Valores Máximos e Mínimos em Funções de Duas Variáveis

Valores máximos e mínimos Observe o gráfico ao lado Existem dois pontos a b nos quais f tem um máximo local ou seja onde f a b é maior que os valores próximos de fx y O maior destes dois valores é o máximo absoluto Do mesmo modo f tem dois mínimos locais onde f a b é menor que os valores próximos O maior destes dois valores é o mínimo absoluto Uma função de duas variáveis tem um máximo local em 𝑎 𝑏 se 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑎 𝑏 quando 𝑥 𝑦 está próximo de 𝑎 𝑏 O número 𝑓𝑎 𝑏 é chamado valor máximo local Se 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑎 𝑏 quando 𝑥 𝑦 está próximo de 𝑎 𝑏 então 𝑓 tem um mínimo local em 𝑎 𝑏 e 𝑓𝑎 𝑏 é chamado valor mínimo local Se uma das inequações valer para todos os pontos 𝑥 𝑦 do domínio de f então f tem um máximo absoluto ou mínimo absoluto em 𝑎 𝑏 Teorema Se f tem um máximo ou mínimo local em ab e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos então 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 0 e 𝑓𝑦 𝑎 𝑏 0 Um ponto a b é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário de f se 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 0 e 𝑓𝑦 𝑎 𝑏 0 ou se uma das derivadas parciais não existir Nem todos os pontos críticos originam máximos ou mínimos Em um ponto crítico a função pode ter um máximo local um mínimo local ou ainda nenhum dos dois Pontos críticos Valores extremos Máximo local máximo absoluto mínimo local mínimo absoluto Ponto de Sela Não é mínimo nem máximo local Teste da segunda derivada Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas em uma bola aberta com centro ab e suponha que 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 0 e 𝑓𝑦 𝑎 𝑏 0 ou seja ab é um ponto crítico de f Seja 𝐷 𝐷 𝑎 𝑏 𝑓𝑥𝑥 𝑎 𝑏 𝑓𝑦𝑦 𝑎 𝑏 𝑓𝑥𝑦𝑎 𝑏 2 a Se 𝐷 0 e 𝑓𝑥𝑥 𝑎 𝑏 0 então 𝑓𝑎 𝑏 é um mínimo local b Se 𝐷 0 e 𝑓𝑥𝑥 𝑎 𝑏 0 então 𝑓𝑎 𝑏 é um máximo local c Se 𝐷 0 então 𝑓𝑎 𝑏 não é mínimo nem máximo local Neste caso 𝑓𝑎 𝑏 é um ponto de sela e o gráfico de f cruza seu plano tangente em 𝑎 𝑏 Se D 0 não é possível identificar se f tem um máximo local ou mínimo local em ab ou se ab é um ponto de sela Máximos e mínimos Exemplo Determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥4 𝑦4 4𝑥𝑦 1