 Fig29 Superposição de dois modelos para consolos com ação aplicada ao longo da altura 2 13 28 DIMENSIONAMENTO DAS BIELAS TIRANTES E NÓS O dimensionamento das bielas e tirantes não consiste somente na definição da seção necessária para absorver as forças atuantes Devese também assegurar a transferência das forças entre eles através da verificação das regiões do nó A resistência das bielas suportadas pelos nós e dos tirantes neles ancorados depende do detalhamento escolhido para o nó Isto ocorre porque o detalhe do nó definido pelo projetista afeta o fluxo de forças Caso o detalhamento do nó seja modificado por questões construtivas o seu dimensionamento também deverá ser revisto 2 14 281 DIMENSIONAMENTO DAS BIELAS As bielas são no modelo discretizações de campos de tensão de compressão no concreto Tratase evidentemente de uma idealização da realidade Dependendo da forma como as tensões de compressão se distribuem através da estrutura a partir de ações concentradas e reações teremos bielas ou campos de compressão diferentes Para cobrir todos os campos de distribuição de tensões de compressão podemos enumerar três configurações típicas adistribuição de tensões radialFig 211a bdistribuição de tensões em linhas curvilíneas com afunilamento da seçãoFig 211b cdistribuição de tensões paralelaFig 211c Fig 211 Configurações típicas de campos de tensão de compressão Ref 2 A distribuição de tensões radial é uma idealização de um campo de tensão com curvatura desprezível Este tipo de distribuição de tensões pode ser encontrado em regiões D onde forças concentradas são introduzidas e propagadas de maneira suave Neste campo de tensão não se desenvolvem trações transversais 2 15 A distribuição de tensões paralela ocorre quando as tensões se distribuem uniformemente sem perturbação Este campo de tensão é típico de uma região B e evidentemente não desenvolve trações transversais A distribuição de tensões em linhas curvilíneas com afunilamento da seção ocorre quando forças concentradas são introduzidas e propagadas através de curvaturas acentuadas A difusão dessas tensões provoca compressão biaxial ou triaxial abaixo da força e trações transversais consideráveis Esta tração transversal combinada com a compressão longitudinal pode provocar fissuras longitudinais e iniciar uma ruptura prematura Como a resistência à tração do concreto é muito baixa normalmente se reforça este campo de tensão na direção transversal A armadura transversal necessária pode ser determinada por meio de diagramas simplificados É importante assinalar que a resistência do concreto nos campos de compressão depende substancialmente do seu estado multiaxial de tensões e das perturbações causadas pelas fissuras e armaduras SCHAFER SCHLAICH 1988 sugerem os seguintes valores simplificados da resistência das bielas 085 f cd para um estado de tensão uniaxial e sem perturbação 068 f cd para campos de compressão com fissuras paralelas às tensões de compressão 051 f cd para campos de compressão com fissuras inclinadas Os valores acima indicam que a resistência das bielas é considerada como sendo 08 vezes a dos banzos comprimidos Exemplo de resistência reduzida Deformação numa biela atravessada por tiranteRef 7 DIMENSIONAMENTO DOS NÓS Um nó pode ser definido como um volume de concreto que envolve as interseções das bielas comprimidas em combinação com forças de ancoragem eou forças de compressão externasações concentradas ou reações de apoio críticos desde que seja providenciada uma ancoragem adequada para a armadura O nó A da Figura 215 é um exemplo de nó contínuo Os nós singulares são aqueles em que forças concentradas são aplicadas e o desvio de forças é feito localizadamente Estes nós são críticos e devem ter suas tensões verificadas O nó B da Figura 215 é um exemplo de nó singular Tais nós originamse principalmente de ações concentradas reações de apoio e forças concentradas introduzidas pela armaduraplacas de ancoragem laços Nós singulares também podem aparecer em concentrações de tensões devidas a descontinuidades geométricas Em geral os nós devem ser dimensionados de tal modo que todas as forças sejam ancoradas e equilibradas de maneira segura A geometria da região nodal e a disposição da armadura devem ser consistentes com o modelo no qual o projeto da estrutura é baseado e com as forças aplicadas Segundo o CEB90 normalmente as tensões de compressão nos nós precisam ser verificadas somente onde forças concentradas são aplicadas à superfície do elemento estrutural como por exemplo abaixo de placas de apoio e de ancoragem e acima de apoios Uma verificação das tensões no nó dentro da estrutura pode tornarse necessária em descontinuidades geométricas Alguns tipos de regiões nodais se repetem exatamente em diferentes estruturas conduzindo a procedimentos simplificados para o seu dimensionamento a Com o objetivo de ajustar a geometria do nó às forças aplicadas devese distribuir a armadura ancorada sobre uma certa altura Esta altura deve ser definida em função das larguras dos campos de tensão e do valor das forças concorrentes no nó b Verificação das tensões de compressão no nó de acordo com o item 285 c Verificação da ancoragem segura dos tirantes Os 2 22 comprimentos de ancoragem das barras e raio mínimo das barras dobradas devem ser obtidos através da NBR 6118 Supõese que o comprimento de ancoragem começa na seção onde as trajetórias de tensões de compressão de uma biela encontram a barra ancorada e sejam desviadasFig 217b A barra ancorada deve se estender no mínimo além do comprimento total do campo de compressão que é desviado por ela Se o comprimento da barra na região do nó é menor que o comprimento de ancoragem exigido pela norma a barra ancorada pode ser estendida além da região do nó e assim introduzir uma parcela de sua força dentro do nó por compressão atrás do mesmoFig 217b O CEB90 apresenta quatro exemplos típicos de regiões nodais a NÓS SOMENTE COM FORÇAS DE COMPRESSÃO tais nós ocorrem sob forças concentradasFig 216a acima de apoios intermediários de vigas contínuasFig 216b em apoios onde cabos protendidos são ancoradosFig 216c e em vértices reentrantes comprimidosFig 216d A região do nó pode ser suposta limitada por um polígono não necessariamente em ângulos retos com a direção das bielas Fig 216 Nós somente com forças de compressãoRef 6 2 23 As tensões ao longo da superfície do nó podem ser supostas uniformemente distribuídas Para as regiões nodais das Figs 216a e 216b é suficiente verificar somente a tensão σ R c1 a b Entretanto se a altura a dos nós é limitada por uma fissura ou pela altura das bielas R c2 e R c5 como no caso de banzo comprimido de vigas a tensão σ no direção ortogonal à placa de apoio também deve ser verificada Para os nós das Figs 216c e 216d as tensões em ambas as faces ortogonais devem ser verificadas b NÓS COM ANCORAGEM SOMENTE DE BARRAS PARALELAS tais nós ocorrem quando um tirante encontra duas ou mais bielas por exemplo em apoios extremos e abaixo de forças concentradas que são aplicadas a consoles ou próximas às extremidades de vigasparede O esquema típico deste nó é mostrado na Fig 217a Para a região nodal da Fig 217b com armadura prolongada além do apoio devese preferencialmente distribuíla em várias camadas numa altura h e ancorála através de laços ou ganchos horizontais SCHLAICH SCHÄFER 19899 199110 apresentam algumas expressões para a verificação das tensões hdist nϕ 2c n1s n camadas σ c1 R c1a x b e σ R c2a x b R c1 R c1 σ c2 R c2 e 2 24 Em apoios extremos de vigas parede devese obrigatoriamente verificar a tensão σc quando h a1cotg θ segundo o CEB90Fig 217b Para o caso da Fig 217c em que a armadura não pode ser prolongada além do nó e o apoio é curto devese utilizar uma armadura transversal adicional para resistir a uma força Rst4 Fig 217d a menos que esta força seja compensada por uma compressão transversal dNÓS COM TIRANTES EM DIREÇÕES ORTOGONAIS tais nós ocorrem em extremidades e vértices de elementos quando a armadura é distribuída em um comprimento maiorFig 219 Como exemplo podese citar banzos tracionados de vigas e vigasparede e reglês descontínuas Devese verificar o comprimento de ancoragem e as tensões de compressão diagonais que podem se tornar críticas As barras da armadura correspondente ao tirante Rstv com diâmetros menores e pouco espaçadas devem abraçar as barras longitudinais 285 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS REGIÕES