Projeto de Compensador em Avanço de Fase - Sistema de Controle

2 Considere o sistema da Figura abaixo Projete um compensador em avanço de fase de modo que o sistema de malha fechada satisfaça os seguintes requisitos constante de erro estático de velocidade 20 s¹ margem de fase 40 e margem de ganho 10 dB Sistema de Controle Sistema Compensado Questão 2 Parâmetros do projeto G s 10 s s1 Kv20s 1MF4 0 MG10 dB Formulas utilizadas Gc s KCs 1 T s 1 αT 0α 1 senϕm1α 1α ωm 1 α T Ganho K do sistema Klim s0 KCs 1 T s 1 αT KK C 1 T 1 αT KK C α Passo 1 Como a constante de erro estático de velocidade pode ser obtida como Kvlim s0 s KGs Kvlim s0 s K 10 s s1 Kv10K K K v 10 K20 10 K2 Passo 2 Com o valor da constante K encontrado é possível realizar o diagrama de bode do sistema e encontrar a margem de ganho e a margem de fase G1 s 10K s s1 G1 s 20 s s1 G1 jω 20 jω jω1 clear clc close all numG20 denG1 1 0 sysGtfnumGdenG marginsysG grid GmPmWcgWcp marginsysG Gm Pm127580 Wcg Wcp44165 Passo 3 Para determinar o ângulo de avanço realizase a diferença entre a margem de fase desejada e a margem de fase atual do sistema A este ângulo também é acrescido um valor entre 5 e 12 ϕ ADM FdesejadoM Fatual12 ϕ AD451285 ϕ AD372 Passo 4 Com o ângulo de avanço encontrado é possível definir o fator de atenuação α a partir da seguinte fórmula senϕm1α 1α 1α 1α senϕm 1α1αsenϕm αsen ϕmα1sen ϕm α 1senϕm 1senϕm Substituindo ϕm pelo valor do ângulo de avanço encontrado α1sen372 1sen372 α02464 Passo 5 O valor em dB do módulo de G1ω então é dado por G1 ω10logα G1 ω10log 02464 G1 ω6dB Com o valor do módulo de G1ω a partir do diagrama de Bode é possível localizar a frequência ω em que referente a este ganho É possível notar que a frequência é maior que 625rads Um valor aproximado que pode ser utilizado então é dado como ω6 3rad s Com este valor de ω podese encontrar o zero e o polo do compensador zero 1 T 1 T α ωc 1 T 0246463 1 T 3127 polo 1 αT 1 αT ωc α 1 αT 63 02464 1 αT 12692 Passo 6 Com as constantes K e α é possível encontrar a constante Kc Kc K α Kc 2 02464 Kc8117 Portanto a função de transferência do compensador é dada por Gc s 8117 s3127 s12692 E a função de transferência de malha aberta do sistema é dada por Gc s G s 8117 s3127 s12692 10 s s1 Passo 7 Devese então observar a margem de ganho e a margem de fase do sistema para saber se satisfazem os requisitos pedidos clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG10 Numerador de G denG1 1 0 Denominador de G sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G numC1 3127 Numerador de Gc denC1 12692 Denominador de Gc sysC8117tfnumC denC Função de transferência de Gc syssysGsysC Sistema de malha aberta GGc wlogspace23 Analise de 102 até 103 marginsysw Bode do sistema com os valores de MF e MG grid GmPmWcgWcp marginsys Apresentação dos valores na janela de comandos Gm Pm462065 W cg W cp63118 A margem de ganho encontrada é infinita pois a fase nunca chega a 180 sendo assim é maior que 10 A margem de fase encontrada é 462 que está acima do ângulo pedido É possível notar que todos os requisitos foram atendidos Questão 2 Parâmetros do projeto 𝐺𝑠 10 𝑠𝑠 1 𝐾𝑣 20𝑠1 𝑀𝐹 40 𝑀𝐺 10𝑑𝐵 Formulas utilizadas 𝐺𝑐𝑠 𝐾𝐶 𝑠 1 𝑇 𝑠 1 𝛼𝑇 0 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼 𝜔𝑚 1 𝛼𝑇 Ganho K do sistema 𝐾 lim 𝑠0 𝐾𝐶 𝑠 1 𝑇 𝑠 1 𝛼𝑇 𝐾 𝐾𝐶 1 𝑇 1 𝛼𝑇 𝐾 𝐾𝐶𝛼 Passo 1 Como a constante de erro estático de velocidade pode ser obtida como 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 𝐺𝑠 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 10 𝑠𝑠 1 𝐾𝑣 10𝐾 𝐾 𝐾𝑣 10 𝐾 20 10 𝐾 2 Passo 2 Com o valor da constante K encontrado é possível realizar o diagrama de bode do sistema e encontrar a margem de ganho e a margem de fase 𝐺1𝑠 10𝐾 𝑠𝑠 1 𝐺1𝑠 20 𝑠𝑠 1 𝐺1𝑗𝜔 20 𝑗𝜔𝑗𝜔 1 clear clc close all numG20 denG1 1 0 sysGtfnumGdenG marginsysG grid GmPmWcgWcp marginsysG 𝐺𝑚 𝑃𝑚 127580 𝑊𝑐𝑔 𝑊𝑐𝑝 44165 Passo 3 Para determinar o ângulo de avanço realizase a diferença entre a margem de fase desejada e a margem de fase atual do sistema A este ângulo também é acrescido um valor entre 5 e 12 𝜙𝐴𝐷 𝑀𝐹𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑀𝐹𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 5 𝜙𝐴𝐷 40 128 5 𝜙𝐴𝐷 322 Passo 4 Com o ângulo de avanço encontrado é possível definir o fator de atenuação 𝛼 a partir da seguinte fórmula 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼 1 𝛼 1 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 Substituindo 𝜙𝑚 pelo valor do ângulo de avanço encontrado 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛322 1 𝑠𝑒𝑛322 𝛼 0305 Passo 5 O valor em dB do módulo de 𝐺1𝜔 então é dado por 𝐺1𝜔 10𝑙𝑜𝑔𝛼 𝐺1𝜔 10 log0305 𝐺1𝜔 516𝑑𝐵 Com o valor do módulo de 𝐺1𝜔 a partir do diagrama de Bode é possível localizar a frequência 𝜔 em que referente a este ganho É possível notar que a frequência é aproximadamente 6 rads Desta forma pode se adotar tal valor 𝜔 6 𝑟𝑎𝑑𝑠 Com este valor de 𝜔 podese encontrar o zero e o polo do compensador 𝑧𝑒𝑟𝑜 1 𝑇 1 𝑇 𝛼𝜔𝑐 1 𝑇 0305 6 1 𝑇 331 𝑝𝑜𝑙𝑜 1 𝛼𝑇 1 𝛼𝑇 𝜔𝑐 𝛼 1 𝛼𝑇 6 0305 1 𝛼𝑇 1085 Passo 6 Com as constantes 𝐾 e 𝛼 é possível encontrar a constante 𝐾𝑐 𝐾𝑐 𝐾 𝛼 𝐾𝑐 2 0305 𝐾𝑐 6557 Portanto a função de transferência do compensador é dada por 𝐺𝑐𝑠 6557 𝑠 331 𝑠 1085 E a função de transferência de malha aberta do sistema é dada por 𝐺𝑐𝑠𝐺𝑠 6557 𝑠 331 𝑠 1085 10 𝑠𝑠 1 Passo 7 Devese então observar a margem de ganho e a margem de fase do sistema para saber se satisfazem os requisitos pedidos clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG10 Numerador de G denG1 1 0 Denominador de G sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G numC1 331 Numerador de Gc denC1 1085 Denominador de Gc sysC6557tfnumC denC Função de transferência de Gc syssysGsysC Sistema de malha aberta GGc wlogspace23 Analise de 102 até 103 marginsysw Bode do sistema com os valores de MF e MG grid GmPmWcgWcp marginsys Apresentação dos valores na janela de comandos 𝐺𝑚 𝑃𝑚 416814 𝑊𝑐𝑔 𝑊𝑐𝑝 59706 A margem de ganho encontrada é infinita pois a fase nunca chega a 180 sendo assim é maior que 10 A margem de fase encontrada é 416 que está acima do ângulo pedido É possível notar que todos os requisitos foram atendidos