Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Integrais duplas em coordenadas polares Cálculo III Profª Adriana Luziê de Almeida Exemplo 1 Calcule 𝑅 3𝑥 4𝑦2 𝑑𝐴 em que 𝑅 é a região no semiplano superior limitada pelos círculos 𝑥2 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑦2 4 Em casos assim fica mais fácil se usarmos coordenadas polares Mudança para coordenadas polares em uma integral dupla Se 𝑓 for contínua no retângulo polar 𝑅 𝑟 𝜃 0 𝑎 𝑟 𝑏 𝛼 𝜃 𝛽 onde 0 𝛽 𝛼 2𝜋 então ඵ 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 න 𝛼 𝛽 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 As coordenadas polares 𝑟 𝜃 de um ponto estão relacionadas com as coordenadas retangulares 𝑥 𝑦 pelas equações 𝑟2 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑡𝑔 𝜃 𝑦 𝑥 Exemplo 2 Calcule 𝑅 3𝑥 4𝑦2 𝑑𝐴 em que 𝑅 é a região no semiplano superior limitada pelos círculos 𝑥2 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑦2 4 Em casos assim fica mais fácil se usarmos coordenadas polares Exemplo 3 Determine o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x² y²