Lista de Exercícios Resolvida: Projeto de Compensador em Atraso - Sistemas de Controle

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 6ª Lista de Exercício Nome 1 Considere o sistema abaixo Projetar um compensador em atraso Gcs tal que a margem de fase seja de 30o a margem de ganho seja aproximadamente de 10 db e a constante de erro de velocidade Kv seja 40 seg1 Projeto de Sistemas de Controle II MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV Questão 1 Começamos projetando o controlador apenas com o ajuste de ganho Para começar o diagrama de magnitude de 0dB em ω01 o ganho inicial deve ser de kG011 k80111002011005011 k126103 Traçando o diagrama de Bode com esse ganho Definindo a função de transferencia com o ganho inicial k 000126 G tfk80conv1 0conv002 1005 1 Traçando o diagrama de bode bodeG Para se ter uma margem de fase de 30 assim devemos localizar a frequência onde o diagrama de fase apresenta 18030150 Conforme ilustrado essa frequência é de ω174 Para esta mesma frequência o ganho no diagrama de Bode é de 477 dB Assim devemos aumentar esse ganho para 0dB para isso o ganho utilizado deve ser aumentado de 477 dB ou seja kk477dB1261031047720 k0306 Logo a função de transferência em malha aberta com o ganho ajustado é de Gs0306801s1002s1005s Gs2448s1002s1005s Em seguida projetados o ajuste de ganho para a constante de velocidade desejada Para essa planta a constante de velocidade é dada por kvlims0sGslims024481002s1005s2448 Desejamos um erro de velocidade de 40 logo o ganho deve ser aumentado por um fator de k030640244805 Assim a função de transferência em malha aberta tornase Gs401s1002s1005s Traçando o diagrama de Bode Definindo a função de transferencia com o ganho inicial k 05 G tfk80conv1 0conv002 1005 1 Traçando o diagrama de bode bodeG Finalmente projetase o controlador final Desejamos uma margem de fase de 30 no entanto para compensar a contribuição em fase do compensador atraso de fase aumentase 10 logo 1803010140 Conforme ilustrado no diagrama de Bode anterior para a fase de 120 a frequência é de ω138 e o ganho nessa frequência é de 722dB Portanto o compensador atraso de fase deve fornecer 722dB de atenuação em ω138 rads Conforme a figura acima ilustra começamos traçando uma assíntota horizontal no ganho de 722dB até o ponto de quebra superior que deve cerca de uma década menor que a frequência de margem ou seja ωsup13810138 rads Em seguida a assíntota deve ter uma inclinação de 20dbdécada em verde há essa inclinação exata assim devese identificar a frequência de corte inferior o cruzamento com 0dB De acordo com o esboço a frequência de corte inferior deve ser de ωinf06 rads Portanto o compensador atraso de fase é Gcssωsupsωinfs138s06 Para garantir ganho unitário do controlador k138061 k0435 Finalmente o compensador projetado final tornase Gcs0435s138s06 Verificando as margens de fase e ganho finais k 05 G tfk80conv1 0conv002 1005 1 Gc tf04351 1381 06 marginGGc Que resulta em uma margem de ganho de 116 dB e uma margem de fase de 366 ou seja o controlador cumpre com o objetivo proposto Questão 2 Primeiro determinase k para se ter a constante de velocidade desejada kv lims0 sGs lims0 k01s 1s 1 k Logo k 4 Finalmente projetase o controlador final Determinando a margem de fase para o ganho projetado anteriormente Ganho k 4 Definindo a funcao de transferencia em malha aberta G tfkconv1 0conv01 11 1 marginG Desejamos uma margem de fase de 45 no entanto para compensar a contribuição em fase do compensador avanço de fase aumentase 10 logo φ 45 177 10 373 Em seguida determinase β sin φ 1 β1 β sin 373 1 β1 β 061 1 β 061 061β β 0242 Dessa forma a magnitude do compensado avanço de fase deve ser de Gcω 1β 203 615 dB Dessa forma devemos identificar em qual frequência do sistema não compensado o ganho tornase de 615 dB veja Ganho k 4 Definindo a funcao de transferencia em malha aberta G tfkconv1 0conv01 11 1 bodeG Portanto ωmax 276 Em seguida determinase a frequência de quebra do compensador avanço de fase T 1ωmaxβ 12760242 07365 Finalmente o controlador projetado tornase Gcs 1β s 1T s 1βT Gcs 4132 s 1358 s 561 Verificando as margens de fase e ganho finais Ganho k 4 Definindo a funcao de transferencia em malha aberta G tfkconv1 0conv01 11 1 Definindo o controlador Gc tf41321 13581 561 marginGGc Que resulta em uma margem de ganho de 135 dB e uma margem de fase de 429 ou seja o controlador cumpre com o objetivo proposto Questão 3 Primeiro determinase k para se ter a constante de velocidade desejada kv lims0 sGs lims0 ks 102 001k Logo 001k 20 k 2000 Finalmente projetase o controlador final Desejamos uma margem de fase de 65 no entanto para compensar a contribuição em fase do compensador atraso de fase aumentase 10 logo 180 65 10 105 Plotando o diagrama de bode para o ganho projetado anteriormente Ganho k 2000 Definindo a funcao de transferencia em malha aberta G tfkconv1 0conv1 101 10 Tracando o diagrama de bode bodeG Conforme ilustrado no diagrama de Bode para a fase de 105 a frequência é de ω 133 e o ganho nessa frequência é de 234dB Portanto o compensador atraso de fase deve fornecer 234dB de atenuação em ω 133 rads Conforme a figura acima ilustra começamos traçando uma assíntota horizontal no ganho de 234dB até o ponto de quebra superior que deve cerca de uma década menor que a frequência de margem ou seja ωsup 13310 0133rads Em seguida a assíntota deve ter uma inclinação de 20dbdécada em verde há essa inclinação exata assim devese identificar a frequência de corte inferior o cruzamento com 0dB De acordo com o esboço a frequência de corte inferior deve ser de ωinf 001 rads Portanto o compensador atraso de fase é Gcs s ωsups ωinf s 0133s 001 Para garantir ganho unitário do controlador teremos k 0133001 1 k 00752 Finalmente o compensador projetado final tornase Gcs 00752 s 0133s 001 Verificando as margens de fase e ganho finais Ganho k 2000 Definindo a funcao de transferencia em malha aberta G tfkconv1 0conv1 101 10 Definindo o controlador Gc tf007521 01331 001 marginGGc Que resulta em uma margem de ganho de 223 dB e uma margem de fase de 684 ou seja o controlador cumpre com o objetivo proposto