Cálculo de Integrais Triplas e Dobras

Funções de uma variável integrais unidimensionais Funções de duas variáveis integrais duplas Funções de três variáveis integrais triplas Integrais Triplas Assim como para as integrais duplas o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressála como uma integral iterada Exercício Calcule a integral tripla B xyz2 dV onde B é a caixa retangular dada por B x y z 0 x 1 1 y 2 0 z 3 SOLUÇÃO Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração Se escolhermos integrar primeiro em relação a x depois em relação a y e então em relação a z obteremos Como a função fxyz xyz² pode ser escrita como um produto hx gy kz podemos resolver esta integral de outra forma න 0 3 න 1 2 න 0 1 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 න 0 3 𝑧² 𝑑𝑧 න 1 2 𝑦 𝑑𝑦 න 0 1 𝑥 𝑑𝑥 Exercícios para fixação Livro Cálculo volume II autor James Stewart 7ª edição pág 920 Integrais triplas sobre regiões gerais Vamos nos restringir às funções contínuas e a certos tipos de regiões que chamaremos de tipos 1 2 e 3 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝐷 𝑢1𝑥 𝑦 𝑧 𝑢2𝑥 𝑦 TIPO 1 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 𝐷 𝑢1𝑦 𝑧 𝑥 𝑢2𝑦 𝑧 TIPO 2 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝐷 𝑢1𝑥 𝑧 𝑦 𝑢2𝑥 𝑧 TIPO 3 Para definirmos a integral tripla sobre uma região limitada geral E no espaço tridimensional um sólido utilizaremos o mesmo método usado para as integrais duplas Integrais triplas sobre regiões do tipo 1 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝐷 𝑢1𝑥 𝑦 𝑧 𝑢2𝑥 𝑦 Se a projeção D de E no plano xy é uma região plana E x y z tal que a x b g1x y g2x u1x y z u2x y E x y z tal que c y d h1y x h2y u1x y z u2x y Vamos considerar dois casos Exemplo Calcule 𝐸 𝑧 𝑑𝑉 onde 𝐸 é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos coordenados e pelo plano 𝑥 𝑦 𝑧 1 Integrais triplas sobre regiões do tipo 2 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 𝐷 𝑢1𝑦 𝑧 𝑥 𝑢2𝑦 𝑧 Se a projeção D de E no plano yz é uma região plana E x y z tal que a y b g1y z g2y u1y z x u2y z ou E x y z tal que a z b g1z y g2z u1y z x u2y z න 𝑎 𝑏 න 𝑔1𝑦 𝑔2𝑦 න 𝑢1𝑦𝑧 𝑢2𝑦𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 න 𝑎 𝑏 න 𝑔1𝑧 𝑔2𝑧 න 𝑢1𝑦𝑧 𝑢2𝑦𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Integrais triplas sobre regiões do tipo 3 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝐷 𝑢1𝑥 𝑧 𝑦 𝑢2𝑦 𝑧 Se a projeção D de E no plano xz é uma região plana E x y z tal que a x b g1x z g2x u1x z y u2x z E x y z tal que a z b g1z x g2z u1x z y u2x z ou න 𝑎 𝑏 න 𝑔1𝑧 𝑔2𝑧 න 𝑢1𝑥𝑧 𝑢2𝑥𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 න 𝑎 𝑏 න 𝑔1𝑥 𝑔2𝑥 න 𝑢1𝑥𝑧 𝑢2𝑥𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 Exemplo Calcule a integral tripla 𝐸 𝑥2 𝑧2𝑑𝑉 onde 𝐸 é a região limitada pelo paraboloide 𝑦 𝑥2 𝑧2 e pelo plano 𝑦 4 Exercícios para fixação Livro Cálculo volume II autor James Stewart 7ª edição pág 920 Resposta 163 Resposta 815 Resposta 20𝜋 Resposta 16𝜋