NODAIS Os fatores que afetam essa resistência são a existência de armadura tracionada nas zonas nodais e o modo como ela é distribuída e ancorada assim como o nível de confinamento existente SCHAFER SCHLAICH1988 sugeriram os seguintes limites para as tensões de compressão médias no contorno dos nós 0935 fcd para nós onde só se encontram bielas comprimidas criando estado de tensão biaxial ou triaxial 068 fcd para nós onde a armadura é ancorada Segundo o CMCEB1990 a tensão média em qualquer superfície ou seção de um nó singular não deve exceder os seguintes valores de resistência do concreto fcd1 para nós onde só chegam bielas de compressãoFig 216 fcd2 para nós onde barras tracionadas são ancoradasFigs 217 218 e 219 onde a₁ e a₂ dimensões da área carregadaFig 220 b₁ e b₂ determinados através das limitações de disperşão de tensõesFig 220 Fig 220 Área carregada amodelo estrutural besboço da armadura c caso de força horizontal no apoio ddimensões geométricas Ref6 A tração transversal no caso da Fig 220a pode ser estimada pela fórmula Rₛₜ 14 b₁ a₁ b₄ Fᵥ Se uma força horizontal Fₕ atua no apoio Fig 220c a tensão atuante pode ser estimada pela seguinte fórmula σₑ Fᵥ a₁ a₂ 1 Cₕ Fᵥ² Para compressão local o CEB90 sugere outros valores limites a fim de impedir a ruptura por fendilhamento ou esmagamento do concreto No concreto comprimido localmente sua deformação lateral é impedida pela massa envolvente de concreto não carregado o que proporciona confinamento lateral Este confinamento aumenta a resistência que pode ser estimada através dos valores abaixo fₗ fₖA₂ A₁ onde A₁ área carregada A₂ área da seção de concreto envolvente no qual as tensões se desenvolvem conduzindo a distribuição final uniformeFig 221 fₘ capacidade limite do concreto sob compressão local A Fig 221 mostra que a área efetiva A₂ deve ser geometricamente similar à área carregada A₁ com d₂ 2 a 4 d₁ A norma canadense CAN3A233M8411984⁷ exceto onde há armadura provendo confinamento sugere os seguintes limites para a resistência das regiões nodais 085 fₑₗ em zonas delimitadas por bielas e áreas de aplicação de carga ou reação 075 fₑₗ em zonas onde há um tirante ancorado 060 fₑₗ em zonas ancorando mais de um tirante Indicase que a armadura deve ser distribuída numa área pelo menos igual à força que deve por ela ser resistida dividida pelas tensões dadas acima MACGREGOR1988⁸ também apresenta valores para a verificação da resistência dos nós 085 fₑₗ para nós ligados por bielas e áreas carregadas 065 fₑₗ para nós ancorando um único tirante 050 fₑₗ para nós ancorando tirantes em mais de uma direção 286 COMENTÁRIOS SOBRE OS PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA A divergência observada entre os valores apresentados pelos dois autores e pelas duas normas citadas merece registro Além disso dentro de uma mesma norma podem surgir dúvidas com relação ao valor a ser adotado para determinado caso Recomendase então utilizar dentre aqueles apresentados os valores empíricos propostos recentemente pelo CEB90 pela inclinação das fissuras A inclinação das diagonais tracionadas será representada pelo ângulo α sendo α90 para estribos verticais Fig 31b O modelo de treliça foi originalmente proposto por Mörsch para a determinação das armaduras necessárias para a resistência às forças cortantes Este modelo hoje designado por analogia clássica da treliça foi baseado nas seguintes hipóteses a treliça é isostática e possui banzos tracionado e comprimido paralelos as bielas diagonais comprimidas têm uma inclinação θ45 em relação ao eixo longitudinal da peça inclinação da armadura transversal 45 α 90 Na treliça clássica de Mörsch as forças nas bielas diagonais e nas diagonais tracionadas são maiores em valor absoluto à medida que se aproxima dos apoios onde a força cortante atinge o valor máximo As forças nos banzos tracionado Rst e comprimido Rcc crescem dos apoios para o meio do vão de acordo com a teoria da flexão Por esta teoria Rst Rcc Mz Contudo no modelo R é um pouco menor que Mz e Rst um pouco maior exceto em alguns pontos Numerosos ensaios realizados LEONHARDT MONNIG 1977 mostraram que a treliça clássica conduz a uma armadura transversal um pouco exagerada pois a tensão medida nesta armadura é menor que a calculada Principais fatores que influem na diferença entre os valores calculados teoricamente e aqueles observados experimentalmente o banzo comprimido é inclinado o que possibilita a absorção direta de uma parcela da força cortante as fissuras e portanto as bielas que ficam entre elas têm inclinação θ 45 nos trechos mais solicitados pela força cortante 3 APLICAÇÃO ÀS VIGAS USUAIS 31 CONSIDERAÇÕES GERAIS A aplicação de modelos de bielas e tirantes às vigas simplesmente apoiadas ou contínuas submetidas a carregamento concentrado ou uniformemente distribuído é abordada neste capítulo incluindo as vigas de transição Vigasparede e vigas com descontinuidades geométricas serão analisadas nos capítulos 4 e 6 respectivamente As vigas usuais são constituídas basicamente por regiões contínuas critérios B Todavia regiões descontínuas critérios D ocorrem nas proximidades dos pontos de aplicação de força criações de apoio e forças concentradas como mostra à Fig 31a Os modelos de bielas e tirantes em vigas são geralmente denominados modelos de treliça A Fig 31b apresenta um modelo de treliça para uma viga simplesmente apoiada submetida a uma ação uniformemente distribuída Nessa treliça fictícia que substitui a viga real o banzo superior é a zona comprimida de concreto o banzo inferior representa a armadura longitudinal de tração as diagonais comprimidas são as zonas situadas entre duas fissuras e as diagonais tracionadas os estribos ou as barras dobradas No modelo da Fig 31b as diagonais tracionadas que ligam os banzos da treliça são constituídas por estribos verticais O funcionamento como treliça ocorre devido à intensa fissuração da viga nas proximidades do estado limite último convencional Como as diagonais comprimidas são delimitadas pelas fissuras o ângulo θ de inclinação das bielas é dado transversal Da análise de resultados experimentais CLEONHARDT MÖNNIG 1977 chegase à conclusão que em função da espessura da alma as bielas têm inclinações θ em média dentro das seguintes faixasFig32 avigas T de alma espessa 30 θ 38 bvigas T de alma delgada 38 θ 45 Isso ocorre porque existe um certo engastamento na ligação da biela com o banzo comprimido além de as bielas diagonais serem muito mais rígidas que os montantes tracionados Assim a parcela de esforço cortante absorvida pela armadura transversal é tanto menorθ menor quanto maior a espessura da almabielas mais rígidas Fig 32 Treliça generalizadavalores médios de θ em função da largura da almaRef 11 Nas peças de concreto armado submetidas a forças cortantes além do modelo de treliça outros esquemas alternativos são capazes de transmitir os esforços de uma seção transversal a outra Segundo FUSCO1984 nas vigas com armadura transversal a participação desses esquemas alternativos na resistência pode ser apenas subsidiária Entretanto nas lajes sem armadura de cisalhamento eles são responsáveis pela própria resistência da peça Os esquemas alternativos principais são o efeito de arcoitem 331 o engrenamento dos agregados o efeito de pinodowel effect da armadura longitudinal e a resistência ao cisalhamento da zona comprimida de concreto O engrenamento dos agregados ocorre ao longo das fissuras do concreto possibilitando a transmissão de forças oblíquas através das próprias fissurasFig 33a Devido à maior rigidez do aço em relação ao concreto as barras das armaduras longitudinais funcionam como pinos de ligação que solidariam as partes da viga de concreto separadas pelas fissurasFig 33b FUSCO 1984 comenta que somente a viga de alma muito fina cbbf 16 mobiliza o esquema resistente de treliça desde o ínicio do carregamento Concluise deste modo que nestas vigas funcionam primeiramente os esquemas resistentes alternativos cuja colaboração diminui progressivamente à medida que se dá a fissuração da peça A resistência da peça decorre portanto da ação conjugada dos efeitos e esquemas alternativos descritos A NBR 6118 1978 recomenda a adoção de um modelo simplificado em que a armadura transversal é calculada pela treliça clássica de Mörsch com base em uma tensão de cisalhamento reduzida Esta redução devido à contribuição das partes comprimidas do concreto na verdade considera indiretamente a inclinação das bielas θ 45 e o banzo comprimido com inclinação variável Indicase ainda que a tensão convencional de cisalhamento τvd seja menor ou igual à tensão última τv O anexo da NBR 7197 1989 altera algumas prescrições da NBR 6118 com relação à força cortante A tensão de cisalhamento reduzida deve ser calculada pelas seguintes expressões τd 115 τvd τc 0 com τc γ1 fck Sendo γ1 015 na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção γ1 015 1 MoMdmax na flexocompressão γ1 0 na flexotração com a linha neutra fora da seção O fator 1 MoMdmax 2 determina a influência da força normal externa de compressão onde Mo Valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida e Mdmax é o momento fletor da seção transversal que está mais solicitada à flexão no trecho considerado pelo cálculo Nas vigas de altura variável o Anexo da NBR 7197 indica uma correção no valor da força cortante Devese subtrair do valor absoluto de Vd se Md em valor absoluto e d crescerem no mesmo sentido ou a ele acrescentar se Md em valor absoluto e d crescerem em sentidos opostos a quantidade Md d tg α onde α ângulo entre as tangentes às faces da peça na seção considerada não se tomando inclinação de cada face maior que 13 Nestas vigas de altura variável quando o valor absoluto de Vd tiver sido alterado conforme prescrito admitese τc 0 O códigomodelo CEBFIP 1990 sugere a utilização de um modelo de treliça com ângulo θ de inclinação das bielas escolhido livremente no intervalo 184 θ 45 Devese fazer a verificação das forças nos banzos tracionado e comprimido nas bielas diagonais e nos montantes tracionados A dedução das expressões e sugestões para a escolha do valor de θ serão mostradas no item 35 Modelos de treliça podem ser usados também para o projeto e dimensionamento completo da viga incluindo o cálculo da armadura longitudinal MARTI 1965 recomenda utilizar os modelos para investigar o equilíbrio entre cargas reações e forças internas no concreto e na armadura Nesse caso preferese utilizar modelos refinados O refinamento dos modelos principalmente através dos efeitos de arco e de leque será comentado no item 33 32 TIPOS DE RUPTURA Os tipos de ruptura das vigas de concreto armado submetidas a forças cortantes segundo FUSCO 1984 podem ser classificados da seguinte forma a Ruptura força cortantecompressão este tipo de ruptura é típico de peças superarmadas transversalmente nas quais ocorre esmagamento do concreto das bielas antes que a armadura transversal entre em escoamento Ruptura frágil sem aviso prévio A segurança contra este tipo de ruptura é garantida pela limitação da tensão tangencial atuante τvd τvu b Ruptura força cortantetração modo de ruptura típico de peças subarmadas transversalmente isto é aquelas cuja armadura transversal atinge o escoamento Neste caso ocorrem grandes deformações na armadura transversal e fissuração excessiva Garantese a segurança pelo emprego de armadura transversal em quantidade suficiente c Ruptura força cortanteflexão ocorre quando as fissuras diagonais de cisalhamento cortam uma parte do banzo comprimido da peça A diminuição da espessura deste banzo pode provocar o esmagamento do concreto A seção de ruptura usualmente se localiza nas proximidades de forças concentradas elevadas A segurança neste caso é garantida através de dimensionamento e detalhamento adequados da viga à flexão d Ruptura por flexão da armadura longitudinal decorre de deficiências localizadas da armadura longitudinal de tração que impedem o funcionamento como treliça O respeito às regras de detalhamento principalmente no que se refere ao espaçamento e a ancoragem dos estribos garante a segurança contra este modo de ruptura Pode ocorrer ainda ruptura por fendilhamento do concreto devido à ancoragem inadequada da armadura longitudinal Quando não houver compressão do concreto transversalmente à armadura no trecho de ancoragem suficiente para impedir a fissuração do concreto devese dispor uma armadura de costura indicada no item 4162E da NBR 6118 Fig 34 Tipos de ruptura Ref 12 Como os possíveis tipos de ruptura decorrentes das forças cortantes podem acarretar o colapso não avisado da estrutura devese assegurar no dimensionamento que as solicitações