Lista de Exercícios Álgebra Linear - Espaços Vetoriais e Subespaços

Lista de exercícios Fixação 11 Espaços vetoriais Álgebra Linear Prof Elton Carvalho ECT UFRN Entrega 12042023 Esta lista se refere ao conteúdo das aulas Aula 1 Espaços vetoriais Aula 2 Subespaços vetoriais Aula 3 Combinações lineares e espaços gerados 1 Para que um conjunto associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar seja considerado um espaço vetorial deve satisfazer aos 10 axiomas Verifque que os conjuntos abaixo com as operações dadas são espaços vetoriais verifcando a validade de cada axioma a O conjunto das funções a valores reais Escalares 𝛼 R Adição 𝑓 𝑔𝑡 𝑓 𝑡 𝑔𝑡 Multiplicação por escalar 𝛼𝑓 𝑡 𝛼𝑓 𝑡 b 𝑃𝑛R o conjunto dos polinômiosNota 1 de grau 𝑛 a valores reais 𝑓 𝑡 𝑛 𝑘0 𝑎𝑘𝑡𝑘 𝑎0 𝑎1𝑡 𝑎𝑛𝑡𝑛 Escalares 𝛼 R Adição 𝑓 𝑔𝑡 𝑓 𝑡 𝑔𝑡 Multiplicação por escalar 𝛼𝑓 𝑡 𝛼𝑓 𝑡 c Desafio C2 o conjunto das duplas ordenadas 𝑥1𝑥2 de números complexos com Escalares 𝛼 C Adição 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2 Multiplicação por escalar 𝛼𝑥1𝑥2 𝛼𝑥1 𝛼𝑥2 d Desafio K𝑛 o conjunto das 𝑛uplas ordenadas 𝑥1𝑥2 𝑥𝑛 de escalares 𝑥𝑖 do corpo 𝐾 um corpo qualquer Nota 1Dica todo polinômio é uma função 1 a 2 𝑡 3𝑡2 b 1 𝑡 𝑡2 c 1 𝑡2 9 Escreva os vetores da questão anterior como combinação linear dos vetores 𝒗1 1 𝑡 𝒗2 1 𝑡 𝑡2 e 𝒗3 1 𝑡2 10 Verifque se o vetor 𝒘 9 4 4 7 está no subespaço de R4 gerado por 𝒗1 8 4 3 9 𝒗2 4 3 2 8 𝒗3 7 6 5 18 Desafos As questões abaixo não são necessárias para obter a pontuação completa da lista entre tanto contam como bônus além do valor total 11 Para que um conjunto juntamente com operações de adição e multiplicação entre seus elementos seja considerado um corpo deve satisfazer a 11 axiomas Verifque que os conjuntos abaixo com as operações dadas são corpos verifcando a validade de cada axioma a Os números reais com a adição e multiplicação usuais b Os números racionais Q com a adição e a multiplicação usuais c Os pares ordenados de números reais 𝑥𝑦 e as seguintes operações Adição 𝑥1𝑦1 𝑥2𝑦2 𝑥1 𝑥2𝑦1 𝑦2 Multiplicação 𝑥1𝑦1𝑥2𝑦2 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦1 d Os números complexos com adição e multiplicação usuais e Os números inteiros 0 1 𝑝 1 e as seguintes operações Adição 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 mod 𝑝 onde 𝑎 mod 𝑝 é o resto da divisão 𝑎 𝑝 Multiplicação 𝑥𝑦 𝑥𝑦 mod 𝑝 12 Mostre que o conjunto dos vetores 𝑥𝑦𝑧 R3 soluções do sistema de equações abaixo é um subespaço de R3 𝑥 𝑦 𝑧 0 2𝑥 2𝑦 𝑧 0 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 3