Lista de Exercícios - Geometria Analítica e Álgebra Linear - IFRO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE RONDÔNIA Campus Porto Velho Calama DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA e ÁLGEBRA LINEAR DOCENTE RODRIGO BRASIL DISCENTE CURSO Engenharia Controle e Automação PeríodoSemestre DATA 2022 1ª Lista de Exercícios 1 A figura mostra uma rede de quatro nós com indicação de algumas taxas de fluxo e sentido do fluxo ao longo de ramos Encontre as taxas de fluxo e o sentido do fluxo nos demais ramos 2 IFMAAdaptado Dadas as matrizes A a b 1 2 B 3 1 1 0 e C 5 2 1 1 O valor do produto ab sabendo que A B C é igual a a 3 b 2 c 2 d 1 e 1 3 UERJadaptada Em uma matriz quadrada A de ordem três as somas dos elementos de cada linha de cada coluna ou de cada diagonal são sempre iguais Observe alguns de seus elementos A 14 16 12 2 a33 Determine o elemento a33 4 Determine a inversa da matriz A 1 1 0 2 1 0 0 2 1 5 Dada a matriz A 2 1 1 1 determine uma matriz X M2ℝ de maneira que AX I2 1 0 0 1 6 Determine a inversa da matriz B 4 1 0 1 2 3 2 1 1 7 UEGAdaptada Tatiana e Tiago comunicamse entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B ambas de ordem 2 X 2 onde cada letra do alfabeto corresponde a um número isto é a 1 b 2 c 3 z 26 Por exemplo se a resolução de AB for igual a 1 13 15 18 logo a mensagem recebida é amor Dessa forma se a mensagem recebida por Tatiana foi ifro e a matriz 1 1 2 1 então a matriz A é a 1 5 4 11 b 6 6 7 11 c 1 5 7 11 d 6 7 6 11 8 Determine a ℝ a fim de que a matriz real A 1 1 2 2 3 1 2 1 a seja invertível em M3ℝ 9 Dadas as matrizes A 3y 2 3 9 x² 5 e B 10 3 9 21 calcule x e y de modo que A seja igual a B 10 Resolva os seguintes sistemas a x 2y 6 x 2y 0 b x y z 3 x y 2z 5 x z 2 Digitalizado com CamScanner 11 Dada a matriz A 1 0 0 1 a Calcule A² e A³ b Determine An 12 Dadas as matrizes A 1 1 0 0 1 1 1 1 3 e B 2 3 1 1 3 1 1 2 1 verifique se B é inversa de A 13 Uma indústria têxtil vai fabricar tecidos com fios diferentes Na matriz abaixo aij representa quantos rolos de fio j serão empregados para fabricar uma peça de tecido tipo i A 5 0 2 0 1 3 4 2 1 a Quantos rolos de fio 3 serão empregados para produzir o tecido tipo 2 b Quantos rolos de fio 1 serão empregados para fabricar 5 peças de tecido tipo 1 4 peças do tipo 2 e 2 peças do tipo 3 14 Calcule m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A a A m 12 2 5 e B 5 12 2 5 b A 3 8 2 5 e B 5 m n 3 c A 10 4 2 1 e B m 2 1 n 15 Mackenzie SP Dada a matriz A cosx senx senx cosx o determinante da matriz inversa de A é a cossec2x d sen2x b sec2x e cos2x c 1 16 UFPR Um criador de cães observou que as rações das marcas A B C e D contém diferentes quantidades de três nutrientes medidos em miligramas por quilograma como indicado na primeira matriz abaixo O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães A segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura Quantos miligramas do nutriente 3 estão presentes em um quilograma da mistura de rações 17 Resolva o sistema linear de duas equações e duas incógnitas x 2y 2 3x 5y 7 2 18 Uma indústria produz três produtos X Y e Z utilizando dois tipos de insumo A e B Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B para cada kg de Y 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e para cada kg de Z 1 grama de A e 4 gramas de B O preço de venda do kg de cada um dos produtos X Y e Z é R 200 R 300 e R 500 respectivamente Com a venda de toda a produção de X Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B essa indústria arrecadou R 250000 Determine quantos kg de cada um dos produtos X Y e Z foram vendidos 19 Resolva os seguintes sistemas a x y 2z 1 x y 3z 6 4x 3y z 12 b 2x 2y z 3 x y z 0 8x y 3z 5 