Equações Diferenciais Ordinárias: Definições e Aplicações

Equações Diferenciais Ordinárias EDO Muitas vezes em física engenharia e outros ramos técnicos há necessidade de encontrar uma função incógnita Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas da função incógnita Tais equações envolvendo derivadas são chamadas equações diferenciais em que a incógnita não é um número mas uma função Aplicação em Física Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura 𝑇𝑡 de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante 𝑇𝑚 do meio ambiente isto é em que 𝑘 é uma constante de proporcionalidade EX Um ovo duro a 98 𝐶 é colocado em uma pia contendo água a 18 𝐶 Depois de 5 minutos a temperatura do ovo é de 38 𝐶 Suponha que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20 𝐶 Solução 12 CLASSIFICAÇÃO DAS EDOs 121 Classificação quanto ao tipo Se a função incógnita depende apenas de uma variável temos uma equação diferencial ordinária Se depender de mais de uma variável temos uma equação diferencial parcial 122 Classificação quanto a ordem A ordem de uma equação diferencial é o número 𝑛 que corresponde à ordem máxima das derivadas da equação Na expressão I acima a equação tem ordem 1 e na expressão III ordem 2 OBS O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem 123 Classificação quanto a linearidade Uma equação diferencial é chamada linear se pode ser escrita na forma As variáveis dependentes de 𝑦 e todas as suas derivadas são do primeiro grau isto é cada potência de um termo envolvendo 𝑦 e igual a 1 Cada coeficiente depende apenas da variável independente 𝑥 Uma equação que não é linear é dita nãolinear EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais A Equação I é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência A Equação II por outro lado é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem é a derivada de maior ordem ordem 1 e 2 é a maior potência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TIPO ORDEM e LINEARIDADE 01Classifique as Equações Diferenciais de acordo com os critérios de ordem e linearidade 02 Classifique as Equações Diferenciais de acordo com os critérios de ordem e grau 03 Classifique cada equação a seguir dizendo se elas são lineares ou nãolineares e dê também a sua ordem 3 SOLUÇÃO DE UMA EDO Uma solução de uma equação diferencial é uma função y f x a qual juntamente com as suas derivadas satisfaz a equação diferencial dada EXEMPLO 1 A função y e2x é uma solução para a equação linear y 5y 6y 0 Calculando y e y temos Y 4e2x e y 2e2x substituindo na equação temos y 5y 6y 4e2x 52e2x 6e2x 0 Portanto é solução da equação EXEMPLO 2 A função y x2 2x não é solução para a EDO y 2x 1 Calculando y temos y 2x 2 substituindo na equação Y x2 2x y 2x 2 2x 1 para todo x real Valor inicial Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de 𝑦 𝑦𝑜 correspondente a um valor particular de 𝑥 𝑥𝑜 Isto é se 𝑦 𝑓𝑥 pode ser uma solução da equação diferencial então a função deve satisfazer a condição 𝑦𝑜 f𝑥𝑜 O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial Exemplo 1 Mostre que 𝑦 𝐶 𝑒2𝑥 é uma solução para a equação diferencial 𝑦 2𝑦 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial 𝑦0 3 Sabemos que 𝑦 𝐶 𝑒2𝑥 é solução porque 𝑦 𝐶 𝑒2𝑥 e 𝑦 2𝑦 2 𝐶 𝑒2𝑥 2 𝐶 𝑒2𝑥 0 Usando a condição inicial 𝑦0 3 ou seja 𝑦 3 e 𝑥 0 obtêm 𝑦 𝐶 𝑒2𝑥 3 𝐶 𝑒20 C 3 e concluímos que a solução particular é 𝑦 3 𝑒2𝑥 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO SOLUÇÃO DE UMA EDO e PROBLEMA DO VALOR INICIAL 01Verificar que cada uma das funções dadas y fx é uma solução da equação diferencial dada 02Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas R