Cálculo 3 - Atividade

Prova 2 Nome Data 07062024 LEIA COM ATENÇÃO AS INSTRUÇÕES A SEGUIR Esta prova é individual Questões sem desenvolvimento serão consideradas erradas Esta avaliação deverá ser resolvida totalmente a mão Não será aceita a prova resolvida em mesa digitalizadora ou programas que digitalizam fórmulas e equações como equation mathtype word etc A resolução dessa avaliação deverá ser entregue presencialmente na aula do dia 14062024 Q1 10 Calcule a integral 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 2 1 2 0 Q2 20 Calcule a integral 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 0 2 1 Q3 10 Inverta a ordem de integração da integral 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 Não é necessário calculála Q4 20 Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado acima pelo plano z 4 e abaixo pelo paraboloide 𝑧 𝑥2 𝑦2 Q5 20 Use coordenadas polares para calcular 1 𝑥2 𝑦2𝑑𝐴 𝑅 onde R é a região no primeiro quadrante pela função 𝑥2 𝑦2 1 Q6 20 Use a integral tripla em coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido compreendido dentro da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 e abaixo do cone 𝑧 𝑥2 𝑦2 BOA PROVA Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Escola Politécnica Cálculo III Professor Iuri Jauris Questão 1 Calcule a integral ₀²₁² yx dydx Solução Temos que ₀²₁² yx dydx ₀² y²2 x₁² dx ₀² 2x x2 dx 32 ₀² x dx 32 23 x³²₀² 22 Questão 2 Calcule a integral ₁²₀¹ yexy dxdy Solução Temos que ₁²₀¹ yexy dxdy ₁² y exyy₀¹ dy ₁² ey dy ₁² ey 1 dy ey y₁² e² 2 e 1 e² 2 e 1 e² e 1 Questão 3 Inverta a ordem de integração da integral ₀¹x²x y² dydx Solução Nesse caso temos um região de integração de tipo I ou seja R xy 0 x 1 x² y x e seu esboço na figura abaixo Vamos reconfigurar R como uma região de tipo II ou seja devemos ter a y b e h₁y x h₂y Claramente temos que na região R y varia no intervalo 0 y 1 e já x varia da parábola x y² até a parábola x y isto é R xy y² x y 0 y 1 Portanto temos que ₀¹y²y y² dxdy Questão 4 Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado acima pelo plano z 4 e abaixo pelo paraboloide z x² y² Solução O sólido S está esboçado na figura abaixo sendo sua projeção no plano xy o disco D descrito por D xy ℝ² x² y² 4 Logo o volume V do sólido S é dado por V D 4 x² y² dA Para resolver a integral acima usamos coordenadas polares Sejam x rcosθ e y rsenθ Então temos D da forma D rθ 0 θ 2π 0 r 2 e V D 4 x² y² dA ₀²π ₀² 4 r²cos²θ r²sen²θ rdrdθ ₀²π ₀² 4 r² rdrdθ ₀²π ₀² 4r r³ drdθ ₀²π 2r² r⁴4₀² dθ ₀²π 8 4 dθ 4θ₀²π 8π Questão 5 Use coordenadas polares para calcular R 1 x² y² dA onde R é a região no primeiro quadrante pela função x² y² 1 Solução A região R de integração está esboçada na figura abaixo Usando coordenadas polares sejam x rcosθ e y rsenθ com 0 r 1 e 0 θ π2 Então R 1 x2 y2 dA 0π2 01 1 r2cos2θ r2sen2θ r dr dθ 0π2 01 1 r2 r dr dθ Para resolver a integral em vermelho considere a substituição u 1 r2 Então du 2r dr 1 r2 r dr 12 u du 12 23 u32 C 13 1 r232 C Assim R 1 x2 y2 dA 0π2 01 1 r2 r dr dθ 0π2 13 1 r23201 dθ 13 0π2 22 1 dθ 22 13 θ0π2 π6 22 1 Questão 6 Use a integral tripla em coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido compreendido dentro da esfera x2 y2 z2 4 e abaixo do cone z x2 y2 Solução Sabemos que a relação entre coordenadas retangulares e esféricas é dada por x ρsenϕcosθ y ρsenϕsenθ e z ρcosϕ Temos que a esfera x2 y2 z2 4 em coordenadas polares é dada por ρ2sen2ϕcos2θ ρ2sen2ϕsen2θ ρ2cos2ϕ 4 ρ2sen2ϕ ρ2cos2ϕ 4 ρ 2 Já o cone z x2 y2 é dado por z x2 y2 ρcosϕ ρ2sen2ϕ ρcosϕ ρsenϕ tgϕ 1 ϕ π4 Assim em coordenadas esféricas o sólido S é descrito por S ρ θ ϕ 0 ρ 2 0 θ 2π 0 ϕ 3π4 e o seu volume dado por V S ρ2 senϕ dρ dθ dϕ 03π4 02π 02 ρ2 senϕ dρ dθ dϕ 03π4 02π ρ33 senϕ02 dθ dϕ 83 03π4 02π senϕ dθ dϕ 83 03π4 θ senϕ02π dϕ 16π3 03π4 senϕ dϕ 16π3 cosϕ03π4 16π3 22 1