Exercícios Resolvidos Álgebra Linear Espaços Vetoriais Transformações Lineares e Geometria Analítica

O conjunto B S4232 é uma base de R² Justifique sua resposta mostrando que tal conjunto é LI linearmente independente e que tal conjunto gera ou não este espaço 1 Determine a equação vetorial do plano perpendicular ao segmento AB onde A 1 1 0 e B 2 1 1 e que contém a origem 0 0 0 Determine as equações vetorial paramétricas e reduzidas da reta perpendicular ao plano 3x 5y 2z 30 dado no item anterior que passa pelo ponto A 1 1 1 Calcule o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados cujas equações são x 0 y 0 e z 0 e pelo plano 3x 5y 2z 30 Verifique que F R³ R² dada por Fxyz 2x 2y 3z é uma transformação linear e encontre sua matriz de representação com relação às bases canônicas destes espaços Como devem ser geometricamente todos os subespaços de R³ considerando este espaço com as operações usuais de adição de vetores e produto por escalar 01 Calculando o segmento AB através do vetor AB AB B A 2 1 1 1 1 0 1 2 1 D AB x OP 0 1 2 1 x x y z 0 2z 2y z x 2x y 0 OP x y z OP é um vetor que passa pela origem 2z 2y 0 z x 0 2x y 0 Fazendo x t temos y t 2z 24 0 2z 2t 0 z t Em termos de t x t y t z t OP x y z t t t Equação vetorial do plano r0 ponto do plano r r0 su tv r 0 0 0 s 1 0 0 t 0 1 0 r s t 0 ou x s y t z 0 02 Vetor normal ao plano 352 direita da reta perpendicular ao plano 352 Equação vetorial r r0 tv r0 1 1 1 t352 Paramétrica x 1 3t y 1 5t z 1 2t Reduzida x 1 32z 1 y 1 52z 1 03 V 16 det A 3x 5y 2z 30 3 5 2 x x y z 30 A 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 2 detA det B onde B B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 2 04 Aditividade Fu v Fu Fv Fu v 2x1 2x2 2y1 2y2 3z1 3z2 Fu Fv 2x1 2y1 3z1 2x2 2y2 3z2 Fu v Fu Fv Homogeneidade u x y z escalar c Fc x u Fcx cy cz 2cx 2cy 3cz c2x 2y 3z cFu Logo F R3 R2 é uma TL Base canônica do R3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R2 1 0 0 1 F1 0 0 2 0 F0 1 0 2 2 F0 0 1 3 0 Matriz de representação 2 2 3 0 2 0 det B det C onde C C 1 0 0 0 1 0 3 5 2 det C det D onde D D 3 0 0 1 3 5 det D 1 1x3 0x0 1 det A det B det C det D 1 x 3 1 V 16 det A 16 1 1 16 06 Para determinar se o conjunto 1 2 3 2 é uma base de R² devemos verificar se ele é linearmente independente e se ele gera todo o espaço R² Para verificar se o conjunto é linearmente independente vamos assumir que existem coeficientes a e b tais que a1 2 b3 2 0 0 Multiplicando os vetores por seus respectivos coeficientes temos a 2a 3b 2b 0 0 Somando as componentes correspondentes obtemos o seguinte sistema de equações a 3b 0 Equação 1 2a 2b 0 Equação 2 Podemos resolver esse sistema de equações para determinar os valores de a e b Multiplicando a Equação 1 por 2 e somando com a Equação 2 temos 2a 6b 2a 2b 0 Simplificando obtemos 4a 4b 0 4a b 0 Se a b 0 então a b Substituindo em qualquer uma das equações originais obtemos a 3a 0 a 3a 0 2a 0 a 0 Se a 0 então b também é 0 Portanto os coeficientes a 0 e b 0 são as únicas soluções para o sistema de equações Isso significa que o conjunto 1 2 3 2 é linearmente independente pois a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são iguais a zero Para verificar se o conjunto gera todo o espaço R² precisamos verificar se qualquer vetor em R² pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto 1 2 3 2 Suponha um vetor genérico x y em R² Para que seja gerado pelos vetores do conjunto devemos encontrar coeficientes c e d tais que c1 2 d3 2 x y Multiplicando os vetores por seus respectivos coeficientes temos c 2c 3d 2d x y Somando as componentes correspondentes obtemos o seguinte sistema de equações c 3d x Equação 3 2c 2d y Equação 4 Podemos resolver esse sistema de equações para determinar os valores de c e d Multiplicando a Equação 4 por 2 e somando com a Equação 3 temos 2c 6d 2c 2d 2x y Simplificando obtemos 4c 4d 2x y 4c d 2x y Se c d 0 então c d Substituindo em qualquer uma das equações originais obtemos c 3c x c 3c x 2c x c x2 Se c x2 então d também é x2 Portanto para qualquer vetor x y em R² podemos expressálo como uma combinação linear dos vetores do conjunto utilizando os coeficientes c x2 e d x2 Assim concluímos que o conjunto 1 2 3 2 é uma base de R² pois ele é linearmente independente e gera todo o espaço R²