Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas Cálculo III Profª Adriana Luziê de Almeida Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Em três dimensões há um sistema de coordenadas chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente Algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas Para convertermos de coordenadas cilíndricas para retangulares usamos as equações Para convertermos de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos No sistema de coordenadas cilíndricas um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada r z onde r e são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P Exemplo Marque o ponto com coordenadas cilíndricas 2 2 3 1 e encontre suas coordenadas retangulares O ponto em coordenadas retangulares 1 3 1 Exemplo Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares 3 3 7 O ponto em coordenadas cilíndricas 3 2 7𝜋 4 7 ou 3 2 15𝜋 4 7 ou 3 2 𝜋 4 7 ou qualquer outro terno ordenado em que o segundo valor tem origem na expressão geral 𝜃 7𝜋 4 2𝑛𝜋 Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilíndricas Suponha que E seja uma região do tipo 1 cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares É recomendável a utilização dessa fórmula integral tripla por coordenadas cilíndricas quando E for uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas e especialmente quando a função fx y z envolver a expressão x2 y² Exemplo Calcule 2 2 4𝑥² 4𝑥² 𝑥2𝑦² 2 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Coordenadas esféricas 𝜌 𝜃 𝜙 0 0 é o ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP 𝑂𝑃 é a distância da origem a P é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas Simplificam o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas ou cones O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto A esfera com centro na origem e raio c tem a equação simples c essa é a razão do nome coordenadas esféricas O gráfico da equação c é um semiplano vertical A equação c representa um semicone com o eixo z como seu eixo Coordenadas esféricas Exemplo O ponto 2 4 3 é dado em coordenadas esféricas Encontre suas coordenadas retangulares Coordenadas retangulares do ponto 3 2 3 2 1 Integrais triplas em coordenadas esféricas 𝜌2 𝑥2 𝑦2 𝑧² 𝑥 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝑉 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 Exemplo Calcule 𝐵 𝑒𝑥2𝑦2𝑧232𝑑𝑉 onde 𝐵 é a bola unitária 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧² 1 Exemplo Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z 𝑥2 𝑦² e abaixo da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑧 Exemplo Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z 𝑥2 𝑦² e abaixo da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑧 varia de 0 a 4 enquanto é constante varia de 0 a cos enquanto e são constantes varia de 0 a 2 Exemplo Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z 𝑥2 𝑦² e abaixo da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑧