Introdução à Álgebra Linear João Pitombeira de Carvalho

INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR JOÃO PITOMBEIRA DE CARVALHO MONOGRAFIAS DE MATEMÁTICA 1) Alberto Azevedo & Renzo Piccinini — Introdução à Teoria dos Grupos 2) Nathan M. Santos — Vetores e Matrizes 3) Manfredo P. Carmo — Introdução à Geometria Diferencial Global 4) Jacob Palis Jr. — Sistemas Dinâmicos 5) João Pitombeira de Carvalho — Introdução à Álgebra Linear 6) Pedro Fernandez — Introdução à Teoria das Probabilidades para a Ivânia 1 PREFÁCIO Este livro reflete a experiência que adquirimos na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, nos três últimos anos, sobre o ensino da álgebra linear para os alunos dos ciclos básicos dos centros técnico-científicos em nossas universidades. A matéria aqui tratada é assunto do segundo curso de álgebra linear com a duração de um semestre, reunindo-se três horas por semana, para aulas teóricas e uma hora extra para exercícios. Queremos deixar bem claro que não se trata de um tratado de álgebra linear, ou de um curso completo destinado a bacharéis em matemática. Ele retrata fielmente, cremos, o que a experiência mostrou ser possível ensinar a alunos destinados às ciências básicas (matemática, física e química) ou às engenharias. A fim de tornar o livro mais completo e unificado foram incluídos alguns tópicos em geral não cobertos no curso. O livro é auto-suficiente, com a exceção de alguns resultados básicos da teoria dos determinantes e familiaridade com matrizes. Os pré-requisitos para o livro são cobertos no primeiro curso de álgebra linear, que tem também a duração de um semestre: os espaços R^n, o cálculo matricial, a teoria dos sistemas lineares. Praticamente todos os colegas do Departamento de Matemática da PUC participaram da confecção deste livro, com sugestões, idéias e encorajamento. Desejo ressaltar, particularmente, a colaboração daqueles junto com os quais lecionei, durante vários semestres, este curso: Israel ii Vaisenchaer, Jair Koiller, João Cândido Portinari, José Carlos de Souza Klith. Muitos dos exercícios incluídos no capítulo final foram propostos por eles em exames ou testes, cabendo aqui agradecer a permissão para usá-los. Agradeço ao Prof. Elon Lages Lima o convite para publicar este livro pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Uma primeira versão do livro foi usada na PUC, com sucesso. Queremos externar nossa gratidão a Tânia Regina Vieira d'Avila que conseguiu, em pouco tempo, decifrar o manuscrito original e datilografá-lo rápida e competentemente. Wilson Góes, com sua costumeira eficiência, datilografou a versão definitiva, pelo que deixo aqui meus agradecimentos. Rio de Janeiro, julho de 1971 João Pitombeira de Carvalho Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro iii APRESENTAÇÃO Embora este seja um livro sem nenhuma novidade revolucionária, achamos conveniente apresentar algumas palavras de explicação e justificação. Em primeiro lugar, trata-se de um livro elementar. Atualmente os cursos de Álgebra Linear começam a ser dados em quase todos os cursos básicos de nossas universidades aos alunos destinados às engenharias e ciências. Como, em muitos casos, esta matéria é ensinada aos alunos logo no primeiro ano do curso, é necessário evitar a tentação de querer ensinar-lhes, em pouco tempo, aquilo que ainda não estão em condições de assimilar. Por isso, nada de teoria dos polinômios ou formas canônicas, que devem vir, para os alunos de fato interessados em Matemática, num estágio posterior. É necessário manter, durante todo este curso introdutório, uma base geométrica e intuitiva. Achamos mesmo que, neste estágio, é às vezes bem mais eficiente descrever geometricamente um teorema e fazer alguns exemplos do que se preocupar com a compreensão perfeita de sua demonstração formal. Um caso típico é o processo de Gram-Schmidt, fácil de visualização e de aplicação mas para o qual os alunos, em geral, não percebem a necessidade de uma demonstração correta. Tratamos, exclusivamente, de espaços vetoriais de dimensão finita. Por isso, base, para nós, é base finita. A idéia de apresentar a noção de dependência e independência linear em termos de equações vetoriais com soluções escalares tem funcionado muito bem na prática (agradecemos essa sugestão a Henrique Browne). iv Concordamos plenamente com a ideia de S. Lang, expressa em seu livro "Linear Algebra", de que, em um primeiro curso, os corpos considerados devem ser corpos numéricos, i.e., sub-corpos dos números complexos. Assim, neste livro, corpo quer sempre dizer corpo numérico. Achamos o segundo capítulo importantíssimo. Em primeiro lugar, ataca um tópico difícil, a noção de função ou transformação e que não deve ser abordada dentro de um espírito de rigor lógico e formal; as definições básicas devem ser apresentadas simplesmente, limitadas ao mínimo indispensável e seguidas de inúmeros exemplos. Convém frisar que a maioria dos alunos só encontrou até aqui funções reais de uma variável real. A segunda parte deste capítulo serve de preparação e motivação para tudo o que vem depois. Algumas vezes, quando o curso foi dado sem esta parte, notou-se que os alunos dificilmente se habituaram ao conceito de transformação linear e eram incapazes de apresentar exemplos concretos, geométricos, como cisalhamentos, dilatações, etc. Uma experiência também feita com sucesso foi dar em primeiro lugar o capítulo 2, e somente em seguida estudar o capítulo 1. Do posse dos conceitos do segundo capítulo, é fácil motivar o estudo das transformações lineares; em alguns casos, as demonstrações apresentadas no capítulo 3 são simples repetições do que foi feito no capítulo 2. Demos grande ênfase ao teorema do núcleo e da imagem, que pode ser aplicado com sucesso para um estudo completo e geométrico dos sistemas lineares. O método aqui empregado, usando as colunas da matriz do sistema foi preferido por seu conteúdo extremamente geométrico. Da mesma maneira, quando tratamos das transformações lineares inversíveis, embora de- v mos demonstrações (desenvolvidas ou propostas como exercícios) usando o teorema do núcleo e da imagem, voltamos a apresentar os mesmos teoremas com demonstrações geométricas. Ao tratar os produtos internos, o objetivo foi chegar o mais rápido possível ao teorema de representação dos funcionais lineares, para o qual são também dadas duas demonstrações, uma delas de caráter bem geométrico. Sempre que possível, consideramos os espaços vetoriais sobre um corpo numérico K, que pode ser o corpo real ou complexo. Nesta parte e na seguinte, que trata da definição de adjunta de uma transformação linear, é essencial apresentar exemplos concretos, fazer contas. Aliás, um outro princípio básico por trás de todo o livro é que a compreensão de um teorema só pode ser testada por sua aplicação a exemplos. Isso tem a vantagem extra de exigir um domínio da teoria dos sistemas lineares, visto que quase todos os cálculos de álgebra linear recaem na solução de um tal sistema. Podemos agora passar para a parte seguinte do livro, que é um coroamento de tudo o que foi feito antes. Geralmente, em nosso curso, nos limitamos a cobrir os §§ 5.1 e 5.2, culminando com o teorema espectral para transformações auto-adjuntas. Em alguns casos, dependendo do nível da turma e da disponibilidade de tempo, foi possível abordar as transformações unitárias e normais ou as formas quadráticas. Achamos que estes tópicos apresentam a transição entre o presente curso e um curso mais avançado; talvez somente após um estudo das formas canônicas verá o aluno o interesse em caracterizar as transformações diagonalizáveis em base ortonormal. vi Estas notas foram, naturalmente, muito influenciadas pelos livros onde primeiro estudamos o assunto: Birkhoff and MacLane, "A Survey of Modern Algebra"; E.L. Lima, "Cálculo Tensorial"; Gelfand, "Linear Algebra"; P.R. Halmos, "Finite Dimensional Vector Spaces". O curso de álgebra linear da PUC do Rio de Janeiro no qual este livro se baseou foi originalmente estruturado segundo o livro "Linear Algebra" de S. Lang o qual também, por isso, nos influenciou, ditando a ordem geral da apresentação dos assuntos. Apresentamos, agora, o currículo que temos em geral seguido em nosso curso de aproximadamente 45 horas de aulas teóricas e umas 12 horas de exercícios: Capítulo 1: §§ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5; Capítulo 2: §§ 2.1 e 2.2; Capítulo 3: §§ 3.1, 3.2 e 3.3; Capítulo 4: §§ 4.1, 4.2 e 4.3; Capítulo 5: §§ 5.1 e 5.2. Algumas vezes, no livro, um conceito novo é primeiro definido em casos particulares, e somente posteriormente definido em toda sua generalidade. Por vezes, apresentamos uma definição em exercícios ou exemplos, antes de dá-la formalmente no texto, ou repetimos uma definição, a fim de torná-la mais familiar. Gostaríamos que críticas, sugestões e comunicações de erros ou enganos nos fossem enviadas por todos os que usarem este livro. vii Ao estudante Os exercícios e exemplos intercalados no texto do livro fazem parte integrante do curso. Caso você tente es- tudar somente a teoria verá que em pouco tempo o assunto se tornará mais e mais difícil, até ser impossível assimi- lá-lo. Resolva os exercícios à medida que fôr estudando. Se, de repente, você não é capaz de resolver a maior par- te dos exercícios propostos, aconselhamos que volte atrás e faça uma revisão cuidadosa dos exercícios passados, da teoria e dos exemplos. Um esforço considerável foi feito para colocar os exercícios e exemplos no local apropriado, de maneira a que se integrem naturalmente no texto. No fim do livro, encontra-se um capítulo de exercícios e problemas propostos e testes e exames, muitos dêles do tipo múltipla escolha.