Lista de Exercícios Resolvida: Álgebra Linear e Geometria Analítica - Sistemas Lineares e Vetores

O Na forma matricial aumentada o sistema equivale a 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 6 L2 L2 L1 L3 L3 2L1 1 1 1 1 11 11 21 21 22 12 12 62 1 1 1 1 0 2 1 1 0 1 3 4 L2 L3 1 1 1 1 0 1 3 4 0 2 1 1 L2 L2 1 1 1 1 0 1 3 4 0 2 1 1 L3 L3 2L2 1 1 1 1 0 1 3 4 0 0 7 7 L3 17 L3 1 1 1 1 0 1 3 4 0 0 1 1 x y z 1 I x y 2z 2 II 2x y z 6 III x y z 1 I y 3z 4 II z 1 III III z 1 Substituindo em II y 3z 4 y 31 4 y 3 4 y 4 3 1 Substituindo em I 1 x y z x 1 1 x 2 x 1 2 3 Conjunto solução 3 1 1 O sistema é possível e determinado b 1 1 1 x 1 1 1 2 y 2 2 1 1 z 6 A X B BACHARELADO EM ENGENHARIA QUÍMICA Álgebra Linear e Geometria Analítica 20231 Prof Wendel Mafra 1 Lista de Exercícios 1 Considere o seguinte sistema linear x y z 1 x y 2z 2 2x y z 6 a Através do método do escalonamento determine o conjunto de soluções de tal sistema e classifiqueo b Escreva este sistema como um produto matricial na forma A X B determine A1 caso exista e verifique que X A1 B c Pesquise sobre a regra de Cramer a qual emprega os determinantes e utilizea para resolver este sistema 2 Se A 1 0 2 B 1 2 e C 3 1 2 determine X M2x3R 1 2 1 1 3 0 2 1 tal que 4C BX 2A C 3 Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações definidas em V por i x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 e α x1 y1 x1 α y1 ii x1 y1 x2 y2 x1 y1 e α x1 y1 α x1 α y1 Diga em cada caso quais dos 8 axiomas da definição de espaço vetorial não se verificam 4 Sabendo que A11 B5 1 e C6 4 são vértices de um paralelogramo determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados 5 Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A4 y 4 B10 y 2 e C2 0 4 6 Determinar o vetor ū tal que ū 2 sendo o ângulo entre ū e ṽ 1 1 0 igual a 45 e ū seja ortogonal a ŵ 1 1 0 7 Considere os vetores ū 1 2 1 ṽ 1 1 1 e ŵ 1 0 1 a Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são dois a dois ortogonais b Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor c Mostrar que ū x ṽ x ŵ 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 0 1 L2 L2 L1 L3 L3 2L1 1 1 1 1 0 0 0 2 1 01 10 00 0 1 3 02 00 10 1 1 1 1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 1 3 2 0 1 L2 L3 1 1 1 1 0 0 0 1 3 2 0 1 0 2 1 1 1 0 L2 L2 1 1 1 1 0 0 0 1 3 2 0 1 0 2 1 1 1 0 L3 L3 2L2 1 1 1 1 0 0 0 1 3 2 0 1 0 0 7 14 1 02 1 1 1 1 0 0 0 1 3 2 0 1 0 0 7 3 1 2 L3 17 L3 1 1 1 1 0 0 0 1 3 2 0 1 0 0 1 37 17 27 L2 L2 3L3 1 1 1 1 0 0 0 1 0 2 97 37 0 0 1 37 17 27 L1 L1 L2 L3 1 1 1 57 37 17 0 1 0 37 17 27 0 0 1 37 17 27 1 0 0 03717 01727 03727 0 1 0 57 17 27 0 0 1 37 17 27 1 0 0 27 37 17 0 1 0 57 37 17 0 0 1 37 17 27 A1 17 27 37 57 37 17 37 17 27 A1B 17 27 37 57 37 17 37 17 27 1 2 6 17 47 187 57 67 67 37 27 127 3 1 1 c b detA det1 1 1 1 1 2 2 1 1 111 122 111 112 111 112 1 4 1 2 1 2 7 Dx det2 1 2 6 1 1 111 126 112 116 421 112 1 12 2 6 2 2 21 Dy det1 1 1 1 2 2 2 6 1 121 122 161 122 111 162 2 4 6 4 1 12 7 D3 det 1 1 1 1 1 2 2 1 6 116 122 111 112 116 112 6 4 1 2 6 2 7 x DxD 217 3 y DyD 77 1 z DzD 77 1 2 4C 3X 2A C 2A 2C 3X 2A 2C 4C 2A 2C 2A C X B1 2A C 2 B1 A C 6 B I 1 2 1 0 1 3 0 1 L2 L2 L1 1 2 1 0 1 1 3 2 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 1 1 L1 L1 2L2 1 0 2 2 1 2 0 2 0 1 1 1 1 0 3 2 0 1 1 1 B1 3 2 1 1 X 2 B1 A C 2 3 2 1 1 1 3 0 1 1 0 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 4 1 0 0 2 32 21 3 0 34 20 12 11 1 10 14 10 2 8 3 14 3 0 5 28 23 214 23 20 25 16 6 28 6 0 10 7 3 i EV1 Comutatividade de Seja x1 y1 x2 y2 V x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 x2 y2 x1 y1 EV2 Associatividade de Seja x1 y1 x2 y2 x3 y3 V x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 x2 x3 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 x2 y1 y2 x3 y3 x1 y1 x2 y2 x3 y3 EV3 00 V Seja x1 y1 V 00 x1 y1 0 x1 0 y1 x1y1 8 EV 4 seja xy V xy ℝ xy ℝ xy V xy xy xx yy 00 EV 5 sejam xy V λμ ℝ λμxy λx μy x λμy x λμy λμxy EV 6 1211 311 131 13 111 211 111 121 11 12 11 12 23 1211 111 211 EV 7 sejam x₁ y₁ x₂y₂ V λ ℝ λx₁y₁ x₂y₂ λx₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ λy₁ y₂ x₁ x₂ λy₁ λy₂ x₁ λy₁ x₂ λy₂ λx₁y₁ λx₂y₂ EV 8 seja xy V 1xy x1y xy não é respeitado EV 6 1 A D₁ B C I D₁ C AB D₁ x₁y₁ I AD₁ D₁ A x₁ 1 y₁ 1 BC C B 6541 13 AD₁ BC x₁ 1 y₁ 1 13 x₁ 1 1 y₁ 1 3 x₁ 2 y₁ 2 D₁ 22 2 C D₂ AB II B D₂ AC D₂ x₂ y₂ II CD₂ D₂ C x₂ 6 y₂ 4 AB B A 51 11 42 CD₂ AB x₂ 6 y₂ 4 4 2 x₂ 6 4 y₂ 4 2 x₂ 10 y₂ 6 D₂ 106 3 A B₃ CB III B D₃ CA D₃ x₃ y₃ III A B3 x31 y31 C B BC 13 13 A B3 C B x31 y31 1 3 x31 1 y31 3 x3 0 y3 4 B3 04 5 ΔABC è equilátero A B B C A C A C C A 24 0y 44 2 y 8 A C 2²y²8² 4 y² 64 y² 68 A B B A 104 yy 24 606 A B 6² 0² 6² 36 36 362 62 72 13 A C A B y² 68 72 y² 68 72 y² 72 68 4 y 2 v y 2 B C C B 210 0y 42 8 y 2 B C 8² y² 2² y² 68 Para ΔABC ser equilátero y pode assumir 2 valores 2 ou 2 14 6 v x y z v 1² 1² 0² 1 1 2 v w v w cos45 x y z 1 1 0 2 2 22 x y 2 I v w 0 x y z 1 1 0 0 x y 0 II x y 2 I x y 0 II I x y 2 x 2 y Substituindo em II 0 x y 2 y y 2 2y y 0 22 1 x 2 y 2 1 1 U 2 x² y² z² 2 2 1² 1² z² 1 1 z² 2 z² z² 2 2² z 0 z R z² 2 4 z² 4 2 2 z 2 Há duas possibilidades para U 1 1 2 ou 1 1 2 7 a U V 1 2 1 1 1 1 11 21 11 1 2 1 0 U W 1 2 1 1 0 1 11 20 11 1 0 1 0 V W 1 1 1 1 0 1 11 10 11 1 0 1 0 b U V i j k 1 2 1 1 1 1 i21 j11 k11 k21 j11 i11 2i j k 2k j i 3i 3 k 3 0 3 U V 3 1 0 1 3 W W c V W i j k 1 1 1 1 0 1 i11 j11 k01 k11 j11 i01 i j k j 1 2 1 U V W i j k 1 2 1 1 2 1 i21 j11 k21 k21 j11 i 12 2i j 2k 2k j 2i 0i 0j 0k 000 O