tangenciais não sejam condicionantes da ruína Adotase como princípio fundamental de segurança segundo FUSCO 1984 que os elementos estruturais sejam projetados de tal modo que na eventualidade de sobreviver à ruína esta decorra dos efeitos de solicitações normais Assim a ruína quase sempre poderá ser com aviso prévioEste princípio também é indicado pela NBR 6118 1978 33 REFINAMENTO DOS MODELOS 331 EFEITO DE ARCO Este efeito ocorre nas regiões D próximas aos apoios para onde as forças concentradas ou distribuídas são conduzidas diretamente através de um campo de tensões de compressão em forma de arco Fig35a Simplificadamente podese substituir este arco por uma biela com ângulo de inclinação θ Fig 35b diferente da inclinação θ das outras bielas Nas vigas usuais o efeito de arco pode absorver então uma parcela das ações atuantes Esta parcela depende da esbeltez da viga e do tipo e posição do carregamento Segundo LEONHARDT MONNIG 1978 este efeito provoca um aumento da resistência ao cisalhamento em vigas compactas 2 hl 8 e no caso de forças próximas ao apoio ah 2 A transferência direta de parte do carregamento para os apoios provoca um alívio nos montantes tracionados da treliça resultando em uma diminuição da armadura transversal necessária Contudo ressaltase que o arco deve se apoiar em um banzo tracionado bastante rígido sem diminuição da área da armadura longitudinal SCHAFER SCHLAICH 1988 sugerem uma expressão para o cálculo da Fig 35 Efeito de arco Adapt Refs 2 e 3 inclinação desta biela inclinada cotg θ₁ a₁2z cotg θ₂ 31 onde θ₁ ângulo de inclinação da biela arco θ₂ ângulo de inclinação das bielas internas a₁ largura do apoio Fig 35b z braço de alavanca A NBR 6118 1978 considera este efeito através de uma redução no valor da força cortante utilizada para o cálculo da armadura transversal nas seções próximas aos apoios A força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h2 da face do apoio constante e igual a esta seção Quando uma força concentrada for aplicada a uma distância a h2 do centro do apoio a força cortante poderá nesse trecho de comprimento a ser reduzida multiplicandose por a2h Evidentemente esta redução não será feita para a verificação das tensões no concreto Para uma aplicação direta nos modelos o BOLETIM CEB198 1990 apresenta uma proposta para o equacionamento do problema Uma força concentrada aplicada a uma distância a lₐrcᵒ2 do apoio é totalmente absorvida pelo efeito de arco Fig 36a Isto também ocorre para a carga distribuída posicionada dentro do comprimento lₐrcᵒ a partir do apoio Fig 36b O comprimento lₐrcᵒ pode ser obtido pela expressão lₐrcᵒ a₁ z cotg θ 32 Rₜ₂ 2alₐrcᵒ 1 Fᵈ e R Fᵗ Rₜ₂ 33 No caso de grandes forças concentradas próximas ao apoio surgem tensões de tração transversais à biela inclinada A Fig 37a apresenta as trajetórias de tensões para esta situação Segundo o BOLETIM CEB198 1990 a força aplicada a uma distância a lₐrcᵒ4 exige a disposição de armadura adicional cujo detalhamento depende da posição exata da carga Figs 37b e c Esta armadura deve absorver uma força de tração Rₜ₁ que pode ser obtida pela seguinte expressão simplificada Rₜ₁ 025 1 2alₐrcᵒ Fᵈ 34 No detalhamento das armaduras é conveniente o uso de grampos horizontais como mostrado na Fig 37d Fig 36 Parcela das cargas absorvida pelo efeito de arco Ref 16 Fig 37 Modelo e detalhamento para uma grande carga concentrada próxima ao apoio Adapt Refs 15 e 16 Fig 38 Efeito de leque Fig 310 Modelos simplificados e refinados 34 CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PLÁSTICO DE TRELHA 341 VALIDADE DO MODELO O modelo de treliça plástico consiste de bielas inclinadas de um ângulo θ com a horizontal estribos um banzo tracionado e outro comprimido Nas ações concentradas e reações as forças são transmitidas a um número de estribos através de bielas radiais devido ao efeito de leque Entre as bielas radiais existe um campo de tensões de compressão formado por bielas de inclinação constante Segundo MACGREGOR 1988 na construção da treliça plástica assumese que toda a força cortante é resistida pelos estribos No projeto a distribuição ideal de estribos corresponderia a todos os estribos atingindo o escoamento ao mesmo tempo em que a força de ruptura é alcançada viga simplesmente apoiada com armadura de flexão e uma camada de armadura de pele à meia altura Um possível modelo de treliça plástico para esta viga consiste de duas treliças uma utilizando a armadura inferior como tirante e a outra a armadura de costura Para um material plástico ideal a capacidade resistente seria a soma das forças cortantes transmitidas pelas duas treliças V1 V2 Resultados de ensaios mostraram entretanto que a camada superior da armadura tem pouco ou nenhum efeito na resistência Quando esta viga é carregada a armadura inferior escoa primeiro Grandes deformações são exigidas antes que a armadura superior possa escor Antes que estas deformações possam se desenvolver completamente a treliça inferior se romperá A v yd 2 x 050 x 50 115 435 kN O momento fletor no meio do vão vale 23400 kNcm e as forças de tração e compressão nos banzos são iguais a 349 kN R st R cc M d z 23400 67 349 As forças aplicadas de 130 kN devem ser transmitidas através de bielas diagonais pelo efeito de leque a uma quantidade de estribos necessária para equilibrar estas forças Como cada estribo absorve 435 kN exigese três estribos para transmitir 130 kN A força aplicada de 130 kN é transmitida por três bielas QP Q0 e QN aos nós P O e N A Fig 312c mostra o equilíbrio dos nós do banzo tracionado No equilíbrio do nó P a força vertical no estribo vale 435 kN A componente vertical da força na biela QP deve ser então também 435 kN A partir do ângulo de inclinação desta biela obtémse sua componente horizontal de 46 kN No meio do vão a força de tração na armadura inferior é de 349 kN Somando as forças horizontais atuantes no nó P obtémse a força de tração entre os nós O e P 34946 3444 kN Procedendo de maneira análoga obtémse as forças nas outras bielas e ao longo da armadura de tração pelo equilíbrio dos nós O a C No apoio a reação de 130 kN também é transmitida por três bielas AB AD e AF pelo efeito de leque aos estribos verticais Entre as bielas radiais existe um campo de tensões de compressão formado por bielas paralelas com ângulo de inclinação θ ctg θ 6745 resultando θ 56 O ângulo θ deste campo de compressão é determinado pelo número de estribos necessários para equilibrar as forças verticais nos leques Para o dimensionamento da armadura transversal o códigomodelo exige duas verificações de ações atuantes e esforços resistentes nas bielas diagonais e nos tirantes da armadura transversal Para a retirada de serviço das barras da armadura longitudinal o códigomodelo também exige duas verificações de ações atuantes e esforços resistentes no banzo tracionado e no banzo comprimido O modelo fundamental de um trecho típico da alma de uma viga é mostrado na Fig 314 O braço de alavanca z e a altura x da zona comprimida em um trecho no qual os momentos fletores e forças cortantes mantêm o mesmo sinal A aplicação dos modelos está sujeita às seguintes condições a a taxa mecânica de armadura transversal não deve ser menor que 02 isto é wsv Af bsfctm sen ω 02 As s 02fb sen α fyk com o objetivo de limitar a abertura da fissura de cisalhamento fctm 14 fck 10 23 b a inclinação dos estribos em relação ao eixo da peça deve ser no mínimo 45 e a das barras dobradas no mínimo 30 c o espaçamento entre os ramos dos estribos em ambas as direções longitudinal e transversal não deve ser maior que 075d ou 800 mm d a armadura de cisalhamento deve ser adequadamente ancorada nos banzos MA Md Vd z cotg θ Nd zzs FSt Mdmaxz Ndzzsz Fig 315 Esquemas para dedução das forças nos membros da treliça Md Ndz Vdzcotg θ FSCz fracVdsenα zcotg θ cotg ωsen α FSCz Md Ndzs Vd2zcotg θ cotg ω FSC fracMdmaxz Ndfraczsz fracVd2cotg θ cotg ω exceto na seção de momento máximo onde para ação aplicada na face superior FSC fracMdmaxz Ndfraczsz b2 Força resistente FR γcd Ac γcd Asc onde A área da armadura longitudinal comprimida Ac área da seção transversal do banzo comprimido Ac left bvx seção retangular right bfx seção té com a LN cortando a mesa left bfbvx bfxidem cortando a alma right b3 Verificação requerida FSC FR c BIELA DIAGONAL COMPRSSÃO NO CONCRETO DA ALMA c1 Força solicitante de cálculo No esquema mostrado na Fig 315e fazendo o equilíbrio das forças verticais temse 3 25