Derivadas Parciais: Regras e Exemplos

Derivadas parciais Cálculo III Profª Adriana Luziê de Almeida Revendo as regras de derivação de funções de uma variável Função Derivada Exemplo Função constante 𝒚 𝑪 sendo 𝐶 um número real qualquer 𝒚 0 Ex1 𝑦 4 𝑦 0 Função potência 𝒚 𝒙𝒏 sendo 𝑛 um número real qualquer 𝒚 𝒏𝒙𝒏𝟏 Ex2 𝑦 3𝑥 𝑦 3 Ex3 𝑦 8𝑥3 𝑦 24𝑥² Função exponencial 𝒚 𝒂𝒙 sendo 𝑎 um número real qualquer maior que zero e diferente de 1 𝒚 𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂 Ex4 𝑦 5𝑥 𝑦 5𝑥 ln 5 Caso especial de função exponencial 𝒚 𝓮𝒙 𝒚 𝓮𝒙 Ex5 𝑦 7ℯ𝑥 𝑦 7ℯ𝑥 Função logarítmica 𝒚 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 sendo 𝑎 um número real qualquer maior que zero e diferente de 1 𝒚 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝒂 Ex6 𝑦 3 log4 𝑥 𝑦 3 𝑥 ln 4 Caso especial de função logarítmica 𝒚 𝐥𝐧 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 Ex7 𝑦 2 𝑙𝑛 𝑥 𝑦 2 𝑥 Função Derivada Exemplo Função seno 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 Ex8 𝑦 8 sen 𝑥 𝑦 8 cos 𝑥 Função seno 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 Ex9 𝑦 8 cos 𝑥 𝑦 8 sen 𝑥 Função tangente 𝒚 𝒕𝒈 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 Ex10 𝑦 8 tg 𝑥 𝑦 8 sec² 𝑥 Função cotangente 𝒚 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 Ex11 𝑦 8 cotg 𝑥 𝑦 8 cossec² 𝑥 Função secante 𝒚 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒈 𝒙 Ex12 𝑦 8 sec 𝑥 𝑦 8 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 Função cossecante 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 Ex13 𝑦 8 cossec 𝑥 𝑦 8 cossec 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 Revendo as regras de derivação de funções de uma variável Derivadas parciais de funções de várias variáveis Para derivar parcialmente uma função em relação a 𝑥 as demais variáveis são consideradas como constantes e a derivação é feita como na função de uma variável Em relação às outras variáveis o procedimento é análogo Assim todas as regras de derivação estudadas para funções de uma variável serão úteis no estudo de derivadas parciais Notação de derivadas parciais Se 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 em geral as derivadas parciais são denotadas como 𝑓𝑥 ou 𝑓 𝑥 ou 𝑧 𝑥 quando derivamos em relação a 𝑥 𝑓𝑦 ou 𝑓 𝑦 ou 𝑧 𝑦 quando derivamos em relação a 𝑦 Exemplo Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem da função 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥2𝑦 3𝑥𝑦2 4𝑥 RESOLUÇÃO 𝑓𝑥 𝑓𝑦 Exemplo 1 Se fx y x3 x2y3 2y2 encontre fx2 1e fy2 1 2 Encontre fx fy e fz se fx y z exy ln z Exemplo a 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2 Determine 𝑓 𝑥 das funções a seguir b 𝑓 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑦 Derivadas parciais de ordem superior Nas derivadas de ordem superior temos as seguintes notações 𝑓𝑥𝑥 ou ²𝑓 𝑥² ou ²𝑧 𝑥² ou 𝑥 𝑓 𝑥 ou 𝑥 𝑧 𝑥 quando derivamos duas vezes em relação a 𝑥 𝑓𝑥𝑦 ou ²𝑓 𝑦𝑥 ou ²𝑧 𝑦𝑥 ou 𝑦 𝑓 𝑥 ou 𝑦 𝑧 𝑥 quando derivamos primeiro em relação a 𝑥 e depois em relação a 𝑦 𝑓𝑦𝑦 ou ²𝑓 𝑦² ou ²𝑧 𝑦² ou 𝑦 𝑓 𝑦 ou 𝑦 𝑧 𝑦 quando derivamos duas vezes em relação a 𝑦 𝑓𝑦𝑥 ou ²𝑓 𝑥𝑦 ou ²𝑧 𝑥𝑦 ou 𝑥 𝑓 𝑦 ou 𝑥 𝑧 𝑦 quando derivamos primeiro em relação a 𝑦 e depois em relação a 𝑥 Se f é uma função de duas variáveis suas derivadas parciais fx e fy são funções de duas variáveis de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais fxx fxy fyx e fyy chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f Exemplo Determine as derivadas parciais de ordem 2 de 𝑓𝑥 𝑦 sendo 𝑓𝑥 𝑦 𝑥3 𝑥2𝑦3 2𝑦2 𝑓𝑥 3𝑥² 2𝑥𝑦3 𝑓𝑥𝑥 6𝑥 2𝑦³ 𝑓𝑥𝑦 6𝑥𝑦² 𝑓𝑦 3𝑥2𝑦2 4𝑦 𝑓𝑦𝑦 6𝑥2𝑦 4 𝑓𝑦𝑥 6𝑥𝑦² 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥 Exemplo Determine 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑧 da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑦𝑧²