Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas

Mudança de variáveis em integrais múltiplas Cálculo III Profª Adriana Luziê de Almeida Mudança de variáveis em Funções de uma variável Integrais simples Ex 5𝑥 𝑥22 𝑑𝑥 Processo de mudança de variável na integral simples න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑐 𝑑 𝑓 𝑔 𝑢 𝑔 𝑢 𝑑𝑢 Onde 𝑥 𝑔𝑢 e 𝑎 𝑔𝑐 𝑏 𝑔𝑑 Também podemos escrever como න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 A expressão 𝑔 𝑢 é denominada Jacobiano da mudança de variável 𝑥 𝑔𝑢 Mudança de variáveis em Funções de duas variáveis Integrais duplas A conversão de coordenadas retangulares para coordenadas polares através das relações 𝑥 r cos 𝜃 e y 𝑟 sen 𝜃 é uma mudança de variáveis em integrais duplas Assim temos 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑆 𝑓 𝑟 cos 𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 onde 𝑆 é a região no plano 𝑟𝜃 que corresponde à região 𝑅 no plano 𝑥𝑦 Jacobiano Mudança de variáveis de forma geral De modo mais geral consideremos uma mudança de variável dada pela transformação 𝑇 do plano 𝑢𝑣 no plano 𝑥𝑦 𝑇 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 onde 𝑥 e 𝑦 estão relacionadas com 𝑢 e 𝑣 pelas equações 𝑥 𝑔𝑢 𝑣 e 𝑦 ℎ 𝑢 𝑣 ou seja 𝑥 𝑥𝑢 𝑣 e 𝑦 𝑦 𝑢 𝑣 𝑥1 𝑦1 é a imagem de 𝑢1 𝑣1 𝑅 é a imagem de 𝑆 Mudança de variáveis nas Integrais duplas O Teorema diz que mudamos de uma integral em 𝑥 e 𝑦 para uma integral em 𝑢 e 𝑣 escrevendo 𝑥 e 𝑦 em termos de 𝑢 e 𝑣 e escrevendo 𝑑𝐴 𝑥𝑦 𝑢𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣 Se 𝐽 𝑥𝑦 𝑢𝑣 então 𝐽 1 𝐽1 sendo 𝐽1 𝑢𝑣 𝑥𝑦 Exemplos 1 Determine o Jacobiano da transformada 𝑥 𝑒𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 e y 𝑒𝑟 cos 𝜃 2 Determine o Jacobiano da transformada 𝑥 𝑟 cos 𝜃 e y 𝑟 sen 𝜃 coordenadas polares Como aplicar a mudança de variáveis para resolver integrais duplas Se 𝑓𝑥 𝑦 for difícil de integrar então a forma de 𝑓𝑥 𝑦 pode sugerir uma transformação Se a região de integração 𝑅 é complicada então a transformação deve ser escolhida para que a região 𝑆 correspondente no plano 𝑢𝑣 tenha uma descrição mais conveniente Se não conhecermos de antemão uma mudança de variável apropriada então o primeiro passo é descobrir uma Em seguida transformamos 𝑓 𝑥 𝑦 em 𝑓 𝑥𝑢 𝑣 𝑦𝑢 𝑣 calculamos o jacobiano definimos os limites de integração reescrevemos a integral 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 como 𝑆 𝑓 𝑥𝑢 𝑣 𝑦𝑢 𝑣 𝑥𝑦 𝑢𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣 e resolvemos Exemplo Calcule a integral 𝑅 𝑥2𝑦 3𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde 𝑅 é o paralelogramo limitado pelas retas 𝑥 2𝑦 0 𝑥 2𝑦 4 3𝑥 𝑦 1 e 3𝑥 𝑦 8 efetuando uma mudança de variável apropriada Sendo D a região do 1º quadrante limitada pelas curvas 𝑥² 𝑦 1 𝑦² 𝑥 1 𝑥2 4𝑦 e 𝑦2 4𝑥 calcule 𝐷 𝑦²𝑒𝑥𝑦 𝑥 𝑑𝐴 Exemplo Mudança de variáveis nas Integrais triplas Seja T a transformação que leva uma região S no espaço 𝑢𝑣𝑤 para uma região R no espaço 𝑥𝑦𝑧 por meio das equações 𝑥 𝑔𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 ℎ𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑘𝑢 𝑣 𝑤 O Jacobiano de T é o seguinte determinante de ordem 3 De forma análoga ao Teorema para integrais duplas temos a seguinte fórmula para integrais triplas