Integrais Duplas sobre Regiões Gerais - Cálculo III

Integrais duplas sobre regiões gerais Cálculo III Profª Adriana Luziê de Almeida Quando consideramos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R a b c d x y ℝ𝟐a x b c y d temos TEOREMA DE FUBINI Se 𝑓 for contínua no retângulo 𝑅 𝑥 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏 𝑐 𝑦 𝑑 então 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Os limites de R são segmentos de reta E se quisermos integrar a função f não somente sobre retângulos como também sobre uma região D de forma mais geral Nesse caso precisaremos identificar os limites de D que por causa da forma de D não são segmentos de reta Para organizar nosso estudo vamos considerar 2 tipos de regiões Região do tipo I D é uma região entre duas funções contínuas de x Região do tipo II D é uma região entre duas funções contínuas de y Região do tipo I D é uma região entre duas funções contínuas de x D x y a x b g1x y g2x onde g1 e g2 são contínuas em a b ඵ 𝐷 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 න 𝑎 𝑏 න 𝑔1𝑥 𝑔2𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 D x y c y d h1y x h2y onde h1y e h2y são contínuas em c d ඵ 𝐷 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 න 𝑐 𝑑 න ℎ1𝑦 ℎ2𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Região do tipo II D é uma região entre duas funções contínuas de y Exemplo 1 Calcule 𝐷 𝑥 2𝑦 𝑑𝐴 onde 𝐷 é a região limitada pelas parábolas 𝑦 2𝑥2 e 𝑦 1 𝑥2 Exemplo 2 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦² e acima da região 𝐷 do plano 𝑥𝑦 limitada pela reta 𝑦 2𝑥 e pela parábola 𝑦 𝑥² Exemplo 3 Calcule 𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝐴 onde 𝐷 é a região limitada pelas curvas 𝑦 𝑥 1 e 𝑦² 2𝑥 6