Autovalores e Autovetores de Transformações Lineares - Exercícios Resolvidos

8 Determinar os autovalores e autovetores da transformação linear Tℝ³ ℝ³ Txyz 3x 2y z x 4y z x 2y 3z 9 Determine uma matriz P que diagonaliza A 6 0 6 0 2 0 6 0 1 8 T ℝ³ ℝ³ xyz Txyz 3x 2y z x 4y z x 2y 3z A matriz de T é obtida por Tx y z 3 2 1 1 4 1 1 2 3x y z onde A 3 2 1 1 4 1 1 2 3 é a matriz da transformação linear Os autovalores λ são tais que detA λI 0 Logo 0 detA λI 3λ 2 1 1 4λ 1 1 2 3λ 3λ²4λ 2 2 4λ 23λ 23λ 3λ²4λ 4λ 43λ 4 4λ3λ² 1 43λ 4 4λ3λ² 1 41 3λ 4λ9 6λ λ² 1 42 λ 4λ8 6λ λ² 8 4λ 32 24 4λ² 8λ 6λ² λ³ 8 4λ λ³ 10λ² 28λ 24 Ou seja temos λ³ 10λ² 28λ 24 0 Uma raíz é λ 6 De fato 6³ 106² 286 24 216 360 168 24 0 Logo λ 6 divide λ³ 10λ² 28λ 24 Com efeito λ³ 10λ² 28λ 24 λ 6 λ² 4λ 4 Logo temos λ³ 10λ² 28λ 24 λ 6λ² 4λ 4 λ 6λ 2² Então λ 6λ 2² 0 e λ 6 e λ 2 são os autovalores de T Agora determinemos os autovetores Para λ6 temos uu1 u2 u3T tal que A6Iu 0 0 0T 9 2 1 1 10 1 1 2 3 u1 u2 u3T 0 0 0T 9u1 2u2 u30 u1 10u2 u30 u1 2u2 3u30 Logo temos Subtraindo as duas primeiras 8u1 8u20 u1 u2 Logo 3u3 u1 2u2 u1 2u1 ou seja u3 3u13 u1 Com isso o autovetor é u u1 u2 u3T u1 u1 u1T u1 1 1 1T e 1 1 1T é um autovetor de A Para λ2 temos vv1 v2 v3T tal que A2Iv 0 0 0T 1 2 1 1 2 1 1 2 1 v1 v2 v3T 0 0 0T v1 2v2 v30 v1 2v2 v30 v1 2v2 v30 Ou seja temos que v1 2v2 v3 Com isso segue que vv1 v2 v3T2v2 v3 v2 v3T 2v2 v2 0T v3 0 v3T v2 2 1 0T v3 1 0 1T Então os autovetores associados a λ2 são 2 1 0T e 1 0 1T Com isso temos autovalor λ6 associado ao autovetor 1 1 1T autovalor λ2 de dupla multiplicidade associado aos autovetores 2 1 0T e 1 0 1T