Lista de Exercicios Algebra Linear - Matrizes Distancia Inversa e Produto

A matriz D seguinte representa as distâncias em km entre as cidades X Y e Z D 0 23 55 23 0 78 55 78 0 Cada elemento aij dessa matriz fornece a distância entre as cidades i e j Se a cidade X é representada pelo número 1 Y por 2 e Z por 3 a Determine as distâncias entre X e Y entre Z e X e entre Y e Z b Qual é a distância percorrida de um veículo que sai da cidade 1 para 3 e em seguida sai da cidade 3 para a cidade 2 Dadas as matrizes A B e C de ordens m x 2 n x p e 3 x q respectivamente Determine o valor de m n p q sabendo que a matriz A B C é de ordem 3 x 3 Resposta Determine o inverso da matriz A 3 2 5 4 LISTA DE EXERCÍCIOS ÁLGEBRA LINEAR Solução 1 a Reescrevendo a matriz D com os nomes das cidades temos D aXX aXY aXZ aYX aYY aYZ aZX aZY aZZ Logo a distância entre X e Y é aXY23 km a distância entre X e Z é aXZ55 km e a distância entre Y e Z é aYZ78 km b O veículo percorre aXZaZY5578133 km 2 O produto de duas matrizes somente é definido se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz O produto de uma matriz A de ordem m n por uma matriz B de ordem n p é uma matriz de ordem m p Logo temos que n2 e AB possui ordem m p Dado C de ordem 3q temos que p3 e ABC possui ordem m q Logo m3 e q3 Portanto mn pq323311 3 A matriz inversa é dada por A 1 1 det A C T sendo C T a transposta da matriz dos cofatores isto é a matriz adjunta de A Para uma matriz A a b c d temos que det A adbc C T d b c a Logo temos que A 1 1 3 42 5 4 2 5 31 2 4 2 5 3 2 1 5 2 3 2 Lista de Exercícios Álgebra Linear Exercício 1 A matriz 𝐷 seguinte representa as distâncias em km entre as cidades 𝑋 𝑌 e 𝑍 𝐷 0 23 55 23 0 78 55 78 0 Cada elemento 𝑎𝑖 𝑗 dessa matriz fornece a distância entre as cidades 𝑖 e 𝑗 Se a cidade 𝑋 é representada por 1 𝑌 por 2 e 𝑍 por 3 a Determine as distâncias entre 𝑋 e 𝑌 entre 𝑋 e 𝑍 e entre 𝑌 e 𝑍 b Qual é a distância percorrida por um veículo que sai da cidade 1 para 3 e em seguida sai da cidade 3 para a cidade 2 Solução a Reescrevendo a matriz 𝐷 com os nomes das cidades temos 𝐷 𝑎𝑋𝑋 𝑎𝑋𝑌 𝑎𝑋𝑍 𝑎𝑌𝑋 𝑎𝑌𝑌 𝑎𝑌 𝑍 𝑎𝑍𝑋 𝑎𝑍𝑌 𝑎𝑍𝑍 Logo a distância entre 𝑋 e 𝑌 é 𝑎𝑋𝑌 23 km a distância entre 𝑋 e 𝑍 é 𝑎𝑋𝑍 55 km e a distância entre 𝑌 e 𝑍 é 𝑎𝑌 𝑍 78 km b O veículo percorre 𝑎𝑋𝑍 𝑎𝑍𝑌 55 78 133 km Exercício 2 Dadas as matrizes 𝐴 𝐵 e 𝐶 de ordens 𝑚2 𝑛 𝑝 e 3𝑞 respectivamente Determine o valor de 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 sabendo que a matriz 𝐴 𝐵 𝐶 é de ordem 3 3 Solução O produto de duas matrizes somente é definido se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz O produto de uma matriz 𝐴 de ordem 𝑚 𝑛 por uma matriz 𝐵 de ordem 𝑛 𝑝 é uma matriz de ordem 𝑚 𝑝 Logo temos que 𝑛 2 e 𝐴𝐵 possui ordem 𝑚 𝑝 Dado 𝐶 de ordem 3 𝑞 temos que 𝑝 3 e 𝐴𝐵𝐶 possui ordem 𝑚 𝑞 Logo 𝑚 3 e 𝑞 3 Portanto 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 3 2 3 3 11