20 Determine as correntes I1 I2 e I3 do circuito mostrado na figura Digitalizado com CamScanner Questão 1 Primeiramente vamos adotar os seguintes sentidos Para o nó 1 x1 x2 30 Para o nó 3 x3 60 15 x3 45 Para o nó 2 x2 15 55 x2 40 Para o nó 4 35 x3 x1 35 45 x1 x1 10 Portanto encontramos as seguintes taxas de fluxos para os sentidos adotados x1 10 x2 40 e x3 45 Como as taxas x1 e x3 são negativas logo o seu sentido correto é o oposto assim a rede de nós indicada corretamente será Questão 2 A B C a b 1 2 3 1 1 0 5 2 1 1 3a 1b 5 a 2 a 0b 2 b 1 a b 2 Alternativa b Questão 3 A 14 16 12 2 a33 A soma dos elementos da primeira coluna é 14 12 2 28 Assim para as diagonais da matriz 14 a22 a33 28 a22 10 16 a22 2 28 a33 4 Scanned with CamScanner Questão 4 Sabendo que AA1I3 logo 1 1 0 2 1 0 0 2 1a b c d f g h i J 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ad1 2ad0 2dh0 bf0 2bf1 2fi0 cg0 2cg0 2gJ1 a13 d23 h48 b13 f13 i23 c0 g0 J1 A113 13 0 23 13 0 43 23 1 Questão 5 XM2IR X é a matriz inversa de A AXI2 2 1 1 1a b c d1 0 0 1 2ac1 ac0 2bd0 bd1 a1 c1 b1 d2 X1 1 1 2 Questão 6 4 1 0 1 2 3 2 1 1a b c d f g h i J1 0 0 0 1 0 0 0 1 4ad1 a2d3h0 2adh0 4bf0 b2f3i1 2bfi0 4cg0 c2g3J0 2cgJ1 a13 J73 h53 b13 F43 i23 c1 g4 J3 B1113 13 1 73 43 4 53 23 3 Questão 7 iFRO 9 6 18 15 A B a b c d1 1 2 19 6 18 15 a2b9 a1 c4 ab6 b5 d11 c2d18 cd15 A1 5 4 11 Alternativa a Questão 8 Uma matriz somente será invertível se o seu determinante for diferente de zero logo det1 1 2 2 3 1 2 1 20 3a241212a0 a70 a7 R A matriz A somente será invertível se a7 Questão 9 A3y2 3 9 x²5 B10 3 9 21 AB 3y210 x²521 x4 y4 Questão 10 a x2y6 x2y0 2x6 32y6 x3 y32 b xyz3 xy2z5 xz2 somando I e II 2xz2 x0 y1 xz2 z2 Questão 11 A1 0 0 1 a A²AA1 0 0 11 0 0 11 0 0 1 A³A²A1 0 0 11 0 0 11 0 0 1 b Caso n seja par a matriz será I2 Caso n seja impar a matriz será o próprio A AⁿAⁿ¹A Questão 12 Caso B seja a inversa de A logo ABI3 assim iremos verificar A1 1 0 0 1 1 1 1 3 B2 3 1 1 3 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B é a inversa de A I3 Questão 13 A 5 0 2 0 1 3 9 2 1 a a23 3 3 rolos do fio 3 serão empregados para produzir o tecido tipo 2 b Para uma peça dos seguintes tipos são empregados a respectiva quantidades de rolos de fio 1 a11 5 a21 0 a31 4 portanto para 5 peças do tipo 1 serão necessários 25 rolos para 2 peça do tipo 3 serão necessários 8 rolos já as peças do tipo 2 não serão produzidos Questão 14 a A B I2 m 12 5 12 1 0 2 n 2 5 0 1 5m 24 1 m 5 24 5n 1 n 5 b 3 8 2 55 m n 31 0 0 1 3m 24 0 m 8 10 5n 0 n 2 c 10 4 2 1m 2 1 n1 0 0 1 10m 4 1 m 12 4 n 1 n 5 Questão 15 sabendo que det A1 1det A logo vamos calcular o det A detcos x sen x sen x cos x cos2 x sen2 x cos 2x det A1 1cos 2x sec 2x Alternativa b Questão 16 35 145 26 225 30 190 10 260 5075 5625 57 26 190mg Questão 17 x 2y 2 x 3 3x 5y 72 3x 6y 6 8x 5y 72 y 52 x 3 Questão 18 produto x Insumos A B 1 2 n1 produto y insumos 1 1 n2 produto z insumos 1 4 n3 Insumos de A Insumos de B n1 n2 n3 1000 2n1 1n2 4n3 2000 Preço de venda total 2n1 3n2 5n3 2500 n1 n2 n3 1000 2n1 n2 4n3 2000 2n1 3n2 5n3 2500 n1 n2 n3 1000 x 4 4n1 4n2 9n3 4500 4n1 4n2 4n3 4000 4n1 4n2 9n3 4500 5n3 500 n3 100 n1 n2 100 1000 n1 n2 900 n2 900 n1 2n1 900 n1 4100 2000 n1 700 n2 200 R x 700 Kg y 200 Kg z 100 Kg Questão 19 a x y 2z 1 x y 3z 4 4x 3y z 12 z 3 x y 5 x 4 4x 3y 9 y 297 x 67 R x 67 y 297 z 3 b 2x 2y z 3 x y z 0 x2 4y 3z 3 8x y 3z 5 8x 3y 8 3x y 3 x 3 x 1 3 y 3 1 0 z 0 x 1 y 0 z 1 R x 1 y 0 z 1 Questão 20 Pela lei de Kirchhoff temos 50 5I1 20I3 0 30 20I3 10I2 0 Além de que I2 I1 I3 logo temos o seguinte sistema 5I1 20I3 50 10I2 20I3 30 I1 I2 I3 I1 I3 I2 5I3 5I2 20I3 50 25I3 5I2 50 5 6I3 I2 10 20I3 10I2 30 I3 1A 5I2 10 I2 5A sentido oposto ao adotado I1 6A R I1 6A I2 5A e I3 1A